Matematikk Oppgåvesamling

Transkript

1 Matematikk Oppgåvesamling Odd 1P Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen NYNORSK

2 Matematikk 1P Oppgåvesamling er ein del av læreverket Matematikk 1P. Verket dekkjer måla i læreplanen av 2005 for Matematikk Vg1P i studieførebuande utdanningsprogram. H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) utgåve / 1. opplag 2006 Det må ikkje kopierast frå denne boka i strid med åndsverklova eller i strid med avtalar om kopiering gjorde med Kopinor, interesseorgan for rettshavarar til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan føre til erstatningsansvar og inndraging, og kan straffast med bøter eller fengsel. Til nynorsk ved Øystein Vigestad Redaktørar: Dag-Erik Møller og Jon Arne Corell Grafisk formgiving og omslag: Mona Dahl Ombrekking: Type-it AS Biletredaktør: Annette Faltin Tekniske illustrasjonar: Framnes Tekst og Bilde AS Grunnskrift: Sabon 10,8/13 Papir: 100 g Tom&Otto 0,82 Trykk og innbinding: AIT Trykk Otta AS ISBN-13: ISBN-10: Biletliste Framsida og s. 1: Nordic Photos/GV-Press s. 8 Trinette Reed/GV-press s. 16 Scott Adams/United Feature Syndicate, Inc/ Norsk Seriebyrå s. 29 Svingingar av Vassily Kandinsky/BONO 2006/Tate Gallery, London 2005 s. 49 Bård Løken/Samfoto s. 50 Curt Carnemark/Mira/Samfoto s. 60 Nordic Photos/GV-Press s. 66 Hodder Headline, London s. 85 AFP/Scanpix s. 115 Thorfinn Bekkelund/Samfoto

3 Til eleven Matematikk 1P Læreverket Matematikk 1P er skrive for læreplanen Matematikk Vg1P på dei studieførebuande utdanningsprogramma. Verket består av læreboka oppgåvesamlinga fagnettstaden på I læreboka finn du teori, eksempel og innlæringsoppgåver. Det lønner seg å rekne alle innlæringsoppgåvene. Du kan så gå til oppgåvesamlinga for vidare arbeid og utdjuping. Oppgåvesamlinga Her finn du varierte oppgåver av mange ulike slag og med ulike vanskegradar. I tillegg til «vanlege» rekneoppgåver finn du oppgåver som gir deg trening i dei grunnleggjande dugleikane (ferdigheitene) å kunne uttrykkje seg munnleg, å kunne uttrykkje seg skriftleg, å kunne lese og å kunne bruke digitale verkty. Dessutan finn du fleirvalsoppgåver, rett/gale-oppgåver og eksamensoppgåver. Eksamensoppgåvene er merkte med X. Kompetansemåla frå læreplanen slik dei er formulerte av Utdanningsdirektoratet er plasserte fremst i kvart kapittel. Oppgåvene er ordna i underkapittel med same overskrift som dei tilsvarande underkapitla i læreboka. I tillegg finn du blanda oppgåver i slutten av kvart kapittel. Somme oppgåver er merkte med stjerne, *. Desse oppgåvene har vi laga fullstendig løysing til. (Sjå side 138.) Oppgåvene innanfor eit underkapittel er ordna etter vanskegrad. Dei lettaste er ikkje markerte. Dei noko vanskelegare er markerte med trekantar: eller. Dei blanda oppgåvene har ikkje markeringar for vanskegrad. Til hjelp i arbeidet har vi laga Stigfinnaren, ein tabell med tre ulike forslag til «stigar». Ein stig er eit utval av oppgåver sette i ei høveleg rekkjefølgje. Stig 1 er lettast. Stig 3 er vanskelegast. Vi understrekar at stigane berre er meinte som forslag. I samråd med læraren din kan du velje den stigen som passar deg best. Du kan også lage din eigen stig. Lykke til Opp gjennom åra har vi fått mange nyttige tilbakemeldingar frå elevar og lærarar. Ønskjer du å gi kommentarar, kan du bruke adressa [email protected]. Vi ønskjer deg lykke til! Helsing forfattarane Vi takkar kollegaer og andre for gode forslag og innspel. Ei spesiell takk til konsulentane Jostein Walle, Petter Callin, Åse Pedersen og Magne Strømme.

4 Innhald 1 Tal og algebra 5 2 Geometri 29 3 Sannsyn 60 4 Funksjonar 85 5 Økonomi 115 Utvalde løysingar 138 Fasit 158

5 1 Tal og algebra STIGFINNAREN 1.1 Negative tal 1.2 Den matematiske grammatikken Kompetansemål: Mål for opplæringa er at eleven skal kunne gjere overslag over svar, rekne praktiske oppgåver, med og utan tekniske hjelpemiddel, og vurdere kor rimelege resultata er tolke, tilarbeide, vurdere og diskutere det mate - matiske innhaldet i skriftlege, munnlege og grafiske framstillingar tolke og bruke formlar som gjeld daglegliv, yrkesliv og programområde rekne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekstfaktor behandle proporsjonale og omvendt proporsjonale storleikar i praktiske samanhengar Stig 1 Stig 2 Stig 3 100, 101, 102, 103, 104, 101, 103, 104, 105, 106, 103, 105, 106, 107, 106, 107, , , 109, , 113, 114, 115, , 112, 113, 114, 115, 112, 113, 114, 115, 116, Rekning med store og små tal 118, 119, 120, 121, 122, , 119, 121, 122, 123, , 122, 123, 124, Overslag og avrunding 126, 127, 128, 129, , 127, 128, 129, , 128, 129, 130, Bokstavuttrykk. Likningar. Formlar 132, 133, 136, 138, , 133, 134, 136, 138, 139, , 134, 135, 137, 138, 139, 140, Forhold. Prosentrekning 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 158, 161, 163, 166, 167, , 144, 145, 147, 148, 149, 151, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 162, 163, 165, 166, 167, 168, 169, 171, , 149, 152, 153, 154, 157, 158, 159, 160, 163, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, Proporsjonalitet 174, 175, 176, 177, 179, , 175, 176, 178, 179, 180, 181, 182, 174, 175, 178, 179, 181, 183, 184, Nokre grafiske og skriftlege framstillingar 186, 187, , 188, , 189 Rett eller gale?: s. 23 Blanda oppgåver (190 X1.7): s. 23 Utvalde løysingar: s. 138 Grunnleggjande ferdigheiter: Munnlege ferdigheiter: 126, 130, 131, 135, 137, 141, 144, 162, 163, 184, 187, 189, 193, 194, 196, 199 Skriftlege ferdigheiter: 117, 130, 133, 135, 137, 141, 144, 157, 170, 184, 187, 189, 193, 194, 196, 199 Leseferdigheiter: 100, 105, 112, 124, 135, 141, 144, 153, 157, 162, 170, 183, 194 Digitale ferdigheiter: 108, 114, 115, 116 Interaktive oppgåver: Lokus.no

