Eksame FY045/TFY450 10. august 010 - løsigsforslag 1 Oppgave 1 Løsigsforslag Eksame 10. august 010 FY045/TFY450 Kvatemekaikk I a. Bølgefuksjoe ψ for første eksiterte tilstad er (i likhet med ψ 4, ψ 6 osv) atisymmetrisk, og har følgelig et ullpukt i origo, hvor deltabarriere sitter. Ifølge diskotiuitetsbetigelse skal da ψ være glatt i dette puktet, i likhet med ψ for tilfellet med β 0 (valig boks). Også uteom origo skal ψ oppfylle akkurat de samme betigelsee som for β 0 : dvs oppfylle Schrödigerligige, være lik ull for x ±a, og ikke ha flere ullpukter. Følgelig er ψ for β 0 idetisk med ψ for tilfellet β 0. Første eksiterte tilstad blir da gaske ekelt e helbølge-sius, med ullpukt i origo: Bølgefuksjoe for dee tilstade er ψ A si k x, med k π/a. Dette ka vi kotrollere ved isettig i de TUSL, som samme med de oppgitte eergie gir 0.01 m e a 0 Av dette ser vi at oppgitt TUSL E ( /m e )ψ k π ψ m e m e a. a 10 π a 0 31.4 a 0. b. Det ødvedige prisippet er at grutilstade gaske ekelt er symmetrisk, så vestre halvdel av ψ 1 er speilbildet av høyre halvdel. Skisse ser da slik ut: Begge halvdelee av grutilstade er siusformet, og kotiuitetskravet i x a iebærer at de for 0 < x < a ka skrives f.eks på forme ψ 1 B si[k 1 (x a)] (med B > 0). Vestre del (speilbildet) fier vi ved å skifte forteg på x, så for a < x < 0 er ψ 1 B si[k 1 (x + a)].
Eksame FY045/TFY450 10. august 010 - løsigsforslag Bølgetallet k 1 (og dermed eergie E 1 k 1/m e ) bestemmes ved hjelp av diskotiuitetsbetigelse. De logaritmisk deriverte er for x 0 + ψ 1/ψ 1 0 + k 1B cos[ k 1 a] B si[ k 1 a] k 1 cot k 1 a, og er for x 0 motsatt like stor (pga symmetrie til ψ 1 ). Isettig gir da k 1 a cot k 1 a m eβ a 00. [Vha dee ka e vise at k a k 1 a π/00, og at eergidifferase E E 1 blir som oppgitt i oppgavetekste.] c. For t > 0 blir bølgefuksjoe Ψ(x, t) 1 [ ψ1 (x)e ie 1t/ + ψ (x)e ie t/ ]. [Dee oppfyller Schrödigerligige, fordi de er e superposisjo av stasjoære løsiger, og de er lik de oppgitte tilstade for t 0.] Ved å spalte av e faktor exp( ie 1 t/) har vi Ψ(x, t) e ie 1t/ 1 [ ψ1 (x) + ψ (x)e i(e E 1 )t/ ]. Med ψ A si πx/a og ψ 1 B si[k 1 (a x)], der k 1 bare er ørlite gra midre e π/a og B av ormerigsgruer er bare ørlite gra midre e A, skjøer vi at ψ 1 og ψ er praktisk talt like for x > 0, og praktisk talt motsatt like for x < 0. Sasylighete for å fie elektroet i høyre halvdel av potesialet ved t 0 er derfor svært ær 1. Etter tide t π/(e E 1 ) T/ er bølgefuksjoe Ψ(x, T/) e ie 1T/ 1 [ψ 1 (x) ψ (x)], så ved dette tidspuktet er det like sasylig å fie elektroet på vestreside. Etter tide T π E E 1 er sasylighetstetthete de samme som for t 0, så dette er periodetide for oscillasjoe. Isettig av E E 1 10 4 /(m e a 0) gir T π 10 4 /(m e a 0) 4.136 10 15 evs 10 4 13.6 ev 3.04 10 1 s. d. Med farte E v π m e m e a blir tidsitervallet mellom hver kollisjo med barriere t 1 a v m ( e π (10πa 0) me a ) 0 100 π 100 4.136 10 15 evs/ 13.6 ev 1.5 10 14 s.
