EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: STA 1002 Statistikk og sannsynlighet 2. Dato: Fredag 1. juni Tid: Kl 09:00 13:00. Sted: Åsgårdvegen 9

Transkript

1 FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA 1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Dato: Fredag 1. juni 2012 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator. Kvaløy & Tjelmeland: Statistiske tabeller. 4 sider (2 ark) egne notat. Oppgavesettet er på 13 sider inklusiv forside Kontaktperson under eksamen: Georg Elvebakk Telefon:

2 VIKTIG: Du kan fritt bruke alle R-utskrifter, tabeller etc. som står bak i oppgavesettet. Men i disse utskriftene vil noen av tallene være erstatta av?. Om ikke anna er spesifisert skal signifikansnivået tester være 5%. Deloppgavene vil telle likt ved vurderinga. Oppgave 1 I denne oppgava skal vi se på data fra en bedrift som produserer ulike ventiler til bruk i industrien. Ventilene blir produsert enkeltvis etter oppdrag, og det er veldig viktig at oppdragsgiveren får ventilen så raskt som mulig. Dataene nedenfor viser tid (i uker) over hvor lang tid det tok før oppdragsgiver mottok den bestilte ventilen. Vi ser på seks ulike typer ventiler, der den ene er en kontrolltype (type K, gammel modell) og de fem andre er nyutviklede modeller (A, B, C, D, E). Vi kaller ventetidene for Y ij, det er 6 typer (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6), og i tilleg har vi informasjon om på hvilken ukedag bestillinga kom (j = 1, 2, 3, 4, 5): Ventiltype Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag y i K A B C D E Vi skal først lage en modell der vi ikke tar hensyn til ukedagene, bare ventiltypene. a) Sett opp en envegs variansanalysemodell modell for ventetidene som funksjon av ventiltype. Hva er forutsetningene i denne modellen? Skriv opp uttrykket for SS E, og forklar hvorfor SS E /σ 2 vil bli kikvadratfordelt med 24 frihetsgrader under nullhypotesen. Sett opp og utfør en test for om forventa ventetid er ulik for de seks ventiltypene. Bedriften mistenker at ventetida vil påvirkes av hvilken ukedag de mottok bestillinga. De plukka derfor ut tilfeldig valgte bestillinger med de ulike ventiltypene på alle ukedager. b) Sett opp en modell med både ventiltype og ukedag.. Utfør en test om om forventa ventetid er ulik for de seks ventiltypene. Utfør simultane tester for om de andre ventiltypene skiller seg fra kontrolltypen når det gjelder ventetid. 2

3 Oppgave 2 I denne oppgåva skal vi hjepe globetrotteren Fred med å analysere prisdata fra 21 byer i ulike deler av verden: By Y X1 X2 X3 X4 Luanda London Dublin Paris Roma Amsterdam Berlin Aten Brussel Madrid Praha Waszawa Zagreb Tokyo Beijing Sydney New York Buenos Aires Johannesburg Vancouver Moskva Alle data er i amerikanske dollar, og variablene er: Y X1 X2 X3 X4 Leiepris (per måned) for leilighet med to soverom og høg standard. Pris for en kinobillett. Pris for en musikk-cd. Pris for et hamburgermåltid. Pris for en liter melk. Målet er å bruke forklaringsvariablene X1, X2, X3 og X4 (som er enkle å få informasjon om) til å modellere variabelen Y. En slik modell vil kanskje kunne nyttes andre steder hvor en mangler god informasjon om leiepris. a) Fred har mest tru på X3 (hamburgerpris) som forklaringsvariabel. Sett opp en lineær regresjonsmodell for Y som funksjon av X3, med forutsetninger. Finn den estimerte regresjonsmodellen fra utskriftene. Sett opp og utfør en test for om det er signifikant lineær sammenheng mellom Y og X3. Fred lurer på om det kan lønne seg å trekke inn noen av de andre forklaringsvariablene i tillegg til X3 i modellen. b) Utfør en test for om de andre forklaringsvariablene er (simultant) signifikante i en modell som allerede inneholder X3. Skriv opp den estimerte modellen med alle fire forklaringsvariablene. Rekn ut R 2 og Radj 2 for den enkle og fulle modellen, og forklar hva disse måler. Fred vil nå bruke den fulle modellen til å studere leieprisen. 3

4 c) Hva blir estimert leiepris i en by med x1 = 7, x2 = 5, x3 = 15 og x4 = 1? Finn et intervall som med 95% sannsynlighet inneholder leieprisen i en (ny) by med de samme verdiene for forklaringsvariablene. Fred er ikke heilt fornøyd med modellen. Han har en mistanke om at hva slags type land byen ligger i påvirker leieprisen. Han innførerer derfor en variabel, Z, som indikerer om byen er i et land som er medlem av OECD (tenk i-land) eller ikke. Fred rekner ikke de tre øst-europeiske byene Praha, Warszawa og Zagreb som OECD-byar, sjøl om de nå er blitt medlem av organisasjonen. By Y X1 X2 X3 X4 Z ZX3 Luanda London Dublin Paris Roma Amsterdam Berlin Aten Brussel Madrid Praha Waszawa Zagreb Tokyo Beijing Sydney New York Buenos Aires Johannesburg Vancouver Moskva Merk at Fred òg har innført en samspillsvariabel mellom Z og X3. Fred vil helst ikke ta med unødvendige variabler i modellen, så han bruker en metode kjent som forlengsutvelging for å komme fram til en god modell. d) Forklar i grove trekk hvordan denne metoden virker, og hva som skjer i utvelgingsprosessen for leieprismodellen. Skriv opp den estimerte sluttmodellen. Forklar hva det innebærer i praksis at parameteren for Z blei 1747 og for ZX Bruk residualplottet til å vurdere om det er noen av forutsetningene i modellen som er oppfylt eller ikke? 4

