Løsningsforslag til FYS2130-eksamen våren 2014

Transkript

1 Løsningsforslaget er som vanlig fyldigere enn vi forventer at noen student skal kunne svare på den korte eksamenstiden. Likevel kan det nevnes at kursansvarlig brukte 3.5 timer på å skrive denne teksten for hånd (slik teksten er nå), inklusivt figurene (tegnet for hånd). Løsningsforslag til FYS2130-eksamen våren 2014 Oppgave 1 a) Vis at følgende differensialligning beskriver bevegelsen til en fjærpendel (ikke bruk mye tid på detaljen knyttet til gravitasjon og likevektsstilling): Angi selv hva de ulike symbolene står for. z(t)+ b k mż(t)+ z(t) =0 (1) m Høyden til loddet som henger i fjæra har per definisjon posisjonen z =0ved likevekt. Da har vi en stramming i fjæra som svarer til tyngdekraften. Kommer loddet ut av likevektsposisjonen kan vi bruke Hook s lov (lineær) for å finne den gjenopprettende kraften F H (relativt til kraften ved likevekt) gitt ved: F H = kz hvor k er fjærkonstanten. Her er oppover valgt som positiv retning for både kraft og utslag. Fortegnet viser at den gjenopprettende kraften forsøker å trekke loddet tilbake til likevektsposisjonen. Når loddet beveger seg i luft, virker også en friksjonskraft på loddet. Dersom ikke bevegelsen er rask, kan vi bruke den enkle modelleringen av friksjon, nemlig at friksjonskraften er proporsjonal med farten til loddet, virker i motsatt retning av hastigheten, og at det er en konstant friksjonskoeffisient b. Friksjonskraften F f kan da skrives: F f = bż Vi bruker så Newtons 2. lov at summen av krefter er lik masse ganger akselerasjon: Herav følger: F tot (t) = kz bż = m z(t) m z(t)+bż + kz =0 og ved å dividere med massen m får vi den gitte ligningen. 1

2 z = 0 I ro z(t) I bevegelse Figur 1: Fjærpendel med definisjon av utslaget z. b) Hvilke ledd MÅ være med for at ligningen skal kunne kalles en svingeligning? For å kalle noe en svingeligning må første og siste ledd være med. Den korteste svingeligningen vi kan ha må være på formen: z(t)+ k m z =0 (Det finnes svingninger hvor faseforskyvninger er ansvarlig for svingninger. Dette gjelder f.eks. for svingninger i lemen i fjellet. Vi har ikke vektlagt denne varianten, og forventer ikke at dette nevnes i en eksamensbesvarelse.) Det finnes tre kategorier av løsninger av ligning (1). De fleste dekkes av følgende uttrykk: z(t) =Ae αt (2) hvor α = γ ± γ 2 ω 2 (3) A og α kan være komplekse tall. 2γ = b/m og ω 2 = k/m. c) Fortell hvilke kategorier av løsninger vi har, betingelser for at de ulike kategoriene skal forekomme, og hva som karakteriserer de tre type løsninger. De tre kategoriene av løsninger er: 1) Underkritisk demping. Da er innholdet under rottegnet i uttrykket for α negativt. 2

3 Det svarer til: ( ) 2 ( ) 2 k b > m 2m b<2k I dette tilfellet vil loddet svinge rundt en likeveksposisjon samtidig som amplituden avtar med tiden. 2) Kritisk demping. Uttrykket under rottegnet er nå null, dvs γ = ω hvilket vil si b =2k. I dette tilfellet får vi to sammenfallende røtter i uttrykkene ovenfor, og må bruke spesiell teknikk for å finne den generelle løsningen. Den blir: z(t) =Ae γt + Bte γt hvor A og B er to valgfrie reelle konstanter (bestemt ut fra initialbetingelsene). Kritisk demping gir den raskeste dempingen mot likevekt av de tre mulige løsninger. 3) Overkritisk demping. Uttrykket under rottegnet er nå positivt. Løsningen blir da en sum av to eksponensielt avtakende funksjoner med ulik dempingstid. Den ene dempingstiden er kortere enn for kritisk demping, men den andre er lengre. For dette tilfellet har vi b>2k d) Fjærpendelen antas så å bli utsatt for en tidsvariabel kraft. Angi faseresonansfrekvensen i det tilfellet der dette begrepet har mening. (Det er ikke meningen å foreta en full utledning! ) En ytre tidsvariabel kraft kan ha en tidsvariasjon som er ganske vilkårlig. Dersom vi skal kunne snakke om faseresonans, må vi forvente at kraften varierer harmonisk med tiden. FASEresonansfrekvensen er da lik frekvensen systemet ville svingt ved dersom det ikke var noen demping (dvs b =0). Svingefrekvensen for systemet i dette tilfellet er f 0 = ω 2π = 1 k 2π m e) I oppgave 1c anga du betingelser som måtte være oppfylt for å få de tre kategoriene av løsninger i det tilfellet. Drøft om det er mulig å gjenkjenne de tre kategoriene av løsninger også for det tilfellet at systemet blir utsatt for en tidsvariabel kraft? Ved en ytre (harmonisk) oscillerende kraft vil systemet en stund etter at kraften startet, oscillere med samme frekvens som den påtrykte kraften. Vi vil ikke se forskjeller i tråd med kategoriseringen overkritisk/kritisk/underkritisk. Det vil være en gradvis endring i amplitude i svingningene og i faseforskjellen mellom påtrykt kraft og utslaget etter som friksjonskoeffisienten b endrer seg, men løsningen er like fullt en oscillasjon med samme frekvens som den påtrykte kraften. Varierer vi frekvensen og forsøker å beregne kvalitetsfaktoren Q, eller dersom vi betrakter detaljer i svingningene like etter at kraften er satt på, eller like etter at kraften fjernes, 3

