TET435 Elektriske kraftsystemer. Løsningsforslag eks. des. 004. Side av sider NORGES TEKNISK NATRVITENSKAPELIGE NIVERSITET FAKLTET FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI, MATEMATIKK OG ELEKTROTEKNIKK INSTITTT FOR ELKRAFTTEKNIKK TET45 ELEKTRISKE KRAFTSYSTEMER EKSAMEN 5. DESEMBER 004. LØSNINGSFORSLAG M:\ntnu\eksamen\eks-oppg-losn-TET45\TET45-losn-hoved04.fm. Modifisert: 7/ - 004
TET435 Elektriske kraftsystemer. Løsningsforslag eks. des. 004. Side av sider Oppgave.. Pu. beregninger... Referanser. Spenningsreferanser velges i overensstemmelse med transformatorens omsetningsforhold.: ref, sn ref, -- pn Øvrige referanser:.. Komponentenes pu verdier. Nett: Transformator: = = 60 6.4 ------ = 6 kv 64 ref, ---- S ref 60 = = ------- = 44 ohm 5 ref, ---- S ref Kondensatorbatteri: 6 = = ----- =.44 ohm 5 ------- 5 0 3 = = = 40.56 A 3 ref, 3 60 S ref I ref, ------- 5 0 3 = = = 405.6 A 3 ref, 3 6 S ref I ref, x n+ x n+,pu x n-,pu ---- 4.4 = = = = 0. pu 44 x no,pu x no ----.6 = = = 0.5 pu 44 ref, z z k+ Z k+ ---- trafo, ref S 0.09 64 z k+,pu -------- - ref j.8 = = = ------ = j 0. pu 44 z k-,pu = z ko,pu = z k+,pu = j 0. pu z m+ Z 80 64 trafo, ref z m+,pu z j.8 = m-,pu = = ----- = j 400 pu 44 z k+,pu x c, pu < z m, o «z m+,pu -- -- ---- ω C π 50 4.6 0 6 = = --- = 0.3 pu.44 M:\ntnu\eksamen\eks-oppg-losn-TET45\TET45-losn-hoved04.fm. Modifisert: 7/ - 004
TET435 Elektriske kraftsystemer. Løsningsforslag eks. des. 004. Side 3 av sider. Ekvivalentskjemaer. Det positive system: :e j30 I n jx n+ z m+ B -jx c Det negative system: :e -j30 B jx n- z ikz m- -jx c Nullsystemet: z iko B jx no Kondensatorbatteri -jx c.3 Impedansmatriser.3. Åpen bryter Det positive system. (z m+ kan flyttes på andre siden av transformatoren uten noen konsekvenser, siden tallverdien av transformatorens omsetningsforhold er lik.) Starter med ssk. og forbindelsen j x n+ til jord: Z + = j x n+ Fortsetter med forbindelsen z k+ til ssk. : Z + = j x n+ j x n+ e j30 x n+ e j90 x n+ e j0 = j x n+ e -j30 j x n+ + z k+ x n+ e j60 e j90 x n+ + z k+ M:\ntnu\eksamen\eks-oppg-losn-TET45\TET45-losn-hoved04.fm. Modifisert: 7/ - 004
TET435 Elektriske kraftsystemer. Løsningsforslag eks. des. 004. Side 4 av sider Magnetiseringsimpedansen, z m+, er så mye større enn z k+ og j x n at den ikke har noen betydning for impedansmatrisen. Vi ser derfor bort fra den. Tar med kondensatorbatteriet og den åpne bryteren som en gren til jord med serieadgang. Vi får da impedansmatrisen for det etterspurte system: x n+ ej90 x n+ ej0 x n+ ej0 Z + = x n+ e j60 e j90 x n+ + z k+ e j90 x n+ + z k+ x n+ e j60 e j90 x n+ + z k+ e j90 x n+ + z k+ - j x c Z + = e j90 0. e -j30 0.3 0.3 0. 0. ej30 0. ej30 0. e -j30 0.3-0.0 Tilsvarende for det negative system gir (i dette tilfellet er eneste forskjell at transformatorens fasedreining skifter fortegn): x n- ej90 x n- ej60 x n- ej60 Z - = x n- e j0 e j90 x n- + z k- e j90 x n- + z kx n- e j0 e j90 x n- + z k- e j90 x n- + z k- - j x c Z - = e j90 0. e j30 0.3 0.3 0. 0. e-j30 0. e-j30 0. e j30 0.3-0.0.3. Lukket bryter Det positive system. Lukking av bryter skjer ved å eliminere spalte og linje nr 3. Z i3 Z 3j Z' ij = Z ij - i =, j =, Z 33 Z' + e j90 0. e j30 0. e j30 = 0. -- = 0.0 0.0 e j90 Z' + e j90 0. e j30 0. e j30 0.3 = ----- = 0.0 Z' + e j90 0. e 30 j 0.3 0. e 30 j = ------- = 0.0 Z' + e j90 0.3 0.3 = 0.3 = 0.0 0.309 e j90 0.03 e j0 0.03 e j60 M:\ntnu\eksamen\eks-oppg-losn-TET45\TET45-losn-hoved04.fm. Modifisert: 7/ - 004
