NOGES LANDBUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi LØSNING TIL PØVE 2 I FYS3 - ELEKTO- MAGNETISME, 2004. Dato: 20. oktober 2004. Prøvens varighet: 08:4-09:4 ( time) Informasjon: Alle deloppgaver teller likt. Tillatte hjelpemidler: Øgrim og Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk. Karl ottmann: Matematisk formelsamling. Klas Pettersen Oppgave Kretser, motstander, kondensatorer. a) = eq 9Ω + 6Ω + 3Ω = 2 + 3 + 6 = 8Ω 8Ω eq = 8 Ω Finner strømmen fra Ohms lov I = V = 8V 8 = A () eq Ω b) Da kretsen har vært koplet til lenge vil det ikke gå strøm over kapasitansen. Kretsen kan dermed tegnes som i figur, og vi skal finne potensialforskjellen mellom a og b. Strømmen gjennom venstre og høyre grein blir I = I 2 = 0V ( + 4)Ω 0V (8 + 2)Ω
I I I 2.0 Ω 8.0 Ω 0 V a b 4.0 Ω 2.0 Ω Figure : Ekvivalent krets til oppgave b). Potensialet i a vil dermed være V a = 4Ω I = 4Ω 0V ( + 4)Ω = 4 0V = 8V V b = 2Ω I 2 = 2Ω 0V (8 + 2)Ω = 0V = 2V Potensialforskjellen mellom a og b er dermed V ab = 8V 2V = 6V (2) c) Vi kopler fra batteriet (fortsatt figur 2). Kretsen kan dermed tegnes som 4.0 Ω a.0 Ω +Q Q.0 µf 2.0 Ω b 8.0 Ω Figure 2: Ekvivalent krets til oppgave c). i figur 2 (rotert i forhold til figur ). Motstandene kan slås sammen til en ekvivalent motstand med verdi = eq 6Ω + 9Ω = 3 + 2 8Ω eq = 8Ω = 3, 6Ω Tidskonstanten for en C-krets er τ = eq C og ladningen på platene er gitt ved Q = Q 0 e t/τ 2
Spenningen over kapasitansen er proporsjonal med ladningen på platene, V = Q C, og /0 av spenningen tilsvarer dermed at vi har /0 av opprinnelig ladning Q 0 på platene 0 Q 0 = Q 0 e t/τ t/τ = ln(/0) = ln 0 t = τ ln 0 = 3, 6 0 6 s ln 0 = 8, 28 0 6 s Oppgave 2 Bevegelig emf, effekt. a) Høyrehåndsregelen gir at den frie negative ladningen vil bevege seg nedover, og vi vil få en likevekt mellom den magnetiske kraften F B og den elektriske kraften F E. F E = F B qe = qvb E = vb Staven har lengde l og spenningen mellom endene av staven blir dermed ɛ = E dl = El = vbl b) Netto kraft på staven i oppgave a er null, siden netto kraft på enhver ladning er null (elektrisk kraft oppveier magnetisk kraft, dette gjelder også for de positive ladningene). Siden staven beveger seg med konstant fart er netto kraft på staven lik null (kraften vi påtrykker staven oppveier den magnetiske kraften). Hensikten med oppgaven var imidlertid å se på netto elektromagnetisk kraft. Dersom det kan gå en strøm gjennom staven vil det virke en magnetisk kraft på denne. Når magnetfeltet er normalt på staven vil kraften være F = BIl, dvs F = BIl = B ɛ l = B2 l 2 v. etningen kan finnes ved høyrehåndsregelen til å være mot venstre (motsatt av fartsretningen). c) Varmetap er uttrykt ved effekten P = I 2. 3
Effekten vi tilfører kretsen er like stor som den magnetiske kraften. Dermed er tilført effekt P = du = d(f s) = F ds = B2 l 2 v v = B2 l 2 v 2 = ɛ2 = (I)2 Tilført effekt er dermed lik varmetapet i motstanden. = I2 Oppgave 3 Ampères- og Biot-Savarts lov. a) Ampères lov sier at dersom du integrerer (summerer) magnetfeltet i en lukket bane run en ledning så vil dette være proporsjonalt med strømmen som går gjennom et areal som er avgrenset av integrasjonsveien vår. Proporsjonalitetskonstanten er permeabiliteten til rommet run lederen. Med andre ord skaper en elektrisk strøm et magnetfelt run seg. Dette gjelder ikke generelt, siden det valgte arealet ikke er entydig, og man kan ha tilfeller hvor arealet har en fysisk strøm gjennom seg, og hvor et annet areal ikke har en fysisk strøm gjennom seg. Dette kan illustreres ved å trekke integrasjonsveien run ledningen like ved en parallellplatekondensator, hvor arealet avgrenset av integrasjonskurven kan krysse ledningen, eller vi kan legge arealet mellom åpningen til kondensatoren (se Serway for illustrasjon). Arealet inne i kondensatoren har ingen fysisk strøm gjennom seg, mens arealet som krysser ledningen har en fysisk strøm gjennom seg. Dette problemet kan løses ved å innføre forskyvningsstrøm, som er en tenkt strøm som går mellom kondensatorplatene (se oppg. 3 b). b) Forskyvningsstrøm er en tenkt strøm som går gjennom en kondensator. Denne innføres for å gjøre Ampères lov generell, da kalt Ampère-Maxwells lov. Forskyvningsstrømmen er definert ved I d = ɛ 0 Φ E. Ampère-Maxwells lov kan dermed skrives B ds = µ 0 (I + I d ), og loven gjelder generelt. Vi ser at både en strøm og et tidsvarierende elektrisk felt skaper et magnetfelt. Fra Gauss lov (ved å legge en sylindrisk gaussflate halvveis inne i metallet) kan vi få at elektrisk felt over en metallplate er gitt ved E = σ/ɛ 0, der σ er flateladningstetthet Q/A. Dermed blir elektrisk fluks Φ E = AE = Q ɛ 0 4
og dermed blir forskyvningsstrømmen I d = ɛ 0 dφ E = ɛ 0 d(q/ɛ 0 ) = dq, som er en naturlig fortsettelse av ledningsstrømmen I. c) Bruker Ampères lov og velger integrasjonveien som en sirkel run ledningen slik at sirkelen har radius a, B ds = µ 0 I Bds = µ 0 I retningen finnes fra høyrehåndsregelen. d) Her må man bruke Biot-Savarts lov B2πa = µ 0 I B = µ 0I 2πa, db = µ 0 Ids ˆr 4π r 2. Magnetfeltet er normalt både på ds og på ˆr. Ethvert element ds på ringen har et motstående element på ringen som gir et motstående magnetfelt slik at bare komponentene langs x-aksen overlever. ˆr er rettet fra integrasjonselementet på ringen mot punktet P, mens ds er rettet langs integrasjonretningen, dvs tangentielt til ringen. Dermed står disse normalt på hverandre og ds ˆr = ds. Avstanden fra ringen til punktet P er konstant, og vi får B = db x = µ 0 I 4π r 2 sin θ ds = µ 0 4π I x 2 + 2 x 2 + 2 2π = µ 0 2 I 2 (x 2 + 2 ) 3/2.