. TRYKKTAP OG TEMPERATUR I RØRLEDNINGER Trykk og temeratr i rør Trykkta avhenger sterkt av diameter (d 5 ) Hydrater i ndervannsledninger avhenger temeratr Diameter og maksimm lengde Prosessrør -6-00 m Brønnstrømsledninger (flowline) 4-00-000 m Undervannsledninger (sbsea) 6-0 0-00 km Gassrørledninger 8-4 00-000 km ID, OD og nominell diameter (og ANSI Pie Schedles ) Skisse av gassrørledning (tverrsnitt), se nedenfor Trykkta i rør Ikke-komressibel strømning (olje, vann) som eksemel Totaltrykkta (3 ledd) Trykkta.g.a. tyngdekraft Trykkta.g.a. aksellerasjonskraft Trykkta.g.a. friksjonskraft Kraftbalanse (tledning) Trykkta over element (kraft er strømningsareal) Skjersenning over element (kraft er veggareal) Emirisk forhold mellom veggskjær og kinetisk energi Resltatet er Darcy-Weisbach ligningen (brkes for laminær og trblent strømning) Friksjonsfaktor Friksjonsfaktor mot Reynoldstall Laminær strømning, f=64/re Blasis, brkes for glatte rør og Re < 0 5 (overslagsberegninger) Haaland, ekslisitt, beste ligningen, n= for væske og n=3 for gass Forskjellig faktorer, Darcy-Weisback=Moody=4xFanning Baseres å gjennomsnittlig hastighet ( gjennomsnitt ~ 0,8 maksimm ) Rhet, 5 til 50 µm (se tabell) Sammenligning av trykkta P.g.a. tyngdekraft, 6,9 bar P.g.a. friksjonskraft, 0,68 bar Temeratr i rørledninger Utfellinger temeratravhengig Hydrat, voks, asfaltener Ligning for temeratr fra innlø til tlø i strømmende rør Ligning for temeratr ved nedkjøling (segment av rør med like temeratrbetingelser) Temeratr mot avstand sammenlignet for lav-u og høy-u og sammen med hydratiseringstemeratr, se figr nedenfor
Ligninger for strømning i horisontale rør Se notat å Trykktasligninger for rørledninger Maksimm strømningshastighet (se notat) Strømning av væske i rør (tabell) Strømning av gass i rør (ligning) Strømning av gass/væske blandinger (tofase) i rør (ligning) Tyiske verdier (egne tommelfingerregler) Trykk og temeratr å brønnhode ca. 80 % av reservoarverdier Strømningshastighet væske -4 m/s, gass 0-0 m/s Trykkgradient gassrørledninger 0-0 bar/00 km Hastighetsrofiler Hastighetsrofil i laminær og trblent strømning (med sjikt) Laminær hastighetsrofil gis ved = (-/4µ)(d/dx)(R -r ) Trblent hastighetsrofil gis ved niversell hastighetsrofil + = y + osv. (se notat Universell hastighetsrofil ) og figr nedenfor Trykkta over ventiler o.l. Pressre loss coefficient (taskoeffisent) Δ K = ρ Gate valve (Alied Flid Dynamics Handbook, Blevins 99). Det større rørdiameteren, desto mindre effekten av ventilen. Hastigheten [m/s] er hastigheten i røret, ikke selve ventilen.
Tverrsnitt av gasstransortrør til havs. Friksjonsfaktor mot Reynoldstall hvor effekten av relativ rhet, k/d, vises i trblent strømning.
Blasis friksjonsfaktorligning f = 0,36 0,5 Re Hydralisk glatte rør Re 00.000 Haalands friksjonsfaktorligning f,8 6,9 = log n Re n k + 3,75d,n n = 3 for gass n = forvæske Trykkgradient i gassrørledninger Nordsjøen, Sletfjerding (999) Canada, Hghes (993)* Trykkta (bar/00 km) 6 (snitt for 8 store rørledninger) 5-5 *Mokhatab o.a. (006, s. 46)
Størrelse å rhet i rør Temeratrrofil mot avstand, når varmeovergangskoeffisienten er stor kjøles rørledningen fortere ned og hydrat dannes.