TET435 Elektriske kraftsystemer. Løsningsforslag eks. des. 004. Side 5 av sider Z + = e j90 0.0 0.03 e j30 0.03 e -j30 0.309 Tilsvarende får vi for det negative system: Z - = e j90 0.0 0.03 e -j30 0.03 e j30 0.309.4 Kortslutningsberegninger..4. Topolet feil. Betingelsene på feilstedet er: R = S => + + - + o = h + + h - + o...) I kr = -I ks => I k+ + I k- + I ko = -h I k+ - h I k- - I ko...) I kt = 0 => h I k+ + h I k- + I ko = 0...3) Dessuten har vi systemligningene: + = b+ + Z + I k+...4) - = Z - I k-...5) o = Z o I ko...6).4. Feilstrømmens symmetriske komponenter ved topolet feil. ) + 3) gir: I ko = 0...7) 6) gir: o = 0...8) 3) og 7) gir: I k- = -h I k+....9) ) sammen med 8) gir: + (-h ) +(-h) - = 0 + - h - = 0..0) Setter 4), 5) og 9) inn i 0), og får: b+ + Ζ + I k+ - h Ζ I k- = b+ + Ζ + I k+ + Ζ I k+ = 0..) ) gir: b+ h I k+ b+ = I og Z + + Z k- = I - Z + + Z ko = 0 -.4.3 Beregning av linjespenningen RS på ssk. ved topolet feil mellom fase R og S på ssk. : RS, = R S = ( h ) + + ( h) - M:\ntnu\eksamen\eks-oppg-losn-TET45\TET45-losn-hoved04.fm. Modifisert: 7/ - 004
TET435 Elektriske kraftsystemer. Løsningsforslag eks. des. 004. Side 6 av sider RS, = ( h ) ( + h - ) + = b+ + Z + I k+ - = Z - I k- RS, = ( h ) ( b+ + Z + I k+ h Z - I k- ) RS, = b+ + ( h ) ( I k+ ( Z + + Z - )), 3 e j30 b+ ( Z + + Z - ) = b+ ---- Z + + Z - RS Setter inn tallverdier:, 3 e j30 j30 0.03 e + 0.03 e =.0.098 e ------- 0.309 e j90 RS, 3 e j30.098 =.0 ------ e j30 3 RS RS Symmetriske komponenter er alltid faseverdier. Må derfor bruke referansespenning for fasespenningen for å finne linjespenningens absoluttverdi:.4.4 Reaktive tap i transformatoren: Reaktive transformatortap kan skrives som summen av tapene i hvert av de tre symmetriske systemene: Når dette skal tolkes som en ligning i pu-verdier, er referansen for Q lik faseeffektreferansen. Q blir da sum effekttap for alle tre faser. Linjestrømmens komponent i det positive system: Setter inn for I k+ : j0, =.45 + j 0.444 =.354 e j8.8 pu, =.354 e j8.8 ------ 60 kv = 45.57 e j8.8 kv 3 RS Q = 3 Im I + z + z k+ I - [ + + ] z k- I o z ko I + + + ------ b b + ( Z + Z + ) I = = ------- k+ z k+ j60 Z - Z + b b Z + + Z - I + = --- = z k+.0.098 e j30 0.309ej90 0.03 e j0 ----- 0.309 e j90 -------- 0. e j90 M:\ntnu\eksamen\eks-oppg-losn-TET45\TET45-losn-hoved04.fm. Modifisert: 7/ - 004
TET435 Elektriske kraftsystemer. Løsningsforslag eks. des. 004. Side 7 av sider I + = 3.059 e j30.34 pu Linjestrømmens komponent i det negative system: Z - Z - - - Z I - ---- - Z b -------- - Z + + Z - = = I z kz k- = ----- k- h z k- I - = j30 0.03 e j60 0.309 e j90.098 e -- 0.309 e j90-0. e j90 e j0 I - =.866 e j3.9 pu I dette tilfellet med topolet kortslutning har vi ingen strømmer i nullsystemet. I o = 0 Reaktive effekttap i transformatoren mellom ssk. og blir da: Q = 3 Im I + Q z + I - [ + + ] z - I o Referansen for faseeffekt er S f,ref = 5/3 MVA. z o = 3 ( 3.059 +.866 ) 0. = 7.8696 pu 7.8696 5 Q, abs = Q S fref, = -------- = 65.58 MVAr 3.5 Seriefeil..5. Betingelsene på feilstedet. R s S T I sr = I s+ + I s- + I so = 0 st = h s+ + h s- + so = 0 ss = h s+ + h s- + so = 0.5. Beregning av spenningens symmetriske komponenter. Lign. () og () addert og subtrahert gir: s+ = s- = so...)...)...3)...4) De symmetrisk komponenter av I s fåes fra (de oppgitte) systemligningene: M:\ntnu\eksamen\eks-oppg-losn-TET45\TET45-losn-hoved04.fm. Modifisert: 7/ - 004