4 vil det imidlertid være mulig (til dels lett) å se spor etter kategoriseringen overkritisk/kritisk/underkritisk. Oppgave 2 a) Anta at vi sender lys fra luft på skrå inn mot en av sideflatene til et glassprisme som vist i figur 2. Anta at polariseringen er vinkelrett på innfallsplanet. Hvilke veier tar lyset etter at det har truffet glassoverflaten? Tegn en figur og angi retninger. Figur 2: En lysstråle går på skrå fra luft inn mot et stykke glass. Hva vil skje med strålen når den treffer glassoverflaten? Lyset vil delvis bli reflektert og delvis transmittert. Innfallsvinkel (dvs vinkelen mellom innfallende stråle og innfallsloddet som er vinkelrett på glassoverflaten) er θ i. Da vil (se figur): θ r = θ i og n t θ t = n i θ i der den siste likningen er Snels brytningslov, og n i og n t er brytningsindeksen til hhv luft og glass. Figur 3: Lysstråler inn mot ut ut fra en luft/glass grenseflate. 4

5 b) Hopp over denne deloppgaven i første omgang dersom du synes den er vanskelig. Det går an å beregne intensiteter på de ulike strålene ved å ta utgangspunkt i Maxwells ligninger og andre fundamentale ligninger. Sett opp et sett av ligninger som kan brukes for å finne forholdet mellom intensiteter. Regn så ut intensitetsfordelingen eksplisitt. Gir de ligningene du har brukt også retningene på lyset etter at det innfallende lyset har truffet overlaten? Forklar. MERK: Læreboka gir ikke en fullstendig løsning av det spesialtilfellet vi har i denne deloppgaven. Poenget er at selv om det elektriske feltet er normalt på innfallsplanet, vil ikke magnetfeltet samtidig være normalt på dette planet. Da må vi bruke også Ampère-Maxwells lov i tillegg til Faraday-Henrys lov (og på en ganske analog måte). Løsningsforslaget ble korrigert dagen etter eksamen, etter at en av studentene mente det måtte være en feil i det opprinnelige løsningsforslaget. Takk for tipset! Siden dette var en detalj vi hadde oversett da vi laget oppgaven, vil besvarelsene på dette punktet bli vurdert med velvilje, og det vil være mulig å få full pott selv om ikke alle detaljene er på plass. Vi beklager denne glippen!!! Polariseringen av lyset er normalt på innfallsplanet. Det vil si at det elektriske feltet vil ligge parallelt med overflaten luft/glass, og vi får en matematisk utledning av intensiteter som er identisk med det vi hadde i læreboka for en elektromagnetisk bølge som kommer vinkelrett inn mot en grenseflate. Vi bruker Faradays lov på integralform på elektrisk felt som vist i figur 4. n1 n2 E i E r dl dl E t Figur 4: Integrasjonsvei når vi bruker Faradays lov for å sammenholde elektrisk felt i innkommende, reflektert og transmittert stråle, alle feltlinjene er vinkelrett på innfallsloddet (og derved parallelle med overflaten). E dl = ( dφ B dt ) innenfor = d dt A B da 0 At integralet blir tilnærmet lik null henger sammen med at vi kan gjøre stripen i figur 4 vilkårlig smal dersom vi antar at materialet er homogent og grenseflaten uendelig tynn. 5

6 Herav følger: E i + E r = E t (4) Magnetfeltet står vinkelrett på det elektriske feltet og vil danne en vinkel θ i med innfallsloddet. Komponenten av magnetfeltet parallelt med grenseflaten luft/glass blir da B cos θ i. Vi kan bruke Ampère-Maxwells lov på magnetfeltkomponenten parallelt med grenseflaten på nøyaktig samme måte som for det elektriske feltet (se fig 4). Resultatet blir da: B i cos θ i B r cos θ r = B t cos θ t (5) Merk minustegnet som skyldes at magnetfeltet får motsatt retning på reflektert bølge sammenlignet med innfallende bølge, gitt samme positiv definerte retning for E-feltet (i tråd med definisjonen brukt ligning (4)). Den ene bølgen går jo inn mot grenseflaten, den andre vekk fra grenseflaten. Vi kjenner fra før at for en elektromagnetisk bølge gjelder: B = E c = E c 0 /n = ne c 0 Setter vi dette inn i ligning (5), og samtidig benytter at θ i = θ r, får vi: n 1 (E i E r ) cos θ i = n 2 E t cos θ t (6) hvor brytningsindeksen for luft og glass er kalt henholdsvis n 1 og n 2. Bruker vi ligning (4) for å eliminere E t i ligning (6), får vi: n 1 (E i E r ) cos θ i = n 2 (E i + E r ) cos θ t Med enkel reorganisering av uttrykket, følger: E r E i = n 1 cos θ i n 2 cos θ t n 1 cos θ i + n 2 cos θ t Siden intensiteten er proporsjonal med kvadratet av elektrisk felt, og siden reflektert stråle går i samme medium som innfallende stråle, blir forholdet mellom intensiteter rett og slett: I r I i = ( ) 2 n1 cos θ i n 2 cos θ t (7) n 1 cos θ i + n 2 cos θ t Vi kan finne tilsvarende uttrykk for intensiteten til transmittert lys, men vi nøyer oss med å bare sette opp en enkel relasjon basert på energibevaring: I t = I i I r Ligning (7) er en av Fresnels ligninger, men ofte eliminerer vi θ t ved hjelp av Snels brytningslov slik at bare innfallsvinkelen inngår i uttrykket. Vi har utelatt denne siste vrien her. 6

