Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar timer i avdeling I og 2 timer i avdeling II Det å produsere en stol tar 2 timer i avdeling I og 4 timer i avdeling II Fortjenesten på hvert bord som blir laget er 60 kroner, mens fortjenesten på hver stol som blir laget er 50 kroner På grunn av arbeidsmiljøloven kan de to avdelingene hver maksimalt produsere møbler 8 timer om dagen La x være antall bord som blir produsert per dag og la y være antall stoler som blir produsert per dag Siden dette er en matematikk-oppgave skal vi tillate oss at x og y ikke trenger å være hele tall Med andre ord, det er meningsfylt å prate om for eksempel 05 bord (det vil si x = 05) (a) Vi ønsker å maksimere fortjenesten Forklar at dette fører til det matematiske problemet å finne maksimum av uttrykket p = 60x + 50y, der x og y oppfyller de lineære ulikhetene: I tillegg må vi ha x 0 og y 0 x + 2y 8, 2x + 4y 8 () Svar: Fordi x er antall bord og y er antall stoler, så er den totale fortjenesten i løpet av en dag lik p = 60x + 50y, der x og y ikke kan velges fritt men er begrenset av kapasiteten målt i timer per dag i de to avdelingene: I tillegg må vi ha x 0 og y 0 Avdeling I: x + 2y 8, Avdeling II: 2x + 4y 8, (b) Tegn området avgrenset av de lineære ulikhetene definert i () Bestem alle hjørnene til dette området ved regning Svar: Området må dere tegne selv ut fra følgende informasjon: Det er fire hjørner: (x = 0, y = 0) (x = 8 267, y = 0), som fremkommer ved å løse y = 0 og x + 2y = 8 (x = 2, y = ), som fremkommer ved å løse x + 2y = 8 og 2x + 4y = 8 (x = 0, y = 2), som fremkommer ved å løse 2x + 4y = 8 og x = 0
(c) Finn møbelfabrikkens maksimale fortjeneste, det vil si løs problemet fra punkt (a) Svar: Dette gjøres ved inspeksjon (x = 0, y = 0) gir p = 0 (x = 8 267, y = 0) gir p = 60 (x = 2, y = ) gir p = 70 (x = 0, y = 2) gir p = 00 Med andre ord, maksimal fortjeneste p = 70 oppnås ved å produsere 2 bord og og stol per dag Oppgave 2 Funksjonen f er definert ved f(x) = e x (cos(x) + sin(x)), x π, π 2 2 (a) Bestem f (x) Avgjør hvor f er voksende og hvor f er antagende, og hvor f (x) = 0 Svar: f (x) = 2e x sin(x) f (x) = 0 x = 0 f vokser på intervallet π 2, 0 og f avtar på intervallet 0, π 2 (b) Hva er minimums- og maksimumspunktene til f Angi også de tilhørende minimumsog maksimumsverdiene Svar: Fra (a) vet vi at x = 0 er et maksimumspunkt og f(0) = (det er også ok å bruke andrederivert testen) Ved inspeksjon ser vi at minimumspunktet er x = π 2 og f ( π 2 ) = e π/2 48 (c) Bestem Taylor-polynomet F 2 (x) av grad 2 til f(x) omkring x = 0 Skisser grafene til f og F 2 Svar: F 2 (x) = f(0) + f (0)x + 2 f (0)x 2 = x 2 Her har vi brukt at f (x) = 2e x (sin(x) cos(x)) og at f (0) = 2 Tegningen får dere utføre selv 2
Oppgave Gitt matrisen M = 05 0 0875 00 (a) Finn egenverdiene til matrisen M Svar: det(m λi) = λ 2 05λ 0875 = 0 som gir λ = 075 og λ 2 = 025 (b) Finn egenvektorene til matrisen M Svar: (M λi)x = 0, der x = x x 2 For λ får vi x 4 for vilkårlig x ulik null For λ 2 får vi x 2 4/ for vilkårlig x 2 ulik null (c) Vi lar u n betegne antall unge individer og g n antall gamle individer i en populasjon etter n år Vi setter opp følgende modell for utviklingen av populasjonen: un+ un = M, n = 0,, 2, g n+ Vi lar u 0 = 000 og g 0 = 250 Bestem u og g ved å beregne u0 M g n g 0 Svar: Matrise-vektor multiplikasjonen gir u = 750 og g = 875 (d) Vis at for modellen under punkt (c) med u 0 = 000 og g 0 = 250 blir u n = 075 n 000
