Småtriks med integraler

Transkript

1 Småtriks med integraler Carl Inge C. Nilsen (carlingn), UiO 28. februar 26 1 Hvordan vise effekten av tidsskift på Fourier koeffisientene. Gitt et signalx(t) med periodet og kjente Fourier koeffisientera k,k=,±1,±2,. Definer så et signaly(t)=x(t t d ), som er en tids skiftet utgave av det opprinnelige signalet. Hvordan påvirker dette tidsskiftet Fourier koeffisientene til signalet? En annen måte å lese dette spørsmålet på: Finn Fourier koeffisientene b k til y(t) uttrykt ved Fourier koeffisientenea k til x(t). Hva er motivasjonen her? Jo, hvis vi kjenner Fourier koeffisientene til et bestemt signal så kan vi enkelt (dvs. uten å evaluere integraler) finne koeffisientene til et annet signal som forholder seg til det første på en bestemt måte. Her er dette forholdet et tids skift. Vi vet at Fourier koeffisientene til det opprinnelige signalet er gitt ved: a k = 1 T T x(t)e j2πkt/t dt (1) Vi vet at Fourier koeffisientene til det nye signalet er gitt ved: b k = 1 T T y(t)e j2πkt/t dt (2) Det vi ønsker, er å finne igjen høyresiden av uttrykk 1 i høyresiden av uttrykk 2, slik at vi kan erstatte denne meda k. Vi begynner med å sette inn for hvay(t) egentlig er: b k = 1 T T x(t t d )e j2πkt/t dt (3) Dette likner ganske mye på 1, bortsett fra at vi harx(t t d ) istedet for det vi egentlig vil ha, nemligx(t). Vi vil at variablen tilx( ) skal være lik integrasjonsvariablen. Vi definerer oss derfor en ny integrasjonsvariabel: τ t t d (4) 1

2 Vi ønsker å erstatte alle forekomster avt i 3. Vi har fra 4 at: t=τ+t d (5) og vi ser videre at den deriverte avτ mhp.t er gitt ved: dτ dt = 1 dτ=dt (6) Fra 5 ser vi at vi må bytte ut alle forekomster avtmedτ+t d. Fra 6 ser vi at vi kan bytte ut dt med dτ, direkte. Så vi setter inn for disse, og får at: b k = x(τ)e j2πk(τ+t d)/t dτ (7) T som er lik (vi splitter opp den komplekse eksponentialen med en sum i eksponenten til produktet mellom to komplekse eksponentialer): b k = x(τ)e j2πkτ/t e j2πkt d/t dτ (8) T der den siste faktoren i produktet ikke avhenger av integrasjonsvariablenτ, og dermed kan flyttes utenfor integralet: b k =e j2πkt d/t T x(τ)e j2πkτ/t dτ (9) Her kjenner vi lett igjen integralet fra 1 (husk at det spiller ingen rolle at vi har et annet symbol som integrasjonsvariabel), så vi setter inn og får: b k =e j2πkt d/t a k (1) Dette er egentlig veldig naturlig. Et tidsskift endrer jo ikke signalets utseende på noen som helst måte. Det sier bare noe om når jeg slår på bryteren på signalgeneratoren. Derfor er det naturlig å tro at frekvensinnholdet ikke endrer seg på grunn av et tidsskift, og det gjør det heller ikke. Multiplikasjon ava k med en kompleks eksponential vil bare endre det jeg har kalt for fasedelen av Fourier koeffisientene. Og som jeg har sagt, denne har ingen innvirkning på hvordan frekvens diagrammet ser ut (og blir derfor ofte utelatt, og presentert som en egen del: fasespektret). 1.1 Men hva med integrasjonsperioden? Når man endrer integrasjonsvariabler så må man vanligvis også endre grensene for integralet. Det opprinnelige integrasjonsintervallet var t [ t, t+t ], t R, altså et vilkårlig intervall med lengde T, eller med 2