7 c) Hvilke fysiske prosesser vil foregå i glasset når lysstrålen går gjennom det? Hva er resultatet av disse prosessene. Hvilke endringer i fysiske størrelser får vi når lys går fra luft til glass? Når lyset passerer gjennom glasset, blir atomene utsatt for et elektrisk vekselfelt. Dette feltet får elektronskyen til å oscillere litt omkring atomkjernen. Det gir en netto polarisering av volumelementer i glasset, og polariseringen vil føre til en nyutsending av elektromagnetiske bølger (omtrent som en dipolantenne, men barei sammeretning som den innkommende bølgen beveger seg i). Summen av innkommende bølge og nygenerert bølge vil føre til at bølgen går gjennom glasset saktere enn den hadde beveget seg i vakuum. Den relative elektriske permittiviteten ǫ r forteller hvor lett et materiale kan polariseres (hvor lett elektronskyen kan skyves på ved hjelp av et ytre elektrisk felt, fra statisk felt og opp til et tidavariabelt felt omtrent ved de frekvensene lys svarer til). Lyshastigheten i glass er c glass = c 0 / ǫ r,glass E = 0 E Figur 5: Polarisering av atomer når en elektromagnetisk bølge passerer (pga det elektriske feltet i bølgen). Merk at når vi snakker om polarisering av mediet, er det i en annen betydning av ordet polarisering enn når vi angir retningen på det elektriske feltet i en elektromagnetisk bølge. d) Anta at vi sender to parallelle laserstråler med bølgelengde hhv 633 og 532 nm inn mot glassoverflaten. Hvordan vil strålene gå? Kan du gi en kvalitativ forklaring på det du ser? Begge strålene reflekteres med samme vinkel (lik innfallsvinkelen). De transmitterte stålene vil likevel ha litt forskjellig vinkel fordi brytningsindeksen er litt bølgelengdeavhengig, et fenomen vi kaller dispersjon. Den underliggende årsaken er at polariseringen av glasset (beskrevet i forrige deloppgave) ikke klarer fullt ut å følge den meget raske svingningen i det elektriske vekselfeltet 7

8 Figur 6: Rød og grønn ysstråle inn mot ut ut fra en luft/glass grenseflate, viser dispersjon. i lys. Da får vi litt forskjellig effektiv polarisering av mediet alt etter hvilken bølgelengde som passerer glasset. Normalt øker brytningsindeksen når bølgelengden avtar i det synlige området. e) Fortell hva Fermats prinsipp sier oss. Synes dette prinsippet å være en god forklaring for å beskrive hvordan én laserstråle går etter å ha truffet glassoverflaten? Begrunn svaret. Fermats prinsipp sier at den veien lyset tar f.eks. ved en overgang fra luft til glass, er den veien som gjør at lyset bruker minst tid fra start til mål. Argumentasjonen er litt kunstig som forklaringsmodell, fordi i vårt tilfelle ovenfor sender vi en lysstråle mot glasset, og vi har ikke noe klart mål for hvor strålen skal ende. Det er først etter at vi vet hvor strålen endte at vi kan vise at dette svarte til Fermats prinsipp. f) Uten sammenligning forøvrig: Kjenner du til Babinets prinsipp? I så fall, gi en kort forklaring. Babinets prinsipp kan forklares slik: Sender vi en plan elektromagnetisk bølge (lys) inn mot en skjerm, får vi en jevn belysning av flaten (jevn intensitet). Setter vi inn en smal spalt i lysveien, får vi (i Fraunhofer-avstand mellom spalt og skjerm) en intensitetsfordeling som vist på figur 7 (til venstre). Figur 7: Prinsippet bak Babinets prinsipp 8

