Kap. 4 Kapasitans og ielektrika Grunnleggene forståelse for HA en konensator er, HORFOR en virker som en gjør, hvilke BEGRENSINGER en har og hvorfor et DIELEKTRIKUM er påkrev i en konensator. Kapasitans Energi i konensatorer og laningssamlinger generelt Beskrive et ielektrikum: polarisering, elektrisk flukstetthet D, relativ permittivitet ε r Gauss lov for ielektrika. Små konensatorer og store konensatorer.. Fra Wikipeia: http://en.wikipeia.org/wiki/capacitor Øving 3, opg. 1 Coronautlaning ve > 30 k/cm Kap. 4 Kapasitans og ielektrika Konensatorer = to leere som kan lagre laning Kapasitans: C = Q/ (enhet F = fara) er = 1 for to leere (Type A) eller = for enkeltleer (Type B) Eks. 1: Enkeltkule: C = 4πε 0 R Eks. : arallellplatekonensator Eks. 3: Kulekonensator Eks. 4: Sylinerkonensator (koakskabel) Seriekopling og parallellkopling Uttrykk for energi i konensatorer og laningssamlinger I ag Fra http://en.wikipeia.org/wiki/corona_ischarge Corona ischarge on insulator string of a 500 k overhea power line. Corona ischarges represent a significant power loss for electric utilities. Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering Elektrisk flukstetthetsvektor: D Gauss lov for ielektrika. 1
an e Graaff generator Y&F fig.7 Se også Wikipeia Oppgitt overslagsspenning k 30 1 55 80 3 100 4 15 5,5 ve cm Coronautlaning ve E max = 30 k/cm på overflata max = E max R = 300 k Q max = max C = 3,3 μc an e Graaffgenerator i Gamle fysikk, 195 Forskning i kjernefysikk. Opptil 000 k Kuleiameter ca 60 cm høytrykkskammer runt sett fra ITbygg sør (Au F1) Jorkloen: Laning og felt arallellplatekonensator C = ε 0 A/ E = 130 /m (neover) C = 4πε 0 R = 0,71 mf = ER = 0,83 G Hvor stort areal for 1F konensator hvis f.eks. = 0,1 mm? R = 6400 km Q = C = 0,59 MC A = C / ε 0 = 1 F 0,1 mm / 9 10 1 F/m = 11 km!!
Eks. 1: Enkeltkule (laning q) Type B Eks. 3: Kulekonensator Type A = to kuleskall me laning Q og Q =Ex. 4.3 Eks. 4: Sylinerkonensator = Y&F Ex. 4.4 Type A = to sylinerskall me laning λ og λ (C/m) = koaksialkabel Utregnes helt tilsvarene som kulekonensator. Fra labhefte 016: C = 4πε 0 R (Fig 4.5) C = 4πε 0 r b r a /(r b r a ) 4πε 0 r b r a /r b = 4πε 0 r a når r b (Fig 4.6) 1) Finn E r ) integrer og finn (r) (Metoe ) ( Eks 9 Kap 3) 3) finn kapasitansen C = Q/ ab Metoe 1: 1 qi ( r) 4 0 i ri 1 q ( r) 4 r Metoe : E l b a 0 b a Uttrykk kapasitans i parallell Konensatorer: i serie korreksjonsfaktor i ielektrika (anna enn luft) Koaksialkonensator: C = ε r ε 0 (geometrifaktor) enhet: meter C r0 ln r / r b a l C 1 Q 1 C Q C 1 Q Q C Q Q 1 arallellplatekonensator: Kulekonensator: A C r0 rb ra C r 0 4 r r b 4 r når r r 0 a b a Q = Q 1 Q C = C 1 C lik for alle => C = C 1 C = Σ C i C Q C Q Q = 1 Q/C = Q/C 1 Q/C Q lik for alle => 1/C = 1/C 1 1/C = Σ 1/C i kon: C = C 1 C /(C 1 C ) 3
