Heltallighetsteoremet for nettverksflyt Königs teorem Denne gang: Anvendelser nettverksflyt
|
|
- Bjørge Holen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Leksjon 9
2 Begreper nettverk / grafteori Minimum-kost nettverksflyt Moellering Spesialvariant av Simpleksmetoen Heltallighetsteoremet for nettverksflyt Königs teorem Denne gang: Anvenelser nettverksflyt MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 2
3 Anvenelser nettverksflyt ransportproblemet Hithok-problemet ilorningsproblemet Korteste-vei problemet Nettverksflyt me øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet eorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt Repetisjon Duale av nettverksflyt Heltallighetsteoremet for nettverksflyt Königs teorem MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 3
4 Mange reelle problemer kan moelleres som flyt i nettverk ransport av varer Elektrisitet Kommunikasjon Finans Viktigste type LP Spesiell struktur, kan utnyttes i Simpleksmetoe Kommersielle løsere MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 4
5 ! Noer og kanter = { a, b,,, e, f } ( a, ),( a, ),( a, e), ( b, a),( b, ),( b, e), =(, b),(, e),( f, a), ( f, b),( f, ),( f, g), ( g, b),( g, e) f a MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 5 b e g
6 ! =, ( ) ( i, j) : i, j, i j { } a e Nettverk (rettee kanter) (Rettet) graf, igraf b f g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 6
7 " (, ) {( i, j) : i, j, i j} = a -6-2 e Nettverk (rettee kanter) ilgang/behov i hver noe -6 b { b, i } b b i i i > < 0 tilgang 0 behov 9 f g 5 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 7
8 " Nettverk (rettee kanter) ilgang/behov i hver noe Balanse! Forflytningskostna (pr. enhet) for hver kant i b i = { } ij ( i, j ) 0 Mål: Finn billigste flyt i nettverket som tilfresstiller behov og tilgang i hver noe! 9 f a MoD233 - Geir Hasle - Leksjon b e 19 g
9 " Beslutningsvariable: Flyt i hver kant { x } ij 0 (, ) Målfunksjon: i j min Føringer, flytbalanse: ( i, j ) ik kj k i:( i, k ) j:( k, j) x x x = b, k Føringer, positiv flyt: ij ij 9 a f e b g 5 xij 0, ( i, j) MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 9
10 " min ( i, j ) ij ij x x = b, k ik kj k i:( i, k ) j:( k, j) x ij x 0, ( i, j) min Ax = x b Noe-kant insiensmatrisen x 0 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 10
11 = a b -2 e 15 7 x = xa xa xae xba xb xbe xb xe x fa 48 x fb x f x fg xgb x ge f g A =, b = [ ] 19 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 11
12 #!" min Ax = x 0 x b ikke stanarform minimeringsproblem likhetsføringer Primal minimering! Det uale problem: en ual variabel for hver noe (ubegrenset) en ual føring for hver kant maksimering max b y A y alternativt min + = A y z z 0 b y MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 12
13 #!" I Læreboka 5.8 (s ) utlees ualitet for en type ikkestanar LP: max Ax = b x 0 x min A y b y Omformer vårt nettverksflytproblem til samme form: min x max x Ax = b Ax = b x 0 x 0 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 13
14 #!" max Ax = b x 0 x min A y b y max Ax = x 0 La min b y = y x b y A ( y ) min A y min A y b y b y MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 14
15 #!" $%!"! min Ax = x 0 max x b x A b x A b x 0 min x 0 x Ax b Ax b o sett uale variable (ett for hvert sett ulikheter): y y Stanarform! MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 15
16 #!" max x A b x A b x 0 min y ( 1 b y + b y 2 ) 1 A A 2 y 0, y y max ( 1 b y b y 2 ) y A y A y 0, y y = y y 1 gir: max b y A y y ubegrenset MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 16
17 " min x 0 x Ax = b min i b y i i min + = A y z z 0 b y yi y j + zij = ij, ( i, j) zij 0, ( i, j) f 24 9 y f ya + z fa = Det uale problem: Minimering av flyt i ualt nettverk a b e 19 g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 17
18 ! min -2 ij xij ( i, j ) a 10 e x ik xkj = bk, k i:( i, k ) j:( k, j) 48 x 7 ij 0, ( i, j) minb 65 i yi b i yi y j + zij = ij, ( i, j) f 24 g zij 0, ( i, j) 9 5 x ij zi j 0, ( i, j) w i i 0, 0, ( i, j) y 0, i Komplementaritetsbetingelser: i x z = 0, ( i, j) ij ij MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 18
19 &!' I nettverksflytproblemer representerer basisløsninger spesielle strukturer i nettverket. De utgjøres av kantene i såkalte spenntrær. a f b e 19 g -2 5 Definisjon: En sti i et nettverk: ( n1 nk ) ( ni, ni + 1) ( ),, n, n, i = 1, k 1 i+ 1 i ( f, g, b, a, e, ) er sti i ette nettverket MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 19
20 9 Et nettverk sies å være sammenhengene ersom et fins en sti mellom alle par av noer. a 56 f b e 19 g Dette nettverket er sammenhengene MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 20
21 En sykel er en sti er første og siste noe er ientiske. Et nettverk sies å være asyklisk ersom et ikke fins sykler i nettverket. a f b e 19 g -2 5 Dette nettverket er ikke asyklisk ( g, b, a, e, g ) er en av mange sykler i ette nettverket MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 21
