Flervalgsoppgaver. Hvis en positiv ladning Q blir plassert i origo i figuren (i krysningspunktet mellom vertikal og horisontal linje), mot hvilken kvadrant vil den føle ei netto kraft? A. A B. B C. C D. D E. Ingen, krafta er null Løsning: I horisontal retning (tiltrekning neg. ladn.) overskuddskraft mot venstre. I vertikal retning (frastøtning pos. ladn.) overskuddskraft nedover. Totalt ned til venstre. 2. Grafen som best representerer det elektriske potensialet av et uniformt ladd sfærisk kuleskall som funksjon av avstanden fra sentrum av skallet er A. B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Løsning: Det elektrostatiske feltet er null overalt inni lederen. Feltet E er minus gradienten til det elektriske potensialet V. Dermed må V være konstant overalt inni lederen, dvs. (2) eller (5). Utenfor kuleskallet avtar E som en punktladning i sentrum av kula, ergo (2) rett. 3. Du bringer en negativt og uniformt ladd glasstav (isolator) nesten inntil et elektrisk nøytralt metall, som vist i figuren. Vi får da indusert overflateladning på det nøytrale metallet. Ranger potensialet V i de angitte punktene, 2 og 3 i metallet. A. V > V 2 > V 3 B. V < V 2 < V 3 C. V = V 2 > V 3 D. V < V 2 = V 3 E. V = V 2 = V 3 Løsning: I elektrostatikken er alltid et metall et ekvipotensial, alle potensialer inne er like. Overflateladningene induseres nettopp for å skjerme E-feltet fra den ladde staven.
4. To små kuler er i ro og tiltrekker hverandre elektrostatisk. Hvilket utsagn er korrekt? A. Kulene må ha ladning med motsatt fortegn B. Begge kulene må være ladd C. Kulene må være laget av metall D. Kulene må være laget av et dielektrisk materiale E. Det er tilstrekkelig et den ene kula er ladd Løsning: Tiltrekking når ei kule ladd og andre uladd (polarisering av ladning på uladd kule gir tiltrekning). Det er altså ikke nødvendig at begge må være ladd, slik at A eller E ikke er rett svar. Materialet i kulene uten betydning. 5. Hvor stor er radien til en (kuleformet) ekvipotensialflate på 50 V med en punktladning 0 nc i sentrum? Null potensial velges uendelig langt unna. A..8 m B. 2. m C. 2.4 m D. 2.9 m E. 3.3 m Løsning: Med punktladningspotensialet V (r) = kq/r får vi r = k q V = 8.99 09 Vm/C 0 0 9 C 50 V =.8 m. 6. En luftfylt kondensator består av to metallplater med innbyrdes avstand.00 mm. Dersom kapasitansen er.00 nf, hva er arealet til platene? A. 0.002 m 2 B. 0.042 m 2 C. 0.72 m 2 D. 0.904 m 2 E. 0.3 m 2 A Løsning: Vi har at C = ε 0, slik at d A = dc = ( 0 3 m) ( 0 9 F) ε 0 8.85 0 2 = 0.3 m 2. F/m 7. En type tastatur er basert på kondensatoren i forrige oppgave. Et tastetrykk blir registrert dersom kretssystemet i tastaturet detekterer en endring i kapasitans på 0.300 pf. Arealet til metallplatene i tastene er 50.0 mm 2 og avstanden mellom platene før tasten er trykket ned er 0.60 mm. Hvor langt ned må en tast trykkes for at kretsen skal registrere tastetrykket? A. 0.4266 mm B..4626 mm C..902 mm D. 2.36 mm E. 3.066 mm Løsning: Kapasitansen før er A 50 0 6 m 2 C = ε 0 = 8.85 pf/m d 0.600 0 3 = 0.738 pf. m Vi dividerer kapasitansen før med kapasitansen etter og får C = d 2 C d 2 = d = 0.600 0 3 0.738 pf m = 0.4266 mm. C 2 d C 2 0.738 0.300 pf Page 2