6 6 Kapittel 1: Tal og algebra 1.1 Negative tal 100 I Helsingborg i Sverige står dette skiltet: GÖTEBORG 221. Trude køyrer nordover mot Gøteborg. I Kungsbacka ser ho dette skiltet: GÖTEBORG 32 OSLO 334 Kor langt er det frå a Helsingborg til Oslo? b Gøteborg til Oslo? 101 Anne har laga kart og tabell som viser kor langt det er til nokre av vennene hennar. Avstandane er oppgitt i meter. Kari Lars Mia Anne Kari Lars Mia Nils Per Anne Kari Lars Mia Nils Per Nils Anne Per Rekn ut den kortaste avstanden langs vegane frå Nils til Kari. 102 Bankkontoen til Pål viser 630 kr. Han set inn 3500 kr. Kva viser kontoen etter innskotet? 103 a Ei væske frys ved 114 C og koker ved 78 C. Kor stor er temperaturskilnaden mellom kokepunktet og frysepunktet? Kva for nokre eller kva for eit av desse reknestykka gir rett svar på oppgåva? ( 114) b Finn temperaturskilnaden mellom kokepunktet og frysepunktet for desse væskene: Frysepunkt C Kokepunkt C Propan Kvikksølv Eter Rekn ut med og utan lommereknar. a 8 + ( 2) b c 3 + ( 4) d 4 ( 4) e 6 + ( 2) f 6 ( 2) g h 5 + ( 15) ( 6) + 8

7 Kapittel 1: Tal og algebra a Daudehavet ligg 394 m under havoverflata (muh.), og Genesaretsjøen ligg 208 muh. Oljeberget ligg 818 moh. og Jerusalem om lag 750 moh. Lag ei skisse som viser høgdeskilnadene. Kor mykje høgre er Oljeberget enn 1 Genesaretsjøen 2 Daudehavet b Marit går frå Daudehavet mot Jerusalem. Ho tek ein pause etter ei stigning på 130 m. Ho tek ein ny pause etter å ha stige 150 m til. Kor høgt i forhold til havoverflata er ho komen då? Rekn ut med og utan lommereknar. a ( 3) ( 4) b 3 ( 5) c 30 : 6 d 30 :( 6) e ( 15):( 5) f 5 ( 1) ( 5) g 20 ( 3):( 5) For å lage ei bokhylle av ein spesiell type treng ein snikkar dette: 4 lange bord, 6 korte bord, 12 små vinkeljern, 2 store vinkeljern og 14 skruar. Snikkaren har 26 lange bord, 33 korte bord, 200 små vinkeljern, 20 store vinkeljern og 510 skruar på lager. Kor mange bokhyller kan snikkaren lage? (PISA) Tabellen viser morgontemperaturane i ei veke i februar og i ei veke i mars. Rekn ut gjennomsnittleg morgontemperatur for a veka i februar b veka i mars Februar C C C C C C C Mars C C C C C C C c Bruk rekneark til å finne gjennomsnittleg morgontemperatur for dei to vekene. Lag også eit diagram. 109 Her står det seks tal: 2 4 2,5 0 1,2 1,8 a Kva for eit av tala er minst? b Kva for eit av tala er størst? c Skriv tala i stigande rekkjefølgje.

8 8 Kapittel 1: Tal og algebra 110 I eit magisk kvadrat skal alle summane vassrett, loddrett og diagonalt vere like. Fyll ut desse magiske kvadrata Den matematiske grammatikken 111 Rekn ut. a b ( 6+ 4) 2 c d e f Set parentesar slik at svaret blir rett. a = 25 b = 16 c 9 2 4= 28 d : 3= 7 e 8+ 14: 2 3= 8 f : 3 = 30 Rekn ut. a ( 9 6) ( 3+ 4) b ( ) ( ) c d 2 2 ( 3 6) 2+ ( 6 2 ) 3 Brøk på lommereknaren Vi kan rekne med brøkar på lommereknaren. Vi tek to eksempel. Eksempel 1 Vi vil rekne ut CASIO på lommereknaren. Vel RUN i hovudmenyen. I staden for vanleg divisjonstast bruker vi ein eigen brøktast, ab/c. Tast 2 ab/c ab/c 4 EXE TEXAS Tast 2/3 + 3/4. Trykk deretter MATH, vel 1: ( Frac) og trykk ENTER.

9 Kapittel 1: Tal og algebra Rekn ut på lommereknaren a + b + c d Eksempel 2 Vi vil rekne ut CASIO 3 2 : 4 5 på lommereknaren. TEXAS 115 Rekn ut på lommereknaren. a : b : c : Rekn ut på lommereknaren. a b c d ( 4+ 6) e f g : 35 * 117 Anders stabla halvparten av eit parti blomsterpotter, Lana stabla ein tredel og Miriam stabla resten. Miriam meiner at ho stabla ein femdel. a Vis at Miriam tek feil. b Kor stor del av partiet stabla Miriam? 1.3 Rekning med store og små tal 118 Skriv på vanleg måte. a 10 2 b 10 3 c 10 1 d 10 2 e Skriv som potens med 10 som grunntal. a b c 0,01 d 0,0 01 e 0, a Kor mange gram er 5 kg? b Kor mange meter er 16 km? c Kor mange liter er 5 hl? d Kor mange liter er 28 dl?

