Eksamen i fag TFY 4305 Ikkelineær dynamikk Onsdag 30. november 2005 Tid:

Transkript

1 Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fsikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Mrheim Telefon: eller Eksamen i fag TFY 435 Ikkelineær dnamikk Onsdag 3. november 25 Tid: Sensurfrist: Onsdag 21. desember 25 Tillatte hjelpemidler: (Alternativ C): Godkjent lommekalkulator. Rottmann, Mathematische Formelsammlung. Barnett and Cronin, Mathematical Formulae. Øgrim og Lian, Størrelser og enheter i fsikk og teknikk. Oppgave 1: Gitt egenverdiligningen Lψ = λψ, der L er følgende Schrödinger-operator, L = d2 d 2 + u(), mens λ er en egenverdi og ψ = ψ() er en (reell eller kompleks) egenfunksjon. Funksjonen u = u() er reell, og tolkes som et potensial når ligningen Lψ = λψ tolkes som den tidsuavhengige (stasjonære) Schrödinger-ligningen. Anta nå atu avhenger også avtident, dvs. atu = u(, t), og tilfredsstiller ligningen u t + cu =, der c er konstant, og u t = u/ t, u = u/. Vis at da kan også ψ velges tidsavhengig, ψ = ψ(, t), på en slik måte at egenverdiligningen Lψ = λψ gjelder med en konstant (tidsuavhengig) egenverdi λ. Vis det gjerne på to forskjellige måter: 1) Ved å finne den generelle løsningen av ligningen u t + cu =. 2) Ved å finne en operator A slik at L og A er et La-par av operatorer, med [L, A] =cu, mens tidsavhengigheten til egenfunksjonen ψ er gitt ved ligningen ψ t = Aψ.

2 Eksamen i fag TFY 435 Side 2 av 6 Oppgave 2: Den grunnleggende prosessen i en atomreaktor, eller en atombombe av fisjonstpen, er at et nøtron absorberes i en tung atomkjerne, for eksempel uran 235 eller plutonium 239, og får kjernen til å spaltes (fisjonere) i to eller flere lettere kjerner. Dermed frigjøres bindingsenergi, pluss et antall nøtroner som kan spalte ne kjerner, og så videre i en kjedereaksjon. En slik kjedereaksjon er en statistisk prosess, fordi antallet nøtroner som frigjøres og spalter ne kjerner, varierer statistisk. For at reaktoren eller bomben skal fungere, er det nødvendig at kjedereaksjonen ikke stopper av seg selv etter kort tid. I denne oppgaven vil vi se påenmetodeforå beregne sannsnligheten for at ett nøtron starter en kjedereaksjon som ikke stopper. La p n,medn =, 1, 2,..., være sannsnligheten for at et nøtron forårsaker en kjernespalting der det produseres n ne nøtroner. Da er for eksempel p sannsnligheten for at det ene nøtronet enten ikke spalter noen kjerne, eller spalter en kjerne uten at det produseres ne nøtroner. En nødvendig forutsetning for at det skal oppstå en kjedereaksjon, er opplagt at det i hvert fall en gang i blant frigjøres mer enn ett nøtron når en atomkjerne spaltes. Vi antar derfor at p n > forminstenn>1. Definer den sannsnlighetsgenererende funksjonen F () =p + p p n n + = p n n, der er en variabel som ikke har noen annen betdning enn at den er argumentet til funksjonen F. Fordi sannsnligheter alltid er ikke-negative, er F () og alle dens deriverte ikke-negative for. Siden vi antar at p n > forminstenn>1, oppfller den andrederiverte den sterkere ulikheten F () > for alle >. (1) Den totale sannsnligheten er lik 1, og det betr at = 1 er et fikspunkt for F, F (1) = p n =1. Den sannsnlighetsgenererende funksjonen inneholder all informasjon om sannsnlighetsfordelingen. For eksempel kan forventningsverdien av antallet nøtroner som er første generasjons etterkommere etter det ene nøtronet, beregnes ved derivasjon av F, n = p n n = F (1). Det første nøtronet definerer vi som generasjon. Vi sier at et nøtron tilhører generasjon g = 1, 2, 3,... dersom det er produsert i en kjernespalting forårsaket av et nøtron av generasjon g 1. La p(n, g) være sannsnligheten for at generasjon g består av n nøtroner. Den sannsnlighetsgenererende funksjonen for generasjon g er F g () = p(n, g) n.

3 Eksamen i fag TFY 435 Side 3 av 6 Den totale sannsnligheten i hver generasjon er lik 1, det vil si at F g (1) = p(n, g) =1. Med den notasjonen vi har innført, er F () = og F 1 () =F (). Hvis vi for eksempel vet at generasjon g består av to nøtroner, så har vi pr. definisjon at F g () = 2, og det er lett åviseatdaerf g+1 () =(F ()) 2 (bevis forlanges ikke her). Mer generelt, hvis vi vet at generasjon g består av k nøtroner, så har vi pr. definisjon at F g () = k, og det er nesten like lett å vise (ved induksjon) at da er F g+1 () =(F ()) k. Relasjonen F g+1 () =F g (F ()) gjelder helt generelt, ogsånår vi bare kjenner en sannsnlighetsfordeling for antallet nøtroner i generasjon g. Derfor er den sannsnlighetsgenererende funksjonen F g for generasjon g lik den g ganger itererte av den sannsnlighetsgenererende funksjonen F, F g () =F g () =F (F (...F()...)). Selv om denne prosessen er statistisk, kan den behandles ved iterasjoner av en funksjon, og derfor kan vi bruke metoder fra deterministisk ikkelineær dnamikk. a) Funksjonen F () har, som sagt, alltid fikspunktet = 1 =1. Vis at hvis F (1) = 1, så er 1 det eneste fikspunktet for. Husk forutsetningen gitt i ligning (1). Når F (1) = 1, så er fikspunktet 1 marginalt stabilt. Avgjør, gjerne ved å tegne en figur, om det er stabilt eller ustabilt. Hva er den fsiske tolkningen av betingelsen F (1) = 1? b) Vis at hvis F (1) 1,såharF () nøaktig ett fikspunkt = 2 i tillegg til 1. Vis at 2 > 1hvisF (1) < 1, og at 2 < 1hvisF (1) > 1. Tegn gjerne figur. Er fikspunktet 2 stabilt eller ustabilt? c) Forventningsverdien av antallet nøtroner i generasjon g er n g = p(n, g) n = F g (1). Vis at antallet nøtroner vokser (eller avtar) eksponensielt med tiden, i den forstand at forventningsverdien n g øker (eller avtar) eksponensielt som funksjon av generasjonstallet g. Mer presist, vis at n g =( n 1 ) g.