Potensial rundt dipol 8. I en tidligere øving betraktet vi en elektrisk dipol, bestående av to punktladninger ±q lokalisert på z-aksen i z = ±a/2. Vi regnet ut det eksakte potensialet V e (x, z) og fant V e (x, z) = q. 4πε 0 x 2 (z a/2) 2 x 2 (z a/2) 2 Deretter viste vi at potensialet i stor avstand fra dipolen (r a) blir tilnærmet lik (indeks a for approximately ) V a (r, θ) = q a cos θ 4πε 0 r 2. Her er r avstanden fra origo, dvs dipolens midtpunkt, og θ er vinkelen mellom z-aksen og r. (Dipolmomentet er p = qa.) Du skal visualisere dipolpotensialet og sammenligne det tilnærmede uttrykket V a med det eksakte uttrykket V e. Gjør dette ved å skrive et program i Python (evt. MatLab eller Octave) som regner ut differansen eller kanskje like gjerne det prosentvise avviket = 00 (V e V a )/V e mellom det eksakte og det tilnærmede uttrykket gitt ovenfor og som plotter V e (x, z), V a (x, z) og feilen (x, z) i tre forskjellige figurer. z V =? r a q θ r r 2 x (f.eks.) q Noen tips og kommentarer: ˆ Skriv først om V a(r,θ) (i kulekoordinater) til V a(x,z) (kartesiske koordinater). ˆ Det er mulig å plotte potensialene i SI-enhet (V) som funksjon av x og z i en passende enhet. Men det er generelt mye mer praktisk å plotte dimensjonsløse størrelser som funksjon av dimensjonsløse koordinater. Uttrykkene inneholder lengdeskalaen a, slik at det er naturlig å innføre de dimensjonsløse koordinater ξ = x/a, η = z/a. Uttrykkene inneholder også ladningen q og 4πε 0, slik at det er naturlig å bruke potensial relativt til potensialet V 0 = q = potensial i avstand a fra en 4πε 0 a punktladning q. De dimensjonsløse potensial blir da v e = V e = V e 4πε 0a, v a = V a = V a 4πε 0a. V 0 q V 0 q Dette gir de dimensjonsløse uttrykk v e (ξ, η) og v a (ξ, η). Finn disse. ˆ Definer et fornuftig område i (x, z)-planet for plottene dine, f.eks. 2 < ξ < 2 og 2 < η < 2. ˆ Det kan være lurt å begrense også funksjonsaksen i plottene dine, da potensialet blåser opp i nærheten av ladningene. ˆ Noen kommandoer og funksjoner som du kan få bruk for (Python): arange, meshgrid, fig.add subplot, ax.plot surface, ax.set zlim, ax.set xlabel, show. Page 3
Løsning: Vi skriver først V a om til en funksjon av x og z ved å bruke relasjonene som gir sin θ = x/r, cos θ = z/r, r = (x 2 z 2 ) /2, V a = qa cos θ 4πε 0 r 2 = qaz/r 4πε 0 r 2 = qaz 4πε 0 (x 2 z 2 ). 3/2 I plotteprogram bør vi bruke dimensjonsløse størrelser, og i oppgaveteksten er gitt konkrete tips: v e (ξ, η) = V e = V e 4πε 0a = V 0 q ξ = x/a, η = z/a, ξ 2 (η /2) 2 v a (ξ, η) = V a = V a 4πε 0a η = V 0 q (ξ 2 η 2 ). 3/2 ξ 2 (η /2) 2 I det nye dimensjonsløse (ξ, η)-planet ligger altså dipolen på η-aksen, i (0, ±/2). Et fornuftig område for plotting av funksjonene v e og v a kan dermed være for eksempel 2 < ξ < 2 og 2 < η < 2. De tre grafene nedenfor viser v e, v a og det prosentvise avviket = v e v a v e 00. Allerede utenfor det rektangulære området [, ;, ] er feilen mindre enn 0 %, men selvsagt er feilen svært stor nærme og spesiell stor mellom ladingene. Grafene er generert fra Matlab. Under er vist helt tilsvarende Python-kode. Page 4