Kap. 4 Kapasitans og ielektrika Konensatorer = to leere som kan lagre laning Kapasitans: C = Q/ (enhet F = fara) er = 1 for to leere (Type A) eller = for enkeltleer (Type B) Eks. 1: Enkeltkule: C = 4πε 0 R Eks. : arallellplatekonensator C = ε 0 A/ Eks. 3: Kulekonensator C = 4πε 0 r b r a /(r b r a ) 4πε 0 r a når r b Eks. 4: Sylinerkonensator (koakskabel) arallellkopling: C = Σ C i ; Seriekopling: 1/C = Σ 1/C i Uttrykk for energi i konensatorer Uttrykk for energi i laningssamling Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering Elektrisk flukstetthetsvektor: D Gauss lov for ielektrika. Øking av avstan i platekonensator: 1. Tilkopla batteri: konstant Q = C avtar E avtar U = ½ Q avtar (gis til batteriet). Frakopla batteri: Q konstant = Q/C øker E konstant U = ½ Q øker (tilføres fra ytre kraft) => C = ε 0 A/ avtar Q Q Q Q F = QE Elektrisk energi 1. Uttrykt me laning og potensial: U = ½ Q = ½ C = ½ Q /C (4.9) (utleet for konenstor; all Q på samme ) Kap 3, eks.. To laninger A. Energiberegning uner oppbygging: q 1 først, så q : U = U 1 U = 0 q kq 1 /a U = ½ Σ i Q i (ulike Q i på ulike i ) U = ½ q (ulike q på ulike ) (4.9C) (4.9C) q først, så q 1 : U = U U 1 = 0 q 1 kq /a B. Ferig oppbyg: ve potensial energi q 1 1 =kq /a q 1 1 = q 1 kq /a q =kq 1 /a q = q kq 1 /a Sum: Σ q i i = q kq 1 /a Regnet obbelt! Konklusjon: C. Energi beregnet fra potensial i ferig oppbyg laning: U = ½ Σq i i 4
Elektrisk energi Beregning for sum av punktlaninger: Au R: Hvor mye energi for å plassere inn mange 1C laninger? A. Sette inn én og én laning: A. Setter inn én og én laning me energi for hver: U = q 1 0 q 1 q 3 ( 3 31 ) etc. B. Sum over parvise laninger, men hvert par bare én gang: U = Σ i<j k Q i Q j /r ij C. Sum over ferig oppbyg laning U = ½ Σ i Q i (4.9C) U = 1 Q 1 1=0 3 31 3 U 1 =0 U 3 =( 31 3 )Q Anbefaler C. o.s.v. Øving 5, oppgave a): Fire punktlaninger Eks.6: Energi for homogent la kule Energi U uttrykt me Efeltet Beregna i Eks.8 kap. 3: ~ 1/r k Q r ( r) 3 R R inni kula 1 U ( ) r q (4.9C) 1 3 kq ( r) 5 R iealisert areal A volum = A U = ½ ε 0 E A (Y&F Fig.) OBS: q = 0 utenfor kula Kulesymmetri: τ = 4π r r = kuleareal tykkelse u = U/τ = ½ ε 0 E 5
Elektrisk energi Eks. 7: Energi på leerkule me laning q 1. Uttrykt me laning og potensial: U = ½ q (= ½ Q = ½ C ) (4.9C). Uttrykt me elektrisk felt: U = u τ = ½ ε 0 E τ Hvor er energien lagra: I laningene eller i et elektriske feltet? å platene eller mellom platene? To uttrykk for SAMME energi! (4.11B) U fra E: U = ½ ε 0 E τ U fra : U = ½ q = ½ (R) q (R) Eks.67 U = ½ (r) q Eks.7: La leerkule: U = ½ kq /R Eks.6B: Energi for homogent la kule ve U = u τ = ½ ε 0 E τ Heimelekse (4.11B) (R) Eks. 6: Homogent la kule: U = 3/5 kq /R = 6/5 U la leerkule ~ 1/r (Y&F Fig.) 6
