Løsningsforslag, Ma-60, 8. februar 004 For sensor og kandidater.. Lineær uavhengighet Avgjør hvorvidt de følgende funksjonene er lineært uavhengige på den reelle tallinja: f(x) x g(x) 3x h(x) 5x 8x Svaralternativ : 5 f(x) 8 g(x) h(x) 0, altså er funksjonene lineært avhengige. Dette ser vi ved 3 utregning: Svaralternativ : Wronski... W (f, g, h) 5 f(x) 8g(x) 5x 83x 3 3 5x 8x h(x) f g h f g h f g h x 3x 5x 8x 6x 5 6x 0 6 6 9x + 0 + (60x 96x ) 0 ( 96x ) (60x 9x ) 0 Altså er funksjonene lineært avhengige.. Differensialligninger (a) Løs differensialligningen dy dx ex y
dy dx ex y dy dx ex e y e y dy dx ex e y dy dx dx e x dx e y dy e x dx e y e x + C y ln(e x + C) Det er ikke nødvendig og gir ikke ekstra uttelling å angi gyldighetsområdet for løsningen. (b) Se på differensialligningen y y 0y f(x) Finn formen på den partikulære løsningen når følgende funksjoner blir satt inn for f(x) : i. f(x) x ii. f(x) e 4x iii. f(x) e 5x Løsningsmetode : Løs den homogene differensialligningen y y 0y 0: Sett opp karakteristisk ligning r r+0 0, som gir r 4, r 5. Det gir oss at y H c e 4x +c e 5x. Vi sjekker da om funksjonene over eller noen av deres deriverte er med i y H, altså om de er løsninger av den tilhørende homogene differensialligningen. i. f(x) x. f (x). Verken x eller er md i y H, så da er y P Ax + B ii. f(x) e 4x. e 4x er ikke med i y H, så da er y P Ae 4x iii. f(x) e 5x. e 5x er med i y H. Vi må da prøve med xe 5x ; vi ser at xe 5x ikke er med i y H, så da blir y P xe 5x. Hvis kandidaten glemte å sjekke om xe 5x var med i y H gir det kun halv uttelling på denne oppgaven. Løsningsmetode : Innsetting. i. f(x) x: g(x) f (x). Vi setter inn i venstre side av ligningen: f f 0f 0 0x 0x 0
3. Laplace g g 0g 0 0 Så verken f eller noen av dens deriverte er løsninger av den tilhørende homogene ligningen. Derfor er y P Ax + B ii. f(x) e 4x : Vi setter inn i venstre side av ligningen: f f 0f 6e 4x 4e 4x 0e 4x 8e 4x 0 Så verken f eller noen av dens deriverte er løsninger av den tilhørende homogene ligningen. Derfor er y P Ae 4x iii. f(x) e 5x : Vi setter inn i venstre side av ligningen: f f 0f 5e 5x 5e 5x 0e 5x 0 Så f er en løsning av den tilhørende homogene differensialligningen. Vi prøver derfor med g(x) xe 5x : Vi setter inn i venstre side av ligningen: f f 0f (0 + 5x)e 5x ( + 5x)e 5x 0xe 5x (5x 5)e 5x 0 Så verken g eller noen av dens deriverte er løsninger av den tilhørende homogene ligningen. Derfor er y P Axe 5x Dersom kandidaten glemte å sette inn for og sjekke om xe 5x var en løsning av den tilhørende homogene differensialligningen vil det kun bli halv uttelling på denne oppgaven. (a) Bruk formler og tabeller for å finne Laplace-transformasjonen til følgende funksjoner: i. f(t) t sin(4t) ii. f(t) te 3t sin(4t) i. f(t) t sin(4t): Dette finner vi fra formel, seksjon. hos Haugan. L{t sin(4t)} L{8 t sin(4t)} 4 8L{ t sin(4t)} 4 s 8 (s +4 ) 8s (s +4 ) ii. f(t) te 3t sin(4t): Vi husker at faktorenes orden er likegyldig, og bruker det vi fant i forrige oppgave pluss formelen for parallellforskyving i s, altså at når L{f(t)} F (s), er L{e at f(t)} F (s a). L{te 3t sin(4t)} L{e 3t t sin(4t)} 8(s 3) ((s 3) +4 ) 8s 4 ((s 3) +4 )
