Nasjonale prøver 18.09.2013

Nasjonale prøver 18.09.2013 Veiledning til lærere Regning 8. og 9. trinn. Del 2 Bokmål

Innhold Hvordan bruke resultatene i undervisningen?... 3 Oversikt over oppgavene til nasjonal prøve i regning 2013... 4 Hvordan bruke analyseverktøyet (regnearket) i PAS?... 6 Gruppetabell... 6 Poenggrenser... 8 Diagrammer... 8 Å regne i alle fag... 9 Å kunne regne er å... 9 Sentralt innhold i prøven for 8. og 9. trinn... 9 Hva er god regneopplæring?... 10 Prinsipper for god regneopplæring... 10 Hvordan utvikles grunnleggende ferdigheter i regning?... 10 Å utvikle elevenes regnestrategier... 11 Tall... 12 Hele tall... 13 Desimaltall... 14 Diagram og prosent... 15 Måling... 16 Valuta... 17 Målestokk... 18 Tid... 19 Statistikk... 20 Tabell og bilde... 21 Gjennomsnitt... 22 2

Hvordan bruke resultatene i undervisningen? Denne veiledningen er en fortsettelse av veiledning for lærere til nasjonal prøve i regning på 8. og 9. trinn. Her finner du oppgaver fra prøven i 2013 med løsningsforslag og eksempler på regning i fag fra områder og emner som inngår i prøven. Foreløpige poenggrenser for mestringsnivåene er publisert i PAS. Det kan være nyttig å skaffe seg oversikt over områder, oppgavetyper og emner som flere av elevene kan ha problemer med, eller de trenger større utfordringer i. En slik oversikt er et godt utgangspunkt for samtaler i elevgruppen og planlegging av videre opplæring. På neste side finner du en oversikt over oppgavene med fasit og innholdet i årets prøve. Oppgavene er sortert etter de tre områdene av regning som prøven omhandler: tall, måling og statistikk. Kolonnen Innhold beskriver hva hver enkelt oppgave handler om. Oversikten viser også hvilke fag hver oppgave kan knyttes til. Det betyr at oppgaven kan relateres til regning som grunnleggende ferdighet i dette faget etter 7. trinn. En tilsvarende oversikt over oppgavene ligger i analyseverktøyet (regnearket) i PAS. Der finner du også en kolonne med løsningsprosenten for hver enkelt oppgave. Den forteller hvor mange prosent av elevene som løste oppgaven riktig på nasjonalt nivå. Den ordinære prøven i regning er i tre versjoner (V1, V2 og V3). Noen av oppgavene har ulik rekkefølge i hver versjon. Du ser hvilke oppgaver det gjelder i tabellen på neste side. PDF av versjon 1 er publisert i PAS. Grupperapporten i PAS sorterer resultatene etter versjon 1. I elevmonitor i PGS har du tilgang til hele elevens besvarelse. Hvis du bruker elevmonitor til å gjennomgå prøven, ser du oppgavene i den rekkefølgen eleven har hatt dem. For å måle utvikling over tid har 6 % prosent av elevene på landsbasis gjennomført en annen prøve enn den ordinære prøven, men med oppgaver av tilsvarende vanskegrad. Disse elevene kan lærer ikke se besvarelsen til i elevmonitor. Du finner resultatene deres i grupperapporten i PAS ved å velge Oppgavesett 4. Disse resultatene kan ikke legges inn i analyseverktøyet. 3

Oversikt over oppgavene til nasjonal prøve i regning 2013 Oppgaver V1 1 Oppgaver V2 Oppgaver V3 Innhold Område Format Fagtilknytning 2 Fasit 24 Multiplikasjon i kontekst Tall Åpen Ma, m&h, na 42 40 Skrive store tall som tall Tall Flervalg Ma, sf 7.000.000.000 (4) 1 9 3 Addisjon, subtraksjon og Tall multiplikasjon i priskontekst Åpen Ma, m&h, sf 55 4 10 1 Addisjon og divisjon i kontekst Tall Åpen Ma, sf, m&h 24 14 Brøkdel av rutenett Tall Flervalg Ma, m&h 1/4 (4) 15 Vurdere mengde, divisjon Tall Åpen Ma, sf 4 21 Multiplikasjon/addisjon i kontekst Tall Flervalg Ma, krø, na 22,5 (3) 25 Divisjon/addisjon i kontekst Tall Flervalg Ma, krø 12,5 (2) 39 Sortere desimaltall Tall Flervalg Ma 1,0-0,1-0,09-0,075 45 Merke av brøkdel Tall Åpen Ma, m&h, k&h 9 ruter 52 56 54 Addisjon, subtraksjon og Tall multiplikasjon i priskontekst Flervalg Ma, m&h, sf 68 kr (1) Utvide matoppskrift, 3 2 7 multiplikasjon eller gjentatt Tall Åpen Ma, m&h 24 addisjon i kontekst 13 Forskjell i prosentandel Tall Flervalg Ma, sf, na, rle, m&h, mu 15 (3) 17 Finne prosentdel Tall Flervalg Ma, m&h, mu 25 (2) 18 Vurdere og sammenligne priser Tall Åpen Ma, sf, m&h 45 27 Prosentdel av rutenett Tall Flervalg Ma, sf alt. (4) 37 Finne prosent Tall Flervalg Ma, sf, m&h 20 (2) 42 Divisjon i kontekst Tall Åpen Ma, sf, m&h 414 49 55 52 Multiplikasjon/divisjon i kontekst Tall Åpen Ma, m&h, na 300 26 Vurdere og sammenligne priser Tall Åpen Ma, sf 1080 57 58 55 Vurdere mengde i forhold til antall Tall Åpen Ma, m&h, no 60 58 57 56 Vurdere mengde i forhold til pris Tall Åpen Ma, sf, no 715 6 4 2 Sortere lengdeenheter Måling Flervalg Ma, krø, k&h, na, sf R 12 Måneder Måling Flervalg Ma, sf, na, rle Juli (7) 56 52 57 Sammenheng analog og digital tid Måling Flervalg Ma, na 10:09:27 (2) 5 1 8 Multiplikasjon/addisjon i tidskontekst Måling Åpen Ma, krø, na 140 20 Tegne kvadrat med gitt sidelengde Måling Åpen Ma, k&h 4x4 31 Regne med tid Måling Flervalg Ma, na, sf, krø 15.32 (2) 41 Angi lengde Måling Åpen Ma, krø 400 meter 46 Velge riktig benevning Måling Flervalg Ma, na, sf cm (3) 47 Sammenheng mellom Måling Flervalg Ma, na, m&h 10 (3) 1 Den ordinære prøven i regning er i tre versjoner (V1, V2 og V3). Noen av oppgavene har ulik rekkefølge i hver versjon. 2 Matematikk (Ma), samfunnsfag (sf), naturfag (na), musikk (mu), norsk (no), engelsk (eng), kroppsøving (krø), kunst & håndverk (k&h), mat & helse (m&h), religion, livssyn og etikk (rle). 4