10 10 Kapittel 1: Tal og algebra 121 Skriv tala på standardform. a b c d 0,005 e 0, f 0, Rekn ut. a 4,8 kg g b 896 mg + 0,9 g c 32 mg + 0,0032 g d 320 μg+6,8mg Skriv svara på standardform. Rekn først i hovudet. Kontroller så med lommereknaren. a b c d Sommaren 2002 gjekk det ein «farsott» over landet, og vi kunne lese i avisene: Smykkemote tømmer lagra! På få månader er ca. 30 millionar sikringsnåler blitt omdanna til smykke. Til eitt armband går det med nåler, og til eit belte stk. «Ei familiebedrift har selt ti millionar sikringsnåler dei siste månadene. Det er like mange som dei selde på 60 år.» (Aftenposten) a 1 Skriv 30 millionar på standardform. 2 Kor mange armband kan vi lage av 30 millionar nåler? 3 Kor mange perler trengst til eit belte som er laga av 480 nåler, dersom vi bruker 10 perler på kvar nål? 4 Om lag kor mange sikringsnåler selde familiebedrifta i gjennomsnitt per år før desse smykka kom på moten? Ein butikk tingar perler i posar på 1 kg. b 1 Kor mange kilogram perler må butikken ta inn når ein har fått ei tinging på fire tusen sikringsnåler, med plass til tolv perler på kvar nål? Ei perle veg 15 mg. 2 Armbandet til Kine veg 51,8 g og er laga av 80 sikringsnåler med 10 perler på kvar nål. Kor mykje veg sikringsnålene og gummistrikken? 125 I a Ein bakterie har lengda mm. Kor mange bakteriar må det til for at summen av lengdene skal bli 1 cm? b Ei raud blodcelle har ein diameter på m. Eit vakse menneske har ca raude blodceller. Kor langt ville blodcellene ha rokke dersom dei var blitt lagde etter kvarandre? II a Lysfarten er 30, 10 8 m/s. Kor mange kilometer går lyset på eitt år? Denne avstanden kallar vi eit lysår. b Mjølkevegsystemet, som vi bur i, er ein spiralgalakse med millionar stjerner. (Éi av dei er vår sol.) Den spiralgalaksen som ligg nærmast vår galakse (Mjølkevegsystemet), er Andromedagalaksen (M31).

11 Kapittel 1: Tal og algebra 11 Avstanden til Andromedagalaksen er 2,3 millionar lysår. (Vi kan så vidt sjå denne galaksen med berre auga ei klar, mørk natt). Kor lang tid bruker lyset frå Andromedagalaksen til jorda? 1.4 Overslag og avrunding 126 I reknestykka nedanfor har desimalteiknet falle ut i svaret. Gjer eit overslag og set inn desimalteiknet på rett plass. a 6, 8 4, 2 = 2856 b 6, 5 8, 4 = 546 c 08, 45, = 36 d 58, 6 3, 2 = e 24, 48 : 4, 8 = Rund av til nærmaste heile tal. a 8,5 b 31,4 c 10,49 d 200,50 e 99,6 128 Rund av til nærmaste tital. a 89 b 34 c 654 d Rekn ut og skriv svaret med to desimalar. a 762, 34, b 068, 08, c 2, , 12 d 43824,, Skriv opp eit rekneuttrykk for kvar av oppgåvene nedanfor, og rekn ut uttrykka med lommereknar. Vurder om svara verkar rimelege. a Kiloprisen på eple er 12,90 kr. Kva kostar 2,7 kg? b Marcus kjøper smågodt til 8,60 kr per hg. Kor mykje får han for 34 kr? c 1 kg pølser kostar 69,90 kr. Kva kostar 0,64 kg? Gjer først eit overslag. Kontroller så med lommereknaren. 58, 13, 79, 52, a b 22, 29, 98, 24, 56, + 125, 158, , 52 c d 25, 4 16, Bokstavuttrykk. Likningar. Formlar 132 a Rekn ut. 1 8 n + 5n 2 3b +(2a 3b) 3 4a+ 3b+ ( 3a 2b) 4 6(a 3) + 2(9 a) 5 4x 3y ( 2y+ 3x) b Rekn ut verdien av uttrykka i oppgåve a når 1 n =2 2 a =5ogb =2 3 a =4ogb =6 4 a =12 5 x =5ogy = Kva for eit tal må stå i boksane for at uttrykket skal bli lik 0? a 3a 4a 2 + ( a+ a 2 ) b 4a 3b 12a + 4b 2a+ 5a + a b+ a c 3a 4a 2 ( a a 2 )