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Losningsforslag til Potensial rundt dipol % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% from mpltoolkits.mplot3d import Axes3D from matplotlib.pyplot import figure,show from matplotlib import cm from numpy import arange,meshgrid,sqrt if name== main : X=arange(-2,2,2/00) Z=arange(-2,2,2/00) X,Z=meshgrid(X,Z) Ve=/sqrt(X**2(Z-/2)**2)-/sqrt(X**2(Z/2)**2) Va=Z*(X**2Z**2)**(-3/2) fig=figure() ax=fig.addsubplot(2,2,,projection= 3d ) surf=ax.plotsurface(x,z,ve,cmap=cm.seismic,vmin=-0,vmax=0) ax.setzlim(-0,0) ax.setxlabel( x/a ) ax.setylabel( z/a ) ax.setzlabel( Ve ) ax=fig.addsubplot(2,2,2,projection= 3d ) surf=ax.plotsurface(x,z,va,cmap=cm.seismic,vmin=-0,vmax=0) ax.setzlim(-0,0) ax.setxlabel( x/a ) ax.setylabel( z/a ) ax.setzlabel( Va ) ax=fig.addsubplot(2,2,3,projection= 3d ) surf=ax.plotsurface(x,z,00*abs((va-ve)/ve),cmap=cm.cool,vmin=0,vmax=00) ax.setzlim(0,00) ax.setxlabel( x/a ) ax.setylabel( z/a ) ax.setzlabel( (Ve-Va)/Ve *00% ) show() Dipolmoment halvkuler 9. Ei kule med radius R har uniform flateladning σ (C/m 2 ) på overflata av nordlige halvkule (z > 0) og uniform flateladning σ på overflata av sørlige halvkule (z < 0). Hva er kulas dipolmoment p? Tips: Finn først dipolmomentet d p til et par av smale ringer, en på øvre halvkuleflate med positiv ladning dq = σ da, og en på nedre halvkuleflate med negativ ladning dq = σ da. Ringene har radius ρ = R sin θ, og ligger symmetrisk om sentrum som vist i figuren. Totalt dipolmoment ved å summere opp (integrere) slike par av ringer. Page 5
z θ d R da = bredde x omkrets bredde: Rd θ omkrets: 2πρ ρ Løsning: Vi deler kulas overflate opp i par av infinitesimale ringer i like stor avstand fra sentrum og hver med radius ρ, omkrets 2πρ og infinitesimal bredde R dθ. Posisjonen til den positivt ladde ringen er gitt ved θ. Arealet til hver ring blir da = (2πρ) (R dθ), der ρ = R sin θ. De to smale ringene har innbyrdes avstand ladning d = 2z ˆk = 2R cos θ ˆk ± dq = ±σda = ±σ (2πρ) (R dθ) = ±σ (2πR sin θ) (R dθ) dipolmoment d p = d dq = 2R cos θ σ (2πR sin θ) (R dθ) ˆk = 4πR 3 σ cos θ sin θ dθ ˆk. Kulas totale dipolmoment bestemmes ved integrasjon over alle par av ringer fra θ = 0 til π/2: ˆ p = kula d p = ˆ π/2 0 4πR 3 σ cos θ sin θ dθ ˆk = 4πR 3 σ [ ] π/2 2 sin2 θ ˆk = 2πR 3 σ ˆk. 0 Legg merke til at vi gjerne har to mulige (ekvivalente) strategier når dipolmomentet til et system (her: med kontinuerlig ladningsfordeling) skal beregnes. Vi skriver d p = r dq og ) lar r angi posisjonen til ladningselementet dq og integrerer over hele ladningsfordelingen, eller 2) lar r angi avstandsvektoren mellom symmetrisk lokaliserte ladningselementer dq og dq og integrerer kun over halve ladningsfordelingen (typisk den positive halvdelen). I denne oppgaven fungerte strategi 2) fint, siden vi har en passende symmetri. Dersom vi ikke har en passende symmetri, må vi bruke strategi ). Elektronisk blits 0. Elektroniske blitser inneholder en kondensator for lagring