22 Et tre er et sammenhengene og asyklisk nettverk. a e Dette nettverket er sammenhengene og asyklisk, altså et tre f b g Delnettverk: = (, ) = (, ) hviss MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 22
23 9 Et spenntre for et nettverk er et elnettverk som a) inneholer alle noene i nettverket og b) er et tre. -2 a 10 e a e b b f 24 g f g 5 Dette elnettverket er et spenntre for grafen til venstre MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 23
24 #&!! -2 9 a f e b g 5 Definisjon, balansert flyt: Ethvert valg av primalflyt-verier som tilfresstiller flytbalanseføringene i alle noer kalles en balansert flyt. En balansert flyt kan ha kanter me negativ flyt. MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 24
25 #&"!! -2 9 a f b e 19 g Definisjon, brukbar (tillatt) flyt: En balansert flyt er alle veriene er ikke-negative, kalles en brukbar (tillatt) flyt. MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 25
26 #(' Definisjon, treløsning: Gitt et spenntre for nettverket. En balansert flyt som tilorner 0 flyt til e kanter som ikke er me i spenntreet, kalles en treløsning. (En treløsning behøver ikke representere brukbar flyt). Det er allti mulig å finne et spenntre (effektivt) Det er allti mulig å finne en treløsning 9 f a b e g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 26
27 #&! min Ax = x 0 x b 6 8 f Basis er invertibel, kvaratisk elmatrise B av A Noe-kant insiensmatrisen har ikke full rang! En av balanseføringene følger av e øvrige Fjerner en vilkårlig balanseføring a -6-6 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon b -2 6 e g
28 #&! min Ax = x 0 min x Ax = b x 0 x b 9 f a b 8 5 e g Fjerner en vilkårlig balanseføring og tilsvarene tilbu Noen som fjernes kalles rotnoe MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 28
29 (#) "!"! * eorem 13.1: Gitt et nettverksflytproblem for et sammenhengene nettverk. Betrakter moifisert insiensmatrise er en vilkårlig av balanseføringene er fjernet. En kvaratisk elmatrise av en moifiserte insiensmatrisen utgjør en basis for problemet hviss søylene svarer til kantene i et spenntre. MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 29
30 #&! min x Ax = b Spenntre x 0 Basis er generelt invertibel, kvaratisk elmatrise Matrisen som svarer til spenntre kan ornes til en triangulær matrise Kun me +1, -1 på iagonal, ingen ivisjon ve ligningsløsning Øvrige elementer er -1,0,+1 Spenntre-matrisen er inverterbar Ingen ivisjoner eller multiplikasjoner! 9 f a -6 6 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon b e g
31 #&!+%!' min x Ax = b x 0 min b y A y + z = z 0 il basis (spenntre) hører også ual løsning Likhetsføringene må hole også for ual løsning y y + z =, ( i, j) j i ij ij x ij zij = 0, ( i, j) Primal flyt er 0 utenom spenntreet, ulik 0 på spenntreet Dual slakk må erfor være 0 på spenntreet: y y =, ( i, j) j i ij MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 31
32 #&!+%!' y y =, ( i, j) j i ij Spenntre i graf me m noer har m-1 kanter m-1 ligninger me m ukjente Dual flyt i rotnoen er 0 Gir m ligninger me m ukjente Bestemmer ual flyt Dual slakk i en noe er sum av reisekostna fra rotnoen, når kjøreretning tas me i betraktning Dual slakk bestemmes ve: z = y + y, ( i, j) ij i ij j -44 a f e 15 b g -84 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 32
33 #,!- Utgangspunkt: 41 Brukbar primal løsning (ikke allti) a 32 Komplementaritet 6 Dual løsning ual flyt (allti brukbar) -1 ikke nøvenigvis positiv slakk 6-9 Komplementær slakkteorem gir 6 optimalitet ersom: 98 positiv primal flyt -5 3 positiv ual slakk Her: vil bruke primal Simpleks behole primal brukbarhet f minke antallet kanter me negativ ual slakk b e 2 g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 33
34 ,!-%, a 32 Inngåene, kant som: ikke er i spenntre er ualt ubrukbar (negativ ual -1 slakk) Utgåene: kant i spenntre I eksempelet: velger (a,) inngåene 6 98 b 33 Vil øke primalflyt på inngåene Inngåene lager sykel f e 2 g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 34
35 ,!-, Inngåene (a,) lager sykel Strøm på inngåene økes til t>0 Oppaterer flytbalanse Øker t så mye som mulig Opprettholer primal brukbarhet Kan maksimalt øke t til 3 (f,b) får 0 flyt (f,b) blir utgåene 9 a 6+t f t -6 Pivoteringsregel: Velg kant utenom spenntre (ikke-basisk variabel) me negativ ual slakk som inngåene. Utgåene velges som en kant i sykelen som oppstår som først får 0 flyt når flyt på inngåene kant økes. 6 6-t b 3-t 3 e g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 35
36 ,!- %!!%! y y =, ( i, j) j i ij Vil oppatere uale variable -9 Hvis vi fjerner utgåene uten å ta 98 inn inngåene får vi to isjunkte trær (f,a,) og (e,g,b,) reet som inneholer rotnoen får ikke enret uale verier -6 f Noene i et anre treet blir minket me ualslakken til (1) (1) ( 0) inngåene ya = y a = y (0) (0) ( 0) za = ya + a y zij = yi + ij y j, ( i, j) (1) ( 0) y = y z 50 a a a a 78 b 35 a 0 e g 19 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 36