12 12 Kapittel 1: Tal og algebra * Rekn ut. a a(a +2) 2a b a(a 2) + 2(4 + a) c a(a 3) (a 3a 2 ) d 2(a b + a 2 ) a(a +2b) Skriv reknestykka nedanfor med matematiske symbol og rekn ut svaret. (Hugs å setje parentesar der det skal vere.) a Til summen av 5 og 4 skal du addere det tredoble av det du får når du trekkjer 6 frå 11. b Differansen 3 2a skal multipliserast med 5. c 3 2a skal leggjast til 5 3a. d 3 2a skal trekkjast frå 5 3a. Løys likningane. a 4 x + 4 = 2 x + 9 b 5x+ 3( x 2) = 2 c 7( x 3) = 49 d 5x ( 3 x) = 9 * e 5( x 3) = 6( 2 x) a Løys likningane. 1 x +(x +3)= x +2(x + 30) = 2000 b Lag oppgåvetekst til oppgåver som kan løysast ved å bruke likningane i oppgåve a. 138 Snu brøkane og løys likningane. a 2 3 b c d x = x = x = 3 5 = 7 4 x * 139 Salsinntekta i kroner for ei vare er gitt ved I = 400 x, der x er talet på selde vareeiningar per dag. a Finn x uttrykt ved I. b Kva er salsinntekta per dag dersom det blir selt 30 einingar per dag? c Kor mange einingar blir selde per dag dersom salsinntekta er kr? Løys likningane. x a x b * c 2 = 1 + x 1 x+ 1 4x 2 3x 1 + = 1 = d 2 ( x 3 ) 4 ( 1 e 2 2x) = 2 5x 2( x+ 1) ( x ) = 3 ( 3x+ 3) Anne Mari og Tom følgjer den same stigen når dei er ute på tur. Men kvar gong tek Tom ein ekstra avstikkar på 1,5 km. Ei veke går dei seks turar. Dei har då til saman gått 45 km. a Set opp ei likning der x km er den strekninga Anne Mari går kvar gong. Løys likninga. Kor langt går kvar av dei kvar gong? b Forklar korleis du kan tenkje for å finne ut kor langt kvar av dei går kvar gong, utan å bruke likning.

13 Kapittel 1: Tal og algebra Forhold. Prosentrekning 142 På ein klassefest var det 28 elevar. Kva var forholdet mellom talet på gutar og talet på jenter når 16 av deltakarane var jenter? 143 Ei hyttetomt kostar kr. Ved underskrivinga av kjøpekontrakten skal 3 8 av beløpet betalast kontant. Kor stort er kontantbeløpet? 144 Klasse 1E skal ha klassefest, og dei bestemmer seg for å lage pizza. I ei oppskrift for fire personar skal det vere: Deig Fyll 1,5 dl vatn 1 ss olje 0,5 pakke gjær 3 ss tomatpuré 1 ss olje 0,5 dl vatn 250 g kveitemjøl 1 ts oregano 0,5 ts salt 4 dl ost 200 g hermetisk sopp salt og pepar Tilpass denne oppskrifta til 24 personar. Rund av tala. 145 Ein sommar jobba Elin og Anders med instruksjon i kiting og utleige av kitingutstyr. Elin hadde investert kr og Anders kr for å skaffe nødvendig utstyr. Forholdet mellom fortenestene skulle vere det same som forholdet mellom investeringane. Etter at sesongen var over, hadde Elin ei forteneste på kr. Kor stor var fortenesta til Anders? 146 a Skriv som desimaltal. 3 % 4,5 % 9,2 % 11 % 12 % 25 % 19,7 % 0,6 % 110 % b Skriv som prosent. 0,02 0,05 0,035 0,047 0,19 0, ,2 6, Kor mange prosent er a 36 av 300 b 240 av 368 c 4,6 av 109 d 180 av 150 e 16 av 100 f 8av Kor mykje er a 12 % av 300 b 3,5 % av 3000 kr c 8 % av kr d 120 % av 400 e 30 % av 80 f 15 % av 160

14 14 Kapittel 1: Tal og algebra 149 Prisen på ei vare er 2000 kr. Kva for eit tal må du multiplisere 2000 med for å få den nye prisen dersom a prisen går opp 1 5% 2 8% 3 12 % 4 16,5 % b prisen går ned 1 5% 2 8% 3 12 % 4 16,5 % Finn den nye prisen i kvart av tilfella. 150 Jacob har ei månadslønn på kr og får ein lønnsauke på 4 %. Kva for eit eller kva for nokre av desse reknestykka viser den nye lønna? A , 04 B , 4 C , 04 D Ei vare kostar 350 kr. Kor mykje kjem vara til å koste dersom prisen a stig med 10 % b blir redusert med 25 % * 152 a Ei vare kosta først 1000 kr. Prisen blei sett ned 20 %. Etter ei stund blei prisen sett opp 20 %. Kva blei den nye prisen? b På ei vare som kosta 1000 kr, gjekk prisen opp med 20 %. Kva blei den nye prisen? Ei stund seinare hadde forretninga sal, og prisen blei sett ned 20 %. Finn prisen under salet. 153 Eva blandar raud og kvit måling i forholdet 2 til 3 for å få den fargen ho vil ha. Ho bruker 4 liter raud måling. Kor mange liter kvit måling må ho bruke? Kva for eit svar er rett? A 8 liter B 6 liter C 12 liter I ein matematikktime skreiv 3 av dei 30 elevane kommentarar ved gjennomgåinga av den siste prøva. a Kor mange skreiv kommentarar? 2 15 av elevane følgde ikkje med. b Kor mange var det som ikkje følgde med? Nanna får 1,2 liter eplejus av 3 kg eple. Kor mange kg eple må ho kjøpe for å lage 4,2 liter eplejus? Ola har vore borte frå åtte matematikktimar i 1. termin. Han har 5 veketimar i matematikk, og det har vore undervisning i 14 veker i denne terminen. a Kor mange prosent fråvere har han i matematikk? Kari har vore borte i 20 % av timane. b Kor mange timar har ho vore borte?