måleenheter 50 53 58 Enkel omgjøring, masse Måling Flervalg Ma, m&h, na 5 hg 7 3 9 Differanse, min og s Måling Flervalg Ma, krø, sf, nat 44 (2) 29 Sammenligne tider (s og 8.15-8.3-8.90- Måling Flervalg Ma, krø, na, sf tideler) 9.1 30 Differanse, positive og negative tall Måling Flervalg Ma, na 147,0 (4) 35 Finne kg-pris Måling Åpen Ma, sf, m&h 200 44 Valuta Måling Åpen Ma, sf, eng 325,5 23 Bestemme målestokk Måling Åpen Ma, krø, na, sf, k&h 1:100 48 Vei, fart og tid Måling Flervalg Ma, sf, na 21 (3) 53 51 51 Tidssoner Måling Åpen Ma, na, sf 16:15 54 49 50 Sammensatt problem, omgjøring Måling Flervalg Ma, m&h, sf 396,0 (3) 28 Sammensatt problem, omgjøring Måling Åpen Ma, m&h, na 5 36 Regne med målestokk Måling Åpen Ma, krø, na, sf, k&h 3,5 43 Regne ut gjennomsnittsfart Måling Flervalg Ma, sf, na 3-2-4-1 2 8 6 Lage linjediagram ut fra gitt Ma, sf, no, eng, Statistikk Åpen tabell na, rle R 11 Lage søylediagram ut fra Ma, sf, no, eng, Statistikk Åpen gitte data na, rle 0/8/9/4/2/1 22 Lese av linjediagram Statistikk Flervalg Ma, sf, no, eng, na, rle 1963 (2) 8 5 4 Tolke diagram og utføre Ma, sf, no, eng, Statistikk Flervalg beregninger, prosent na, rle 120 (3) 16 Tolke tabell og beregne Statistikk Åpen Ma, sf, na, eng, no 1335 32 Tolke diagram, vurdere Ma, sf, no, eng, Statistikk Flervalg påstander na, rle alt. (4) 33 Gjennomsnitt Statistikk Flervalg Ma, sf 100 (3) 55 50 53 Gjennomsnitt av store tall Statistikk Flervalg Ma 0,1 (1) 9 6 10 Lese av og tolke Ma, sf, no, eng, Statistikk Flervalg søylediagram na, rle 22 (3) 19 Tolke tabell og vurdere Ma, sf, no, eng, Statistikk Flervalg påstander na, rle alt. (4) 34 Tolke tabell, regne gjennomsnitt Statistikk Flervalg Ma, krø alt. (4) 38 Tolke tabell og utføre Ma, sf, no, eng, Statistikk Åpen beregninger na, rle 62 51 54 49 Tolke tabell og utføre Ma, sf, no, eng, Statistikk Flervalg beregninger na, rle Desember (12) 10 7 5 Fylle ut poengtabell i idrett Statistikk Åpen Ma, sf, no, eng, mål: 6/2/-8 na, rle p:4/4/0 5