3 andre ord en vilkårlig periode. Fra likning 5 ser vi at det nye intervallet må være gitt ved (vi setter inn for τ= t t d ): τ [ τ, τ+t ]=[ t t d, t t d +T ] (11) Vi har altså et nytt intervall med samme lengde, bare forskjøvett d på tidsaksen. Men, siden t i utgangspunktet kunne velges fritt, så vil t t+t d gi akkurat det samme integrasjonsintervallet. Dvs. på grunn av friheten til å velge startpunkt for integrasjonen, og det faktum at et tidsskift ikke skalerer tidsaksen på noen måte, så behøver vi ikke tenke på å justere grensene for integralet i akkurat dette tilfellet. Dette er ikke generelt gyldig!!! (Neste eksempel gir en substitusjons situasjon der grensene faktisk må justeres.) 2 Hvordan løse oppgavene med halvbølge symmetri Vi har gitt et signalx(t) som vi vet følgende om: x(t+t /2)= x(t) (12) Vi sier at et slikt signal er halvbølge symmetrisk. Vi skal vise at Fourierkoeffisientenea k til et slikt signal alltid er lik når k er et partall. Dvs.: a k = fork=2m,m Z (13) Vi setter først opp uttrykket for Fourier koeffisientene: a k = 1 T T x(t)e j2πkt/t dt (14) Vi vet at vi har et omvendt forhold mellom den første og siste halvdelen av signalet. Det kan være fordelaktig å dele integralet i to deler. Vi velger også en konkret periode, f.eks.t [,T ]. a k = 1 ( T /2 ) T x(t)e j2πkt/t dt+ x(t)e j2πkt/t dt (15) T T /2 Nå begynner det å bli noe enklere å gjette hva vi skal komme frem til. For at dette uttrykket skal bli null kan vi f.eks. vise at det andre leddet (dvs. det andre integralet) er lik det 1 ganger det første leddet (dvs. det første integralet). Så vi vil vise at: T x(t)e j2πkt/t dt= T /2 T /2 x(t)e j2πkt/t dt (16) Det første vi ønsker å gjøre er å få de samme integrasjonsgrensene. Så vi definerer oss en ny integrasjonsvariabel τ = t T /2, som gjør at 3

4 grensene kan justeres om frat [T /2,T ] til τ [,T /2]. Så må vi substituere littegranne, dvs. sette innτ i integralet. Vi har att=τ+t /2 ogdτ =dt (se ovenfor i dokumentet hvis du er i tvil). Dette gjør at vi får: T x(t)e j2πkt/t dt= T /2 = T /2 T /2 x(τ+t /2)e j2πk(τ+t /2)/T dτ x(τ+t /2)e j2πkτ/t /2 e jπk dτ (17) Vi kan flytte den siste eksponentialen utenfor integralet, siden det ikke avhenger av integrasjonsvariablenτ. I tillegg kan vi settex(τ+t /2)= x(τ), som er gitt av likning 12. Da får vi: Så setter vi inn atk=2m og får: e j2πm T /2 T e jπk /2 x(τ)e j2πkτ/t dτ (18) T x(τ)e j2πkτ/t /2 dτ= x(τ)e j2πkτ/t dτ (19) fordie j2πm = 1 form Z. Vi har nå vist at det andre integralet i 15 er lik 1 ganger det første integralet hvisker et partall. Dermed måa k i dette tilfellet være lik null! 2.1 Hvorfor må grensene justeres i dette tilfellet, og ikke i det forrige? I forrige eksempel gjorde vi en substitusjon for integralet over hele perioden. Hvor man valgte denne perioden i tidsaksen var helt vilkårlig, og vi bestemte oss aldri for en bestemt periode i løpet av utregningen. En substitusjon som bare flyttet integrasjonsvariablen påvirker derfor ikke resultatet, selv om den i høyeste grad påvirker grensene. Den sier bare at hvis vi i forkant valgte oss et bestemt intervall it så vil vi få et litt annet intervall iτ, men fremdeles av lengdet, som var det eneste kravet vi måtte oppfylle! I dette eksempelt splittet vi integralet, og vi hadde i forkant valgt oss en konkret integrasjonsperiode. Så gjorde vi en substitusjon kun i det ene integralet, og da er vi nødt til å oppdatere grensene slik at de stemmer overens med det intervallet vi allerede hadde valgt oss, og som det første integralet var basert på. Hvis vi ikke gjør dette, og så prøver å slå sammen de to integralene igjen, vil vi se at vi ikke lenger har en sammenhengende periode av lengdet. Avhengig avt d vil vi enten få 4

5 To usammenhengende intervaller av lengdet /2, som tilsammen ikke utgjør en unik period (dvs. har noe overlapp). Ett sammenhengende intervall av lengde mindre ennt. 5