15 Kapittel 1: Tal og algebra Det beste zoomkameraet. Eit tidsskrift gir karakter for biletkvalitet, funksjonar, kor enkelt kameraet er i bruk og kvalitet/pris når det vurderer kamera. Beste karakter er 10. Samla karakter er basert på delkarakterane, der biletkvalitet tel 50 %, funksjonar og enkel bruk tel 20 % kvar, medan kvalitet/pris tel 10 %. Ved ei undersøking fekk tre ulike kamera, Ca, Ni og Pa, karakterar som oppgitt i tabellen. Ca Ni Pa Biletkvalitet (Bk) 8,5 9 8 Funksjonar (Fu) 9,5 8 Enkel bruk (Eb) Kvalitet/pris (Kv) Samla karakter (Sk) 8,9 8,0 a b c d Kontroller at den samla karakteren stemmer for Ca. Rekn ut den samla karakteren for Ni. Kva er karakteren for funksjonar for Pa? Vi kan setje opp ein formel for å rekne ut den samla karakteren. Formelen begynner slik: Sk = 050, Bk + 020, Fu +... Fullfør formelen. * Prisen på ei vare blei sett opp frå 750 kr til 855 kr. a Bestem vekstfaktoren. b Kor mange prosent gjekk prisen opp? Bustadprisane i budstadfeltet Utsyn auka i fjor med 7,5 %. I dag er prisen kr for ei lita leilegheit. Kva for eit eller kva for nokre av desse reknestykka viser kva ei tilsvarande leilegheit kosta i fjor? A , 075 B : 1, 075 C , 925 D : 0, 925 E , 925 F , 075 Lise fekk 5 % auke i lønna. Kva var den gamle lønna når den nye blei kr? Ein kjole kostar 1200 kr. Prisen på kjolen aukar med 5 %. Kva for nokre av reknemåtane nedanfor gir rett svar på prisen etter prisauken? A , 05 B , 05 C , 05

16 16 Kapittel 1: Tal og algebra 162 a Prisen på ei vare gjekk opp frå 850 kr til 900 kr. Catinka og Stine ville finne prisauken i prosent. Catinka rekna slik: = 0, 056 = 5, 6% 900 Stine rekna slik: = 0, 059 = 5, 9 % 850 Kven rekna rett? Kommenter. b Ein kjole kostar 800 kr. Prisen på kjolen blir sett ned med 5 %. Kva for nokre av reknemåtane nedanfor gir den nye prisen etter endringa? A , 05 B 800 0, 95 C 800 0, a b Er det 2 % lønnsauke eller 3 % lønnsauke som gir størst lønnsauke i kroner? Kommenter. Kva er rett svar, 25 % eller 33 %? Kommenter. 164 Aslak lagar knappar av nysølv. Nysølv består av 50 % kopar, 25 % nikkel og resten sink. a Kor mange prosent sink er det i nysølv? b Rekn ut forholdet mellom kopar, nikkel og sink. c Aslak bruker 150 g nikkel. Kor mykje må han bruke av dei andre metalla? d Kor mykje kopar, sink og nikkel er det i ei skål av nysølv som veg 180 g?

17 Kapittel 1: Tal og algebra 17 * 165 a Kva var avslaget i prosent for skorne? b Kva var avslaget i prosent for skøytene? c Per kjøpte eitt par sko og eitt par skøyter. Kor stort avslag i prosent fekk Per ved kjøpet? I ei bedrift auka fråveret hos dei tilsette frå 2,5 % i januar til 3,5 % i februar. Kor mykje auka fråveret a i prosentpoeng b i prosent Meirverdiavgifta (mva.) er ei avgift som skal betalast ved kjøp av nesten alle varer. I oppgåvene nedanfor reknar vi med ei meirverdiavgift på 25 %. a Eit skap kostar 4300 kr utan mva. Kva blir prisen med mva.? b Salsprisen for ein datamaskin er 7995 kr med mva. Kva er prisen utan mva.? c Salsprisen for ei vare er 525 kr med mva. Finn meirverdiavgifta. d Meirverdiavgifta på eit par skor er 92 kr. Kva er utsalsprisen med mva.? 168 Forholda mellom radiane r 2 og r 1 i to sirklar er 3. Finn forholdet mellom areala A 2 og A 1 av sirklane. 169 På biletet ser du eit spagettimål. Sirklane på figuren er måla for éin, to, tre og fire porsjonar. Diameteren i sirkelen for éin porsjon er 2,1 cm. Finn diametrane i sirklane for to, tre og fire porsjonar ved rekning.

18 18 Kapittel 1: Tal og algebra 170 Ein fiskeoppdrettar vil finne ut om lag kor mange fiskar han har i anlegget sitt. Han merkjer 100 fiskar og set dei ut i anlegget att. Etter ei tid fangar han 200 fiskar. 8 av dei er merkte. Gjer eit overslag over kor mange fiskar det er i anlegget Til ein viss type loddetinn går det med 3 delar tinn og 4 delar kopar. a Kor mykje tinn lyt ein bruke til 1800 g kopar? b Kor mykje tinn, og kor mykje kopar må vi ha for å lage 3,5 kg loddetinn? Du skal ha åtte personar til middag, med lammesteik som hovudrett. Du reknar med at det går med 150 g ferdig steik per person, og reknar med eit steikjesvinn på 20 %. Kor stor lammesteik må du kjøpe? 173 a Ein «laurdagspizza» kostar 49 kr hos Pizza-spesialisten. Pizzaen veg 540 g. På grunn av konkurranse frå ein nyopna pizzakiosk set Pizza-spesialisten ned prisen på laurdagspizzaen til 39,90 kr, og samtidig endrar dei vekta til 410 g. Vil du seie at laurdagspizzaen blir dyrare eller billigare? Kor stor vil du seie at prisendringa er i prosent? b Søk på Internett etter prisar hos ulike leverandørar av pizza. Lag ein tabell og sorter etter pris. Kva er høgste pris og lågaste pris? Kor stor er skilnaden i prosent? 1.7 Proporsjonalitet 174 Her er to tabellar over samsvarande verdiar av x og y. 1 x y x y y a Rekn ut og undersøk om y er proporsjonal med x i dei to tabellane. x b Finn eventuelt proporsjonalitetsfaktoren og skriv y uttrykt ved x.