Hvordan bruke analyseverktøyet (regnearket) i PAS? Ved å legge inn elevenes resultater i analyseverktøyet (regnearket) i PAS, kan du lettere vurdere tendenser til styrker og eventuelle svakheter i din elevgruppe og sammenligne din elevgruppe med nasjonalt nivå. Last ned analyseverktøyet Regneark 8. og 9. trinn regning bokmål fra PAS og kopier inn elevenes resultater. De finner du i Prøveadministrasjonssystemet (PAS) i NP01 Grupperapport. Rapporten finner du i menyen på venstre side. Slik kopierer du inn elevenes resultater i analyseverktøyet (regnearket) 1. Velg Grupperapport NP01 i PAS. Velg deretter prøven og den elevgruppen du vil legge inn resultater fra. Velg oppgavesett 1. 2. Klikk på eksporter. Resultatene fra elevgruppen du valgte, blir da overført til et Excel-ark. 3. Marker alle data i dette Excel-arket. Alt må være med: Fra og med celle A1 til og med cellen som inneholder data ytterst til høyre i arket, og helt ned til du har markert alle elevenes resultater. 4. Høyreklikk på det markerte området og velg Kopier. 5. Gå tilbake til analyseverktøyet (regnearket) og klikk på arkfanen PAS-data. 6. Plasser markøren i celle A1 (her må du være nøye). Høyreklikk og velg lim inn. Dataene er nå på plass i analyseverktøyet (regnearket). Her finner du: Forklaringer (arkfane 1) PAS-data (arkfane 2) Gruppetabell (arkfane 3) Poenggrenser (arkfane 4) Diagram (arkfane 5) Regnearket kan være til hjelp for å se områder (for eksempel tall) og emner (for eksempel divisjon) som din elevgruppe ser ut til å mestre, og områder og emner de kan ha utbytte av å arbeide mer med. Du får også oversikt over løsningsprosenten til hver oppgave i prøven. Regnearket gir kun informasjon om områder og emner i regning som grunnleggende ferdighet som prøven måler. Resultatene viser tendenser for din elevgruppe sammenlignet med nasjonalt nivå. Det er derfor viktig at du også bruker andre kilder som dialog, observasjon og elevarbeider for å få informasjon om den enkelte elevs ferdigheter i regning. Gruppetabell I gruppetabellen (arkfane 3) finner du informasjon om din elevgruppes resultater (Gruppe) og mulighet til å sammenlikne dem med nasjonalt nivå (Nasjonal) (eksempelet inneholder ikke reelle tall). 6

Kolonnen Gruppe viser hvor mange prosent av dine elever som fikk til hver oppgave, og kolonnen Nasjonal viser tilsvarende tall for nasjonalt nivå. Differansen mellom gruppens nivå og nasjonalt nivå er beregnet under kolonnen Avvik. For å se hvilken type oppgaver din elevgruppe har positive eller negative avvik på, kan du sortere tabellen etter kolonne Avvik, deretter Område og Innhold. Slik kan du sortere i regnearket: 1. Marker gruppetabellen. 2. Klikk på sorter. 3. Klikk på legg til nivå og velg ønskete kolonner fra rullegardinen. 4. Klikk på OK. Regnearket er nå sortert etter kriteriene du har valgt. Menyene og valgene kan variere med hvilken versjon av programvaren som benyttes. Dersom de positive avvikene for noen områder er store, tyder det på at elevgruppen har mange sterkt presterende elever for dette innholdet i prøven. Dersom de negative avvikene på noen områder er store, tyder det på at elevgruppen har mange svakt presterende elever for dette innholdet i prøven. Et mindre negativt avvik kan være et godt resultat om løsningsprosenten er høy. Selv om elevgruppen har positive avvik, betyr det ikke at vi skal si oss fornøyd med nivået om løsningsprosenten er lav. Flere av oppgavene som har lav løsningsprosent på nasjonalt nivå, prøver sentrale regneferdigheter som er viktige i elevenes hverdag. Gruppetabellen gir også mulighet til å se eventuelle tendenser ved ulike faglige aspekter i elevgruppens resultater. For å se tendenser i din elevgruppe, kan du sortere tabellen etter kolonnen Område, deretter Innhold og Gruppe. Du vil da kunne se om det er områder eller spesifikke emner din elevgruppe utmerker seg med høy eller lav løsningsprosent i. 7

Poenggrenser Under arkfanen Poenggrenser finner du foreløpige poenggrenser for de fem mestringsnivåene. For å gi deg mestringsnivåene raskt, har vi gjort en foreløpig beregning av poenggrensene basert på et utvalg av resultatene. Selv om det er lite sannsynlig, kan det likevel skje at en eller flere av grensene endrer seg med ett poeng opp eller ned. De endelige poenggrensene og resultatene fra nasjonale prøver i regning publiseres i Skoleporten og i PAS 10. desember. Ved å se beskrivelsen av mestringsnivåene sammen med elevenes resultater for de ulike faglige aspektene ved prøven, kan du få tips til fokusområder og tilpassing av opplæringen for den enkelte elev i den videre regneopplæringen. Beskrivelsen av mestringsnivåene og andre råd om bruk av prøven i underveisvurderingen finner du i Veiledning til lærere Regning 8. og 9. trinn i PAS og på Utdanningsdirektoratets nettsider. Diagrammer Under arkfanen Diagrammer finner du elevgruppens løsningsprosent for hvert av de tre hovedområdene (tall, måling og statistikk) sammenliknet med nasjonalt nivå. Du finner også prosentvis fordeling på hvert av de fem mestringsnivåene for din elevgruppe, sammenliknet med nasjonalt nivå. Oppfølging av resultater fra nasjonal prøve i regning på 8. trinn 2013 8

