R eksamen høsten 06 løsningsforslag Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene f x x 5x 6 a) fx 4x 5 b) g( x) xlnx Vi bruker produktregelen for derivasjon, uv uv u v gx lnx x lnx x c) h x x e x 3 u uv uv Vi bruker kvotientregelen for derivasjon,, sammen med kjerneregelen på v v derivasjon av x e Det betyr at x x x x e x 3 e e x 6 e x 7 h x x 3 x 3 x 3 Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side av 5
Oppgave (5 poeng) En funksjon f er gitt ved f( x) x x a) Bestem nullpunktene til f. f x x x 0 0 x 0 x 0 x x b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. f( x) x x f( x) x x x f( x) x x x f( x) x 3x 3 3 x x 3 x f( x) 3x 6x f f x 0 x x f 6 6 Toppunkt: f Bunnpunkt:,,, 0 c) Lag en skisse av grafen til f., f,, 4 Regner ut f 0 0 0 og f 4 Kan nå lage en skisse på grunnlag av kjente punkter på grafen. Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side av 5
Oppgave 3 (3 poeng) a) Skriv så enkelt som mulig x0 x 4 x 5 x 5 x 0 x x x 5 5 4 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x5 x5 x 0 x 5x x 0 x5 x5 x x 5 x5 x5 x x 5 b) Løs likningen x0 x 4 x 5 x 5 x 0 x 0 x 5 x 5 x x 5 x 5 4 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 0 x x 5 x 5 x 0 x 5x x 0 x 5x 0 x x5 0 x 0 x 5 x 5 Alternativt kan vi vi samle alle de tre leddene i likningen på venstre side, slik at vi får null på høyre side av likhetstegnet. Da blir uttrykket på venstre side lik uttrykket i oppgave a) og likningen blir x x 5 0 Vi ser også nå at løsningen blir x 0 Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side 3 av 5
Oppgave 4 (4 poeng) Løs likningene a) 3 x 3 3 3x 6 3x lg lg 4 4 lg 3x lg 3x 4 x eller 3 x 4 3x 4 3x 6 x b) lg x lg x 0 Jeg setter z lg x og får z z 0 z 3 z lg x lg x 4 x 0 x 00 Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side 4 av 5
Oppgave 5 (6 poeng) I et koordinatsystem har vi punktene A( 3, ), B (3, 4) og C( 4, 5). En linje l går gjennom punktet C og er parallell med AB. a) Sett opp en parameterfremstilling for l. En retningsvektor for l er AB 3 3, 4 6, 6 6, For et vilkårlig punkt P som ligger på l er OP OC k AB 4, 5 k, 4 k, 5 k En parameterfremstilling av linjen l er da gitt ved x 4 k y 5 k hvor k gjennomløper alle reelle verdier. Linjen l skjærer x-aksen i punktet D b) Bestem koordinatene til D. I punktet D er y-koordinaten lik null. Da må 5 k 0 k 5 Det betyr at x-koordinaten til D er x Vi får D 9, 0 4 5 9 c) Bestem koordinatene til et punkt E på linjen l slik at BAE 90 Jeg setter E x, y 4 k, 5 k Vi må ha at k k k AE AB 0 4 k 3, 5 6, 6 0 k, 7 k, 6 0 7 0 k 7 k 0 k 6 k 3 E 4 3, 5 3 7, Det gir Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side 5 av 5
Oppgave 6 (4 poeng) I en fabrikk er det to maskiner, maskin A og maskin B, som produserer samme typer nøkler. 4 % av nøklene fra maskin A er defekte. % av nøklene fra maskin B er defekte. Maskin B produserer dobbelt så mange nøkler som maskin A. En nøkkel blir valgt tilfeldig fra lageret. a) Bestem sannsynligheten for at nøkkelen er defekt. At maskin B produserer dobbelt så mange nøkler som maskin A betyr at sannsynligheten for at en tilfeldig nøkkel er produsert av maskin B er 3 og at den er produsert av maskin A er 3. Sannsynligheten for at nøkkelen er produsert av maskin A og er defekt er 4 4 % % 3 00 3 3 Sannsynligheten for at nøkkelen er produsert av maskin B og er defekt er % 3 00 3 Sannsynligheten for at nøkkelen er defekt er 4 6 % 3 00 3 00 300 00 (Vi kan også sette opp et valgtre som illustrerer dette.) Det viser seg at den valgte nøkkelen er defekt. b) Bestem sannsynligheten for at nøkkelen ble produsert av maskin A. Regningen i a) viser at det produseres dobbelt så mange defekte nøkler fra maskin A som fra maskin B. Sannsynligheten for at en defekt nøkkel er produsert av maskin A er derfor 3 Vi kan også bruke Bayes setning P A D 4 P AP D A 3 00 3 PD 00 4 00 3 00 300 00 3 Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side 6 av 5