19 Kapittel 1: Tal og algebra Her er to tabellar over samsvarande verdiar av x og y. 1 x y x y a Rekn ut y x og undersøk om y er omvendt proporsjonal med x i dei to tabellane. b Skriv eventuelt y uttrykt ved x. 176 Nokre venner spleisar på ei gåve til Helene. Gåva kostar 500 kr. a Set opp eit uttrykk for kor mykje kvar må betale (y kr) når det er x personar som spleisar. b Kva kan du seie om samanhengen mellom y og x? c Kor mykje må kvar betale dersom det er som er med og spleisar? * 177 Vi kjøper x kg appelsinar og betaler y kr. y er proporsjonal med x, og vi kan skrive y = kx. a Finn proporsjonalitetsfaktoren k når 3 kg appelsinar kostar 31,50 kr. Kva står k for i dette eksemplet? b Kor mykje kostar 2,5 kg appelsinar? c Skriv y uttrykt ved x. 178 a Ved kjøp av x einingar av ei vare må vi betale y kr. Skriv y uttrykt ved x når prisen per eining er 18,50 kr. Kva er proporsjonalitetsfaktoren? b Prisen blir sett ned 20 %. Vil kjøpesummen framleis vere proporsjonal med talet på einingar? Finn i så fall proporsjonalitetsfaktoren. 179 Elin er på ferie i Frankrike. Dersom kursen er konstant, vil prisen y på ei vare i norske kroner (NOK) vere proporsjonal med prisen x i euro (EUR). a Ei vare som kostar 80 euro, kostar 600 norske kroner. Finn proporsjonalitetsfaktoren. b Ei anna vare kostar 115 euro. Kva kostar vara i norske kroner? c Kva er kursen på euro (i norske kroner) i denne oppgåva?

20 20 Kapittel 1: Tal og algebra * 180 Ved brulegging av nokre terrassar trengst det 80 brusteinar per m 2. La y vere talet på steinar som trengst for å bruleggje x m 2. a Kor mange steinar trengst det for å bruleggje 24 m 2? b Finn y uttrykt ved x. c Kor mange kvadratmeter kan vi bruleggje med 2800 steinar? Gard og Ivar skal på interrail. Til mat og lommepengar har dei til saman kr. a Skriv opp eit uttrykk som viser samanhengen mellom talet på dagar dei er borte (x dagar), og det beløpet dei kan bruke per dag (y kr). b Kor mykje kan dei bruke per dag dersom dei er borte 1 8 dagar 2 16 dagar 3 24 dagar Det er 1400 kilojoule i 100 gram av ei matvare. a Kor mange kilojoule er det i 1 50 gram gram b Det er y kilojoule i x gram av matvara. y er proporsjonal med x. Kva er proporsjonalitetsfaktoren? c Finn y uttrykt ved x. d Kor mange kilojoule er det i 375 gram? e I ein porsjon er det kilojoule. Kor stor er porsjonen? 183 Ein film varer lenger på kino enn på fjernsyn. På kino blir filmen vist med 24 bilete per sekund. På fjernsyn blir filmen vist med 25 bilete per sekund. Storfilmen Titanic varer 175 minutt på kino. Kor mange minutt kortare er filmen på fjernsyn? (Frå ei svensk eksamensoppgåve) 184 Mette og Johannes er ute og syklar. Mette syklar med farten 12 km/h. a Kor langt syklar Mette på 10 minutt? Johannes syklar også med konstant fart. Forholdet mellom farten til Johannes 5 og farten til Mette er 4. b Kor langt syklar Johannes på 10 minutt? Vi lèt y km vere strekninga ein person legg bak seg på x minutt. c Forklar at y er proporsjonal med x både for sykkelturen til Mette og for sykkelturen til Johannes. Finn y uttrykt ved x for begge sykkelturane. Kva fortel proporsjonalitetsfaktoren? d Kor lang tid bruker kvar av dei på 5 km? 185 a Ein gardbrukar har 2000 kg kunstgjødsel. Kor mange mål kan ho gjødsle med dette dersom ho bruker 1 40 kg per mål 2 80 kg per mål b Vi lèt y mål vere det arealet ho får gjødsla med 2000 kg når ho bruker x kg per mål. Finn y uttrykt ved x. Fyll ut tabellen. x y

21 Kapittel 1: Tal og algebra 21 Teikn grafen som viser samanhengen mellom x og y. Finn av grafen kor mykje ho kan bruke per mål dersom 2000 kg skal rekke til 1 50 mål 2 70 mål 1.8 Nokre grafiske og skriftlege framstillingar 186 Kurva viser temperaturen i vatn som er sett til avkjøling etter eit oppkok. Temperatur i celsiusgradar Tid i timar Bruk figuren til å bestemme a temperaturen i vatnet etter 1,5 time b kor lang tid det tek før vatnet når romtemperaturen på 20 C c temperaturen i vatnet når han har falle med 75 %. Kor lang tid har dette teke? 187 Kirsten køyrde ein tur med bilen sin. Plutseleg sprang ein katt ut på vegen framfor bilen. Kirsten bråbremsa og greidde å unngå å køyre på katten. Grafen nedanfor viser korleis farten endra seg på turen. a Kva var den største farten på køyreturen? b Når bremsa ho kraftig opp? Fart km/h Tid (klokkeslett) 9.12

22 22 Kapittel 1: Tal og algebra 188 For å unngå at kjølevatnet på ein bil skal fryse, blandar vi frostvæske (glykol) i vatnet. Diagrammet viser samanhengen mellom frysepunktet og mengda av frostvæske i prosent av heile blandinga. Temperatur i celsiusgradar a b c Volumprosent glykol Drøft med ein annan elev kva grafen fortel oss. Kor mange prosent glykol må kjølevatnet innehalde for at frysepunktet skal bli 20 C? Du blandar 3,5 liter glykol med 4,5 liter vatn. Kor mange prosent glykol inneheld blandinga? Kva frysepunkt får denne blandinga? 189 Flaggheising a Høgd over bakken Høgd over bakken Høgd over bakken Høgd over bakken b Tid Tid A B C D Vaktmeisteren heiser flagget. På figuren ser du fire forslag til ein graf som viser høgda av flagget over bakken ved ulike tidspunkt under ei flaggheising. 1 Diskuter kva for ein graf som verkar mest realistisk. 2 Kva for nokre av grafane er moglege? 3 Er nokon av grafane umoglege eller heilt usannsynlege? Når flagget skal heisast på halv stong, blir det først heist heilt opp, og 2 deretter firt sakte ned til ca. 3 høgd. Lag eit diagram som viser flaggheising på halv stong. Tid Tid