Å regne i alle fag Oppgavene i nasjonale prøver i regning for 8. og 9. trinn tar utgangspunkt i regning som grunnleggende ferdighet i kompetansemålene for fag etter 7. trinn. Resultatene på gruppenivå kan være til hjelp for å se hvilke områder elevene mestrer, og hvilke emner elevene kan ha utbytte av å arbeide mer med. Resultatene viser at svært mange elever møter utfordringer når det gjelder å forstå begreper, kunne velge riktig strategi for å løse en oppgave og å løse sammensatte problemer. I tillegg vurderer elevene svarene sine i liten grad når de mener de har funnet løsningen på en oppgave. Å jobbe med disse områdene kan bidra til å styrke regneferdighetene i de ulike fagene. Å kunne regne er å resonnere og bruke matematiske begreper, fremgangsmåter, fakta og verktøy for å løse problemer og for å beskrive, forklare og forutse hva som vil skje gjenkjenne regning i ulike kontekster, stille spørsmål av matematisk karakter, velge holdbare metoder når problemene skal løses, være i stand til å gjennomføre, og tolke gyldigheten og rekkevidden av resultatene gå tilbake i regneprosessen for å gjøre nye valg kommunisere og argumentere for valg som er tatt, ved å tolke konteksten og arbeide med problemstillingen fram til en ferdig løsning I planleggingen av videre opplæring i regning i fag, er det nyttig å se nærmere på de områdene som prøven omfatter. Resultatet for din elevgruppe kan gi en indikasjon på hvilke emner elevene mestrer innenfor områdene tall, måling og statistikk. Emner som viser lav mestring for hele eller deler av elevgruppen for de enkelte områdene, bør det være naturlig å fokusere på i den videre regneopplæringen. Sentralt innhold i prøven for 8. og 9. trinn plassverdisystemet for hele tall og desimaltall (betydningen av sifrenes verdi som plassholder i titallsystemet) de fire regningsartene (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon) begrepene brøk, desimaltall og prosent og sammenhengen mellom dem prosentregning temperatur, tid, masse, vinkler, lengde, areal og volum vei, fart og tid omgjøring av enheter (regne om fra en måleenhet til en annen, for eksempel fra g til kg) å sammenligne størrelser å lese, tolke og framstille ulike typer tabeller og diagrammer sentralmål (gjennomsnitt, median og typetall) og representasjoner av data sammensatte problemstillinger bruk av varierende løsningsstrategier og vurdere rimeligheten av svar 9

Hva er god regneopplæring? Det finnes ikke én oppskrift på god opplæring og hvordan gode regneferdigheter utvikles. God undervisning og læring oppnås i et samspill mellom elevene, faget og læreren i kontekst. Dette kan foregå på ulike måter, men ensidige arbeidsformer gir ikke elevene tilstrekkelige muligheter til å utvikle gode regneferdigheter. Det er viktig å ta vare på elevenes motivasjon for å lære å regne i alle fag. Prinsipper for god regneopplæring 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter. 2. Vær bevisst i valg av oppgaver. 3. Varier mellom arbeid i større og mindre elevgrupper og individuelt arbeid. 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før. 5. Bruk det matematiske språket aktivt. 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet. En gjennomtenkt bruk av Prinsipper for god regneopplæring i planlegging, gjennomføring og vurdering av undervisningen, gir elevene mulighet til å utvikle regning som grunnleggende ferdighet i alle fag. Regneferdigheter utvikles best i gode læringsfellesskap hvor elevene blir oppfordret til å tenke og undersøke, og ideene deres blir verdsatt og danner grunnlag for undervisningen. Det må gis rom for misforståelser på veien til mer målrettede og effektive strategier. Hvordan utvikles grunnleggende ferdigheter i regning? Utvikling av regning som grunnleggende ferdighet går fra å bruke regning i konkrete situasjoner til mer sammensatte og abstrakte situasjoner å gjenkjenne situasjoner som kan løses ved regning, til å analysere problemstillinger ved regning å ta i bruk nye begreper og lære nye teknikker og strategier til å velge hensiktsmessige metoder 10

Å utvikle elevenes regnestrategier Denne delen inneholder eksempler på oppgaver fra områdene tall, måling og statistikk i årets prøve. Eksemplene viser riktige svar, typiske feilsvar som kom fram under utprøving av oppgaver, og tips til hvordan elever som svarer feil på slike oppgaver, kan tenke for å utvikle og forbedre egne regnestrategier. Tallene er hentet fra resultatene etter siste utprøving av oppgavene høsten 2012. Det var ca. 1400 elever på 8. trinn som deltok, og hver oppgave er prøvd ut på ca. 700 elever. Oppgavenumrene er fra versjon 1 (V1) av prøven. I eksemplene er det påpekt noen mulige årsaker til feilsvarene. Det er viktig å finne ut hva som er årsaken til at elevene svarer feil. Det kan gjøres ved å undersøke elevenes svar på lignende oppgaver, eller ved å diskutere oppgaver muntlig med elevene. I noen av eksemplene har vi foreslått strategier som elevene kan bruke for å komme fram til riktig svar. I oppgaver hvor elevene ikke har eller kan ta i bruk noen standardisert regnemåte for å finne svaret, kan de prøve å finne løsningen ved å gjenkjenne problemet og anvende ferdigheter som de har fra andre områder i regning. Hvis en elev har tydelige misoppfatninger, må læreren ta tak i de aktuelle emnene. Det er i så fall viktig at de andre faglærerne samarbeider med matematikklæreren om dette. Matematikklæreren kan også velge å benytte Læringsstøttende prøver i matematikk for å få mer informasjon om misoppfatningene til disse elevene. Til dette materiellet er det laget ressurshefter til hvert av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Du finner informasjon om disse prøvene på Utdanningsdirektoratets nettsider. Prøvene er elektroniske, gjennomføres i PGS og kan avlegges flere ganger. Oppgaver fra den nasjonale prøven kan være et godt utgangspunkt for diskusjoner om videre arbeid med regning som grunnleggende ferdighet i alle fag. I tillegg til årets oppgavesett som er frigitt, kan oppgavesettet fra 2011 benyttes. Det ligger tilgjengelig på www.udir.no. Spørsmål til diskusjon med elevgruppen: På hvilken måte er regning relevant i dette faget? Hvilke emner og områder bør vi fokusere på for å utvikle gode regneferdigheter i dette faget? Er det forskjell på strategiene elevene bruker når de o fyller inn svaret selv (åpen oppgave) eller o får oppgitt alternativene (flervalgsoppgave) og velger riktig svar? Har elevene gode løsningsstrategier? 11