og g n = 075 n 250 Svar: Siden initialbetingelsen er en egenvektor har vi un = M n u0 = λ n u0 = 075 n u0 g n g 0 g 0 g 0 som gir u n = 075 n 000 og g n = 075 n 250 = 075 n 000 250, Oppgave 4 (a) Finn den generelle løsningen av det homogene systemet av differensialligninger dx dy = 05x + y, = 0875x Svar: Systemet kan skrives d x y = M x y, med kjente egenverdier og egenvektorer fra oppgave og generell løsning blir x 4 4/ = a y e 075t + a 2 e 025t som gir og x(t) = 4a e 075t 4 a 2e 025t y(t) = a e 075t + a 2 e 025t 4
(b) La det inhomogene lineære systemet av differensialligninger dx dy = 05x + y 65, = 0875x 5 være gitt Finn likevektspunktet for systemet Finn så den generelle løsningen av dette systemet Svar: 05x + y 65 = 0 og 0875x 5 = 0 gir x = 80 og y = 25, som er likevektspunktet for systemet Innfører nye variable X = x 80 og Y = y 25 De nye variable tilfredsstiller dx dy = 05X + Y, = 0875X Dette systemet har vi løsningen til over og x(t) = X(t) + 80, y(t) = Y (t) + 25 som gir x(t) = 4a e 075t 4 a 2e 025t + 80 og y(t) = a e 075t + a 2 e 025t + 25 (c) Vis at løsningen av det inhomogene lineære systemet av differensialligninger gitt under punkt (b) som tilfredsstiller x(0) = 84 og y(0) = 22 er gitt ved x(t) = 4e 025t + 80, y(t) = e 025t + 25 Svar: Vi finner at løsingen til x(0) = 4a 4 a 2 + 80 = 84 og y(0) = a + a 2 + 25 = 22 er a = 0 og a 2 =, som settes inn i den generelle løsningen over Det er også ok å sette inn den gitte løsningen i systemet av differensialligninger og se at dette systemet er oppfylt (pluss sjekke at x(0) = 84 og y(0) = 22) 5
Oppgave 5 Gitt matrisen K = 0 4 0 (a) Finn egenverdiene til matrisen K Svar: det(k λi) = λ 2 + 4 = 0 som gir λ = 2i og λ 2 = +2i (b) Finn den generelle løsningen av det homogene systemet av differensialligninger dx dy = 4y, = x Svar: Benytter (2) og () på side 5 i læreboken Fra a) har vi a = 0 og ω = 2 Videre er p = 0, q = 4, r = og s = 0 Fra (2): x = 2y 0 og y = 2 x 0 Setter inn i () og får generell løsning: x(t) = x 0 cos(2t) + 2y 0 sin(2t) og y(t) = y 0 cos(2t) 2 x 0sin(2t) (c) Finn løsningen av systemet over som tilfredsstiller x(0) = og y(0) = 0 Beskriv løsningen i faseplanet, det vi si i xy - planet Svar: x(0) = x 0 = og y(0) = y 0 = 0 som gir løsningen x(t) = cos(2t) og y(t) = sin(2t) I faseplanet blir det en ellipse sentret i origo med halvakser 2 i x - retning og /2 i y - retning og rotasjon med klokken (negativ omløpsretning), sammenlign med figur 8 på side 47 i boken 6
Oppgave 6 Funksjonen f er definert ved f(x, y) = 2 y2 y 2 x2, (2) hvor < x <, < y < (a) Bestem de partielle deriverte f f og Bestem også de stasjonære punktene til f, x y det vil si de punktene hvor begge de partielle deriverte er lik null Svar: f x = x og f y = y y2 Stasjonære punkter er (x = 0, y = 0) og (x = 0, y = ) (b) Bruk Hessemarisen til å avgjøre om de stasjonære punktene du fant i (a) er lokale minimums- eller maksimumspunkter eller ingen av delene Svar: Hessematrisen er gitt som H(x, y) = 0 0 2y Man sjekker lett at determinanten til H(0, 0) er < 0, altså så (x = 0, y = 0) ikke et lokalt ekstrempunkt Man sjekker lett at determinanten til H(0, ) er > 0, altså så er (x = 0, y = ) et lokalt ekstrempunkt Siden f xx (0, ) = < 0 så er (x = 0, y = ) et lokalt maksimumspunkt (c) En flate er gitt ved at z 2 = 2 y2 y y 2 2 x2 x 2, hvor x 0, y 0 Hva er den største avstanden mellom denne flaten og origo (x = 0, y = 0, z = 0) Svar: Dette er et lurespørsmål Flaten har etter omforming ligning: 2 x2 + 2 y2 + z 2 = y, Men venstre side er ikke-negativ, og høyre side er ikke-positiv, så de to uttrykkene kan bare være like når begge er null Men venstre side er null bare i origo Så det er ikke egentlig noen flate, bare et punkt, og siden dette punktet er origo, er avstanden til origo null for dette ene punktet, så svaret er null 7