Side 1 av 11 sider EKSAMENSOPPGAVE I STA-1002 Eksamen i : STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Eksamensdato : 26. september 2011. Tid : 09-13. Sted : Administrasjonsbygget. Tillatte hjelpemidler : - Godkjent kalkulator - Tabeller og formler i statistikk (Kvaløy & Tjelmeland) - To ark (fire sider) egne notat. Oppgavesettet er på 10 sider ekskl. forside Kontaktperson under eksamen : Georg Elvebakk Telefon: 77646532 FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI Universitetet i Tromsø
OBS: Om ikke anna er spesifisert skal signifikansnivået i tester være 5%. Deloppgavene vil telle likt ved vurderinga. R-utskrifter, tabeller etc. til oppgavene står bak i oppgavesettet. Oppgave 1 I et pilspill blir piler kasta mot ei sirkelforma skive, der målet er å treffe nærmest mulig midten av skiva. Vi kaller avstanden fra piltreffpunktet til midten av skiva for R. Vi har at tetthetsfunksjone er gitt ved: f R (r) = r r 2 σ 2 e 2 σ 2, r > 0. En god pilkatser har en lav verdi for variansen σ 2. Kari er en ivrig pilkaster og vil gjerne finne ut hva hennes verdi er. Hun noterer derfor ned resultatet for avstanden fra midten for n = 15 kast (i cm). Disse antar hun er et tilfeldig utvalg fra fordelinga. Kast, i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Avstand, r 6.9 4.3 6.8 5.9 7.7 5.2 7.3 8.2 3.8 0.8 5.1 1.3 7.7 1.3 9.6 Her kan du bruke at 15 i=1 r i = 81.9 og 15 i=1 r2 i = 549.93. a) Vis at forventninga til R blir σ π 2. (Hint: gammafunksjonen.) Vis at variansen til R blir 2σ 2 (1 π 4 ). I staden for å basere oss på observasjonene r vil vi fra nå av bruke kvadrerte observasjoner r 2. b) Finn fordelinga til R 2 (tetthetsfunksjon eller kumulativ fordelingsfunksjon). Hva slags fordelingstype er dette? Bruk momentmetoden til å finne en estimator for σ 2 basert på de kvadrerte dataene. Sett inn de oppgitte talla og finn et estimat. Kari vil også gjerne ha et konfidensintervall for parameteren σ 2. c) Utled et 95%-konfidensintervall for σ 2 basert på momentestimatoren. Bruk de oppgitte talla til å rekne ut intervallgrensene. (Hint: Du kan bruke oppgitte kvantiler fra standard-gammafordeling (β = 1) som står bak i oppgavesettet.) 2
Oppgave 2 I denne oppgava skal vi se på data fra et eksperiment som undersøker hva som påvirker prisen en bruktbilhandler tilbyr å kjøpe bilen din for. 36 forsøkspersoner prøvde å selge en bestemt bil. Disse er splitta opp etter kjønn (to nivåer) og alder (3 nivåer: ung, middels, gammel), slik at det er 6 personer i hver gruppe. Responsvariablen, Y ijk er prisen (i 100 dollar) de blei tilbudt. Her er i = 1, 2 (kjønn), j = 1, 2, 3 (alder) og k = 1,..., 6. Gjennomsnittet for hver faktorkombinasjon er også oppgitt. Ung Middels Gammel Mann 21 30 25 23 29 22 19 26 23 22 28 21 22 27 22 23 27 21 Gj.snitt: 21.67 27.83 22.33 Kvinne 21 26 23 22 29 19 20 27 20 21 28 21 19 27 20 25 29 20 Gj.snitt: 21.33 27.67 20.50 a) Sett opp en full modell med forutsetninger for dette forsøket og forklar hva elementene i modellen representerer. Forklar hva et eventuelt samspill mellom de to faktorene betyr i praksis, og lag et plott for å avdekke samspill. Skriv opp uttrykket for SS E og finn et estimat for σ 2. Sett opp og utfør tester for effekten av de to faktorene og samspillet mellom dem. Anta nå at vi konkludere at faktoren kjoenn og samspillet mellom kjoenn og alder er uten betydning. Vi står da bare igjen med faktoren alder. Responsvariablen er Y ij der er i = 1, 2, 3 (alder) og j = 1,..., 12. Ung Middels Gammel 21 30 25 23 29 22 19 26 23 22 28 21 22 27 22 23 27 21 21 26 23 22 29 19 20 27 20 21 28 21 19 27 20 25 29 20 Gj.snitt: y 1 = 21.50 y 2 = 27.75 y 3 = 20.42 12 j=1 (y 1j y 1 ) 2 12 = 33.00, j=1 (y 2j y 2 ) 2 = 18.25, 3 12 i=1 j=1 (y ij y ) 2 = 398.89 12 j=1 (y 3j y 3 ) 2 = 31.92. 3