TET435 Elektriske kraftsystemer. Løsningsforslag eks. des. 004. Side 8 av sider I s+ = I s+ sb+ + - s- I s- = -------- Z ss-...5)...6) I so = so Z sso...7) Lign. (5), (6) og (7) innsatt i () gir: I s+ sb+ + + -------- + = 0 s- Z ss- Bruker lign. (4) og får: so Z sso I sb+ s+ = s- = so = ------- -------- + + Z ss- Z sso QED..5.3 Spenningen over bryterens fase R: sr = s+ + s- + so = 3 Isb+ ------- -------- + + Z ss- Z sso Strømmen I sb+ finnes fra tabell. og.: I sb+ j0.0990 = -- * = 0.099 e j90.0 j 3 0.099 sr = ------ =.485 pu ----- + --- j 0 Z sso er uendelig stor siden det er brudd () sløyfen i nullsystemet. 6 sr =.485 ------ = 5.44 kv 3.5.4 Strømmen gjennom bryterens fase S: I ss h I s+ + h I s- + I so h = = I s+ sb+ + - + h -------- s- + Setter inn Z ss- =, : og s+ = s- Z sso I ss h s+ I sb+ + - + h -------- s- h s+ = = I sb+ - Z ss-.5.5 Reaktiv produksjon i kondensatorbatteriet: Strømmengjennom kondensatorbatteriet er den samme som strømmen gjenom bryteren (i alle faser): Z ss- so Z sso M:\ntnu\eksamen\eks-oppg-losn-TET45\TET45-losn-hoved04.fm. Modifisert: 7/ - 004
TET435 Elektriske kraftsystemer. Løsningsforslag eks. des. 004. Side 9 av sider Q c x c I sr = x c + I ss x c + I st x c = I ss = ω C = π f C pu x c pu Siden vi har summert den reaktive effekten i alle faser, er referanseeffekten her lik referanse faseeffekt. Q c S ref = I ss x c -------- 0 3 kvar 3 ttrykket for I ss er funnet i pkt.5.4 M:\ntnu\eksamen\eks-oppg-losn-TET45\TET45-losn-hoved04.fm. Modifisert: 7/ - 004
TET435 Elektriske kraftsystemer. Løsningsforslag eks. des. 004. Side 0 av Oppgave... Valg av tilstandsvariable. Dersom vi velger, og δ som tilstandsvariable når δ = 0, vil vi lett kunne uttrykke de andre variable i systemet som funksjoner av de tilstandsvariable. Derfor er dette et hensiktsmessig valg... Redundans. Redundans defineres slik: antall målinger (m) Redundans () r = ------- antall tilstandsvariable (k) For å kunne foreta en tilstandsestimering må vi ha flere målinger enn tilstandsvariable. Vi må altså ha r>. I dette tilfellet har vi tre tilstandsvariable og vi må derfor ha minimum 4 målinger for å kunne foreta en tilstandsestimering... Måleverdienes virkelige verdier. Vi ønsker å finne de målte størrelser uttrykt ved de tilstandsvariable (og kjente konstanter). For de to spenningene blir det enkelt: g (x) = g (x) = Vi ønsker å finne Q uttrykt ved de tilstandsvariable: * g Q ( x) = Im( S ) = Im( I ) = Im * jϕ z r + jx z z x = = der tan ϕ z = ------ r z S e jδ = e δ ----- jϕ z z = ------ e jϕ z -------- e j δ + ϕ z z z ( ) S ------ = ( cosϕ z + jsinϕ z ) -------- ( cos( δ + ϕ z ) + jsin( δ + ϕ z )) z z Q = Im( S ) = ------ sinϕ z -------- sin( δ + ϕ z ) z z.. Kriteriet for å bestemme beste estimat av de tilstandsvariable: Generelt: F = I vårt tilfelle blir dette: i ---- ( g i ( x) y i ) σ i M:\ntnu\eksamen\eks-oppg-losn-TET45\TET45-losn-hoved04.fm. Modifisert: 7/ - 004