Tall I prøven for 2013 er 22 av oppgavene fra området tall. Elevenes regneferdigheter ble prøvd i emnene brøk, prosent og desimaltall, de fire regneartene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og forholdstall. Flere av oppgavene fokuserer på å løse enkle, sammensatte problemer og å forstå posisjonssystemet. Et eksempel på en oppgave fra området tall (Oppgave 51 i 2010) Oppgaven er en flervalgsoppgave. Den tester om elevene kan orientere seg i en kort tekst med et lite antall begreper og tall, samtidig som de må velge riktig regneart for å løse oppgaven. Å forstå posisjonssystemet og hva de ulike sifrene i tall symboliserer, er en forutsetning for å kunne regne i mange sammenhenger. Hvis elevene for eksempel har forstått tallsystemets oppbygning og vet at det er 100 øre i 1 kr, er det ikke nødvendig å kunne algoritmen for divisjon for å finne løsningen på denne oppgaven. Oppgaven bør løses ved logisk resonnement. Å kunne regne i norsk handler blant annet om begrepsutvikling, logisk resonnement og problemløsing. I kompetansemålene står det at elevene skal kunne lese et mangfold av tekster i ulike sjangre og av ulik kompleksitet. Oppgaven ovenfor har for eksempel relevans til regning som grunnleggende ferdighet i fagene samfunnsfag og norsk i tillegg til faget matematikk. Oppgavene om tall i årets prøve, er basert på kompetansemål i læreplanene for fagene norsk, matematikk, naturfag, samfunnsfag, mat og helse, kroppsøving, kunst og håndverk, religion, livssyn, etikk og musikk, og i regning som grunnleggende ferdighet i de samme fagene. De øvrige oppgaveeksemplene i denne veiledningen er fra årets prøve, versjon 1 (V1). 12

Hele tall Oppgave 15 Dette er en åpen oppgave som tester om elevene kan utføre regneoperasjoner med hele tall og desimaltall, og deres evne til å gjennomføre et logisk resonnement på en praktisk situasjon. For å kunne løse oppgaven, må elevene forstå forutsetningene i oppgaven og holde seg innenfor rammene som er gitt. Det var 58 prosent av elevene som fant riktig svar, og 9 prosent lot oppgaven stå ubesvart. For denne oppgaven var det ingen signifikant forskjell på jenter og gutter. At 21 prosent av elevene svarte «3» tyder på at mange elever ikke vurderte svaret sitt godt nok opp mot forutsetningene i oppgaven, eller at de kan ha lagt egne erfaringer til grunn. Svar Kommentar Andel av elevene 3 21 % 4 Riktig svar 58 % Ubesvart 9 % Løsningsstrategier Addisjon 45 + 45 + 45 + 45 = 180 45 + 45 + 45 = 135 Tre busser har plass til 135 elever. Det blir ikke plass til alle. De må ha en buss til. Da er det plass til 180 elever. Subtraksjon 140 45 45 45 = 5 Divisjon Overslag Prøve og feile Multiplikasjon og hoderegning 140 : 45 > 3 140 : 45 < 4 3 45 3 50 = 150 3 45 = 3 50 15 = 135 45 2 = 90, 140 90 = 50 45 3 = 135, 140 135 = 5 De siste fem elevene må også få plass. Det må bestilles fire busser. Tre busser er for lite, og fire busser gir mer enn nok plass. Det må bestilles fire busser for å få plass til alle. Å gjøre et overslag vil ikke fungere alene uten refleksjon i denne oppgaven. Noen vil imidlertid kunne se at tre busser er i nærheten av å kunne ta 140 elever, i alle fall tar tre busser færre enn 150 elever. Elevene må regne mer nøyaktig og ser at det vil bli for lite med tre busser. Det må bestilles fire busser. I begge disse tilfellene ser vi at det blir for lite med tre busser. Å beregne kostnadsgrunnlag, gjøre overslag og gjentatt addisjon og dobling er grunnleggende ferdighet i regning som benyttes i mange fag. 13

Desimaltall Oppgave 21 Dette er en flervalgsoppgave hvor elevene skal utføre regneoperasjoner med hele tall og halvering som gir enkelt desimaltall til svar. Svar Kommentar Andel av elevene 4,5 m Regner avstanden mellom hvert flagg som 1 m. 4,0 m + 0,5 m = 4,5 m 19 % 20,5 m a) Regner 5 m mellom hvert flagg, 5 m 4 = 20 m Feilen oppstår ved «halvering» mellom flagg 4 og 5, 0,5 5 m blir 0,5 m eller 5 m : 2 blir 0,5 m Da får vi: 20 m + 0,5 m = 20,5 m 18 % b) Eller elevene teller: 5 10 15 20 og «en halv» 22,5 m Riktig svar 49 % 25 m Regner 5 flagg: 5 5 m = 25 m 8 % Ubesvart 6 % Det var 57 prosent av guttene og 42 prosent av jentene som fikk riktig svar på oppgaven. 7 prosentpoeng flere jenter enn gutter valgte feilsvaret 4,5 m. Dette samsvarer med resultater fra tidligere års prøver. Vi har grunn til å tro at guttene er flinkere enn jentene til å vurdere om et svar er sannsynlig løsning på en oppgave, og spesielt har vi sett dette i oppgaver med måleenheter som benevning. Å kunne regne med hele tall og desimaltall er en grunnleggende ferdighet i regning i alle fag. Spesielt i fagene mat og helse, naturfag, samfunnsfag, kroppsøving og kunst og håndverk i tillegg til matematikk er å forstå hele tall og desimaltall viktig for å nå kompetansemål. 14