Oppgave 7 (6 poeng) En rettvinklet ACB med sidelengdene BC a, AC b og AB c er gitt. Vi tegner en sirkel med sentrum i B og radius a. Linjen gjennom A og B skjærer sirkelen i E og P. Vi setter BPC v. Se figuren nedenfor a) Vis at ACE v, og at ACP ACE. ACE og CPE er begge periferivinkler som spenner over den samme buen, CE. Da er ACE v. Videre må ACP ACE siden de har en felles vinkel, A og ACE CPA. b) Forklar at AE c a, og at AP c a. Både EB og BP er radier i sirkelen og dermed er begge lik a. Da er AE AB EB c a og AP AB BP c a. c) Bruk formlikheten i oppgave a) til å vise at c a b b c a ACP AEC 80 A v. Da er AP og AC tilsvarende sider siden de begge er motstående sider til like store vinkler. APC ACE v. Da er også AC og AE tilsvarende sider siden de begge er motstående sider til like store vinkler. Det gir AP AC c a b AC AE b c a d) Bruk resultatet i oppgave c) til å vise at Pytagoras' setning gjelder. c a b c a c a b a b c b c a Dette viser at Pytagoras' setning gjelder. Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side 7 av 5
Oppgave 8 (3 poeng) Nedenfor er det laget skisser av grafene til en funksjon f, den deriverte f og den andrederiverte f. Avgjør hva som er grafen til f, hva som er grafen til f og hva som er grafen til f. Anta (i) er grafen til f : Da må (iii) være den deriverte siden grafen til f stiger overalt, men den (ii) viser da at grafen til f vender sin hule side ned for x,, og det stemmer ikke. Anta (iii) er grafen til f : Da kan ikke (ii) være den deriverte for grafen til f stiger ikke for x, og kan heller ikke være den dobbeltderiverte, for grafen til f vender ikke sin hule side nedover for x,. Anta (ii) er grafen til f : Da kan (i) være den deriverte siden denne er negativ når grafen til f.synker og er positiv når grafen til f stiger. Videre stemmer det at (iii) er den dobbeltderiverte som alltid er positiv som samsvarer med at grafen til f alltid vender sin hule side opp. (ii) er grafen til f, (i) er grafen til f og (iii) er grafen til f Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side 8 av 5
DEL Med hjelpemidler Oppgave (6 poeng) I pengespillet Lotto legges 34 kuler i en beholder. Hver kule er nummerert med ett av tallene fra til 34. Sju kuler trekkes tilfeldig uten tilbakelegging. Tallene på de sju kulene er vinnertallene. Når du spiller Lotto, krysser du av sju av tallene fra til 34 på en kupong. a) På hvor mange måter kan du velge ut sju av de 34 tallene? Vi har å gjøre med et uordnet utvalg uten tilbakelegging av 7 tall av 34 mulige tall. Antall mulige måter dette kan gjøres på er Tore har levert inn en lottokupong der han har krysset av tallene 3, 5,, 8,, 5, 3 b) Bestem sannsynligheten for at Tore får nøyaktig 5 rette. Av de 34 tallene er 7 trukket ut som vinnertall og de resterende 7 er ikke-vinnertall. Vi skal finne sannsynligheten for at 5 av Tores tall er blant de sju vinnertallene og er blant de 7 ikke-vinnertallene. Vi har en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling hvor sannsynligheten for at Tore får akkurat 5 rette er 7 7 5 34 7 Sannsynligheten er 0,4 % for at Tore får nøyaktig fem rette. Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side 9 av 5