av energi til lysblinket. Når blitsen trigges, lades denne energien fort ut til elektrisk overslag i et gassfylt rør. Anta vi har en blits der blinket varer i /00 s med en gjennomsnittlig lyseffekt på 600 W. (a) Hvis effektiviteten er 95 % ved omforming fra elektrisk energi til lysenergi (5 % til varme), hvor mye energi må lagres i kondensatoren for et blink? Løsning: Energi som lagres i kondensatoren for et blink: U = P t 600 W 0.0 s = = 6.32 J = 6.3 J. 0, 95 0, 95 (b) Hvis kondensatoren har kapasitans 0.800 mf, hva er spenningen som må påføres platene for å lagre denne energien? Page 6
Løsning: Energi lagret på kondensatoren er U = 2 CV 2, som løst mhp. spenningen V gir V = 2U 2 6.32 J C = 0.8 0 3 = 26 V = 0.3 kv. F Blitser drives av batterier, f.eks. 4.5 V = 6.0 V. Spenningen må altså mangedobles ved en såkalt spenningsmultiplikator i blitsen (som for enkelte blitser gir en pipelyd med økende frekvens). Platekondensator. En parallellplatekondensator består av to rektangulære plater med sidekanter a = 0.0 cm og b = 50 cm. Avstanden mellom platene, l, kan varieres, og er i starten l = l = 3.0 mm og det er da luft mellom platene. Kondensatoren lades opp til en spenning V = 300 V. Vi antar at ladningen er uniformt fordelt på innsiden av platene og at vi kan se bort fra endeeffekter. (a) Hva er den elektriske feltstyrken E mellom kondensatorplatene? Løsning: Når ladningen er uniformt fordelt på innsiden er det elektriske feltet mellom platene homogent og bestemt av potensialforskjellen V mellom platene som altså har avstand l = 3.0 mm: E = V = 300 V = 00 V/mm = 0.0 MV/mm. () l 3.00 mm Retningen er normalt på platene i retning fra positiv til negativ plate. (b) Hva er den elektriske feltstyrken utenfor (over og under) kondensatorplatene? Begrunn svaret! Løsning: Utenfor platene er det elektriske feltet lik null. Dette gjelder når vi altså ser bort fra endeeffekter, som oppgitt. En begrunnelse med beregning i neste punkt. (c) Hva er kondensatorens kapasitans C? Løsning: Raskeste måte å finne kapasitansen er å bruke formel for parallellplatekondensator: C = ε A = (8.85 pf/m)(0.0)(0.50 m2 ) l 3.0 0 3 = 48 pf = 0.5 nf. m En beregning helt fra bunnen (bruke Gauss lov til å finne E mellom parallellplater) er vist på siste side i dette l.f. Forbindelsen til spenningskilden brytes etter at kondensatoren er ladd. Avstanden mellom kondensatorplatene økes til l = l 2 = 6.0 mm for akkurat å gi plass til en plate av dielektrisk materiale av samme tykkelse. Det dielektriske materialet fyller hele hulrommet mellom kondensatorplatene. Spenningen på kondensatoren måles nå til /0 (0 %) av den opprinnelige spenningen. (d) Bestem relativ permittivitet (dielektrisitetskonstant) ε r for materialet som settes inn i platekondensatoren. Tips: Ladningen kan ikke endres når spenningskilden er frakopla. Løsning: Endringen i kondensatoren kan illustreres i følgende figur: Page 7