9 Fjerner vi spalten og i stedet setter inn en stav med samme tykkelse som spalten var bred og samme posisjon, får vi en intensitetsfordeling som vist midt i figur 7. Summerer vi bølgene som kommer mot skjermen når vi har spalten, og bølgene når vi har staven i lysveien, får vi akkurat de bølgene som var der når verken spalt eller stav var til stede. Det er viktig at summeringen må gjøres på utslagsnivå (amplitudenivå) og ikke på intensitetsnivå. Oppgave 3 Et tidsvariabelt signal blir digitalisert med en samplingsfrekvens på Hz og beskrevet i 2048 punkter. Signalet blir analysert ved hjelp av FFT (fast fourier transform), og resultatet er at element nummer 27 i frekvensspekteret har en høy absoluttverdi, mens alle andre av de første 1024 punktene er tilnærmet lik null. a) Kan du fortelle hvordan signalet var? Samplingsfrekvensen F s er Hz og antall punkter N = Første punkt i frekvensspekteret svarer til frekvensen null (konstantledd). De neste punktene svarer til en frekvens (n/n) F s dersom n =0for første punktet i frekvensspekteret. Det 27. punktet i spekteret vil da ha svare til n = 26 i uttrykket ovenfor, og frekvensen blir: f(27) = (26/N) F s = Hz 560Hz Forskjellen i frekvens mellom ett punkt i frekvensspekteret og det neste, er F s /N = 21.5 Hz, slik at vi kan anslå en slags usikkerhet i frekvensen på vel 10 Hz. Et mest mulig dekkende svar mhp frekvens vil derfor være omtrent som så: f = 560 ± 10Hz Selve signalet vi digitaliserte måtte derfor vært et harmonisk signal: g(t) =A cos(2πft + φ) der A er amplituden for svingningene og φ er et faseledd. Vi kjenner ikke til opplysninger som kan bestemme A og φ, men frekvensen f kjenner vi som vist ovenfor med en moderat nøyaktighet. b) Er det ett eller flere andre punkter av de 2048 punktene etter fouriertransformasjonen som også har en høy absoluttverdi? I så fall, på hvilket nummer i rekken befinner det/de seg? Ved FFT får vi såkalt folding eller speiling rundt element nr N/2+1. Det betyr at det må finnes et element også blant de øvre N/2 punktene etter fouriertransformasjonen som 9

10 har samme absoluttverdi som punkt nr 27. Dersom vi kaller elementnummeret vi ønsker å finne for m, må vi pga foldingen ha: ( N 2 + 1) 27 = m (N 2 + 1) = m 1025 m = 2023 Element nr 2023 vil altså ha samme absoluttverdi som element 27. Fourierkoeffisienten for disse to punktene er kompleks konjugert i forhold til hverandre, men vi har ikke detaljopplysninger om fordeling mellom realdel og imaginærdel, så vi lar den detaljen ligge. c) Vi digitaliserer et nytt signal med samme samplingsfrekvens og antall punkter som tidligere. Innenfor de første 1024 punktene i frekvensspekteret observerer vi denne gangen høye verdier for element 31, 62, 93 og 124. Hvordan karakteriserer vi et slikt frekvensspekter? Har du et forslag til hva kilden til signalet kan ha vært? Angi et typisk trekk for hvordan dette signalet ser ut i tidsbildet. Vi får fire betydelige utslag i frekvensspekteret med frekvenser 646, 1314, 1981 og 2649 Hz. Siden det er om lag 21.5 Hz forskjell mellom frekvensen som svarer til ett element i frekvensspekteret til det neste, vil alle disse frekvensene (med litt nødskrik) tilfredsstille følgende formel: f n = n 660 Hz for n = 1, 2, 3 og 4 Det ser derfor ut for at vi her har med harmoniske å gjøre, at frekvensen ca 660 Hz svarer til grunntonen og de øvrige er harmoniske av denne. Figur 8: Omtrentlig utseende av det aktuelle frekvensspekteret (bare en liten del). Dette er et vanlig frekvensspekter dersom vi digitaliserer lyd fra et musikkinstrument (f.eks. en fløyte eller en trompet). Matematisk kunne vi nå skrive signalet som en sum av fire liknende funksjoner som angitt i punkt a på denne oppgaven. 10

11 Dersom vi betrakter et slikt signal i tidsbildet, vil vi se at signalet er periodisk med periodetid lik den inverse av frekvensen til gunntonens frekvens. Imidlertid er signalet ikke en ren sinus. Formen på tidssignalet vil ha en annen form. Oppgave 4 a) I utledningen av bølgeligningen 2 E t = 2 E 2 c2 (8) z 2 fra Maxwells ligninger, gjør vi noen antakelser. Hvilke? Antakelser ved utledningen av bølgeligningen fra Maxwells ligninger: 1. Antar at rekkefølge av tidsderivasjon og romlig derivasjon kan byttes uten problemer. (Dette anses ofte som en selvfølge.) 2. Antar at vi ikke har fri ladninger eller strømmer av fri ladninger. 3. Antar at vi har homogene medier (dvs at lokale felter pga ladninger i atomer i glass kan betraktes bare i form av gjennomsnittsverdier.) 4. Vi ender i utledningen først opp med 2 E t 2 = 1 ǫ r ǫ 0 µ r µ 0 2 E der 2 er Laplace-operatoren. Først når vi velger at elektrisk felt skal være vinkelrett på z-retningen (og bølgen går i +z-retning), får vi den bølgeligningen som er gitt. Punkt 2 er her det viktigste og vil gi 3 poeng alene. b) Plane elektromagentiske bølger er én av mulige løsninger av denne bølgeligningen. Skriv et matematisk uttrykk for en plan elektromagnetisk bølge, og forklar ditt valg av symboler. Lag en skisse som illustrerer denne løsningen, og forklar litt i detalj hva skissen faktisk viser. En plan elektromagnetisk bølge kan f.eks. være denne: E = E 0 cos(kz ωt) i B = B 0 cos(kz ωt) j 11

