Slides til 1.5. Andreas Leopold Knutsen

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Slides til 1.5. Andreas Leopold Knutsen"

Harald Askeland
7 år siden
Visninger:

1 Slides til 1.5 Andreas Leopold Knutsen January 20, 2010

2 Argument Mål: korrekt resonnement (eks.:matematiske bevis) p 1 p 2. p n q Premisser/hypoteser/antagelser: p 1,..., p n (sammensatte prop.) Konklusjon/slutning/konsekvens: q Dermed/ergo Inference=slutning

3 Gyldig argument p 1 Argumentet p 2. p n q er gyldig når: Sanne premisser medfører sann konklusjon, dvs. (p 1 p 2 p n ) q er tautologi, dvs. ( ) (p 1 p 2 p n ) q T. NB: Usann konklusjon betyr enten usanne premisser, eller ugyldig argument.

4 Slutningsregler: 1.5-Tabell 1 Regel p p q Navn Modus ponens q q p q Modus tollens p p q q r p r p q p Hypotetisk syllogisme Disjunktiv syllogisme q p p q p q p p q p q p q p r q r Addisjon Simplisering Konjunksjon Resolusjon

5 Eksempel: gyldig eller ikke? Når det ikke regner, så snør det Hvis det snør, så kommer brøytebilen Brøytebilen kommer ikke Derfor regner det r det regner s det snør b brøytebilen kommer Argument: r s s b b r Tas på tavlen.

6 Eksempel: gyldig eller ikke? Jeg drikker øl når det ikke er mer melk eller når jeg lager pizza Jeg lager pizza bare hvis det er lørdag eller det er fest Det er lørdag idag og jeg er på fest Derfor drikker jeg øl d jeg drikker øl m det nnes mer melk p jeg lager pizza l det er lørdag f det er fest Argument: m p d p l f l f d Tas på tavlen.

7 Slutningsregler med : 1.5-Tabell 2 Regel xp(x) P(c) P(c) for vilkårlig c xp(x) Navn Universell instansiering Universell generalisering I UG skal c være et vilkårlig element i domenet, vi kan ikke anta noe mer om c.

8 Eksempel på universell generalisering Vis at x 2 x for ethvert naturlig tall x (naturlige tall er positive hele tall) Domene = naturlige tall = N P(x) x 2 x Vil konkludere xp(x) Viser da P(n) for vilkårlig naturlig tall n Riktig bevis: La n være et vilkårlig naturlig tall. Da er n 1, slik at n 2 n 1 = n. QED Galt bevis: La n være et vilkårlig naturlig tall, for eksempel 4. Da er n 2 = = n. QED Viktig poeng: P(c) xp(x) er ikke tautologi! Moteksempel: La domenet være R, P være predikatet positiv og c = 2.

9 Slutningsregler med : 1.5-Tabell 2 Regel xp(x) P(c) for en eller annen c P(c) for en eller annen c xp(x) Navn Eksistensiell instansiering Eksistensiell generalisering

10 Vanlig feil med : nn den! Argument x(p(x) Q(x)) x(q(x) R(x)) x(p(x) R(x)) Galt bevis: 1. x(p(x) Q(x)) Premiss 2. x(q(x) R(x)) Premiss 3. P(c) Q(c) Eks. inst. fra Q(c) R(c) Eks. inst. fra P(c) R(c) Hyp. syll. fra 3. og x(p(x) R(x)) Ekst. gener. fra 5. Hvor er feilen?

11 Morlille er en sten MONTANUS: Morlille, jeg vil gjøre jer til en sten. NILLE: Ja, snakk; det er enda mer kunstig. MONTANUS: Nu skal I få dette å høre: En sten kan ikke y. NILLE: Nei; det er visst nok, unntatt man kaster den. MONTANUS: I kan ikke y. NILLE: Det er og sant. MONTANUS: Ergo er Morlille en sten. (Nille gråter.) Hvorfor gråter Morlille? NILLE: Akk, jeg er så bange at jeg blir til sten. Mine ben begynner alt å bli kalde.