Diagram og prosent Oppgave 8 Oppgaven er en flervalgsoppgave hentet fra område statistikk. Elevene skal bearbeide informasjon fra et sektordiagram og regne prosent av hele tall. Analysen viser at det er prosentregningen og ikke avlesing av diagrammet som er den største utfordringen i denne oppgaven. Vi kommenterer derfor oppgaven i området tall selv om det er en statistikkoppgave. Svar Kommentar Andel av elevene 30 Forveksler prosentandel med antall elever. 21 100 a) Ser 30 % som ¼ av sektordiagrammet, og svarer 100. b) Eller bruker diagrammet for sykkel og regner ut 25 % av 400. 18 c) Eller svarer ¼ fordi det er fire alternativer i oppgaven. 120 Riktig svar, - mulige strategier kan ha vært: a) 400 (30 : 100) = 12 000 : 100 = 120 b) 400 : 100 = 4 1 % er 4 elever 4 elever 30 = 120 elever 51 Elevene som velger «veien om 1» viser at de forstår at 400 elever er 100 %, eller at 40 elever er 10 %. a) Forstår ikke begrepet prosent. 400 (30 : 100) + 30 % er 120 + 30 = 150 150 b) Kan ikke regne med prosent, men tenker at svaret må være mindre enn 6 halvparten av elevene, - altså kan 150 være et mulig svar, siden det er et svaralternativ. Ubesvart 4 Å forstå begrepet prosent og å kunne regne med prosent er en grunnleggende ferdighet i regning i de fleste fag. Ved å bruke eksempler fra dagliglivet, legge til rette for praktiske situasjoner med enkle tall slik at elevene kan regne i hodet, eller bruke ulike konkretiseringsmateriell, kan vi hjelpe elevene til å forstå begrepet bedre. 15

Måling I prøven for 2013 er 22 av oppgavene fra området måling. Oppgavene tester omgjøring av enheter, begrepene areal, lengde, masse, volum og hastighet, å regne med tid, penger og målestokk. De oppgavene som har lavest løsningsprosent i nasjonal prøve i regning, er vanligvis knyttet til området måling og gjelder spesielt omgjøring mellom enheter. Hvis elevene ikke er trygge på sammenhengen mellom de ulike måleenhetene, kan dette få konsekvenser for læring i mange fag. I oppgaver med målestokk blir elevene både prøvd i å regne med forholdstall og i å gjøre om mellom enheter, ofte fra centimeter til kilometer. Dette er oppgaver med spesielt lav løsningsprosent. Oppgave 28 Oppgave 28 er åpen. Den kan ikke løses ved logisk resonnement, men krever at elevene behersker både posisjonssystemet og sammenhengen mellom volumenhetene desiliter og milliliter. Oppgaven har størst relevans for fagene matematikk, naturfag og mat og helse. Oppgavene i området måling i årets prøve er basert på kompetansemål og regning som grunnleggende ferdighet i fagene kroppsøving, kunst og håndverk, naturfag, samfunnsfag, matematikk, engelsk og religion, livssyn, etikk. Praktiske aktiviteter er særlig viktig for å få utviklet regneferdighet innenfor området måling. Det kan være å måle lengder, å ta «tiden» i kroppsøving, og måle nedbør og temperatur i naturfag. I kunst og håndverk kan arbeid med proporsjoner, dimensjoner, målestokk og geometriske grunnformer hjelpe elevene til å forstå begrepene forhold, lengde, areal og volum. Dette kan også gi elevene trening i posisjonssystemet og i å se sammenhengen mellom lengdeenheter. I samfunnsfag kan elevene sammenligne tallmateriale om faglige tema og regne med tid. I mat og helse kan praktiske øvelser med veiing og måling og redusere og øke mengder i oppskrifter, være viktige bidrag i utvikling av regneferdigheten. 16

Valuta Oppgave 44 Dette er en åpen oppgave hvor elevene skal regne med valuta. Det innebærer omgjøring av enheter og krever kompetanse i å utføre regneoperasjoner med hele tall og desimaltall. Det var 30 prosent av elevene som svarte riktig på oppgaven, og 11 prosent lot oppgaven stå ubesvart. Svar Kommentar Andel av elevene 315,00 Overslag og bruker 9 NOK som kurs 1,8 % 325,50 Riktig svar 30 % 350,00 Overslag og bruker 10 NOK som kurs 3 % Ubesvart 11 % Mange elever har problemer med å velge riktig regneart i valutaoppgaver. Det kan være årsaken til at andelen ubesvarte er relativt høy. For å løse oppgaven må elevene beherske multiplikasjon med desimaltall. Det er imidlertid mange ulike strategier som kan brukes for å komme fram til riktig svar. Løsningsstrategier Algoritme for multiplikasjon Dele opp kursen i hele tall og desimaltall Dele opp kurs og pund i tiere, enere og desimaldelen Multiplisere med 10 og subtrahere 1 koster 9,30 NOK 35 koster: 35 9,30 NOK = 325,50 NOK 35 koster: (35 9 NOK) + (35 0,30 NOK) = 315 NOK + 10,50 NOK = 325,50 NOK 35 koster: (30 9 NOK) + (5 9 NOK) + (30 0,30 NOK) + (5 0,30 NOK) = 270 NOK + 45 NOK + 9,00 NOK + 1,50 NOK = 325,50 NOK 35 koster: (35 10 NOK) (35 0,70 NOK) = 350 NOK 25,50 NOK = 325,50 NOK 17