I (A) blir kondensatoren ladet opp, og får ladningen Q på hver av platene. Spenningskilden som er brukt for å lade opp kondensatoren blir så koplet i fra, og avstanden mellom platene endres fra l til l 2 (A B). Siden speningskilden er frakoplet, må ladningen Q på kondensatorplatene bli uendra, mens spenningen V kan endres. (Dersom spenningskilden var beholdt tilkoplet ville spenningen V bli uendra og ladningen ville økt). Etter at det dielektriske materialet er satt inn, er situasjonen som vist i (C), og det elektriske potensialet over platene i denne situasjonen, V 2 = 0, 0 V, der V er det elektriske potensialet i situasjonen vist i (A). Skal finne uttrykk for ε r. Når kapasitansene i situasjonen (A) og (C) er gitt ved henholdsvis C og C 2 får vi: C = Q V og C 2 = Q V 2 C 2 = C V V 2 = C 0. Kapasitansen for parallellplatekondensatoren kan, som vi har sett, uttrykkes: C 2 = ε r ε 0 A l 2 C = ε 0 A l, og dividert med hverandre får vi: ε r = C 2 C l2 l = 20. Kapasitansen øker altså 20 ganger pga. materialet (ved ε r ), men reduseres faktor 2 pga. dobling av plateavstand l. Page 8
Fullstendig løsning oppg. c) Løsning: Det korte svaret ovenfor er fullgodt svar i øving og eksamen dersom ikke utledning kreves. Skal likevel her sette av plass til utledning av C for en parallellplatekondensator ved å utlede formelen for E mellom to parallellplater. Kapasitansen er definert ved C = Q/V, og vi må altså finne ladningen på platene. Følgende formel for parallellplatekondensator brukes ofte, og bør gjerne memoreres: Q = σ A = ε E A, (2) der σ er overflateladningstettheten, A = ab er arealet av platene og ε = ε rε 0 (ε r = hvis det er luft) er permittiviteten til materialet mellom platene. La oss bevise formel (2). Sammenhengen mellom ladning på og det elektriske feltet rundt en uendelig stor plate finnes ved å bruke Gauss lov. Retningen på det elektriske feltet er E = E ˆk på grunn av symmetrien i problemet, og E = E 2 = E når vi er i samme avstand z = l/2 fra z = 0. Med en sylindrisk Gaussflate med lengde l plassert symmetrisk om z = 0, som vist på figuren til høyre, gir Gauss lov: E da = Q encl. ε For sideflatene er E da og dermed E da = 0 for denne delen av Gaussflata. Bidrag til fluksintegralet for de to endeflatene med areal A blir 2EA. Når ladningen innesluttet av den valgte Gaussflata er Q encl = σa, der σ er flateladningstettheten, blir det elektriske feltet for én plate E = σ 2ε ˆk. Man kan tolke dette slik at fluksen til det elektriske feltet strømmer halvparten til hver side. Det elektriske feltet mellom de to platene i kondensatoren finnes ved å betrakte feltene fra de to platene, og se på resultanten. Figuren til venstre viser situasjonen, med like lang lengde på vektorene som representerer E. Vi har antatt at den positivt ladde plata ligger over den negativt ladde, og at positiv z-akse er oppover. Utenfor kondensatorplatene er bidragene fra de positivt og negativt ladde platene motsatt retta: E = σ 2ε ˆk σ 2ε ˆk = 0, og feltet er altså null, som påstått i pkt. b). Mellom platene er det elektriske feltet E = σ 2ε ˆk σ 2ε ˆk = σ ε ˆk. Dermed er uttrykket (2) vist. Kapasitansen til platekondensatoren er da, ved bruk av likningene () og (2) C = Q V = ε E A V = εv/l A V = ε A = (8.85 pf/m)(0.0)(0.50 m2 ) l 3.0 0 3 = 48 pf = 0.5 nf. m Page 9