37 ,!- %!!%!! y y =, ( i, j) j i ij zij = yi + ij y j, ( i, j) -9 Eneste kanter som enres er e som spenner fra et ene treet til et anre treet For isse kantene er e uale verier i hoe eller hale enret For e kanter som spenner i samme retning som inngåene må ualslakken minkes me ualslakken til inngåene For e anre må en økes f a b e g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 37
38 ,!- Itererer inntil ual brukbarhet reløsninger Dualslakk 0 på kantene i spenntreet Velger som inngåene kant me negativ ualslakk Velger utgåene primal brukbarhet (brukbar primalflyt) opprettholes Øker primalflyt så mye som mulig Oppaterer primalflyt Oppaterer uale variable Oppaterer ual slakk f a b e g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 38
39 #!- Utgangspunkt: Ubrukbar primal løsning Komplementaritet Brukbar ual løsning ual flyt (allti brukbar) positiv ual slakk Velger kant me negativ primalflyt Lar enne gå ut av basis Finner inngåene som spenner subtrærne ual brukbarhet opprettholes MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 39
40 #-!! Mulig utgangspunkt verken brukbar primalflyt eller brukbar ual: Primal-Dual Dual-Primal Parametrisk selv-ual nettverks Simpleks MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 40
41 #.!/01 Gitt konsistent nettverksflytproblem er alle tilganger og behov er heltallige. Da vil enhver basisløsning, og spesielt en optimale løsning, ha heltallig flyt i alle kanter. Bevis: Primale basisløsninger beregnes uten ivisjon og multiplikasjon. MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 41
42 2 01 Gitt en menge me n jenter og n gutter. Anta at hver jente kjenner eksakt 1kn gutter og hver gutt kjenner 1kn jenter. Da er et mulig å parre alle jenter me alle gutter alle maker kjenner hveranre. Bevis: Nettverksflyt i bipartitt graf (er noer for jenter og gutter er separert). Kant mellom noer som kjenner hveranre. Hver jente har behov 1, hver gutt har tilgang 1. Flyt 1/k på hver kant gir brukbar løsning. Følger av integralitetsteoremet. MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 42
43 )! Eksempel på bipartitt graf MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 43
44 )! Vilkårlige (positive) kostnaskoeffisienter: velefinert NFP Heltallighet Det fins brukbar løsning (flyt 1/k på hver kant) Heltallighetsteoremet gir at et fins heltallig optimal løsning Flyt i heltallig løsning må være 0 eller 1 Hver noe må ha en og kun en kant me flyt 1 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 44
45 6 %!!! ransport Skipningsproblemet ransportproblemet Hithoks transportproblem ilorningsproblemet Korteste-vei problemet Varianter av nettverksflyt Beskrankninger på flyt Maksimum flyt i beskranket nettverk MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 45
46 (! " Min-kostna NFP er flyt tolkes som transport av varer kalles Skipningsproblemet Viktig spesialtilfelle: Skille mellom fra-noer og til-noer Enhver kant går fra en fra-noe til til-noe Kalles ransportproblemet MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 46
47 (! " Noene er partisjonert i kiler og sluk: =, = Bipartitt flytgraf: {( i, j) : i } MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 47
48 (! " Krav til konsistens: positiv tilgang i kilenoer, negativ tilgang i sluk b 0, i b 0, i i i MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 48
49 (! " 7! Behov * * 9 * ilgang 12 * 3 6 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 49
50 (! " )!!"! Duale variable i 1. ra/kolonne Inikasjon på spenntre [ 7 ] 5 * [ 3] [ 8] 4 * [ 18 ] * * [ 3] [ 15] MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 50
51 .8/88! " ransportproblem me komplett graf (alle kiler er forbunet me alle sluk) b = s 0, i b = 0, i i i i i MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 51
52 .8/88! "!! min j i b = s 0, i i i i j ij ij i j ij x 0, i, j ij x ij x = s i x = j b = 0, i i Flytbalanse ut fra hver kile Flytbalanse inn til hvert sluk i MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 52
53 (% " 6," Gitt m personer og m oppgaver Kjent kostna ve at gitt person utfører gitt oppgave Finn en tilorning av person til oppgave som gir minst kostna MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 53
54 (% "!!% = { 1,, m} personer = { m} 1,, oppgaver 1 hvis person i allokeres til oppgave j x ij = 0 ellers min ij xij i j Alle personer får en og bare en oppgave x = 1 i j i ij ij = 1 { } x 0,1, i, j ij x j Alle oppgaver får en og bare en person Heltallighetsføring! MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 54
55 "% /!',!! Generelt kan ikke heltallsføringer ignoreres gjør slike føringer problemet langt harere beregningsmessig Det LP som fremkommer ve å ignorere heltallighetsføringene i et optimeringsproblem me lineær kostnasfunksjon og lineære føringer kalles LP-relaksasjonen til problemet. LP-relaksasjonen har bere eller like go løsning som et originale problem. MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 55