Multiplikasjonen kan synliggjøres som utregning av areal. Noen elever vil tegne en modell med eksakte mål, andre vil tegne en anslagsvis modell. Elevene viser at de har forstått både hva multiplikasjon betyr og sifrenes plass i posisjonssystemet. 9,30 35 deles opp i fire areal: 9 30 = 270 9 5 = 45 0,30 30 = 9,00 0,30 5 = 1,50 Sum: 325,50 Svar: 35 9,30 NOK = 325,50 NOK I etterarbeidet med denne oppgaven kan det være gunstig å bruke internett som informasjonskilde. Elevene kan gå inn på utenlandske nettbutikker for å finne produkter i annen valuta enn norske kroner. Aktuell valutakurs kan hentes på ulike nettsteder, og elevene kan regne om prisen til norske kroner. Dette er en kontekst som er nær elevenes hverdag og kan for mange gjøre det lettere å forstå valuta. Å kunne sammenligne priser på ulike varer i mat og helse, og tall og ulike priser i samfunnsfag, er grunnleggende ferdigheter i regning. Å kunne uttrykke seg om - og regne med valuta er et kompetansemål i engelsk. Oppgaven kan knyttes til mat og helse, samfunnsfag og engelsk i tillegg til matematikk. Målestokk Oppgave 36 Oppgaven er åpen og elevene må kunne regne med målestokk, multiplisere store tall og gjøre omgjøringer mellom ulike måleenheter for å løse oppgaven. Bare 8 prosent av elevene kom fram til riktig svar. Det var 10 prosent av guttene og 5 prosent av jentene. Oppgaven er signifikant i guttefavør. Andelen ubesvart var 22 prosent i denne oppgaven. 18

Resultatet viser at svært mange elever ikke er fortrolig med begrepet målestokk. Analysen viser imidlertid at omgjøring fra cm til km også er et stort problem for elevene. Det er til sammen 40 prosent av elevene som kom fram til svarene 3,5, 35, 350, 3 500, 35 000 eller 350 000. Dette tyder på at de har forstått begrepet målestokk, men ikke greid omgjøringen til km. Løsningsstrategier Målestokk 1 : 50 000 Multiplikasjon før omgjøring Omgjøring før multiplikasjon Delvis omgjøring, multiplikasjon, omgjøring 7 cm 50 000 = 350 000 cm = 3 500 m = 3,5 km 1 cm på kartet tilsvarer: 50 000 cm = 500 m = 0,5 km 7 cm på kartet tilsvarer: 0,5 km 7 = 3,5 km 1 cm på kartet tilsvarer: 50 000 cm = 500 m 7 cm på kartet tilsvarer: 500 m 7 = 3500 m = 3,5 km Elevene har behov for å arbeide med måleenheter og omgjøring fra en måleenhet til en annen. Praktiske oppgaver som å måle egen høyde i både meter og centimeter, løpe ulike lengder i kroppsøving, å kaste ball på ideallengde eller å anslå avstander, kan være gode innlæringsmetoder av enheter for lengde. Når det gjelder målestokk kan modelltegning i kunst og håndverk være aktuell aktivitet, likeså orientering og å lese kart i kroppsøving og samfunnsfag. En alt for stor andel av elevene kommer ofte fram til helt urimelige svar. Det er viktig å snakke med elevene om hva som kan være aktuelle svar på en oppgave. Elevene må for eksempel få mulighet til å reflektere over hvor langt 35 000 km er, og om dette er en rimelig gangavstand mellom to hytter. Å kunne måle lengder, regne med målestokk og gjøre om mellom måleenheter er regning som grunnleggende ferdighet i mange fag. Spesielt kan vi nevne kroppsøving, naturfag og kunst og håndverk i tillegg til matematikk. Tid Oppgave 7 19 Oppgaven er en flervalgsoppgave og handler om å løse enkle sammensatte problemer med emnet tid. I denne oppgaven må elevene vite at det er 60 sekunder i ett minutt og kunne regne med det. Dette er en av oppgavene med størst forskjell i resultatene til jentene og guttene. Det var 14 prosentpoeng flere gutter enn jenter som løste oppgaven, noe som er helt i tråd med resultatene fra tidligere års prøver.

Svar Kommentar Andel av elevene 16 s Eleven henter bare tall fra oppgaveteksten. 22 s 6 s = 16 s 8 44 s Riktig svar 51 76 s Tenker minutter og sekunder hver for seg. 2 min 1 min = 1 min = 60 s 22 s 6 s = 16 s 21 60 s + 16 s = 76 s 126 s Tenker avstanden mellom Norge og Finland. 2 min 6 s = 60 s + 60 s + 6 s = 126 s 19 Ubesvart 2 Løsningsstrategier Prøver alternativene Regner seg fram til svaret Teller seg fram til halve og hele minutter og finner summen 1 min 22 s + 44 s = 1 min 66 s = 2 min 6 s 2 min 6 s = 60 s + 60 s + 6 s = 126 s 1 min 22 s = 60 s + 22 s = 82 s 126 s 82 s = 44 s 1 min 22 s + 8 s = 1 min 30 s 1 min 30 s + 30 s = 2 min 2 min + 6 s = 2 min 6 s 8 s + 30 s + 6 s = 44 s I etterarbeidet med denne oppgaven er det relevant å arbeide med begrepene minutter, sekunder og differanse. Når man arbeider med tallsystemet for beregning av tid, er det nødvendig å se dette i sammenheng med urskiva på klokka. Praktiske øvelser med tidtaking og å regne ut tidsdifferanse er også naturlig. En fin øvelse for å få bedre forståelse av begrepene minutter og sekunder, er å gjøre ting på idealtid. Å kunne gjøre beregninger med tid i minutter og sekunder er grunnleggende ferdighet i regning i blant annet musikk, naturfag, mat og helse og kroppsøving. Statistikk I prøven for 2013 er det 14 oppgaver som er fra området statistikk. I disse oppgavene skulle elevene lage diagram, tolke tabeller og diagrammer og bearbeide informasjon. Statistikk er et emneområde som får stadig større innflytelse i flere fag, mye på grunn av en økende digitalisering av hverdagen. Arbeid med å organisere, analysere, tolke, presentere og vurdere data og grafiske framstillinger er grunnleggende ferdigheter i regning i alle fag. Innsamling av data til undersøkelser innenfor faglige tema bør gjennomføres i praksis, ikke bare teoretisk. 20