Tore ser lottotrekningen på TV. Etter at det er trukket ut fire tall, går strømmen, og TV-en går i svart. Tallene som til da er trukket ut, er 5,, 3 og. c) Bestem sannsynligheten for at Tore får sju rette på lottokupongen sin. Det er nå igjen 30 å trekke fra, 3 vinnertall og 7 ikke-vinnertall. Det skal trekkes ut 3 nye tall. For at Tore skal få sju rette, må de tre siste tallene til Tore være blant de tre siste vinnertallene. Sannsynligheten er 0,05 % for at Tore får sju rette. Oppgave (6 poeng) To sirkler c og c med sentrum i henholdsvis S og S er gitt ved c : x 5 y 80 c x x y : 0 5 0 a) Bestem sentrum og radius i sirklene c og c. Jeg skrev inn likningene for sirklene fra oppgaven i CAS. Da fremkom likningene i algebrafeltet på formen som viser radius og sentrum direkte. Sirkel Sirkel c har sentrum i 5, 0 c har sentrum i 5, 0 S og radius 80 4 5. S og radius 0 5. Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side 0 av 5
La A være et av skjæringspunktene mellom sirklene. Sirklene c og c kalles ortogonale dersom AS AS. Se skissen nedenfor. b) Bestem skjæringspunktene mellom sirklene c og c. c) Undersøk ved å bruke vektorregning om sirklene c og c er ortogonale. Jeg lar A 3,4 AS AS 5 3,0 4. 5 3, 0 4 8, 4., 4 8 4 4 6 6 0 Dette betyr at AS AS og dermed er c og c ortogonale. Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side av 5
Oppgave 3 (4 poeng) Anne skal på hytta. Hun må sette bilen sin på en parkeringsplass P ved en rettlinjet vei. Punktet C er det punktet på veien som ligger nærmest hytta H. Avstanden fra P til C er 5,0 km. Avstanden fra C til H er,0 km Anne vurderer å følge veien fram til et punkt B før hun svinger ut i terrenget og går rett mot hytta. Se figuren nedenfor. Hun regner med å holde farten 5 km/h på veien og farten 3 km/h i terrenget. Vi setter t x. PB x km. Tiden hun bruker fra parkeringsplassen til hytta, målt i timer, kaller vi for a) Vis at 5 x x t x 5 3 Ved konstant fart er tiden lik strekning dividert med fart. t x t t t s v PH PB BH PB PB s v BH BH 5 x 5 3 x Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side av 5
b) Bestem hvor Anne må velge punktet B for å komme raskest fram til hytta. Hva er den korteste tiden hun kan bruke? Jeg definerer tidsfunksjonen i CAS Linje og 3 viser at Anne må velge punktet B 3,5 km fra P. Linje 4 viser at den korteste tiden hun kan bruke er,53 timer. Oppgave 4 (6 poeng) En partikkel beveger seg i en bane gitt ved 3 r t t 3t 3, t, t a) Bruk graftegner til å tegne grafen til r i et koordinatsystem. Jeg skrev inn "Kurve(t^3-3t+3, t-, t, -, )" i grafikkfeltet i GeoGebra og fikk en parametrisk kurve som jeg ga navnet r. Dette er grafen til rt Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side 3 av 5
b) Bestem posisjonen, banefarten og akselerasjonen når t. Linje viser posisjonen, linje viser banefarten og linje 3 viser akselerasjonen når t. c) Bestem de punktene på grafen der fartsvektoren vt er parallell med y-aksen. Fartsvektoren er parallell med y-aksen når x-koordinaten til fartsvektoren er lik null. Dette er tilfelle i punktene r, 0 og r 5, Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side 4 av 5
Oppgave 5 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x Noen punkter på grafen til f har avstand 5 fra origo. Bruk CAS til å bestemme de eksakte verdiene for x-koordinatene til disse punktene. Jeg definerer funksjonen f og sirkelen s, med sentrum i origo og radius 5, i CAS. x-koordinatene til skjæringspunktene mellom f og s (se linje 3) gir de eksakte x-koordinater for de punkter på grafen til f som har avstand 5 fra origo. Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger og bilder: Utdanningsdirektoratet. Eksamen REA30 Matematikk R Høsten 06 Side 5 av 5