56 (% "! ' %9',!! % - LP-relaksasjonen H til et gitt ilorningsproblem er et spesialtilfelle av Hithok-problemet (er alle tilganger og alle behov er lik 1 og antall kiler er lik antall sluk) Enhver brukbar (heltallig, 0-1) løsning av vil også være en brukbar løsning for H Enhver heltallig brukbar løsning på H vil også være brukbar for Optimal løsning for tilsvarene H er heltallig (Heltallighetsteoremet!), og erve brukbar for, ersom vi benytter Nettverks Simpleks Optimal løsning for H er også optimal løsning for For et vilkårlig ilorningsproblem kan vi neglisjere heltallsføringene og bruke Nettverks Simpleksmetoe til å løse LPrelaksasjonen og erve få optimal løsning. min j i min j i ilorning, i j x 0, i, j MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 56 ij i j ij ij { } ij ij = 1 i = 1 i j ij x ij ij x = s i x = j x 0,1, i, j ij x x x ij j Hithok, H
57 " -/!/"-,, Oppgave: finne korteste (raskeste, billigste,...) vei fra A til B i gitt nettverk (rettet graf) Positiv lenge (kostna) på hver lenke er gitt Respektere enveiskjøring, rettet sti Eksempel: korteste rettee sti fra a til b i nettverket til høyre (a,e,b) kostna 17 a f b e 19 g Mange anvenelser MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 57
58 " 6! Finn korteste vei fra alle noer i igraf til gitt noe r (rotnoen) Kan formuleres som minimum kostna nettverksflytproblem Hvoran? MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 58
59 " ilgang lik 1 på alle noer unntatt rotnoen Behov lik summen av tilgang (negert) i rotnoen Kostna lik lengen (eller reiseti, - kostna) på hver kant Korteste vei fra vilkårlig noe ligger langs et optimale spenntre Lengen på korteste vei fra en gitt noe er forskjellen i ual veri mellom rotnoen og enne noen 1 1 f a b e g -6 0 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 59
60 " Nettverksflyt-formulering og løsning me Nettverks Simpleksmetoen er ikke en mest effektive beregningsmessig Merkelapp (label)-baserte algoritmer merkelapp-setting merkelapp-korrigering MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 60
61 "!+!,! Merkelapp på hver noe (verifunksjon) avstan for korteste vei til rotnoen: vi, Vi må ha, for vilkårlig merkelapp: v r = 0 { } { } v = min + v : ( i, j) i r i ij j Bellman s ligning Prinsippet om Dynamisk programmering Rekursjon! v f v a a 56 f v 48 i v b 33 7 v b v e e 19 g v g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 61
62 v "! % r = 0 { } { } v = min + v : ( i, j) i r i ij j Korteste vei fra noe i til rotnoen er karakterisert ve: {( i, j) : vi ij v j} = = + Ikke allti tre f a b 33 e 19 g MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 62
63 v " -!! r = 0 { } { } v = min + v : ( i, j) i r i ij j Gjetter på løsning: v (0) r (0) i = 0 { } v =, i r Itererer fram bere tilnærminger, helt til ingen enring skjer: v ( k + 1) r = 0 ( k + 1) ( ) i ij j 24 f a 56 { k } { } v = min + v : ( i, j) i r b Antall iterasjoner: O( ) e 19 g 0 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 63
64 "!:! Viktige atastrukturer: v j hi,, j merkelapper noer som har fått riktig merkelapp ( ferige ) i neste noe i korteste vei a b 7 e 19 Initialisering: v (0) r (0) i = 0 { } v =, i r f g 0 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 64
65 "!:! Så lenge { k } { j} { i i j i } j arg min v : k for alle : (, ) hvis + v < v så sihv rof ij j i v + v i ij j h i j a f b e 19 g 0 ås MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 65
66 %'! Kapasitetsbegrensninger på kanter min ( i, j ) ik kj k i:( i, k ) j:( k, j) x ij x ij ij x x = b, k 0, ( i, j) Nye føringer: x u, ( i, j) ij ij 9 f a g 5 MoD233 - Geir Hasle - Leksjon Kan løses irekte me moifisert Nettverks Simpleks Kan reuseres til Nettverksflyt uten begrensninger! Skal vise Maksimal-flyt Minimalt-kutt teoremet b e 19
67 Anvenelser nettverksflyt ransportproblemet Hithok-problemet ilorningsproblemet Korteste-vei problemet Nettverksflyt me øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet eorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt Neste gang: Heltallsprogrammering MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 9 67
ingen Fase I nødvendig konvergerer dersom LP er begrenset og konsistent skifter mellom primal og dual pivotering MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 8 2
Leksjon 8 Ofte behov for å løse mange relaterte LP Regnetid kan spares ved å bruke informasjon fra tidligere løsninger Parametrisk analyse homotopi-metoden Den Parametriske Selv-duale Simpleksmetoden ingen
DetaljerLP. Leksjon 9: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.2
LP. Leksjon 9: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.2 Vi tar siste runde om (MKS): minimum kost nettverk strøm problemet. Skal oppsummere algoritmen. Se på noen detaljer. Noen kombinatorisk anvendelser
DetaljerLP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1
LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 Vi fortsetter studiet av (MKS): minimum kost nettverk strøm problemet. Har nå en algoritme for beregning av x for gitt spenntre T Skal forklare
DetaljerMoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2