TET435 Elektriske kraftsystemer. Løsningsforslag eks. des. 004. Side av F = ( ' ) + ( ' ) σ σ -------- ------ + cosϕ z z -------- cos( δ z + ϕ z ) P' σ P ------ + sinϕ z z -------- sin( δ z + ϕ z ) Q' σ Q..3 Ligninger for bestemmelse av beste estimat: Beste estimat for de tilstandsvariable har vi når kriteriefunksjonen har minimum. Ligningene for å finne disse estimatene blir: --- F = 0, --- F = 0 og ------- F = 0, δ ) ) F F P ( ' ) -------- Q ( P P' ) = + + ( Q Q' ) = 0 σ σ P σ Q P ( ' ) -------- Q ( P P' ) = + + ( Q Q' ) = 0 σ σ P σ Q 3) ------- F P -------- Q ( P δ σ P' ) = + ( Q P δ σ Q' ) = 0 Q δ Løsningen av disse treligningene gir beste estimat av de tre tilstandsvariable, og δ. Som en kan se er disse ligningene ulineære. Dette kunne vi også sagt på forhånd ettersom vi har effekter blant målingene. M:\ntnu\eksamen\eks-oppg-losn-TET45\TET45-losn-hoved04.fm. Modifisert: 7/ - 004
TET435 Elektriske kraftsystemer. Løsningsforslag eks. des. 004. Side av Oppgave 3. 3. Vekselstrøm i lange kabler. I en AC-kabel er produsert reaktiv effekt vesentlig høyere enn kabelens reaktive tap Over en viss kabellengde blir denne reaktive produksjon så stor at kabelen overbelastes. 3. Fordeler/ulemper ved spolejordet/direktejordet høyspentsystem. Fordeler med spolejording i forhold til direktejording: - Spolejording gir vesentlig mindre feilstrømmer ved jordslutning. - Ordinær drift opprettholdes uforstyrret ved (en) jordslutning. - Liten I o ved spolejording gir små induserte spenninger i telenett og andre nærføringer i mosetning til direktejording, som gir stor I o, og derved store induserte spenninger. Fordeler med direktejording i forhold til spolejording: - Fasespenningenene er under kontroll konstant ved jordslutning. Spolejording kan gir linjespenning eller høyere. - Vanskeligere å bestemme beliggenheten av jordslutninger i spolejordet system. - Ikke praktisk mulig å realisere spolejording i systemer med spenning over 50 kv. 3.3 Tilknytting av Petersenspoler. Hensiktsmessige koblingsgrupper for transformatorer: - Toviklingstransformator, -Y koblet. - Toviklingstransformator, Y-Y koblet med isolert stjernepunkt på den side hvor spolen ikke er tilknyttet. - Treviklingstransformator, -Y-Y koblet, helst med isolert stjernepunkt på den side hvor spolen ikke er tilknyttet. hensiktsmessige koblingsgrupper for transformatorer: - Toviklingstransformator, Y-Y koblet med jordet stjernepunkt på den side hvor spolen ikke er tilknyttet. 3.4 Prinsippet for distanserele. Distanserele er også kalt impedansrele. Dets prinsipp er å måle impedansen (i tallverdi og fase) sett fra et gitt punkt på en linje i nettet. Feilfritt nett gir en høy målt impedans (vesentlig bestemt av lastimpedansen), mens en feil (med stor feilstrøm og lavere spenning) gir en målt impedans som er mindre og er mere reaktiv. Releet måler i realiteten linjeimpedansen frem til feilstedet (pluss impedansen på feilstedet). I tillegg til at feilen blir detektert, gir derfor den målte impedans et uttrykk for avstanden fra releet til feilstedet. Distansereleer er i hovedsak linjevern. 3.5 Differensialreleets prinsipp er baser på at Σ strømmer for det beskyttede objekt skal være lik null. Releet reagerer på feil som gir Σ strømmer forskjellig fra null. 3.6 Anvendelsesområder for differensialreleer. De to viktigste anvendelsesområder for differensialreleer er transformatorer og generatorer. I spesielle tilfeller kan er det også brukt for korte linjer og kabler. M:\ntnu\eksamen\eks-oppg-losn-TET45\TET45-losn-hoved04.fm. Modifisert: 7/ - 004