12 hvor B = E/c og ω/k = fλ = c hvor størrelsene har sin vante betydning. Lyshastigheten er gitt ved 1 c = ǫr ǫ 0 µ r µ 0 Bølgen er plan fordi argumentet for cosinusfunksjonen er kz ωt som ikke er avhengig verken av x eller y. Alle punkter i rommet som har samme z-verdi (dvs alle punkter i rommet som ligger i et uendelig plant plan vinkelrett på z-aksen og som skjærer aksen i punktet (x,y,z) = (0, 0,z)) vil ha samme elektriske og magnetiske felt (og er altså på samme sted i bølgen). Figur 9: Elektrisk og magnetisk felt i punkter langs z-aksen. Feltene er de samme også i punkter like ved siden av hvert punkt langs z-aksen, ja det er samme elektrisk felt i alle punkter i et vilkårlig valgt plan vinkelrett på z-aksen. Figur 9 viser en skisse av en plan elektromagnetisk bølge. Egentlig gir skissen bare info om elektrisk og magnetisk felt langs en linje i den retningen bølgen forplanter seg (her tegnet som z-aksen). Elektrisk og magnetisk felt er angitt med retning og relativ styrke, men det er selvfølgelig ikke samme enheter som er valgt for E og B. c) Ofte er planbølgeløsningen slett ikke en aksepterbar løsning av bølgeligningen, selv om det kan synes som om antakelsene nevnt i punkt a) er tilfredsstilt. Forklar hvorfor. Enhver bølge blir påvirket av randbetingelser, og virkningen av randbetingelsene kan forplante seg langt innover i et område som er fritt for fri ladninger osv (som nevnt i punkt a). Ofte strekker påvirkningen av randen seg en beregnet bølgelengde innover i det området som er uten ladninger. Det betyr blant annet at elektromagnetiske felt nær kraftledninger nesten utelukkende har fordelinger som ikke svarer til plane bølger. Vi er da i det såkalte nærfeltområdet. For 50 Hz strekker dette området seg om lag 6000 km ut fra f.eks. en kraftledning, og det blir 12

13 praktisk talt ingen utsendte elektromagnetiske bølger (som vi kan oppfatte fra Jorden i alle fall). d) Ved omtale av elektromagnetiske bølger, trekkes gjerne Poyntings vektor inn i bildet. Hva forteller Poyntings vektor oss, og når kan den brukes og når kan den ikke brukes? Poyntings vektor er gitt ved: S = E H der H er magnetisk feltstyrke (ikke B som er magnetisk flukstetthet). Poyntings vektor angir intensiteten til en elektromagnetisk bølge (energitransport-tettheten). Uttrykket kan brukes for alle tilfeller der vi har ren elektrodynamikk, dvs at det er tidsutviklingen til de lokale elektriske og magnetiske feltene som gjensidig holder hverandre i live. Feltene må ikke i nevneverdig grad skyldes fri ladninger eller strømmer av fri ladninger. Det betyr at Poyntings vektor ikke egner seg for å beregne intensiteter/energitransport i nærfeltområdene til kilder for elektromagnetiske felt. e) Radiobølger genereres ofte ved hjelp av en dipolantenne. Gi en kort beskrivelse av dipolantennen og hvorfor den egner seg godt for å generere elektromagnetiske bølger. En dipolantenne består av to like lange ledningstumper som er rettet langs en rett linje (se figur 10). Total lengde på antennen er ofte ca en halv bølgelengde sammenlignet med de radiobølgene som man ønsker at antennen skal sende ut. Figur 10: En dipolantenne orientert langs en vertikal rett linje. Til de midtre endene av antenneledningene er det ført mateledninger til senderen, som i prinsippet påtrykker en vekselspenning på antennen. Den ene halvparten oscillerer mellom å være positivt og negativt ladd, og den andre halvparten av antennen oscillerer i takt, men med motsatt polaritet på ladningene. Vi kan tegne opp retarderte potensialer i ulike avstander fra antennen, og danne oss et bilde av hvordan elektrisk feltstyrke varierer i tid og posisjon i forhold til antennen. Resulatet blir noe lignende det som er vist i figur