Leksjon 10 Anvendelser nettverksflyt Transportproblemet Htchcock-problemet Tlordnngsproblemet Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt
DetaljerLP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer
LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer Skal studere matematiske modeller for strøm i nettverk. Dette har anvendelser av typen fysiske nettverk: internet, vei, jernbane, fly, telekommunikasjon,
DetaljerLP. Leksjon 5. Kapittel 5: dualitetsteori. motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former
LP. Leksjon 5 Kapittel 5: dualitetsteori motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former 1 / 26 Motivasjon Til ethvert LP problem (P) er det knyttet et
DetaljerDeterminanter. Kapittel 6. Determinanter for 2 2-matriser. La oss beregne arealet av dette parallellogrammet. Vi tegner på noen hjelpelinjer:
Kapittel 6 Determinanter En matrise inneholer mange tall og erme mye informasjon så mye at et kan være litt overvelene Vi kan konensere ne all informasjonen i en kvaratisk matrise til ett enkelt tall som
DetaljerLP. Leksjon 6: Kap. 6: simpleksmetoden i matriseform, og Seksjon 7.1: følsomhetsanalyse
LP. Leksjon 6: Kap. 6: simpleksmetoden i matriseform, og Seksjon 7.1: følsomhetsanalyse matrisenotasjon simpleksalgoritmen i matrisenotasjon eksempel negativ transponert egenskap: bevis følsomhetsanalyse
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF-MAT 3370 Lineær optimering Eksamensdag: 3. juni 2008 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Ingen
DetaljerKorteste vei problemet (seksjon 15.3)
Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Skal studere et grunnleggende kombinatorisk problem, men først: En (rettet) vandring i en rettet graf D = (V, E) er en følge P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., e k, v k
DetaljerKapittel 5: dualitetsteori
LP Leksjon 5 Kapittel 5: dualitetsteori motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former LP Leksjon 5: #1 of 17 Motivasjon Til ethvert LP problem (P) er
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF-MAT 3370 Lineær optimering Eksamensdag: 1. juni 2010 Tid for eksamen: 09.00 12.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Ingen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 2. juni 2006 Tid for eksamen: 09.00 12.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: INF-MAT 3370/INF-MAT 4370 Lineær
DetaljerLP. Leksjon 1. Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden
LP. Leksjon 1. Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden Dette emnet gir en innføring i lineær optimering og tilgrensende felt. hva er LP (lin.opt.=lin.programmering) mer generelt: matematisk optimering
DetaljerKapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden
LP. Leksjon 1 Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden et eksempel fra produksjonsplanlegging simpleksalgoritmen, noen begreper algoritmen LP. Leksjon 1: #1 of 14 Eksempel: produksjonsplanlegging Produkter:
DetaljerKapittel 3: degenerasjon.
LP. Leksjon 3 Kapittel 3: degenerasjon. degenerasjon eksempel på sirkling den leksikografiske metoden andre pivoteringsregler fundamentaleoremet i LP LP. Leksjon 3: #1 of 15 Repetisjon simpleksalgoritmen:
DetaljerLP. Leksjon 3. Kapittel 3: degenerasjon.
LP. Leksjon 3. Kapittel 3: degenerasjon. degenerasjon eksempel på sirkling den leksikografiske metoden andre pivoteringsregler fundamentaleoremet i LP 1 / 23 Repetisjon simpleksalgoritmen: sekvens av pivoteringer
DetaljerAlgdat - Øvingsforelesning. Maks flyt
Algdat - Øvingsforelesning Maks flyt Dagens plan 1. LF teoriøving 7 2. Maks flyt 3. Ford-Fulkerson 4. Maksimal bipartitt matching 5. Presentasjon av øving 9 2 Øving 7 4b) I hvilken rekkefølge velges noder
DetaljerLP. Leksjon 2. Kapittel 2: simpleksmetoden, forts. initialisering to faser ubegrenset løsning geometri
LP. Leksjon 2. Kapittel 2: simpleksmetoden, forts. initialisering to faser ubegrenset løsning geometri 1 / 16 Repetisjon LP problem tillatt løsning, optimal løsning basisliste basis, basisvariable og ikkebasisvariable
DetaljerMinimum spenntrær. Lars Vidar Magnusson Kapittel 23. Kruskal Prim
Minimum Spenntrær Lars Vidar Magnusson 2.4.2014 Kapittel 23 Minimum spenntrær Kruskal Prim Minimum Spenntrær Et spenntre er et tre som spenner over alle nodene i en graf G = (V, E). Et minimum spenntre
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerLP. Leksjon Spillteori
LP. Leksjon Spillteori Kapittel 11: spillteori matrisespill optimale strategier von Neumann s minmax teorem forbindelse til LP nyttig LP modellering av (visse) minmax and maxmin problemer 1 / 11 Eksempel:
DetaljerForelesning 28. Grafer og trær, eksempler. Dag Normann - 5. mai Grafer og trær. Grafer og trær. Grafer og trær
Forelesning 28, eksempler Dag Normann - 5. mai 2008 I dag skal vi se på en rekke eksempeloppgaver, og gjennomgå løsningene på tavla. Alle eksemplene er oppgaver som ville kunne bli gitt til eksamen, enten
DetaljerKapittel 2: simpleksmetoden, forts.