(McCabe et al. (993) Unit Oerations of Chemical Engineering)
Kraftbalanse for strømning i rør For et volmelement ΔL langt er trykktaet Δ stort. Trykktaet gjelder for strømningsarealet πr mens skjersenningen virker å veggarealet πrδl (omkrets ganget med lengde). Veggskjersenningen τ (wall shear stress) har enheten N/m. Kraftbalansen kan skrives slik at skjersenningen kan ttrykkes Δπr = πrδlτ r Δ τ = ΔL I følge tradisjon, relateres veggskjersenning i rør til kinetisk energi er volm med den emiriske ligningen τ = 8 hvor f er friksjonsfaktor. Skjersenning og kinetisk energi er volm har den samme enheten [N/m =J/m 3 ]. Ved brk av de to ttrykkene for skjersenning r Δ = ΔL fρ 8 fρ reslterer den kjente Darcy-Weisbach ligningen for trykkta i rør Δ = f ΔL ρ d Ligningen brkes for trblent strømning, men også for laminær strømning. Friksjonsfaktoren er avhengig Reynolds-tallet. I trblent strømning er friksjonsfaktoren også avhengig av rheten til veggen. I laminær strømning er friksjonsfaktoren ikke avhengig av rheten å veggen. Friksjonsfaktorene bestemmes ekserimentelt, dvs. er emirisk faktor. Friksjonsfaktoren er roorsjonal med Elers-tall som er definert
eller E = ρ Δ E = ρ og ttrykker forholdet mellom trykk-krefter og treghets-krefter. Det samme forholdet brkes for trykkta i ventiler og annet tstyr som ikke har en godt definert lengde K = Δ ρ hvor K er trykktaskoeffisienten. Den raorteres i standard bøker for forskjellig tstyr. Friskjonsfaktoren kan kalles Darcy-Weisbach friksjonsfaktor eller Moody friksjonsfaktor. Hvis /8 ikke hadde vært brkt, men heller ½ som for kinetisk energi, ville friksjonsfaktoren fått en annen tallverdi, dvs. 4-ganger mindre. Dermed ostår den såkalte Fanning friksjonsfaktor f = f = 4 f Darcy Moody Fanning Masse: M [kg] Hastighet: [m/s] Kinetisk energi: m M kg s = Nm = J Tetthet: ρ [kg/m 3 ] Kinetisk energi er volm: ρ kg 3 m m s = Nm J N = = 3 3 m m m Trykk: N m Nm J = = 3 3 m m
Trykktasligninger for rørledninger Det totale trykktaet i rørledninger og brønner består av tre ledd Δ = Δ g + Δ a + Δ f hvor indeksene g, a og f står henholdsvis for gravitasjonskraft (tyngdekraft), akselerasjonskraft og friksjonskraft. De tre leddene kan ttrykkes Δ Δ a Δ g f = ρg sinαδl = ρδ f = ρ ΔL d Vinkelen α er målt fra horisontalt og lengden ΔL reresenterer rørlengde, ikke høyde over/nder bakken. Trykktaet grnnet friksjon er Darcy-Weisbach ligningen. Trykkta for væsker (olje og vann) I etrolemsrodksjon kan trykktasligningene ovenfor brkes direkte for væsker som olje og vann (ikke komressible flider) men ikke for gass (komressible flid). For å illstrere brken av ligningene kan følgende størrelser brkes: = 3 m/s d = 0, m ρ = 700 kg/m 3 f = 0,0 Δ L = 000 m Trykkta grnne friksjon er det samme i horisontale og vertikale rør 0,0 Δ f = 700 3 000 = 630,000 Pa = 6, 3bar 0, Trykkta grnne tyngdekraft er ikke til stede i horisontale rør, kn i vertikale og skråstilte rør. For et vertikalt rør, for eksemel rodksjonsrør i en oljebrønn (kn olje strømmer i røret) regnes trykktaet Δ g = 700 9,8 sin 90 000 = 6,867,000 Pa = 68, 67bar For ikke komressible flider som olje og vann, ostår trykkta grnnet akselerasjon kn ved betydelige forandringer i strømningsarealet. Følgende to beregninger viser trykktaet grnnet akselerasjon når strømningshastigheten halveres til,5 m/s eller dobles til 6 m/s, henholdsvis Δ a Δ a = 700 3 (3,5) = 350 Pa = 0,0350bar = 700 3 (6 3) = 6300 Pa = 0,06300bar