Eksame FY045/TFY450 10. august 010 - løsigsforslag 3 Med e trasmittert strømtetthet [ j t Re C e ikx ] ik Ce ikx C k im e m e og e ikommede strømtetthet j i k/m e er trasmisjoskoeffisiete T tr j t /j i C. Med ka π og C 1 1 + im eβ k 1 + im e 00 k m e a 1 + i 00 π har vi da T tr C [1 + (00/π) ] 1 (π/00).47 10 4. Sasylighete for å fie elektroet til vestre for barriere reduseres med e faktor 1 T tr for hver kollisjo. Ved tide t er atall kollisjoer t/t 1, slik at sasylighete er redusert til (1 T tr ) t/t 1 (exp( T tr )) t/t 1 exp( tt tr /t 1 ). Dee er lik 1/e for tt tr /t 1 1. Levetide er altså τ t 1 T tr 6.15 10 11 s. Vi ser at dee er omlag e faktor 0 gager større e periodetide uder pkt. b. Oppgave a. Med spikvatetallee s 1 1 og s 1 for partikkel 1 og, begreses de mulige verdiee av kvatetallet s for totalspiet til topartikkelsystemet av trekatulikhete s 1 s s s 1 + s, dvs 0 s. De mulige verdiee for s og m er altså s 0, med m 0, s 1, med m 0, ±1, s, med m 0, ±1, ±. Atallet tilstader av type s, m er altså gaske riktig 1 + 3 + 5 9. Tilstadee s, m ka skrives som lieærkombiasjoer av de 9 tilstadee m 1 m fordi de sistevte daer e (9-dimesjoal) basis for dette spisystemet. Da Ŝ1z m 1 m 1 m 1 og Ŝz m m m, følger det at Ŝ z m 1 m (Ŝ1z + Ŝz) m 1 m (Ŝ1z m 1 ) m + m 1 Ŝz m (m 1 + m ) m 1 m. Tilstade m 1 m er altså også e egetilstad til Ŝz Ŝ1z + Ŝz, med egeverdie m (m 1 + m ).
Eksame FY045/TFY450 10. august 010 - løsigsforslag 4 b. Tilstadee s 0, m 0, s 1, m 0 og s, m 0 har alle m 0, og ka da være lieærkombiasjoer av tilstadee 1 1, 0 0 og 1 1, som alle har m 0. Alle de øvrige tilstadee av type m 1 m har m m 1 + m 0, og ka følgelig ikke igå i de aktuelle lieærkombiasjoee. Siglett-tilstade 0, 0 har egeverdie S s(s + 1) 0. Fra de oppgitte formele følger det da at Vi har altså B A og C B A, 0, 0 A( 1 1 0 0 + 1 1 ). Da tilstadee i dette uttrykket er ortoormerte, får vi e ormert siglett-tilstad ved å velge (f.eks) A 1/ 3. Da de aktuelle lieærkombiasjoe har m 0, har vi Ŝ ( A 1 1 + B 0 0 + C 1 1 ) (Ŝ z + Ŝz + Ŝ Ŝ+) ( A 1 1 + B 0 0 + C 1 1 ) (Ŝ1 + Ŝ )(Ŝ1+ + Ŝ+) ( A 1 1 + B 0 0 + C 1 1 ) (Ŝ1 + Ŝ ) [A(0 + 1 0 ) + B( 1 0 + 0 1 ) + C( 0 1 + 0)] (Ŝ1 + Ŝ ) [ (A + B) 1 0 + (B + C) 0 1 ] [ (A + B) ( 0 0 + 1 1 ) + (B + C) ( 1 1 + 0 0 ) ] { (A + B) 1 1 + (A + B + C) 0 0 + (B + C) 1 1 }. Dermed har vi bevist de oppgitte formele og fuet at kostate er K. c. For s 1 skal Ŝ ha egeverdie, så vi må ha A + B A, A + B + C B og B + C C. Dette krever at B 0 og C A, så løsige er 1, 0 A( 1 1 1 1 ). Normerig oppås ved å velge (f.eks) A 1/. Kotroll av ortogoalitete: 0, 0 1, 0 1 3 (1 + 0 1) 0, q.e.d. For s skal Ŝ ha egeverdie ( + 1) 6. Vi må da ha A + B 3A, A + B + C 3B og B + C 3C, dvs B A og C B/ A, slik at, 0 A( 1 1 + 0 0 + 1 1 ). Normerig oppås ved å sette (f.eks) A 1/ 6. Kotroll av ortogoalitet: 0, 0, 0 1 + 1 0, q.e.d., 1, 0, 0 1 + 0 1 0, q.e.d.