Oppgave 2 Oppgaven er interaktiv og tester elevenes evne til å lage et linjediagram ut fra informasjonen i en tabell. Dette krever nøyaktighet, men ingen høy grad av refleksjon, og er en typisk statistikkoppgave som har relevans for alle fag når det gjelder regning som grunnleggende ferdighet. Oppgavene i området statistikk i årets prøve er basert på kompetansemål og regning som grunnleggende ferdighet i alle fag i Kunnskapsløftet. Tabell og bilde Oppgaven er åpen og handler om å tolke informasjonen i en tabell, sammenligne informasjonen med opplysningene på et bilde og samtidig merke seg en nødvendig informasjon som står i teksten. 62 prosent av elevene fant riktig svar på oppgaven, og det var 9 prosentpoeng flere jenter enn gutter som løste oppgaven. Svar Kommentar Andel av elevene 1270 kr 2 barn og 2 voksne 3 % 1335 kr Riktig svar 62 % 1620 kr 2 barn og 3 voksne 4 % Ubesvart 2 % 21

Dette er en oppgave som stiller krav til nøyaktighet og evne til å strukturere opplysninger. Utfordringen består i at informasjonen skal hentes fra tre steder, - teksten, tabellen og bildet. Elevene kan gjøre feil på selve avlesningen, og de kan addere feil. Å lese av riktig er en forutsetning for at addisjonen skal kunne bli riktig. Regnestrategi: 1 år og 85 cm: - gutten er under 85 cm, dermed gratis 32 år og 162 cm: - hun er voksen og over 120 cm. Pris for én dag er 350 kr 6 år og 122 cm: - hun er over 120 cm. Pris for én dag er 350 kr 35 år og 188 cm: - han er voksen og over 120 cm. Pris for én dag 350 kr 4 år og 115 cm: - han er mellom 90 120 cm. Han er ikke voksen. Pris for én dag 285 kr 0 kr + 350 kr + 350 kr + 350 kr + 285 kr = 1335 kr Svar: Familien Landrø må betale 1335 kr for én dag i familieparken Å lese og lage tabeller og diagrammer og å samle inn og bearbeide data, er en grunnleggende ferdighet i regning som finnes blant kompetansemål i alle fag. Gjennomsnitt Oppgave 34 Dette er en flervalgsoppgave med 6 alternativer i rullegardin. Elevene må både mestre regning med gjennomsnitt og vise at de forstår begrepet. Det er 39 prosent av elevene som svarer riktig på oppgaven, og 3 prosent svarer ikke. Svar Kommentar Andel av elevene 1 3 % 2 26 % 3 Deler inn i «3 over og 3 under» Tror gjennomsnitt avhenger av antall utøvere 22 % 4 Riktig svar 39 % 5 4 % 6 4 % Ubesvart 3 % Tallene i tabellen er laget slik at det skal være lett å addere hvis elevene kjenner til tier-venner. Løsningsstrategier: 22

a) Addisjon med hjelp av tier-venner: 1,33 + 1,97 = 1,4 + 1,9 = 3,3 2,08 + 1,82 = 2,1 + 1,8 = 3,9 2,16 + 1,44 = 2,2 + 1,4 = 3,6 3,3 m + 3,9 m + 3,6 m = 10,8 m Elever som kjenner begrepet gjennomsnitt, vet at de skal dele summen på antall deltakere: Gjennomsnittet: 10,8 m : 6 = 1,8 m Alle som har hoppet lengre enn 1,8 m har hoppet lengre enn gjennomsnittet. Svar: 4 b) Addisjon og divisjon Vanlig algoritmeregning: 1,33 m + 1, 97 m + 2,08 m + 1,82 m + 2,16 m + 1,44 m = 10,8 m 10,8 m : 6 = 1,8 m Gjennomsnittet: 10,8 m : 6 = 1,8 m Alle som har hoppet lengre enn 1,8 m har hoppet lengre enn gjennomsnittet. Svar: 4 Som etterarbeid kan øvelsen gjennomføres i praksis med grupper av elever. Elevene hopper lengde, måler, regner ut gjennomsnittet og finner hvor mange som ligger over og under gjennomsnittet. Man kan også jobbe med utvalg der det er svært mange toppresultater eller svært mange lave skår for å vise hvordan dette påvirker gjennomsnittet. Å kunne arbeide med gjennomsnitt er avgjørende for å kunne presentere undersøkelser i fag som samfunnsfag, naturfag og norsk. 23

Schweigaards gate 15 Postboks 9359 Grønland 0135 OSLO Telefon 23 30 12 00 utdanningsdirektoratet.no 24