LP. Leksjon 2 Kapittel 2: simpleksmetoden, forts. initialisering to faser ubegrenset løsning geometri LP. Leksjon 2: #1 of 14 Repetisjon LP problem tillatt løsning, optimal løsning basisliste basis, basisvariable
DetaljerLP. Kap. 17: indrepunktsmetoder
LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder simpleksalgoritmen går langs randen av polyedret P av tillatte løsninger et alternativ er indrepunktsmetoder de finner en vei i det indre av P fram til en optimal løsning
DetaljerAvanserte flytalgoritmer
Avanserte flytalgoritmer Magnus Lie Hetland, mars 2008 Stoff hentet fra: Network Flows av Ahua m.fl. (Prentice-Hall, 1993) Graphs, Networks and Algorithms, 2. utg., av Jungnickel (Springer, 2005) Repetisjon
DetaljerØvingsforelesning 9. Flytnettverk, maksimum flyt og maksimum bipartitt matching. Jon Marius Venstad
Øvingsforelesning 9 Flytnettverk, maksimum flyt og maksimum bipartitt matching Jon Marius Venstad venstad@idi.ntnu.no 1 Dagens tema Flytnettverk Terminologi Max-flow min-cut teoremet Ford-Fulkersons metode
DetaljerAvsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 14. desember 2011 Eksamenstid 1500 1900 Sensurdato 14. januar Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.
DetaljerAvsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 14. desember 2011 Eksamenstid 1500 1900 Sensurdato 14. januar Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.
DetaljerIN Algoritmer og datastrukturer
IN010 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 018 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 6: Grafer III Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) IN010 0.10.018 1 / 0 Dagens plan: Dybde-først søk Biconnectivity
DetaljerEirik Benum Reksten Hans Olav Norheim. (ja, det kommer nok litt matte nå ja)
Eirik Benum Reksten Hans Olav Norheim (ja, det kommer nok litt matte nå ja) Hva er lineærprogrammering? Vi har et problem hvor vi... 1. ønsker å minimere eller å maksimere et mål 2. kan spesifisere målet
DetaljerMAT1030 Forelesning 25
MAT1030 Forelesning 25 Trær Dag Normann - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) Forelesning 25 Litt repetisjon Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var følgende: Eulerstier
DetaljerAvsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 3. desember 2012 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 3. januar 2013 Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.
DetaljerRepetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert
DetaljerForelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 25 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) MAT1030 Diskret Matematikk 27. april
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:15) Forelesning 25 MAT1030 Diskret Matematikk 27. april
DetaljerMAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Roger Antonsen - 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) Introduksjon Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt rundt oss!
DetaljerLO118D Forelesning 9 (DM)
LO118D Forelesning 9 (DM) Grafteori 26.09.2007 1 Introduksjon 2 Veier og sykler 3 Hamiltonsykler og omreisende handelsmenn Graf, urettet Definisjon En graf (eller urettet graf) G består av en mengde V
DetaljerIntroduksjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Introduksjon. En graf. Forelesning 22: Grafteori. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Introduksjon 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerIntroduksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Søkealgoritmer for grafer. En graf
Introduksjon MAT13 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 28 Vi skal nå over til kapittel 1 & grafteori. Grafer fins overalt rundt
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 2008 Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt
DetaljerINF-MAT-5380
INF-MAT-5380 http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/inf-mat5380/ Leksjon 2 Leksjon 1: Oppsummering Kursinformasjon Motivasjon Operasjonsanalyse Kunstig intelligens Optimeringsproblemer (diskrete) Matematisk
DetaljerRepetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet
DetaljerIN Algoritmer og datastrukturer
IN00 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 08 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 5: Grafer II Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) IN00 8.09.08 / Dagens plan: Korteste vei en-til-alle vektet
DetaljerALGORITMER OG DATASTRUKTURER
Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE
Detaljer45011 Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag eksamen 13. januar 1992
45011 Algoritmer og datastrukturer Løsningsforslag eksamen 13. januar 12 Oppgave 1 Idé til algoritme Benytter S n som betegn på en tallmengde med n elementer. For at et tall m skal være et majoritetstall
DetaljerLP. Leksjon 4. Kapittel 4: effektivitet av simpleksmetoden
LP. Leksjon 4 Kapittel 4: effektivitet av simpleksmetoden hvordan måle effektivitet? verste tilfelle analyse, Klee-Minty kuben gjennomsnittsanalyse og i praksis 1 / 18 Status Hvor langt er vi kommet i
DetaljerØvingsforelesning 4. Topologisk sortering, Strongly Connected Components og Minimale spenntrær. Magnus Botnan
Øvingsforelesning 4 Topologisk sortering, Strongly Connected Components og Minimale spenntrær Magnus Botnan botnan@stud.ntnu.no 09/10/09 1 I dag Topologisk Sortering Sterke Komponenter Minimale Spenntrær
DetaljerLØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER (IT1105)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Side 1 av 8 Faglig kontakt under eksamen: Magnus Lie Hetland LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER
DetaljerØvingsforelesning 12 Maks flyt
Øvingsforelesning 12 Maks flyt Ole Kristian Pedersen 9. november 2018 ] Plan for dagen Maksimal flyt og minimale snitt Maksimal bipartitt matching Tidligere eksamensoppgaver Introduksjon øving 12 Hva er
Detaljer!"!#$ INF-MAT Geir Hasle - Leksjon 2 2
Leksjon 2 !"!#$ Kursinformasjon Motivasjon Operasjonsanalyse Kunstig intelligens Optimeringsproblemer (diskrete) Matematisk program COP Definisjon DOP Anvendelser Kompleksitetsteori Eksakte metoder, approksimasjonsmetoder
DetaljerTMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016 Seksjon 10.2 18 La G = (V,E) være en enkel graf med V 2. Ettersom G er enkel er de mulige
DetaljerEksamen i TMA4180 Optimeringsteori Løsningsforslag.