Sammenligning av resltatene ovenfor viser at trykkta grnne gravitasjon er 0-ganger større enn trykkta grnnet friksjon som igjen er mer enn 0-ganger større enn trykkta grnnet akselerasjon. I raktiske sitasjoner for rørledninger og brønner, er det sjelden nødvendig å ta med trykkta grnne akselerasjon. I gass- og tofasebrønner kan trykkta grnne akselerasjon være viktig fra brønnhodet og noen hndre meter nedover i brønnen. Strømningsligningen For strømning i rør og rørledninger ten varmeovergang brkes strømningsligningen f ρ d + ρ d + dx + ρg sinαdx = 0 d Her er den ttrykket som trykkbalanse. Den enkle Δ ligningen resentert innledningsvis ovenfor for det totale trykkta i rørledninger er det integrerte formen av strømningsligningen. Strømningsligningen ttrykker det samme som bevegelsesmengdeligningen (momentligningen) for rørledninger. Bevaring av kraftmoment er et niversalt lov, kalt Newtons andre lov. Mens kraftmoment er definert som masse ganget med hastighet, gjelder det samme for masserate ganget med hastighet, som er det samme som kraft. Kraftbegreet brkes i ligninger for kraftbalanse. Hvis strømningsligningen ttrykt som trykkbalanse deles å tetthet, ttrykker den energibalanse er masseenhet d f + d + dx + g sinαdx = 0 ρ d Ligningen viser de mekaniske energiformene gjeldene i strømning av flider i rørledninger ten varmeovergang. Termisk energi er ikke tatt med. Trykkta for natrgass Ved design og drift av rørledninger (for gass og væsker) ostår behov for å beregne trykkta, diameter og strømningsrate. Trykkta kan beregnes for gitt diameter og rate; diameter kan beregnes for gitt trykkta og rate; rate kan beregnes for gitt trykkta og diameter. For alle beregningene trengs det også egenskaene til flidene og rørveggen (rhet). Forskjellen i beregninger for rørledninger som fører gass og væske er komressibiliteten. For raktiske formål er gass et komressibelt flid medim, mens væsker som olje og vann er ikke komressible. Det totale trykktaet i rørledninger og brønner består av tre ledd Δ = Δ g + Δ a + Δ f
hvor indeksene g, a og f står henholdsvis for gravitasjonskraft (tyngdekraft), akselerasjonskraft og friksjonskraft. For strømning av komressible natrgass varierer tettheten langs strømningsbanen. Den variere mer i brønner enn i rørledninger. Trykk grnnet gravitasjonskraft (tyngdekraft) kan ttrykkes M = ex L zrt ( g sinα ) Δ Ligningen kan brkes for rørledninger og brønner. Hvis er trykket ved brønnhode er trykket ΔL ned i brønnen, for eksemel. For en vertikal brønn er sin α =. Ligningen kan også skrives M Δ g = ex ( g sinα ) ΔL zrt Trykket grnnet akselerasjon kan ttrykkes ρ d = d Masseflksen ρ = konstant i rørledninger og brønner og er lik m/a. Derfor kan ligningen enkelt skrives m Δ a = ρ Δ = Δ A Det er ikke mlig å tlede searate ligninger for trykkta grnne akselerasjon og friksjon fordi begge avhenger av masseraten. Prodktet ρ gir masseflks med enheten (kg/s.m ) og kan derfor også ttrykkes ved masserate delt å areal og m ρ = A = m ρa Momentligningen for stasjonær, isotermisk og endimensjonal strømning i rør og rørledninger kan skrives d( ρ ) d = dx dx fρ d ρg sinα Fra differensialregning kan akselerasjonsleddet skrives
d( ρ ) = d( ρ ) = ρd + d( ρ) Siden ρ er konstant gjelder d( ρ ) = ρd og momentligningen kan skrives d d ρ = dx dx fρ d ρg sinα Tettheten til natrgass kan beregnes fra den ikke-ideell gass ligningen ρ = M zrt Innsetting for ρ og ρ i momentligningen ovenfor gir m d A dx = d dx fm Ad Hastigheten kan ttrykkes M zrt g sinα og m = = ρ A m zrt A M m zrt d = d A M Videre innsetting for hastigheten gir derfor m zrt A M d dx = d dx fm d A zrt M M zrt g sinα og d dx m zrt A M d dx = d dx m zrt fm = A M A d zrt M M zrt g sinα Ligningen kan nå omskrives til
m zrt A M dx = d fm zrt Mg sinα A d M zrt. For en horisontal rørledning ersin α =0 og ligningen kan skrives m zrt A M dx = fm zrt A d. M d For å få bedre oversikt over integreringen kan ligningen skrives eller dx = a b d a dx = b d b Integralformen kan skrives slik at a b b a b d d = ln b Løsningen blir da eller dx [ ] = L d ln f [ ] L 0 A d M = fm zrt da M fm zrt d ( ) L = 0 ln f +
Det første leddet reslterer fra friksjon mens det andre leddet reslterer fra akselerasjon (hovedsakelig). Leddet med trykket i andre er vanligvis 0 0 større en logaritmiske leddet i gassrørledninger. For vanlige trykktasberegninger kan tilnærmingen da M fm zrt ( ) + L 0 brkes. Vi observerer videre at det logaritmiske leddet kan skrives = = ln ln ln Leddet med trykket i andre kan skrives ( ) = ( + ) ) ( Tetthet til gass gis ved ligningen ρ = M zrt Gjennomsnittstetthet gis ved ligningen ρ = M zrt hvor gjennomsnittstrykket er gitt ved = + Med algebra kan det vises at trykktaet beregnes ved = f L ρ d som er Darcy-Weisbach ligningen, brk for å beregne trykkta i rør som fører ikkekomressible væsker. Ligningen for trykkta i et gassrør, tledet ovenfor, kan brkes for å sjekke den enkle ligningen for hydrostatisk trykkta i en brønn, for eksemel. For en statisk brønn, ikke noe strømning (m=0) kan ligningen skrives dx = d Mg sinα zrt
som ved integrering gir Mg sinα = ex L zrt For å knne integrere totalttrykket (dvs., ikke anta horisontalt rør) må det antas at z og T er konstant, eller at det brkes snittverdier z og T for rørlengden L. En lang rørledning kan bli delt o i flere segmenter for å gjennomføre beregninger. Friksjonsfaktoren f antas også å være konstant, eller at det brkes en snittverdi f. Integrering gir fm M g sinα + zrt d ln + da z R T d ln = 0 sin sin + L Mg α f fm M g α f + da z R T