14 Dersom vi står på ett sted i ekvatorialplanet til dipolantennen (der dipolen danner aksen i et sfærisk koordinatsystem), vil det elektriske feltet ha en orientering vinkelrett på retningen inn mot antennemidten (vinkelrett på retningen som de elektriske oscillasjonene kommer fra). Feltet vil i tillegg oscillere om en gjennomsnittsverdi som er null. Det kan vises at magnetfeltet har en tilvarende tidsvariasjon, men er vinkelrett på det elektriske feltet til envher tid. Figur 11: Elektriske feltlinjer rundt en dipol som utsettes for en vekselspenning. Det betyr at tidsvariasjonen både for elektrisk og magnetisk felt lokalt er omtrent slik vi forventer for en plan elektromagnetisk bølge, dersom vi er noen bølgelengder vekk fra antennen. Det betyr at feltene da vil gjensidig bygge hverandre opp (oscillere) temmelig uavhengig av ladningene på selve antennen, og når det skjer i stor grad, er det elektrodynamikk som gjelder og en elektromagnetisk bølge vil dra med deg energi fra feltet rundt antennen og bringe energien med seg ut i vilkårlig store avstander fra antennen. f) De elektromagnetiske bølgene som kommer fra en dipolantennen har ikke like stor intensitet i alle retninger. Tegn et retningsdiagram, og forklar dette. De elektromagnetiske feltene er små i akseretningen, og dessuten er f.eks. det elektriske feltet her radielt rettet. Det betyr at det ikke ligger til rette for å generere elektromagnetiske bølger i aksial retning. Ustrålt energi vil være maksimalt i ekvatorialplanet til antennen og synke etter som vi nærmer oss akseretningen. Fordelingen av energistrøm (intensitet) kan angis i et polardiagram. Det er i prinsippet to ulike polardiagrammer som må angis: Ett som viser hvordan intensiteten varierer i ulike retninger i ekvatorialplanet (horisontalplanet vinkelrett på antennen), og ett som viser hvordan intensiteten varierer i ulike retninger i et meridianplan (vertikalt plan der antennen ligger i dette planet). Dipolantennen gir samme stråing i alle retninger vinkelrett på antennen (pga sylindersymmetri), så det er liten vits i å angi polardiagrammet i ekvatorialplanet. Antennediagrammet i et meridianplan er angitt i figur 12. Polardiagrammet kan bruke slik: 14

15 Figur 12: Antennediagram for en dipolantenne (meridianplanet = vertikalt plan) Maksimal intensitet er satt til 10 og diagrammet går da helt ut til ytre sirkel i den retningen dette gjelder (0 og 180 grader i vår figur). Relativ intensiteten i en annen retning (f.eks. 30 grader) kan da avleses som relativ radius ut til hvor diagrammet krysser 30- graders linjen. I vårt tilfelle svarer dette til 7.5, altså 75 % av effekten i den retningen som ga høyest intensitet. Antennediagrammet gir intensitetsvariasjon som funksjon av vinkel, - avstanden fra antennen til stedet vi betrakter antas å være den samme for alle retningene. g) Ved mobiltelefon-kommunikasjon brukes sjeldent enkle dipolantenner på basestasjonene. Forklar hvorfor man der velger litt mer kompliserte antenneløsninger og hva man oppnår med dette. Ved basestasjoner for mobiltelefoni brukes antenner med flere dipolelementer og dessuten såkalte reflektorer, for å lage mer retningsdirektive antenner. Et eksempel er gitt her: Man oppnår da at energien som sendes ut blir mer konsentrert i en begrenset romvinkel, og romvinkelen angir (sammen med den generelle avstandsavhengigheten på 1/r 2 ) det området antennen skal gi dekning for. Formen til retningsdiagrammet i meridianplanet sørger for at det ikke blir så stor forskjell i intensitet ved bakken når vi er nær basestasjonen sammenlignet med lenger fra (sammenlignet med situasjonen dersom vi hadde valgt en enkel dipolantenne). Energien blir brukt på en effektiv måte og hindrer at folk som bor nær basestasjoner får svært mye mer eksponering enn folk som bor lengre unna. 15

16 Oppgave 5 Figur 13: Antennediagram for en basestasjon for mobiltelefoni. Bildet på neste side er tatt gjennom et svakt mikroskop fra et lite parti av skjermen til en iphone 5 mobiltelefon. Skjermen har en fysisk størrelse på 49.5 x 88.5 mm, og har en oppløsning på 640 x 1136 pixler. a) Fortell hva som er bakgrunnen for at vi lager fargebilder på den måten vi ser her. Hvilke farger opplever vi i de tre ulike feltene i figuren når vi ser dette partiet av mobiltelefonskjermen med bare øynene? Øyet har tre typer tapper som er følsomme for lys i tre ulike bølgelengdeområder. Vi snakker om L, M og S-tapper etter en relativ plassering av følsomhetsområdet som langbølget (L), midlere bølgelengder (M) og korte bølgelengder (S). Det er et betydelig overlapp i følsomhetsområdene. Til tross for overlappet mottar hjernen i prinsippet et tredimensjonalt signal fra tappene. Det er dette som grovt sett gjør det nødvendig å presentere et tredimensjonalt signal for øynene når vi lager et bilde kunstig f.eks. på en dataskjerm (flere detaljer nedenfor). Bildet blir presentert for oss som en todimensjonal matrise med pixler, og hvert pixel består av tre kilder til lys. Det er rødt, grønt og blått som brukes ved slik additiv fargeblanding. I eksemplet i figur 2 har vi et parti med bare rødt lys. Dette området vil vi oppfatte som rødt. Et annet parti har omtrent like stor lysstyrke på alle tre fargefeltene innen hvert pixel. Øyet vil oppfatte dette som hvitt. I to felt (øverst til venstre og nederst til høyre) er det omtrent like kraftig lys fra den blå delen som den grønne. Det vil gi oss en blå-grønn opplevelse, uten at vi våger å spesifisere 16

