Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Faglig kontakt under eksamen: Dag Wessel-Berg Tlf: 924 48 828 Eksamensdato: 1. juni 216 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: Kode C: Bestemt, enkel kalkulator tillatt. Rottmann: Matematisk Formelsamling Annen informasjon: Alle svar skal begrunnes og det skal komme klart fram hvordan svarene er oppnådd. Målform/språk: bokmål Antall sider: 3 Antall sider vedlegg: 2 Kontrollert av: Dato Sign Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.
TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N Side 1 av 3 Oppgave 1 Utfør én iterasjon med Gauss Seidels metode på ligningssystemet 4x y + z = 1 x + 3y + z = 2 2x + y + 6z = 3 med startverdier x = 1, y = 1, z =. Oppgave 2 Tredjegradsligningen har en rot i nærheten av x =.7. La x 3 + x 1 = g 1 (x) = 1 x 3, g 2 (x) = 1 x 2 + 1, g 3(x) = (1 x) 1 3. Sett x =.7. Hvilket av de tre eksemplene x n+1 = g 1 (x n ), x n+1 = g 2 (x n ), x n+1 = g 3 (x n ), for fikspunktiterasjon vil gi en følge x, x 1, x 2,... som ikke konvergerer mot denne rota? Hvorfor fungerer ikke fikspuntiterasjon for dette eksempelet? Finn tilnærmet verdi av rota med 2 signifikante siffer ved bruk av en av fikspunktitereringene som fungerer. Oppgave 3 Bruk Runge Kutta metoden RK4 på problemet y = x y, y() =, med steglengde h =.5 for å finne en tilnærmet verdi for y(.5). Oppgave 4 Bruk Simpsons metode med 2n = 4 delintervaller for å finne en tilnærmet verdi av integralet 1 dx 1 + x. Hvor mange delintervaller med Simpsons metode trengs det for at absoluttverdien av feilen er mindre enn 1 8?
Side 2 av 3 TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N Oppgave 5 a) La f(x) = πx x 2 være definert for x [, π]. Finn Fourier sinus-rekka til f(x). Hint: Det kan lønne seg å holde leddene i f(x) samlet under delvis integrasjon. Skisser grafen til Fourier sinus-rekkka til f(x) mellom x = 2π og x = 2π. b) La x π, t. Finn alle ikke-trivielle løsninger på randverdiproblemet u t = 2 u, u(, t) = u(π, t) =, x2 som er på formen u(x, t) = F (x)g(t). c) Igjen er x π, t. Nå ser vi på det inhomogene randverdiproblemet u t = 2 u + 2, u(, t) = u(π, t) =. x2 Finn den stasjonære (steady state) løsningen, u s (x), til dette randverdiproblemet (dvs. løsningen på randverdiproblemet som er uavhengig av tid). Finn så løsningen på randverdiproblemet som også oppfyller u(x, ) =. Hint: Skriv u(x, t) = u s (x) + v(x, t), og finn randverdiproblemet som v(x, t) oppfyller, samt startverdien v(x, ) for v(x, t). Oppgave 6 Funksjonen f(x) er definert for alle x R ved { 1 for x 2, f(x) = ellers. Regn ut den Fouriertransformerte, ˆf(ω), til f(x). Vis at Fourierintegralet 1 2π ˆf(ω)e iωx dω kan skrives som 1 sin ω(2 x) + sin ωx dω, π ω og bruk dette til å finne verdien av integralet sin ω ω dω.
TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N Side 3 av 3 Oppgave 7 Kun for TMA4125 Matematikk 4N a) Bruk Laplacetransformasjon for å finne funksjonen y(t) som oppfyller startverdiproblemet y + 2y + y = u(t 1), y() = y () =, der u(t) er enhetssprangfunksjonen (Heaviside-funksjonen). b) La m og n være naturlige tall (dvs. m, n =, 1, 2, 3,...). Bruk Laplacetransformasjone til f(t) = t m og g(t) = t n for å vise at (f g)(t) = der (f g)(t) er konvolusjonen av f og g. Vis at 1 u m (1 u) n du = m!n! (m + n + 1)! tm+n+1, m!n! (m + n + 1)!. Oppgave 8 Kun for TMA4123 Matematikk 4M a) Skissér (og forklar) det du får når du kjører Matlab-kodesnutten t = l i n s p a c e (, 2, 4 ) ; y = 2 s i n (1 2 pi t)+ s i n (4 2 pi t ) ; Y = f f t ( y ) ; p l o t ( abs (Y) ) ; Her er fft Matlabs implementasjon av fastfouriertransformasjon. Har skissen noen symmetri? I så fall, hvorfor? b) Vi ønsker å fjerne de delene av y som har frekvens på under 2 Hz. Skriv en Matlab-kodesnutt som gjør dette ved å endre Y. Sammenlignet med a), hva får du dersom du kjører plot(abs(y)) i Matlab nå? (Dersom du er usikker på hvordan koden bør se ut, forklar hva du ville gjort med ord).
TMA4123/TMA4125 Calculus 4M/4N, June 4, 215 Page i of ii Numerical formulas Let be the polynomial of degree which coincides with at points, =,,,. Under the assumption that and all the nodes lie in the interval [, ], we have = +! (+1). Newton s divided difference interpolation formula of degree : = [ ] + [, 1 ] + 1 [, 1, 2 ] Simpson s rule of integration: = + + 1 1 [,, ] 2 d h + 1 + 2 Error bounded by h 4 18 max (4). Newton s method for solving a system of nonlinear equations = is given by the scheme () Δ () = ( () ) (+1) = () + Δ (). Iteration methods for solving systems of linear equations = when, = : Jacobi: (+1) = () Gauss Seidel: (+1) = (+1) () Strict diagonal dominance of is a sufficient convergence criterion for both. Butcher tables for Runge Kutta methods, where +1 = + =1 Discrete Fourier transform:, = h + h, + (Forward) Euler: Heun/improved Euler: 2 2 Backward Euler: RK4: 2 2 2 2 6 6 1 = 2/ = =1,
Page ii of ii TMA4123/TMA4125 Calculus 4M/4N, June 4, 215 Table of some Laplace transforms ( =,, 2, ) cos sin cosh sinh cos sin = L{} = d 2! +1 2 + 2 2 + 2 2 2 2 2 2 + 2 2 + 2 Table of some Fourier transforms = 2 = F{} = 2 = ( ) 2 4 2 2 2 + 2 d 1 sin 1 cos 2 ( ) 1 2 ( 1 1+ 2 1+ 2 )