Oppgave r( t) v( t) dt t dt, t dt, t dt t +, t +, t +. d d d a( t) v '( t) t, t, t,6 t,t dt dt dt F ma m t t Gitt en hastighetsvektor v( t) t, t, t.,6, Oppgave Greens setning: δq δ P I ( Pdx + Qdy) ( ) da δ x δ y P y x, Q 7x + y D δq δ P δ δ + δ x δ y δ x δ y (7x y ) ( y x ) 7 I da da da 6 da er arealet av en sirkel med radius. D D D Oppgave Figur av vektorfeltet: Kurven beskrives ved x cos t, y sin t, t, F y x t t r t t v r t t [, ] [ sin,cos ], [ cos,sin ], ' [ sin,cos ] F dr F v dt sin t, cost sin t, cos t dt (sin t + cos t) dt dt t t t
Oppgave a Vektorfeltet F F( x, y, z) y z, xyz, xy z [ P, Q, R]. ex ey ez δ δ δ F xyz xyz y z y z yz yz δ x δ y δ z ` 6 6, ( ),,, P Q R Feltet er konservativt. Potensialfunksjonen f : f Pdx y z dx xy z + g( y, z) + f Qdy xyz dy xy z + h( x, z) + f Rdx xy z dz xy z + i( x, y) + Dette er oppfylt når: g( y, z) h( x, z) i( x, y) K Potensialfunksjonen f blir da f ( x, y, z) xy z + K F dr f f + K + K (,,) (,,) ( ) 8 Oppgave b Bestemmer F dr ved å parametrisere den rette linjen mellom punktene. P P F y z xyz xy z [,, ],,, [ x, y, z] [,, ] + t [,, ], t [,] x + t dx dt, y t dy dt, z t dz dt F dr y z, xyz, xy z + + t t t 6 6 t 6 dx, dy, dz ( y z dx xyz dy xy z dz) (t t dt + ( + t)t t dt + ( + t) t t dt) (t + 8t + 8t + t + t ) dt (t + t ) dt t + t + 8
Oppgave Beskriver området med kulekoordinater: x ρ sinϕ cos θ, y ρ sinϕ sin θ, z ρ cosϕ x + y + z ρ sin ϕ cos θ + ρ sin ϕ sin θ + ρ cos ϕ ρ ϕ θ θ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ sin (cos + sin ) + cos sin + cos ρ ϕ ϕ ρ ρ (sin + cos ) ) z x + y ρ cosϕ ρ sin ϕ cos θ ρ sin ϕ sin θ + ρ ϕ ρ ϕ θ θ ρ ϕ ρ ϕ cos sin (cos + sin ) cos sin ρ cosϕ ρ sinϕ tanϕ ϕ ) Vi får da følgende områdebeskrivelse: { [ } (,,, >,,,, dv sin d d Det søkte volumet blir: θ ρ ϕ ρ V dv dθ ρ dρ sinϕ dϕ ρ d ρ cosϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ ρ ϕ ϕ θ ( ) ( ) d ( ) ( ) 8 6 ρ ρ ρ ρ Merknad ) og ) : ρ og ϕ kan også settes opp uten utledning. n alternativt tolkning av oppgaven kan være følgende områdebeskrivelse: { [ [ ]} (,,, >,,,, dv sin d d Det søkte volumet blir da: ϕ V dv dθ ρ dρ sinϕ dϕ ρ dρ cosϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ ρ ϕ ϕ θ ρ θ ρ ρ 8 8 d ρ ρ ρ. Som en digresjon merker vi oss at summen av disse to volumene er lik volumet av en halvkule med radius : V halvkule 6
Oppgave 6a Figur av rotasjonsparaboloiden: Gitt vektorfeltet F F( x, y, z) [ x, y, z]. δ x δ y δ z divf + + + + δ x δ y δ z Fluksen ut gjennom legemets overflate ved divergenssetningen: φ F ds divf dv dv dv 8 S Oppgave 6b z f x y x y r z (, ), ( ) ( ) m V 8, ρ x, y, på grunn av symmetri. z z ρ dv z dv m 8 z r Figur i zr-planet: Vi får følgende områdebeskrivelse: {(,, ) [, >, [, ],, } θ r z θ r z r dv rdrdθdz r r θ ( ) r z r r z d rdr z dz r dr z r r dr 8 8 8 θ 6 8 r(6 8 r + r ) dr (6r 8 r + r ) dr 8 8 r r + r r r 6 8 ( + 6 ) ( x y z),,,, 6 8 6
Oppgave 7 Gitt vektorfeltet F( x, y, z) [ x, y, z] Omformer uttrykket for planet: x y z x + y + z + + og et plan S er gitt ved x + y + z i første oktant. Kan da tegne figur av flaten: Omformer på ny uttrykket for planet for områdebeskrivelse for beregning av fluksen opp fra planet. x + y + z z x y, x + y + z z y x n zx, z,,, D x, y x,, y, x y {( ) } Fluksen φ opp gjennom flaten: φ F ds F n ds x, y, z,, da x, y, x y,, da S S D D x ( ) x + y + x y da da ( dy ) dx ( x) dx D D x y x x x ( x ) Dobbeltintegralet kunne også ha vært beregnet ved å se på arealet av trekanten D. Oppgave 8 Deriverer flaten z + x + y med hensyn på x og y. z, z. x y {(, ) [, ], }, D x y x y x x i xy-planet gir integrasjonsgrensene. Figur av D : Arealet av den etterspurte delen av planet: D x x y x y x x A + z + z da dx + + dy x x dx ( )