5 Oppgave 3 I denne oppgava skal vi undersøke spiresannsynligheten for en ny type blomsterfrø. Vi planter n blomster, og registerer hvor mange av disse som spirer, x. Vi skal her anta at frøene spirer uavhengig av hverandre, og at sannsynligheten for å plante et frø som spirer er p. Antall som spirer er da binomisk fordelt med sannsynlighet p: ( ) n f(x p) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n. x a) Forklar hvorfor likelihooden her bare blir lik sannsynlighetstettheten? Bruk sannsynlighetsmaksimering til å finne en estimator for p. Hva blir estimatet for p om vi har planta n = 30 frø og det var x = 11 spirer? Vi skal nå estimere P ved hjelp av bayesanalyse. Basert på erfaring fra andre beslekta blomsterplanter meiner vi at parameteren P sjøl er trukket fra ei betafordeling: π(p) = pα 1 (1 p) β 1, 0 p 1. B(α, β) Her inngår betafunksjonen: B(α, β) = Γ(α) Γ(β) Γ(α+β). b) Finn aposteriorifordelinga til P gitt dataene, π(p x). Hva slags fordeling er dette? Finn et bayesestimat for P som moden (toppunktet) i aposteriorifordelinga. Om vi bruker α = β vil apriorifordelinga alltid være symmetrisk rundt 1/2 (forventninga). c) Forklar hva som skjer med apriorifordelinga når 1) α = β = 1 og når 2) α = β og hvordan dette vil påvirke aposteriorifordelinga og estimatet. Finn eit bayesintervall for P når α = 3, β = 3 og dataene er som før. Vi tenker oss nå at vi gjør et nytt forsøk med n 0 frø fra den samme frøtypen, og vil finne ut hvor mange suksesser, X 0, vi vil få. I ikke-bayesiansk analyse ville vi ha funnet et prediksjonsintervall for X 0. I bayesanalyse kan en finne en (prediktiv) marginalfordeling for nye observasjoner. Husk at vi nå har at: ( ) n0 f(x 0 p) = p x 0 (1 p) n 0 x 0, og apriori er nå π(p x). x 0 d) Finn simultanfordelinga for X 0 og P. Finn marginalfordelinga til den framtidige X 0. 5

6 > summary(aov(tid~type,data=ventil)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) type e-07 Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * > summary(aov(tid~dag+type,data=ventil)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) dag ** type ??? Residuals? ? Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

7 > summary(lm(y~x3,data=leiepris)) Call: lm(formula = Y ~ X3, data = leiepris) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) X ?? Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 19 degrees of freedom Multiple R-squared:?, Adjusted R-squared:? > anova(lm(y~x3,data=leiepris)) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X ?? Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

8 > summary(lm(y~x1+x2+x3+x4,data=leiepris)) Call: lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4, data = leiepris) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) X X X ** X ** Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 16 degrees of freedom Multiple R-squared:?, Adjusted R-squared:? F-statistic: on 4 and 16 DF, p-value: > anova(lm(y~x1+x2+x3+x4,data=leiepris)) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X *** X X ** X ** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * > X <- as.matrix(cbind(rep(1,21),leiepris[,c(2,3,4,5)])) > solve(t(x)%*%x) rep(1, 21) X1 X2 X3 X4 rep(1, 21) X X X X > x0 <- matrix(c(1,7,5,15,1)) > t(x0)%*%solve(t(x)%*%x)%*%x0 [,1] [1,]

9 > step(lm(y~1,data=leiepris),y~x1+x2+x3+x4+z+zx3,direction="forward") Start: AIC=284.7 Y ~ 1 Df Sum of Sq RSS AIC + X X X <none> X ZX Z Step: Y ~ X3 AIC= Df Sum of Sq RSS AIC + X X <none> ZX Z X Step: AIC= Y ~ X3 + X4 Df Sum of Sq RSS AIC + X <none> ZX X Z Step: AIC= Y ~ X3 + X4 + X1 Df Sum of Sq RSS AIC + ZX Z <none> X Step: AIC= Y ~ X3 + X4 + X1 + ZX3 Df Sum of Sq RSS AIC + Z <none> X Step: AIC= Y ~ X3 + X4 + X1 + ZX3 + Z Df Sum of Sq RSS AIC <none> X Call: lm(formula = Y ~ X3 + X4 + X1 + ZX3 + Z, data = leiepris) Coefficients: (Intercept) X3 X4 X1 ZX3 Z

10 > summary(lm(y~x1+x2+x3+x4+z+zx3,data=leiepris)) Call: lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4 + Z + ZX3, data = leiepris) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) X ** X X *** X Z ZX * Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 14 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 6 and 14 DF, p-value: 2.372e-05 > anova(lm(y~x1+x2+x3+x4+z+zx3,data=leiepris)) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X e-05 *** X X *** X *** Z * ZX * Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

11 Studentifiserte residualer Tilpassa verdier 11

12 Betafordelings-tabell, α=shape1, β=shape2: > low <- data.frame(matrix(0,ncol=30,nrow=30)) > for (i in 1:30) for (j in 1:30) low[i,j] <- qbeta(0.025,shape1=i,shape2=j) > attributes(low)$names <- as.character(seq(30)) > round(low,3)

13 Betafordelings-tabell, α=shape1, β=shape2: > upp <- data.frame(matrix(0,ncol=30,nrow=30)) > for (i in 1:30) for (j in 1:30) upp[i,j] <- qbeta(0.975,shape1=i,shape2=j) > attributes(upp)$names <- as.character(seq(30)) > round(upp,3)