b) Skriv opp den nye modellen med forutsetninger. Finn de tre kvadratsummenene i oppsplittinga SS T = SS A + SS E. Forklar sammenhengen med kvadratsummene for modellen i spørsmål a). Sett opp og utfør en test for om variansen er ulik for de tre aldersgruppene. Sett opp og utfør en test for om det er signifikant forskjell på forventningsverdiene for aldersgruppene. I hvilken rekkefølge bør testene utføres? Til slutt vil vi undersøke nærmere hvordan forventningsverdiene for aldersgruppene skiller seg fra hverandre. c) Ut fra teorier om hvilke(n) aldergruppe(r) bruktilhandlerne antar har best greie på bilens reelle verdi vil vi splitte opp i to tester: 1. Er aldersgruppe 2 ulik de to andre? 2. Er aldersgruppe 1 ulik gruppe 3? Utfør testene og oppsummer en total konklusjon for forsøket. 4
Oppgave 3 Vi skal se på data fra en undersøkelse om pasienter som gjennomgår en leveroperasjon. Vi her data fra 17 tilfeldig valgte pasienter om hvor lenge de levde (i dager) etter operasjonen (respons) og 8 ulike forklaringsvariabler: Y lny X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 Overlevelsestid. Logaritmen av overlevelsestid. Indeks for blodpropp. Prognostisk indeks. Ensymfunksjonmål. Leverfunksjonsmål. Alder. Indikator for kjønn (0 = mann). Indikator for moderat alkoholforbruk (0= ikke moderat). Indikator for høgt alkoholforbruk (0 = ikke høgt). Vi velger å bruke logaritmen av Y, lny som responsvariabel i heile denne oppgava. a) Her vil vi først sette opp en lineær regresjonsmodell for lny som funksjon av alle forklaringsvariablene. Skriv opp denne modellen med forutsetninger og finn den estimerte regresjonsmodellen fra utskriftene. Om den lineære modellen stemmer hvordan var den opprinnelige sammenhengen mellom Y og forklaringsvariablene? I utskriftene ser vi at stigningstallet for X5 er estimert til 0.0036 med en p-verdi på 0.20. Tenk deg at du skal forklare en annen person hva dette betyr. Forklar hva eksakt hva vi har estimert og testa, og hva p-verdien forteller. Vi vil gjerne finne ut hvilke variabler en bør ha med i en regresjonsmodell og har derfor rekna ut en del godhetsmål for noen aktuelle modeller: modell R2 R2adj Cp R2pred 1 X2, X3 0.663 0.650 50.472 0.605 2 X1, X2, X3 0.757 0.743 24.980 0.694 3 X1, X2, X3, X4 0.759 0.740 26.419 0.682 4 X1, X2, X3, X5 0.769 0.750 23.592 0.698 5 X1, X2, X3, X8 0.830 0.816 5.751 0.786 6 X1, X2, X3, X4, X8 0.833 0.816 6.799 0.779 7 X1, X2, X3, X5, X8 0.836 0.819 6.018 0.786 8 X1, X2, X3, X6, X8 0.837 0.821 5.541 0.783 9 X1, X2, X3, X7, X8 0.832 0.814 7.227 0.782 10 X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8 0.846 0.819 9.000 0.771 b) Forklar hva R 2, Radj 2, C p og Rpred 2 måler, og hvordan de brukes til modellvalg. Hvilken modell ville du ha valgt, begrunn valget ditt. Vi velger i resten av oppgava å se på modellen med X1, X2, X3 og X8. c) Skriv opp den estimerte modellen for lny. Ser det ut som det er grunn til å frykte problemer med multikolinearitet i modellen? Finn predikert verdi for lny om pasienten har x1 = 5, x2 = 50, x3 = 50, x8 = 1? Finn også et 95%-prediksjonsintervall for overlevelstida (obs!) i dager. d) Lag et 95%-konfidensintervall stigningstallet til X8 (forskjellen mellom pasienter med og uten høgt alkoholforbruk). Bruk anova-utskriften til å teste om X3 og X8 er simultant signifikante i modellen som også inneholder X1 og X2? 5
Kvantiler (2.5% og 97.5%) fra gammafordeling med β = 1 (scale) og α = 1, 2,..., 50 (shape): > qgamma(0.025,shape=seq(1,50),scale=1) [1] 0.02531781 0.24220928 0.61867212 1.08986537 1.62348639 2.20189425 [7] 2.81436305 3.45383218 4.11537310 4.79538870 5.49116037 6.20057511 [13] 6.92195249 7.65393028 8.39538613 9.14538245 9.90312647 10.66794078 [19] 11.43924116 12.21651959 12.99933098 13.78728287 14.58002704 15.37725285 [25] 16.17868185 16.98406322 17.79317013 18.60579666 19.42175514 20.24087402 [31] 21.06299598 21.88797631 22.71568157 23.54598838 24.37878240 25.21395742 [37] 26.05141457 26.89106165 27.73281249 28.57658644 29.42230787 30.26990573 [43] 31.11931321 31.97046736 32.82330879 33.67778141 34.53383217 35.39141082 [49] 36.25046975 37.11096374 > qgamma(0.975,shape=seq(1,50),scale=1) [1] 3.688879 5.571643 7.224688 8.767273 10.241589 11.668332 13.059474 [8] 14.422675 15.763189 17.084803 18.390356 19.682039 20.961585 22.230396 [15] 23.489621 24.740219 25.982998 27.218647 28.447760 29.670854 30.888378 [22] 32.100731 33.308264 34.511293 35.710098 36.904932 38.096024 39.283582 [29] 40.467796 41.648837 42.826865 44.002026 45.174452 46.344269 47.511592 [36] 48.676527 49.839174 50.999626 52.157969 53.314284 54.468647 55.621130 [43] 56.771799 57.920718 59.067946 60.213540 61.357554 62.500036 63.641036 [50] 64.780599 6