23 Kapittel 1: Tal og algebra 23 Rett eller gale? 1 Produktet av 9 og 3 er er tyder ikkje det same som ( 5) 2. 4 Når temperaturen stig frå 5 Ctil 15 C, stig han 10 C. 5 Prefikset hekto tyder hundredel er det same som er ikkje eit negativt tal , 10 3 er det same som 0, Når vi rundar av 5,0394 til to desimalar, blir svaret 5, x + x 6 blir 6 når x =3. 11 Likninga 2x 9= 25 har løysinga x = Brøken 10 er det same som 0,9 % Når 12 g kopar blir smelta saman med 30 g sølv, er 30 av blandinga kopar. 14 Å leggje til 25 % er det same som å multiplisere med 1, Når y og x er proporsjonale storleikar, kan vi skrive y = kx. Blanda oppgåver 190 I denne oppgåva skal du finne kva for eit svaralternativ som er rett. 1 Dersom vi legg saman alle primtala mellom 10 og 20, får vi A 90 B 75 C 70 D 60 2 Når vi reknar ut , får vi 3 A 40 B 39 C 21 D 44 3 Kva for ein av brøkane nedanfor er størst? A B C D Kva for ein av brøkane nedanfor kan skrivast? A B C D Når vi reknar ut, blir svaret A B C D Kor mykje er 10 6 kg? A 60 kg B 600 kg C kg D kg

24 24 Kapittel 1: Tal og algebra 7 Fire pakkar veg 2 kg, 500 g, 3,5 kg og 250 g. Til saman veg dei (i kilogram) A 5,25 B 6 C 6,25 D 75,55 8 Kor mange pakkar på 240 g kan vi fylle av ein sekk som inneheld 120 kg? A 5 B 50 C 500 D Korleis skriv vi 0,0063 på standardform? A B , C 6310, 3 D 06310, kg kjøtdeig kostar 46,50 kr. Kva kostar 0,85 kg? Kva for eit eller kva for nokre av desse reknestykka viser svaret: A 46, 50 : 0, 85 B 46, 50 0, 85 C 085, : 4650, 2 1 kg druer kostar 16,50 kr. Kor mykje får vi for 15 kr? Kva for eit eller kva for nokre av desse reknestykka gir svaret i kg? A 16, 50 : 15 B 15 : 16, 50 C 16, 50 : 0, 15 3 Jacob har ei månadslønn på kr og får ein lønnsauke på 4 %. Kva for eit eller kva for nokre av desse reknestykka viser den nye lønna? A , 04 B , 4 C , 04 4 Ein kyllingsalat kostar 35 kr. Prisen skal setjast opp 15 %. Kva for eit eller kva for nokre av desse reknestykka gir den nye prisen? A 35 kr 0, 15 B 35 kr 1, 015 C 35 kr 1, Set inn det som manglar i rutene. a b 2a + b ab 2b a Til ein volleyballkamp skal det seljast 340 billettar. Prisen er 60 kr for vaksne og 20 kr for ungdom. Arrangøren vonar på kr i billettinntekter. Kor mange av dei 340 må vere vaksne?

25 Kapittel 1: Tal og algebra For dei som driv med fiskeoppdrett, er det viktig å vite kor lang tid det tek å klekkje fiskerogn. For ein del fiskeslag utviklar rogna seg om lag like mykje på 10 dagar ved 8 C som på 20 dagar ved 4 C. Det er altså produktet av tida og temperaturen i celsiusgradar som er avgjerande. Dette produktet blir kalla døgngradar. For somme fiskeslag må temperaturen vere minst 3 C og høgst 12 C for at rogna skal utvikle seg. Innanfor desse grensene treng rogna ca. 370 døgngradar for å bli klekt. Vi lèt d dagar vere klekkjetida når temperaturen er t C. Forklar at samanhengen mellom d og t då må vere gitt ved likninga d t = 370 a Løys denne likninga med omsyn på d. b Korleis varierer klekkjetida med temperaturen? c Fyll ut tabellen. d t d Teikn grafen som viser korleis d endrar seg med t. Kor mange døgn blir klekkjetida ved 6 C og ved 10 C? 195 Løys likningane. a 7x 17 = 9x+ 13 b 12, x 143, = 54, + 08, x c 3x + 2 = 2( x 1) 4 d x+ 3 x 1 x+ 2 = a Linn tenkte på eit tal. Ho gonga talet med 3, og så la ho til 15. Ho fekk då svaret 66. Kva for eit tal tenkte ho på? b Per har to systrer. Den eldste systera er dobbel så gammal som Per. Den yngste er 2 år yngre enn Per. Dei tre er til saman 18 år. Kor gammal er Per? c Sigrid, Knut og Odd kom heim frå ein fisketur med 57 fiskar. Odd hadde fått fem fiskar meir enn Knut, og Sigrid hadde fått dobbelt så mange som Knut. Kor mange fiskar hadde kvar av dei fått? d Ein lærar sa til elevane: Tenk på eit tal og legg til 15. Multipliser det du får med 4, og trekk 8 frå resultatet. Divider det du har fått, med 4, og trekk 12 frå svaret. Dersom du seier kva svar du har kome fram til, skal eg fortelje kva for eit tal du tenkte på. 1 Lise seier at ho kom fram til talet 6. Læraren påstår at Lise då har tenkt på talet 5. Har læraren rett? 2 Lars kom fram til talet 11. Kva for eit tal trur du han tenkte på? a På ein konsert var det 900 tilskodarar. 45 av tilskodarane hadde fribillett. Dei andre betalte 250 kr. Kva var billettinntektene? 1 b Ved tilsetjing i nokre ledige stillingar var det 60 søkjarar. av søkjarane 3 blei kalla inn til intervju. Av dei som blei intervjua, blei 10 % tilsette. Kor mange blei tilsette?