Temeratr i rørledning Strømnings- og temeratrforhold antas stabile. Strømmende flid i rørledningen kjøles ned fra tside. Ikke tatt hensyn til eventell Jole-Thomson kjøling. Rørledningen omringet kaldt sjøvann (som lett konvekterer) ved konstant temeratr. m = Masserate strømmende flid (innvendig rør) T = Konstant sjøvannstemeratr (tvendig rør) T = Flidtemeratr innlø T = Flidtemeratr tlø L = Rørlengde Rørledningen betraktes som lang varmeveksler med kjøling fra tsiden. q = UAΔ T LMTD Kjøleeffekten å flidet i rørledningen ttrykkes q = m C (T T ) U = Varmeovergangskoefficient ΔT LMTD = Logaritimisk middlere temeratr A = Areal d = Rørledningsdiameter C = Varmekaasitet flid Logaritimisk middlere temeratr ΔT LMTD ( T T ) ( T T ) = T T ln T T Konstant sjøtemeratr gir ΔT LMTD T T = T ln T T Varmeovergangen fra tsiden gir kjøling av flidet i rørledningen. ( T T ) mc ( T T ) = Uπ d( L) T T ln T T
Omskrives ln T T T T Uπd(L) = mc ln T T Uπd ( L) = T T mc Resltatet blir T Uπd = T + ( T T ) ex L mc Vanlig for stålrør ten isolering å havbnnen 5-5 W/m.K. Sesifikke verdier: Stålrør 4 diameter med,5, og 3 betongkae har U-verider 6,5,,5 og 9, W/m K. Isolerte rørledningen har U i området - W/m K.
Nedkjøling ved innstenging av rørledning Varmetransort (kjøling) tenifra (T er tvendig temeratr) q(t)=ua[ T ( t) ] T Kjøling av flidet inni røret q(t) = ρvc dt dt U = varmeovergangskoeffisient (W/m.K) T(t) = tidsavhengig temeratr innvendig av røret (K) T = temeratr vann/water tvendig av røret (K) UA [ T(t) T ] w = ρvc dt dt UA ρvc t t dt = T T T(t) [ T ] dt w UA (t ρvc T Tw t) = ln T T w T T = UA ( T T ) ex Δt ρvc Resltatet blir: T UA = T + ( T T ) ex Δt ρvc A = πdl πd V = 4 L Legg merke til at UA 4U Δt = Δt ρvc ρc d
Eksemel: U = W/m o K d = 0,3 m ρ = 800 kg / C = 3 m,5kj / kg o K 4U dρ C 3 4 0 = 0,3 800,5 = 3,33 0 ex 6 ( 3,33 0 6 3600) = ex (-0,048) = 0,95 o ( 50 5) 0, 95 o T = 5 + = 5 o + 43 = 48 o C
Maksimm strømningshastighet NORSOK P-00 (999) For væsker gjelder følgende tabell, som viser at for vanlig olje i vanlig stål skal hastigheten ikke overstige 6 m/s. Uten nærmer evalering kan 7 m/s brkes for rstfri stål. For gasser gjelder følgende tekst, som viser en formel og maksimm å 60 m/s, hvilke enn er lavere. For tofase rørledninger, strømning av gass/væske blanding, gjelder formelen vist nedenfor. Tettheten til blandingen gis ved ligningen ρ = αρ + ( α) G ρ L hvor senket skrift G og L betyr gas og liqid.
Universell hastighetsrofil (fra McCabe o.a. 993) Definer τ * = = ρ f 8 * = friksjonshastighet τ = veggskjærsenning ρ = tetthet = gjennomsnittlig hastighet (snitthastighet) f = friksjonsfaktor (Darcy-Weisbach) Definer videre + = + y = * y * ρ μ Derfor d dy + + = Integrerer og brker + = y + = 0 som nedre grense, derfor + = y + Dette er ligningen for laminært sjikte (viscos sblayer) som gjelder for y + < 5. Emirisk ligning for overgangssjikte (bffer layer) + + = 5,00ln y 3,0 som gjelder for 5 < y + <30 Prandtl s ligning for trblent sjikte (trblent core) + + =,5ln y + 5,5 som gjelder for y + > 30