Eksamen i TMA48 Optimeringsteori Løsningsforslag. Oppgave :. ordens betingelse for minima gir oss f(x) = [ 2x 2x 2 + 2 2x 2 2x 2 ] [ = som er oppfylt for når x 2 = x +. I dette punktet er [ ] 2 2 2 f(x)
DetaljerGrunnleggende Grafteori
Grunnleggende Grafteori 2. September, 2019 Institutt for Informatikk 1 Dagens plan Terminologi og definisjoner Hvordan representere grafer i datamaskinen Traversering Dybde-først-søk Bredde-først-søk Topologisk
DetaljerEksamen i tdt4120 Algoritmer og datastrukturer
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Side 1 av 5 Oppgavestillere: Magnus Lie Hetland Jon Marius Venstad Kvalitetskontroll: Magnar Nedland Faglig
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf.!! 91851949 Eksamensdato! 15. august 2013 Eksamenstid (fra til)! 0900 1300 Hjelpemiddelkode D.
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf.!! 91851949 Eksamensdato! 15. august 2013 Eksamenstid (fra til)! 0900 1300 Hjelpemiddelkode D.
DetaljerMAT1030 Forelesning 24
MAT1030 Forelesning 24 Grafteori og trær Roger Antonsen - 28. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-28 22:32) Forelesning 24 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
Detaljer4. Viktige kvantemekaniske teoremer
FY1006/TFY4215 Tillegg 4 1 TILLEGG 4 4. Viktige kvantemekaniske teoremer Før vi i neste kapittel går løs på treimensjonale potensialer, skal vi i kapittel 4 i ette kurset gå gjennom noen viktige kvantemekaniske
DetaljerForelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet
Forelesning 23 Grafteori Dag Normann - 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og noder kan være naboer. Vi bør kjenne til begrepene om sammenhengende
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2016 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 6: Grafer II Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 28.09.2016 1 / 30 Dagens plan: Dijkstra fort.
DetaljerMA2501, Vårsemestre 2019, Numeriske metoder for lineære systemer
MA5 Vårsemestre 9 Numeriske metoder for lineære systemer Introduksjon Vi vil approksimere løsningen av lineære systemet av n ligningene og n ukjente: a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b ()
DetaljerInnhold og forelesningsplan Eksempler på LP Begreper Løsning av enkelt eksempel Praktisk relevans Leksjon 2: Simpleksmetoden for løsning av LP
Lekso 2 Mål for kurset teoretisk forståelse, gruleggede optimerig løsigsmetoder LP og utvidelser algoritmisk forståelse avedelser LP og utvidelser modellerig og løsig v.h.a. verktøy Ihold og forelesigspla
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT0 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 98 5 99 Eksamensdato 9. august, 07 Eksamenstid
DetaljerStudentnummer: Side 1 av 1. Løsningsforslag, Eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer August 2005
Studentnummer: Side 1 av 1 Løsningsforslag, Eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer August 2005 Faglige kontakter under eksamen: Magnus Lie Hetland, Arne Halaas Tillatte hjelpemidler: Bestemt enkel
DetaljerGo with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på.
Go with the Niende forelesning Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Fokuserer på de viktigste ideene i dagens forelesning, så det forhåpentligvis blir lettere å skjønne
Detaljer4. Viktige kvantemekaniske teoremer
FY1006/TFY4215 Tillegg 4 1 TILLEGG 4 4. Viktige kvantemekaniske teoremer Før vi i neste kapittel går løs på treimensjonale potensialer, skal vi i kapittel 4 i ette kurset gå gjennom noen viktige kvantemekaniske
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, ordinær eksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 00, ordinær eksamen 1. september 003 Innledning Vi skal betrakte det såkalte grafdelingsproblemet (graph partitioning problem). Problemet kan
DetaljerØvingsforelesning 9: Minimale spenntrær. Daniel Solberg
Øvingsforelesning 9: Minimle spenntrær Dniel Solerg Pln for gen Gjennomgng v øving 8 Minimle spenntrær Kruskl Disjoint Set Forest Prim Noen utvlgte eksmensoppgver 3 Minimle spenntrær Hv er et minimlt spenntre?
DetaljerLøsningsforslag for utvalgte oppgaver fra kapittel 9
Løsningsforslag for utvalgte oppgaver fra kapittel 9 9.2 1 Grafer og minne.......................... 1 9.2 4 Omvendt graf, G T......................... 2 9.2 5 Kompleksitet............................
DetaljerKombinatorikk. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering av regneprinsipper
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kombinatorikk 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:43) MAT1030 Diskret Matematikk 14.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:42) Kombinatorikk MAT1030 Diskret Matematikk 14.
DetaljerMAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Dag Normann - 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:45) Kombinatorikk Oppsummering av regneprinsipper Ordnet utvalg med repetisjon: n r Ordnet utvalg uten repetisjon:
DetaljerEKSAMEN I TMA4180 OPTIMERINGSTEORI
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 4 Faglig kontakt under eksamen: Marte Pernille Hatlo 7359698 / 97537854 EKSAMEN I TMA48 OPTIMERINGSTEORI Fredag 2. juni
DetaljerDynamisk programmering
Dynamisk programmering Metoden ble formalisert av Richard Bellmann (RAND Corporation) på 5-tallet. Programmering i betydningen planlegge, ta beslutninger. (Har ikke noe med kode eller å skrive kode å gjøre.)