Eksame FY045/TFY450 10. august 010 - løsigsforslag 5 Oppgave 3 a. Matrise-elemetee av perturbasjoe, tatt mellom grutilstade ( 0) og eksitert tilstad r, er (V 1 ) 0 (t) V 1 (t) 0 p 0 δ(t) x 0 p 0 δ(t) mω (a + a ) 0 p 0 δ(t) mω δ 1, idet (a + a ) 0 a 0 1. Ifølge 1.-ordes perturbasjosteori er da overgagsamplitude(e) a 0 (t) p 0 mω δ 1 1 t δ(t ) exp(iω 0 t )dt i t 0 ip 0 mω δ 1 iα 0 δ 1 (t 0 < 0, t > 0). ( ω 0 E E 0 ) ω Ifølge 1.-ordes perturbasjosteori har vi altså bare overgag fra grutilstade til 1. eksiterte tilstad, og overgagssasylighete er P 0 1 a 0 1 p 0 mω α 0. Ifølge disse resultatee er sasylighete for å fie oscillatore i de opprielige (gru-)tilstade P 0 1 P 0 1 α0. 1 Førsteordes perturbasjosteori er bare gyldig så lege amplitudee er tilærmet lik de verdiee de hadde i begyelsestilstade, Ψ(x, 0 ) ψ 0 (x). Resultatee ovefor er derfor e god tilærmelse dersom p 0 << mω, dvs dersom α 0 << 1. b. De eksakte amplitude for å fie oscillatore i grutilstade etter perturbasjoe er projeksjoe av Ψ(x, 0 + ) på ψ 0 (x). Vha det oppgitte itegralet, med A mω/ og B ip 0 /, fier vi at de er 0 ψ 0 (x) Ψ(x, 0 + ) dx ( ) mω 1/ π ( ) mω 1/ (π/a) 1/ exp(b /4A) π ( ) exp p 0 4mω exp( α 0/). ( mω π exp( mωx /) exp(ip 0 x/)dx ) ( ) 1/ 1/ ( π exp p 0 mω Sasylighete for å fie oscillatore i grutilstade er altså ( ) 0 0 exp p 0 mω exp( α 0), q.e.d. ) 4mω
Eksame FY045/TFY450 10. august 010 - løsigsforslag 6 Vi rekkeutvikler 0 exp( α 0) 1 α 0 + O(α 4 0). Gyldighetsområdet for 1.-ordes perturbasjosteori var α0 << 1, og vi ser at i dette området stemmer resultatet fra pkt. a med det eksakte. Utefor gyldighetsområdet ser vi at feile i 1.-ordesresultatet øker med α 0, og det måtte vi også vete. Det eksakte resultatet, P0 eks exp( α0), viser at sasylighete for å fie oscillatore i grutilstade går mot ull for store α 0, dvs år δ-sparket blir tilstrekkelig kraftig (p 0 >> mω). For et slikt kraftig spark må vi vete at også sasylighete P1 eks for å fie oscillatore i 1. eksiterte tilstad blir lite. Oscillatore vil få tilført mye eergi av sparket, og det vil være mest sasylig å observere tilsvarede høye eergiegeverdier. c. Det er lett å vise eksplisitt at Ψ(x, 0 + ) er e egefuksjo til aihilasjosoperatore (oe som er typisk for koherete tilstader). Vi holder ormerigsfaktore utefor, og fier at a pr exp( mωx / + ip 0 x/) mω x + exp( mωx / + ip 0 x/) mω x mω x + mω ( mωx/ + ip 0/) exp( mωx / + ip 0 x/) ip 0 mω exp( mωx / + ip 0 x/) iα 0 exp( mωx / + ip 0 x/), q.e.d. Ved å sette i utvikligsformele i egeverdiligige fier vi at k0 k ψ k (x) 0 Ψ(x, 0 + ) a pr iα 0 Ψ(x, 0 + ) k0 a pr ψ (x) iα 0 1 k+1 k + 1 ψk (x). iα 0 iα 0 ψ 1 (x) For at dee skal være oppfylt må koeffisietee oppfylle følgede rekursjosformel: k+1 iα 0 k, eller iα 0 k + 1 1 ( 1,, ), q.e.d. Så kostate som det var spørsmål om i oppgavetekste er altså i.
Eksame FY045/TFY450 10. august 010 - løsigsforslag 7 d. Fra formele ovefor fier vi at de eksakte sasylighetsamplitude for å fie oscillatore i 1. eksiterte tilstad er 1 iα 0 0 iα 0 exp( α 0/) iα 0 (1 α 0 + ), og vi ser at dee til 1. orde er idetisk med de vi fat i pkt. a vha 1.-ordes perturbasjosteori. Som vetet er altså sistevte e god tilærmelse for α 0 << 1. Det samme gjelder P 1 α 0, som stemmer bra med det eksakte resultatet 1 α 0 exp( α 0) α 0(1 α 0 + ) for α0 << 1. For økede α 0 blir feile i førsteordesresultatet gradvis større, som vi måtte vete. Vi ser også at P1 eks går ekspoesielt mot ull for store α 0, i tråd med formodige på slutte av pkt. b. Fra rekusjosformele ser vi at α 0 1 (α 0) 1 exp( α 0) og 3 α 0 3 (α 0) 3 1 3 exp( α 0). Geerelt er åpebart sasylighete for å observere eergie E ω( + 1 ) Med (α 0)! 1 exp( α 0). α 0 ser vi at de maksimale sasylighete opptrer for α 0. Som vi var ie på i pkt. b, er det altså for store α 0 (kraftige spark) mest sasylig å observere høye eergier.