17 Figur 14: Fotografi (med høy forstørrelse) av en bitte liten del av skjermen til en iphone5 mobiltelefon. (Figuren skal være i farger. I motsatt fall får du si fra til eksamensvakten!) fargen noe nærmere. b) Selv om fargebilder iblant er imponerende gode, kan de i en del tilfeller ikke matche fargeopplevelsen vi har når vi ser farger i virkeligheten (direkte med øyet vårt). Hva er grunnen til dette, og når er avviket mellom et fargebilde og fargene vi kan se direkte størst? Løsningsforslaget er her litt mer omfattende enn det vi forventer i eksamensbesvarelsen. Som nevnt i punkt a) får hjernen et i prinsippet tredimensjonalt signal L - M - S fra tappene i øyet. Det går an å gjøre en transformasjon av dette signalet slik at intensiteten til lyset skilles ut som en egen parameter. Vi sitter da igjen med et signal som bare har med fargeoppfatning og mettethet å gjøre. Det har vist seg å være svært nyttig å arbeide innen det todimensjonale rommet vi da ender opp med, og vi kan fremstille dette todimensjonale rommet som en flatt fargekart kalt fargehesteskoen (utformet av CIE i 1930). Spektralfargene ligger her langs den krumme delen av fargehesteskoen, fra rødt til fiolett. Mellom disse ytterlighetene har vi den såkalte purpurlinjen. Alle farger som ligger langs den ytre randen i fargehesteskoen sier vi er maksimalt mettet. Midt i fargehesteskoen har vi et ufarget felt (ofte kalt hvitt felt). Det er likevel slik å forstå at alle lysstimuli i fargehesteskoen skal oppfattes som like intenst lys. Det er ikke lett å få til når vi skal trykke en kopi av fargehesteskoen på et stykke papir! (Husk at 17

18 Figur 15: Fargehesteskoen til CIE, og markering av tre primærfarger i f.eks. en dataskjerm eller TV. Trekanten markerer hvilke farger vi kan gjengi ved hjelp av disse tre fargene. CIE-systemet angår additiv fargeblanding, men det er nettopp det vi har i dataskjermer o.l.) De lysdiodene eller andre lyskildene vi har i en dataskjerm/mobiltelefonskjerm som skal gi oss rødt, grønt og blått lys, vil aldri være 100 prosent mettet. De ligger derfor ikke fullstendig ut i randen på fargehesteskoen. De fargene vi kan fremstille med de røde/grønne/blå lysdiodene i hvert pixel, vil alle ligge innenfor den trekanten i fargehesteskoen som er innesluttet av de tre punktene hver av lysdiodene svarer til. Farger som ligger utenfor denne trekanten vil vi ikke kunne gjengi med samme metning på en dataskjerm som i virkeligheten. Spesielt er dyp fiolett vanskelig å gjengi korrekt, og også mange mettede grønnfarger. c) Det menneskelige øyet har en oppløsningsevne på om lag 40 linjer per grad dersom vi betrakter et sort/hvitt stripemønster ved god belysning. Synes denne grensen å ha noen som helst sammenheng med diffraksjonsbegrensing å gjøre? Synssansens evne til å skille mellom tettliggende detaljer i synsfeltet vil opplagt henge sammen med tetthet og størrelse av tappene på netthinnen, men diffraksjon vil i prinsippet 18

19 også spille en rolle. Spørsmålet er bare om diffraksjonen er så liten at den ikke har noe praktisk betydning eller ikke. Diffraksjon vil forekomme siden lyset passerer gjennom iris på vei inn til netthinnen. Dersom vi betraktet et lysende punkt (svært liten vinkelutstrekning), ville lyset fra dette punktet danne en Airy-skive med en viss (vinkel)diameter. Vinkeldiameteren er gitt ved: 2θ =2 1.22λ D hvor D er irisdiameteren og λ er bølgelengden på lyset. (Antar liten vinkel.) Ved lite lys er irisdiameteren maksimalt ca 8 mm, mens den ved kraftig lys kan komme ned i om lag 2 mm. Dette gir for en midlere bølgelengde på 550 nm: 2θ max = (radianer) 2θ min = (radianer) Vi har oppgitt av øyets oppløsningsevne er om lag 40 linjer per grad. Det er en annen geometri (sylindergeometri) enn den vi har anvendt når vi betrakter Airy-skiven med sirkulær geometri. For et overslag over diffraksjonens betydning vil vi neglisjere denne forskjellen og anta at lysende linjer med svært liten vinkelutstrekning av selve linjen, vil bli gjengitt som lysende bånd med bredde lik diameteren til en tenkt Airyskive. Det er sansynlig at vi da bommer litt i beregningene (kanskje de 22 % som Airy-skive-formelen tilsier), men størrelsesordenene bør likevel bli korrekte. Stripeavstand på 40 linjer per grad svarer til en vinkel: φ = 2π = (radianer) Vi ser derved at grensen for oppløsning av romlige detaljer i synssansen vår svarer til at diffraksjonsforbredningen av enkeltstråler eller linjer av lys begynner å overlappe hverandre. For kraftig lys (liten iris) skal vi rett og slett forvente at vi ikke klarer å skjelne 40 linjer per grad, mens ved midlere lysstyrker (iris 4-5 mm i diameter), vil diffaksjonen nettopp svare til oppløsningsevnen. Dersom vi har en oppløsningsevne på 40 linjer per grad også ved lav belysning, vil ikke diffraksjonen sette grensen for oppløsnigen alene. Da må begrenset oppløsning også bli påvirket også av enten for store/få tapper per mm 2 eller optiske feil i hornhinne og øyelinse. Det er fascinerende at synssansen vår er optimalisert så nydelig som den er på dette området, gjennom millioner av år med genetisk utvelging, dersom vi stoler på Darwins hypotese. d) Diskuter om det er passe mange pixler på mobiltelefonskjermen i forhold til vårt syn. 19