Hvis en kandidat har brukt formel 7 i seksjon. hos Haugan og Derivasjon av transformert funksjon vil dette også gi full uttelling. (b) Bruk formler og tabeller for å finne den inverse Laplace-transformasjonen til følgende funksjoner: i. F (s) s + s + 4 ii. F (s) s s 4s + 8 iii. F (s) e 3s s s 4s + 8 i. Vi bruker formel 3 og 4 i. hos Haugan. L { s+ } s +4 L { s + } s + s + L { s } + L { s + cos(t) + sin(t) s + } ii. Vi bruker enten formel 7 og 8 i Haugan direkte, eller vi bruker resultatet over sammen med formelen for parallellforskyving i s. L { s s 4s+8 L { (s )+ e t L { s+ (s ) + } s + } e t cos(t) + et sin(t) e t (cos(t) + sin(t)) iii. Vi bruker resultatet over pluss formelen for parallellforskyving i t, som sier at når L {F (s)} f(t), er L {e as F (s)} f(t a)u(t a). L {e 3s s } s 4s+8 { (e(t 3) (cos((t 3)) + sin((t 3)))u(t 3) 0 når t < 3 e t 6 (cos(t 6) + sin(t 6) når t 3 (c) Løs følgende initialverdiproblem ved hjelp av Laplace: y + 3y e 3t ; y(0) 5 y + 3y e 3t L{y + 3y} L{e 3t } L{y } + 3L{y} s+3 sl{y} y(0) + 3L{y} s+3 sl{y} 5 + 3L{y} s+3 (s + 3)L{y} s+3 L{y} + 5 (s+3) s+3 y L { + 5 (s+3) s+3 y L { } + 5L { (s+3) s+3 y(t) te 3t + 5e 3t
4. Rekker og følger (a) Finn følgende grenser: i. lim 48 ii. lim + n iii. lim e sin(ln(+ n )) i. lim 48 48 ii. lim + n + lim n + 0 iii. lim e sin(ln(+ n )) e sin(ln(lim + n )) e sin(ln()) e sin(0) e 0 (b) Bestem om følgende rekker konvergerer: i. ii. iii. n n n n 0 0 n n ( ) n n + n 0 i. : Vi bruker forholdstesten: 0n n lim a n+ a n lim (n+) 0 0 n+ n 0 0 n lim (n+)0 0 n 0 lim ( + 0 n ( + lim 0 n < 0 Rekka er altså konvergent. ii.. Dette er en p-rekke med p <, så rekka er divergent. n iii. n n n n ( ) n n + : Dette er ei alternerende rekke med a n n+. Vi kjører alternerende rekke-test på den: ) 0 ) 0
. Er a n > a n+? Ja: > 0 n + > n + n + > n + n+ < n+ a n+ < a n. Er lim a n 0? Ja: lim a n lim n+ lim n+ 0 0 Rekka tilfredsstiller kriteriene i testen, og er derfor konvergent. (c) Finn Maclaurin-rekka til følgende funksjon: Maclaurin-rekka er n0 f(x) x 6 + 3x 3 8x + x f(x) x 6 + 3x 3 8x + x f(0) f (x) 6x 5 + 9x 6x + f (0) f (x) 30x 4 + 8x 6 f (0) 6 f (3) (x) 0x 3 + 8 f (3) (0) 8 f (4) (x) 360x f (4) (0) 0 f (5) (x) 70x f (5) (0) 0 f (6) (x) 70 f (6) (0) 70 n > 6: f (n) (x) 0 f (n) (0) 0 f (n) (0) x n n! x 0 + 0!! x + 6 x + 8! 3! x3 + 0 4! x4 + 0 5! x5 + 70 6! x6 + x 8x + 3x 3 + x 6 (d) Finn Fourier-rekka til følgende funksjon: f(x) x, π < x < π Siden f(x) x er en ulik funksjon vet vi allerede at konstantleddet og koeffisientene til cosinusleddene er 0, altså at a 0 0 og at a n 0 for n > 0. Det gjenstår å finne
koeffisientene til sinusleddene, b n : b n π π [ x sin(nx)dx π (sin(nx) nx cos(nx)) ] π n π π π π ( )n+ n (formel 53, s.0, Haugan) π (sin(nπ) nπ cos(nπ)) (sin(n( π)) n( π) cos(n( π))) n n (0 nπ( ) n ) (0 n( π)( ) n )) n n ( nπ( ) n ) nπ( ) n ) n Vi setter inn i formelen for Fourier-rekka: f(x) a 0 + n a n cos(nx) + n b n sin(nx) n sin(nx) ( ) n+ n 5. Bevis Bruk Maclaurin-rekker til å vise Eulers formel e iθ cos(θ) + i sin(θ) Vi setter inn iθ for x i Maclaurinrekken til e x : e iθ (iθ) n n0 ( n! ) (iθ) k + (iθ)k+ (k)! (k+)! (iθ) k + (iθ) k+ (k)! (k+)! (i ) k θ k + i (i ) k θ k+ (k)! (k+)! ( ) k θ k + i ( ) k θ k+ (k)! (k+)! ( )k θk (k)! + i ( )k θk+ (k+)! cos(θ) + i sin(θ)