Dielektrika og elektrisk polarisering Materialer: akuum Leere Dielektrikum Mellom plater i konensator brukes allti et ielektrikum Kapasitansen øker a me en faktor ε r. Kap. 4 Kapasitans og ielektrika Gjennomgått: Konensatorer = to leere som kan ta opp laning Kapasitans: C = Q/ (fara), me eksempler:» Enkeltkule:» arallellplate:» Kulekonensator: Seriekopling og parallellkopling Energi i konensatorer Energi i laningssamlinger iere: Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering =χ e ε 0 E Elektrisk flukstetthetsvektor: D = ε 0 E Gauss lov for ielektrika: Noen anvenelser/eksempler C = 4πε 0 r a C = ε 0 A/ C = 4πε 0 r b r a /(r b r a ) σ i U = ½ Q = ½ C U = ½ q U = ½ ε 0 E τ p σ i (fig 4.0) Kraftmoment ipol: a/ qe ( a/) ( qe) qae pe p Kraftmoment reier p til å bli (om mulig) parallell me E p Leere i ytre Efelt Laninger forskyves, inntil E = 0 σ σ E = 0 (fig.8a) 7
Dipolinnretting (polarisering) gir flatelaning σ i (i = inusert laning) σ i σ i D = ε 0 E 0 = χ e ε 0 E (1) E D = ε 0 E () Resulterene E minre enn E 0 p Definisjon: = p/volum El. nøytralt innenfor her Observasjon: = χ e ε 0 E D = ε 0 E er uenra. Men «spiser opp» noe av E relativ permittivitet ε r ( ) ε r χ e = ε r 1 0 0.00059 0.0548 1.1 1.5 1.8 5.1 D = ε r ε 0 E = χ e ε 0 E ε r χ e = ε r.18 1.40 49 5.7 15 41.5 79.4 309 σ Gaussflate S 0 Gaussflate S 1 σ i σ i σ Relative permittivity ε r Luft: 0,3 X 10 7 8
Gauss lov: Gauss lov for fri laning Q: eller Gauss lov for inusert laning Q i : (11) A Qi Gauss lov for totallaning Q tot : (10) Q tot = Q Q i I alle tiligere formler kan ε 0 E erstattes av ε r ε 0 E =ε E = D og la Q = fri laning Eks.: Gauss lov (ovenfor) og Coulombs lov: D A Q E A Q / (1) Mest praktiske 1 Q 1 Q E r E r 40 r 4r0 r 1 Q D r 4 r Kap. 4. Dielektrika og polarisering. Oppsummering så langt Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering = ipoltetthet: = χ e ε 0 E er χ e er elektrisk susceptibilitet. Relativ permittivitet ε r = χ e 1 (ielektrisitetskonstant) Elektrisk flukstetthetsvektor: D = ε 0 E = ε r ε 0 E (forskyvningsvektor) D og ikke presentert i Y&F. Kort sammenfatta i Notat 1 Øving 7 sentral! Eks. 8 arallellplatekonensator uten og me ielektrikum A. Frakopla batteri: Konstant: σ = D = Q/A Avtar: 1 = 0 /ε r Øker: C 1 = Q/ 1 = ε r C 0 = ε r ε 0 A/ Energi: U 1 = ½ Q 1 avtar B. Tilkopla batteri: Konstant: 1 = 0 Øker: σ 1 = D 1 = Q 1 /A = ε r D 0 Øker: C 1 = Q/ 1 = ε r C 0 = ε r ε 0 A/ Energi: U 1 = ½ Q 1 øker (tilføres fra batteriet) Q Q Integralform: Differensialform: Gauss lov Kap. Kap. 4 1 E E A q 0 S 1 ive ivd ivergensen til D iv D D [ / x, / y, / z] D 0 DA q = elektrisk fluks ivd 9
ivergens = kile = pos.laning = kile = Efelt iv D > 0 Kap. 4: Oppsummering 1 Konensatorer og kapasitans Konensatorer = to leere som kan ta opp laning Kapasitans: C = Q/ (fara) Enkeltkulekonensator: C = 4πε 0 R (Eks. 1) arallellplatekonensator: C = ε 0 A/ (Eks. ) Kule(skall)konensator: C = 4πε 0 r a r b (r b r a ) (Eks. 3) Sylinerkonensator (koakskabel): C = πε 0 /lnr b /r a (Eks. 4) iv D = 0 Uttrykk ivergens, se formelark arallellkopling: C = C 1 C Seriekopling: 1/C = 1/C 1 1/C Energi ve laning og potensial: U = ½ q Energi ve elektrisk felt: u = ½ ε 0 E vs. U = ½ ε 0 E τ For konensator gir ette: U = ½ Q = ½ C = ½ Q /C Kap. 4: Oppsummering Dielektrika og polarisering. Mer utfyllene i Notat1: Dielektriske materialer. Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering = ipoltetthet: = χ e ε 0 E er χ e er elektrisk susceptibilitet. Relativ permittivitet ε r = χ e 1 (ielektrisitetskonstant) Elektrisk flukstetthetsvektor: D = ε 0 E = ε r ε 0 E (forskyvningsvektor) Elektrisk fluks: D A Gauss lov for fri laning Q = Q tot Q i : E Gauss lov for inusert laning Q i : D A Q eller A Q / A Qi Gauss lov for totallaning Q tot : I alle tiligere formler kan ε 0 E erstattes av ε r ε 0 E =ε E = D me Q = fri laning Konensator me ielektrikum: Alle ε 0 erstattes av ε r ε 0 Uttrykk kapasitans Koaksialkonensator: arallellplatekonensator: Kulekonensator: C = ε r ε 0 (geometrifaktor) enhet: meter C r0 l ln r / r A C r0 rb ra C r 0 4 r r b b a 4 r når r r 0 a b a 10
Dielektrika i konensatorer: 1. Kapasitansen øker me faktor ε r.. Overslag ( breakown, «ielectric strength») ve høyere grense. Høyere max spenning! Spesielle ielektrika. (ikke pensum) iezoelektriske materialer: Mekanisk strekk eller trykk polarisasjon (eller motsatt:) Efelt felt eformasjon Bruk: Kvartskrystaller, mikrofoner, pickup (platespillere vinyl ) ε r Dielectric strength Ferroelektriske materialer (ipolelectrets): Materialer me permanent polarisasjon (tilsvarer permanente magneter) Luft: 3 X 10 6 Skjematisk om E, og D: Dielektrisk materiale i homogent Efelt Skjematisk om E, og D: Dielektrisk materiale i homogent Efelt ε r = χ e ε 0 E ε 0 E χ e ε r = χ e 1 1/3 4/3 D = ε 0 E 0 = D = ε 0 E = D = ε 0 E 0 avtar øker 1 D = 1 ε 0 E = D = ε r ε 0 E = D = 1 ε 0 E 3 4 D = ε 0 E enres ikke (ingen frie lan. i ielektriet) = χ e ε 0 E er E er inni ielektriket, ikke ytre (# flukslinjer ) = χ e (# flukslinjer ε 0 E) 11
Øking av avstan i platekonensator: => C = ε 0 A/ avtar Flervalgsoppgaver fra «Thinking physics»: http://home.phys.ntnu.no/brukef/unervisni ng/tfy4155/iverse/thinkingphysics/ 1. Tilkopla batteri: konstant Q = C avtar E avtar U = ½ Q avtar (gis til batteriet). Frakopla batteri: Q konstant = Q/C øker E konstant U = ½ Q øker (tilføres fra ytre kraft) Q Q Q F = QE Q Beregning fra arbei: ΔU = F Δ = QE Δ Svar: a) Konstant laning Q Lavere kapasitans C = ε 0 A/ => Høyere spenning = Q/C => Mer energi U = ½ Q! eller: Konstant laning Q => Konstant felt E = σ/ε 0 => Konstant energitetthet u = ½ ε 0 E => U = u (volum) øker! = E øker også Noen av Støvnengs flervalgsoppgaver Svar: a) Konstant laning Q Lavere ε r =>Lavere kapasitans C = ε r ε 0 A/ => Høyere spenning = Q/C => Mer energi U = ½ Q! E uenret. eller: Konstant laning Q Lavere ε r => Økene felt E = σ/ε r ε 0 => Økene energitetthet u = ½ ε 0 E = E øker også 1