12 Argument til Morlille er en sten Domene alle ting i verden (inkludert mennesker) m morlille F (x) x kan y S(x) x er en sten x(s(x) F (x)) F (m) S(m) Ikke gyldig! Gyldig del: Universell instansiering x(s(x) F (x)) S(m) F (m)

13 Feilslutningen i Morlille er en sten S(m) F (m) F (m) S(m) Som i Eks. 10 i 1.4: ikke gyldig å si at p q q p Feilslutningen av å hevde konklusjonen

14 Morlille er ingen sten MONTANUS: Gi jer tilfreds, Morlille! Jeg skal straks gjøre jer til menneske igjen. En sten kan ikke tenke eller tale. NILLE: Det er sant. Jeg vet ikke om den kan tenke, men tale kan den ikke. MONTANUS: Morlille kan tale. NILLE: Ja, gudskjelov, som en stakkars bondekone kan jeg tale. MONTANUS: Godt. Ergo er Morlille ingen sten. NILLE: Akk, det gjorde godt, nu kommer jeg meg igjen. Det må sannelig sterke hoder til å studere, jeg vet ikke hvordan deres hjerne kan holde det ut.

15 Argument til morlille er ikke en sten, I Domene alle ting i verden (inkludert mennesker) m morlille S(x) x er en sten Q(x) x kan tale x(s(x) Q(x)) Q(m) S(m) Universell modus tollens

16 Bevis 1. x(s(x) Q(x)) Premiss 2. S(m) Q(m) Univ. instansiering 3. Q(m) Premiss 4. Q(m) ( Q(m)) Dobbel negasjon 5. S(m) Mod. tollens fra 2. og 4.

17 Argument til morlille er ikke en sten, II Domene alle ting i verden (inkludert mennesker) m morlille S(x) x er en sten Q(x) x kan tale P(x) x kan tenke x(s(x) (P(x) Q(x)) Q(m) S(m)

18 Bevis 1. x(s(x) (P(x) Q(x)) Premiss 2. S(m) (P(m) Q(m)) Univ. instansiering 3. (P(m) Q(m)) P(m) Q(m) De Morgan 4. S(m) P(m) Q(m) 2. og P(m) Q(m) Q(m) Simplisering 6. S(m) Q(m) Hyp. syll. fra 4. og Q(m) Premiss 8. Q(m) ( Q(m)) Dobbel negasjon 9. S(m) Mod. tollens fra 6. og 8.

19 Annet eksempel: gyldig eller ikke? Regnfulle dager gjør at hager gror Hager gror ikke dersom det ikke er varmt Det regner alltid når det ikke er varmt Derfor, om det ikke er varmt, så er det varmt r det regner g hager gror v det er varmt Argument: r g v g v r v v Tas på tavlen.

20 Annet eksempel: Den som drikker er lykksalig MONTANUS: (...) Hør, farlille, vil I tro at den som drikker vel, er lykksalig? JEPPE: Jeg tror snarere at han er ulykksalig, ti man kan drikke både forstand og penger bort. MONTANUS: Jeg vil bevise at han er lykksalig. Qvicunque bene bibit, bene dormit... Nei, det er sant, I forstå ikke latin, jeg må si det på dansk. Den som drikker vel, sover gjeme vel, er det ikke sant? JEPPE: Det er sant nok. Når jeg har en halv rus, sover jeg som en hest. MONTANUS: Den som sover vel, synder ikke, er ikke det også sant? JEPPE: Jo, det er sant nok. Så lenge man sover, synder man ikke. MONTANUS: Den som ikke synder, er lykksalig. JEPPE: Det er og sant. MONTANUS: Ergo, den som drikker vel, er lykksalig.

21 Argument til Den som drikker er lykksalig p man drikker q man sover r man synder s man er lykksalig p q q r r s p s To ganger hypotetisk syllogisme

Like dokumenter

Slides til 1.6 og 1.7. Andreas Leopold Knutsen

Slides til 1.6 og 1.7. Andreas Leopold Knutsen Slides til 1.6 og 1.7 Andreas Leopold Knutsen January 17, 2010 Begreper Matematiske resultater/utsagn som er sanne kalles gjerne: Teorem = viktig utsagn Proposisjon/Sats/Setning = litt mindre viktig utsagn