26 26 Kapittel 1: Tal og algebra Storleiken på eit fjernsynsapparat blir oppgitt som lengda av diagonalen på skjermen oppgitt i tommar. 1 tomme er 2,54 cm. På eit fjernsynsapparat med vanleg biletformat er forholdet mellom høgda og 3 breidda av skjermen lik 4. a Breidda av ein fjernsynsskjerm med vanleg biletformat er 65 cm. 1 Kva er høgda? 2 Kva er storleiken på fjernsynsskjermen målt i tommar? På ein fjernsynsskjerm med widescreen-format er forholdet mellom høgda og 9 breidda lik. 16 b Breidda av ein fjernsynsskjerm med widescreen-format er 71 cm. 1 Kva er høgda? 2 Kva er storleiken på fjernsynsskjermen målt i tommar? c Rekn ut arealet av dei to fjernsynsskjermane i oppgåve a og b. Finn også kor mange prosent større det største arealet er enn det minste. Kor mange prosent mindre er det minste arealet enn det største? Bruk tala i tabellen frå Statistisk sentralbyrå til å svare på spørsmåla. Kva var den prosentvise endringa i a talet på trafikkulykker 1 frå 2002 til frå 2003 til frå 2002 til 2004 b talet på drepne personar i trafikken 1 frå 2002 til frå 2003 til frå 2002 til 2004 Kvifor kan vi ikkje leggje saman den prosentvise endringa frå 2002 til 2003 med den prosentvise endringa frå 2003 til 2004 for å finne den prosentvise endringa frå 2002 til 2004?

27 Kapittel 1: Tal og algebra a a a X1.1 I Rekn ut. 4 a II På jorda er tyngdeakselerasjonen 9,8 m/s 2, medan han på månen berre er 1,6 m/s 2. Rekn ut verdien av tyngdeakselerasjonen g på Mars etter formelen g = k M, 2 der k = 67, 10 11, M = 6410, 23 og r = 34, r (Eksempeloppgåver 1MX hausten 2000) X1.2 Siv og Arne har bestemt seg for å feire bryllaup. Til saman blir det 30 personar på bryllaupsmiddagen. Frå ein restaurant får dei dette forslaget til middag. Forretter Hovudretter Dessertar Rekesalat kr 40 Soppsuppe kr 50 Røykjelaks kr 30 Reinsdyrsteik kr 180 Oksesteik kr 130 Lammelår kr 150 Moltekrem kr 50 Skogsbær m/is kr 40 Karamellpudding kr 35 Vel ein meny og lag ei oversiktleg oppstilling over kva bryllaupsmiddagen kjem til å koste dersom alle skal ha same forrett, hovudrett og dessert drikke blir sett til kr 50 per person det blir gitt 15 % rabatt på heile rekninga dersom beløpet blir høgre enn 6000 kr (Eksamen 1MX våren 2001) X1.3 a Nina skal på weekendtur til London. Ho skal ha med seg 340 (engelske pund) i lommepengar. Kor mykje er dette i norske kroner når kursen er 12,72, det vil seie at 1,00 = 12,72 kr? b Nina tente 9600 kr på ein sommarjobb. Kor mange prosent av pengane skal ho bruke på London-turen, med reise, opphald og lommepengar, når reise og opphald kostar 2940 kr? (Eksamen 1MX hausten 2001) X1.4 I Finn verdien av brøken og skriv svaret på standardform , , , 10 II Middelavstanden frå jorda til månen er km. Tjukna på eit papirark 0,07 mm. Kor mange papirark må vi leggje oppå kvarandre for å få avstanden til månen? (Eksamen 1MX hausten 2002)

28 28 Kapittel 1: Tal og algebra X1.5 Ein vinter blei det selt vedsekker på ein bensinstasjon i Trondheim. Kvar sekk romma 30 liter ved. a Ein vedstabel på 4 meter 1 meter 60 cm kallar vi ei famn ved. Kor mange 30-liters sekker går det i ei famn ved? b Ein 30-liters sekk med ved kosta 55 kr. Kva kosta ei famn ved dersom du kjøpte veden i 30-liters sekker? c 1 liter tørr, god ved kan gi energi tilsvarande ca. 1,3 kwh (kilowatt-timar). Kva blei prisen per kwh dersom du kjøpte veden på bensinstasjonen i Trondheim? (Eksamen 1MX våren 2003) X1.6 Arne vinn 5 millionar kroner i Lotto. Som kjent er ikkje lottomillionærar som andre millionærar, og Arne krev å få heile gevinsten utbetalt i tikronestykke. Du får vite dette om ein tikroning: Vekta er 6,80 g. Tjukna er 2,00 mm. a Kor høg er ein stabel der 50 tikroningar ligg oppå kvarandre? Kor høg ville stabelen ha vore dersom alle tikroningane i lottogevinsten låg oppå kvarandre? b Kor mykje veg premien dersom han blir utbetalt i tikroningar? Gi svaret i kilogram. c Arne vil telje tikroningane for å kontrollere at han har fått det han har krav på. Gjer fornuftige overslag over kor raskt han greier å telje, og finn ut kor lang tid han treng for å telje pengane. (Eksamen 1MX hausten 2003) X1.7 Sigurd skal importere ein bil frå Tyskland. Han vel ein BMW 530 som er ti år gammal. Bilen kostar 5750 euro. a Kor mykje kostar bilen i norske kroner når 1 euro kostar 8,40 kr? I tillegg må han betale importavgift. For ein ny BMW er importavgifta kr. Importavgifta blir redusert med 67 % for ein ti år gammal bil. b Kor mykje må Sigurd totalt betale for bilen? (Eksamen 1MX våren 2005)