> summary(aov(pris~as.factor(alder)+as.factor(kjoenn) +as.factor(alder)*as.factor(kjoenn),cash)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) as.factor(alder) 2 316.72 158.36 66.2907 9.79e-12 *** as.factor(kjoenn) 1 5.44 5.44 2.2791 0.1416 as.factor(alder):as.factor(kjoenn) 2 5.06 2.53 1.0581 0.3597 Residuals 30 71.67 2.39 --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 7
> summary(lm(lny~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8,liverop)) Call: lm(formula = lny ~ X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8, data = liverop) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.35562-0.13833-0.05158 0.14949 0.46472 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 4.050515 0.251756 16.089 < 2e-16 *** X1 0.068512 0.025422 2.695 0.00986 ** X2 0.013452 0.001947 6.909 1.39e-08 *** X3 0.014954 0.001809 8.264 1.43e-10 *** X4 0.008016 0.046708 0.172 0.86450 X5-0.003566 0.002752-1.296 0.20163 X6 0.084208 0.060750 1.386 0.17253 X7 0.057864 0.067483 0.857 0.39574 X8 0.388383 0.088380 4.394 6.69e-05 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Residual standard error: 0.2093 on 45 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8461, Adjusted R-squared: 0.8188 F-statistic: 30.93 on 8 and 45 DF, p-value: 7.8e-16 > anova(lm(lny~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8,liverop)) Analysis of Variance Table Response: lny Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X1 1 0.7763 0.7763 17.7251 0.0001206 *** X2 1 2.5888 2.5888 59.1127 9.829e-10 *** X3 1 6.3341 6.3341 144.6338 1.183e-15 *** X4 1 0.0246 0.0246 0.5612 0.4576716 X5 1 0.1265 0.1265 2.8879 0.0961501. X6 1 0.0522 0.0522 1.1923 0.2806701 X7 1 0.0888 0.0888 2.0276 0.1613651 X8 1 0.8457 0.8457 19.3115 6.691e-05 *** Residuals 45 1.9707 0.0438 --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 10
> summary(lm(lny~x1+x2+x3+x8,leverop)) Call: lm(formula = lny ~ X1 + X2 + X3 + X8, data = leverop) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 3.852419 0.192695 19.992 < 2e-16 *** X1 0.073323 0.018973 3.865 0.000327 *** X2 0.014185 0.001731 8.196 9.58e-11 *** X3 0.015453 0.001396 11.072 6.15e-15 *** X8 0.352968 0.077191 4.573 3.29e-05 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Residual standard error: 0.2109 on 49 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8299, Adjusted R-squared: 0.816 F-statistic: 59.76 on 4 and 49 DF, p-value: < 2.2e-16 > anova(lm(lny~x1+x2+x3+x8,leverop)) Analysis of Variance Table Response: lny Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X1 1 0.7763 0.7763 17.458 0.0001205 *** X2 1 2.5888 2.5888 58.221 7.052e-10 *** X3 1 6.3341 6.3341 142.451 4.124e-16 *** X8 1 0.9297 0.9297 20.909 3.291e-05 *** Residuals 49 2.1788 0.0445 --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 > X <- cbind(leverop$x1,leverop$x2,leverop$x3,leverop$x8) > cor(x) X1 X2 X3 X8 X1 1.00000000 0.09011973-0.14963411 0.2241386 X2 0.09011973 1.00000000-0.02360544-0.0837216 X3-0.14963411-0.02360544 1.00000000 0.1174818 X8 0.22413864-0.08372160 0.11748184 1.0000000 > solve(t(x)%*%x) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 0.0052916737-3.033985e-04-1.185095e-04-0.0065063701 [2,] -0.0003033985 4.992520e-05-1.822246e-05 0.0004704108 [3,] -0.0001185095-1.822246e-05 2.549989e-05-0.0002259593 [4,] -0.0065063701 4.704108e-04-2.259593e-04 0.1327172729 > x0 <- matrix(c(5,50,50,1)) > t(x0)%*%solve(t(x)%*%x)%*%x0 [,1] [1,] 0.110887 11