20 Ved normalsyn er nærpunktet ca 25 cm fra øyet. Vinkelavstanden mellom to pixler på skermen til en iphone 5 er da: θ tan θ = 88.5/ = Nå er det likevel slik at for å skjelne en prikk (eller en linje) med en annen, må det et svart felt mellom. Det betyr at vinkelen mellom to linjer som ligger så tett som mulig på en iphone-skjerm vil være: θ Dette svarer omtrent til oppløsningsevnen til menneskeøyet. Det betyr at det er gjort et godt valg da antall pixler og størrelse på mobiltelefonskjermen ble konstruert. For voksne vil bildet på skermen se helt skarpt ut, og om vi puttet inn flere pixler, ville ikke bildet blitt vurdert som bedre enn det vi nå har. Det er interessant at barneøyet har et nærpunkt ved om lag 10 cm avstand mellom skjerm og øyet. For barn ville det vært mulig å få skarpere bilder på skjermen dersom oppløsningen var økt noe (f.eks. ca 2 x lineært). e) Vi ønsker å se direkte de ulike fargefeltene i hvert pixel slik de kommer fram i bildet ovenfor. Vi ønsker å bruke en såkalt 6 x lupe og betrakte skjermen med den. Vil du forvente at vi kan se fargefeltene atskilt som i fotografiet ovenfor da? Begrunn svaret. En 6 x lupe sørger for en vinkel-forstørrelse på 6 x. Figur 16: Øyets geometri. Vi har sett at ett pixel har en vinkelutstrekning ved normalsyn på Da vil hvert fargefelt innenfor en pixel ha en vinkelutstekning lik tredjeparten av dette, dvs Med 6 x vinkelforstørrelse ved hjelp av lupen, vil hvert fargefelt få en vinkelutstrekning på

21 Vi har i c) ovenfor vist at øyets oppløsning på 40 linjer per grad svarer til en vinkel på Siden fargefeltene betraktet gjennom en 6x lupe svarer til en vinkel større enn dette, må vi forvente at vi vil kunne se fargefeltene hver for seg innenfor en og samme pixel dersom vi bruker en 6 x lupe. Likevel er ikke forskjellen så stor at det vi kan forvente at vi lett kan se de ulike fargefeltene adskilt. f) Dessverre finner vi ikke lupen vår, men fant i stedet et gammelt sett med briller med ulike brillestyrker. Det er brillestyrker fra -6 til +8 i settet. Hvilken brillestyrke er mest interessant å teste for å se om vi kan skille de ulike fargefeltene i hvert pixel ved bruk av brillen? Beregn nærpunktet når vi bruker denne brillen (anta at vi har normalsyn). Vil du forvente at vi klarer å se separate fargefelt i hvert pixel nå? Brillen som er mest aktuell er den som har brillestyrke +8 (konveks). Vi vil bruke linseformelen for å finne vårt nye nærpunkt med disse brillene (når vi har normalsyn fra før, dvs nærpunkt ved 25 cm). Øyets størrelse (fra linsen til netthinnen) anslår vi til 2.0 cm. Da følger for normalsyn: 1 s = s f oyet,min = 1 f oyet,min = 54 Dette er effektiv linsestyrke (angitt i dioptre) for vårt øye når vi fokuserer på nærpunktet. Bruker vi en brille på +8 får vi en total linsestyrke på = 62 dersom vi fokuserer på det nærmeste punktet vi klarer (med brillene på). Nærpunktet s +8 er da gitt ved: s = 62 herav finner vi at s +8 = m 8.3 cm. Nærpunktet har altså blitt flyttet fra 25 cm til 8.3 cm. Det betyr at vi kan betrakte skjermen effektivt i 8.3 cm avstand og likevel se den skarpt. Vinkelutstrekningen til ett pixel vil nå være θ tan θ = 88.5/ = / Vinkelutstrekningen på ett farget felt innenfor hvert pixel vil da være θ Siden øyet bare kan skille linjer som er mer enn fra hverandre, vil vi ikke kunne forvente å se separate fargete felt innen hvert pixel når vi bruker disse brillene. Det kan her være nyttig å minne om at en 6x lupe har en brennvidde på 250/6 mm = 42 mm. En brille med linsestyrke +8 har en brennvidde f gitt ved 1/f =8dvs f = 120 mm. En 6x lupe har effektivt 21

22 en linsestyrke på om lag +24! Det er derfor ikke så rart at lupen ga betydelig bedre oppløsning enn +8 brillen. MERK: I denne oppgaven har vi beholdt tre gjeldende siffer i alle tallene vi har angitt. Dette ble gjort for å ikke miste presisjon når vi brukte tall tidlig i oppgaven for å bestemme avledete tall senere i oppgaven. Normalt burde alle tallsvarene vært gitt med to gjeldende siffer, for vi har ikke nøyaktighet nok i beregningene til å forsvare noe bedre enn dette. Eksamenssettet slutter her. 22