DetaljerDefinisjon. I et binært tre har hver node enten 0, 1 eller 2 barn
Binære trær Definisjon I et binært tre har hver node enten 0, 1 eller 2 barn Rekursiv definisjon: Et binært tre er enten tomt, eller: Består av en rotnode og to binære trær som kalles venstre subtre og
DetaljerKapittel 23 KURSREGNING, FORHOLD OG PROPORSJONER
Valuta Kjøp Antall AUD Australske ollar 4,1050 1 CAD Canaiske ollar 4,6630 1 CHF Sveitsiske franc 493,5000 100 CYP Kypriotiske pun 1,3950 1 DKK Danske kroner 97,8700 100 EUR Euro 7,785 1 GBP Pun sterling
DetaljerLO118D Forelesning 10 (DM)
LO118D Forelesning 10 (DM) Grafteori 03.10.2007 1 Korteste vei 2 Grafrepresentasjoner 3 Isomorfisme 4 Planare grafer Korteste vei I en vektet graf går det an å finne den veien med lavest total kostnad
DetaljerLineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler
Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1
DetaljerLØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN VÅR 2013 I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GK
LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN VÅR 2013 I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GK Oppgave 1 a) Målfunksjonen (1) summerer profitten ved å produsere x 1 bord og x 2 stoler. Restriksjon (2) sier at antall enheter
DetaljerGo with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på.
Go with the Niende forelesning Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Fokuserer på de viktigste ideene i dagens forelesning, så det forhåpentligvis blir lettere å skjønne
DetaljerGRAFER. Korteste vei i en vektet graf uten negative kanter. Korteste vei, en-til-alle, for: Minimale spenntrær
IN Algoritmer og datastrukturer GRAER IN Algoritmer og datastrukturer Dagens plan: orteste vei, en-til-alle, for: ektet rettet graf uten negative kanter (apittel 9..) (Dijkstras algoritme) ektet rettet
DetaljerALGORITMER OG DATASTRUKTURER
Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE
Detaljerη = 2x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 3 x x 3 4 2x 1 + x 3 + 5x 4 1 w 1 =3 x 1 x 2 x 3 2x 4 w 2 =4 x 1 x 3 w 3 =1 2x 1 x 3 5x 4
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MA-IN-ST 233 Konveksitet og optimering Eksamensdag: 31. mai 2000 Tid for eksamen: 9.00 13.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg:
DetaljerKontinuasjonseksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Torsdag 9. August 2001, kl
Student nr.: Side 1 av 5 Kontinuasjonseksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Torsdag 9. August 2001, kl 0900-1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf. 73 593442. Hjelpemidler: Alle
DetaljerUretta grafar (1) Mengde nodar Mengde kantar som er eit uordna par av nodar
Kapittel 13, Grafar Uretta grafar (1) Ein uretta graf Mengde nodar Mengde kantar som er eit uordna par av nodar To nodar er naboar dersom dei er knytta saman med einkant Ein node kan ha kant til seg sjølv.
DetaljerMaks Flyt og NPkompletthet
Maks Flyt og NPkompletthet Flyt - Intro Mange av oppgavene om flyt handler om å se at Dette kan vi løse som et flytproblem. Resten er som regel kortsvarsoppgaver, og går på grunnleggende forståelse av
DetaljerMA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.
MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =
Detaljer6.4 Gram-Schmidt prosessen
6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
DetaljerAlgdat - øvingsforelesning
Algdat - øvingsforelesning Topologisk sortering og minimale spenntrær Nils Barlaug Dagens plan 1. 2. 3. 4. 5. Praktisk og dagens plan Topologisk sortering Minimale spenntrær a. Kruskal b. Prim Tips til
DetaljerØvingsforelesning Korteste vei: Alle til alle
Øvingsforelesning Korteste vei: Alle til alle TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Ole Kristian Pedersen 02. november, 2018 IDI, NTNU Plan for dagen Løsninger teoriøving 10 Alle til alle med Dijkstra &
DetaljerINF1020 Algoritmer og datastrukturer GRAFER
GRAFER Dagens plan: Minimale spenntrær Prim Kapittel 9.5.1 Kruskal Kapittel 9.5.2 Dybde-først søk Kapittel 9.6.1 Løkkeleting Dobbeltsammenhengende grafer Kapittel 9.6.2 Å finne ledd-noder articulation
DetaljerAvsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 18. august 2011 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 8. september Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.
DetaljerInnhold. Innledning 1
Innhold Innledning 1 1 Kompleksitetsanalyse 7 1.1 Innledning.............................. 8 1.2 Hva vi beregner........................... 8 1.2.1 Enkle operasjoner...................... 8 1.2.2 Kompleksitet........................
DetaljerEkstra ark kan legges ved om nødvendig, men det er meningen at svarene skal få plass i rutene på oppgavearkene. Lange svar teller ikke positivt.
Side 1 av 5 Noen viktige punkter: (i) (ii) (iii) (iv) Les hele eksamenssettet nøye før du begynner! Faglærer går normalt én runde gjennom lokalet. Ha evt. spørsmål klare! Skriv svarene dine i svarrutene
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT0 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 98 5 99 Eksamensdato 7. desember, 06 Eksamenstid
DetaljerGrafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 24: Grafer og trær. Dag Normann
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 24: Grafer og trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 21. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-21 12:55) MAT1030 Diskret Matematikk 21.
Detaljer