4 Eksamen i fag TFY 435 Side 4 av 6 d) Selv om det forventede antallet nøtroner vokser eksponensielt, kan det likevel tenkes at sannsnligheten er større enn null for at hele kjedereaksjonen stopper av seg selv. Sannsnligheten for at kjedereaksjonen stopper før generasjon g, er p(,g)=f g (). Sannsnligheten for at den stopper etter et endelig antall generasjoner, er p(, ) = lim g p(,g). Sannsnligheten for at kjedereaksjonen ikke stopper, er 1 p(, ). For at en atomreaktor eller atombombe skal fungere, må denaltså konstrueres slik at p(, ) < 1. Finn en nødvendig og tilstrekkelig betingelse som sannsnlighetsfordelingen p n må oppflle for at p(, ) < 1. Som et numerisk eksempel, anta at p =,18, p 1 =,58, p 2 =,24, og p n =forn>2. Hvor stor er da forventningsverdien n g for g =1?Forg = 1? g = 1? g = 1? Og hvor stor er stoppsannsnligheten p(, )? Kommentar: Grensen g er selvfølgelig en urealistisk matematisk abstraksjon. Det viktige spørsmålet i praksis er om kjedereaksjonen fortsetter så lenge at antallet atomkjerner som spaltes, er en vesentlig andel, gjerne noen prosent, av det totale antallet. Den matematiske grenseverdien p(, ) eretgodtmål på sannsnligheten for at det skjer.

5 Eksamen i fag TFY 435 Side 5 av 6 Oppgave 3: Lorenz-ligningene ẋ = σ( ), ẏ =(r z), ż = bz, inneholder de tre konstante parametrene σ>, b>ogr>. a) Vis at Lorenz-ligningene er invariante under transformasjonen (,, z) (,,z), som er en rotasjon på 18 om z-aksen. Hvilken betdning har denne smmetrien for eksempel når det er snakk om fikspunkt, attraktorer og bifurkasjoner? Figur 1 (se siste side) viser, som eksempler, todimensjonale projeksjoner av attraktorene i Lorenz-sstemet med de standardiserte parameterverdiene σ = 1, b =8/3, og med de fire forskjellige verdiene r = 24, r = 22, r = 216 og r = 214. Figuren viser at det finnes to forskjellige attraktorer i hvert av disse fire eksemplene. b) Har Lorenz-sstemet tidsreversjonssmmetri? Begrunn svaret. Hvorfor kan ikke Lorenz-ligningene ha en kvasiperiodisk løsning? c) Vis at origo er et stabilt fikspunkt for r<1, og et ustabilt fikspunkt, nærmere bestemt et tredimensjonalt sadelpunkt, for r>1. Hvilke andre fikspunkt finnes det? Hvilken tpe bifurkasjon er det som skjer når origo blir ustabilt ved r = 1? Her kreves det me arbeid for å begrunne svaret helt stringent, derfor godtas en kvalifisert gjetning. En kommentar (til forvirring eller opplsning): La σ =1ogb =8/3.Vedenbestemt kritisk parameterverdi r = r c 313 skjer samme tpe bifurkasjon, men med avtagende r istedetformedøkende r, ogmedgrenseskler (engelsk: limit ccles) i stedet for med fikspunkt. Forr>r c finnes det en globalt stabil grensesklus som er smmetrisk om (, ) =(, ). Ved r = r c blir den ustabil, samtidig som det oppstår to ne grenseskler, som begge eksisterer og er stabile for r<r c. Hver for seg er de to ne grensesklene usmmetriske om (, ) =(, ). For r<r c eksisterer fremdeles den smmetriske grensesklusen, men den vises ikke i Figur 1 fordi den er ustabil. d) Figur 1 (siste side) viser attraktorene i Lorenz-sstemet med σ = 1, b =8/3, og med r = 24, r = 22, r = 216 og r = 214. Hvilke av attraktorene i figuren er grenseskler, og hvilke er kaotiske? Hvilken tpe bifurkasjon er dette et eksempel på?

6 Eksamen i fag TFY 435 Side 6 av 6 Figur: Figur 1: Attraktorer i Lorenz-sstemet, projisert ned i -planet, for fire verdier av parameteren r. Øverst til venstre: r = 24, øverst til høre: r = 22, nederst til venstre: r = 216, og nederst til høre: r = 214. Parameterverdiene σ =1ogb =8/3 gjelder for alle fire figurene. Hver figur viser to forskjellige attraktorer som kan nås fra forskjellige startpunkt.