Svein Haugerudbråten, Christoph Kirfel Fjerdegradsfunksjoner og det gylne snitt Matematikkfagets plass i norsk skole blir av mange begrunnet med dets nytteverdi for samfunnet Men sammen med dette har faget også vært båret oppe og påvirket av folk med andre innfallsvinkler Mennesker har sett at selv de som trenger matematikken som et redskap ikke kan komme langt med bare snusfornuftige og økonomiske motiver for å arbeide med faget Å lykkes i matematikk er vanskelig uten at det tennes en glød og en nysgjerrighet knyttet til det vi gjerne kaller matematikkens skjønnhet Ingen som skjønner hva som menes med dette har vært uberørt av sitt møte med det gylne snitt Det vi litt provoserende kan kalle ekte matematikklærere ønsker å formidle noen av sine estetiske opplevelser rundt matematikk til sine elever Det er derfor naturlig at de som i bladet CASIOnytt nr 3 005 fikk se hvordan ClassPad kunne brukes til å undersøke en spesiell egenskap for en gitt 4 gradsfunksjon ble nysgjerrige Her viste man nemlig numerisk at skjæringspunktene mellom grafen og linja gjennom grafens vendepunkter, definerer intervaller som forholder seg til hverandre lik det gylne snitt På illustrasjonen nedenfor ser Svein Haugerudbråten, Vennesla videregående skole SvHa1@Isydno Christoph Kirfel, Universitetet i Bergen christophkirfel@miuibno vi et eksempel Forholdet ST/QS er ganske nær det gylne snitt ( 5 1)/ ª 0, 61803 En naturlig reaksjon var da å se på hvordan dette kunne vises generelt Matematikkens estetiske appell ligger nemlig ikke først og fremst i enkelteksempler, men i de generelle og ikke minst uventede sammenhengene For en lærer ville det også være av interesse å se om det her fantes utforminger som kunne presenteres for flinke elever i MX/3MX Nedenfor følger et forslag til bevis Vi antar at vi har en 4 gradsfunksjon f( ) a 4 + b 3 + c + d + e som oppfyller følgende krav: 1 Grafen har to vendepunkter Q og S, henholdsvis med koordinater 1 og Den rette linja l, som går gjennom vendepunktene, skjærer grafen i ytterligere to punkter, P og T, henholdsvis med koordinater 3 og 4 3 Vi har at 3 < 1 < < 4 Påstand: PQ ST og ST QS, altså det gylne snitt Ved å se på formlike trekanter ser vi at dette svarer til: 1 3 4 og 4 1 Først undersøker vi et eksempel Vi stude 30 1/007 tangenten
rer grafen på tegningen Den tilhører funksjonen 4 3 1 f( ) Den andrederiverte blir 1 dermed f ( ), som har røttene 1 1 og Dermed får vendepunktene koordinatene Q ( 1, 3/4) og S (, 4) Linjen gjennom disse punktene beregner vi slik: y + 34 4 + 3 4 som + 1 + 1 gir y 13 Vi beregner nå skjæringspunktene mellom kurven og linjen Det gir oss likningen 1 4 3 1 + 13 + 0 Her kjenner vi to av røttene: 1 1 og Vi kan derfor dividere fjerdegradspolynomet på venstre siden av likningen med polynomet ( + 1)( ) Resultatet blir 4 3 ( 1 + 13 + ):( ) 11 Det siste kvadratiske polynomet gir oss koordinatene til de to nye skjæringspunktene: 1 3 5 3 1 3 5 ª 85, og 4 + ª 385, og vi ser at 1 3 4 og 4 5 1 1 Nå kan vi prøve å finne en forklaring som også gjelder i det generelle tilfellet Vi finner først koordinatene til vendepunktene: 4 3 f( ) a + b + c + d + e f ( ) 3 + 3b + c + d f ( ) 1a + 6b + c 0 Hvis vi kaller røttene i denne siste likningen for 1 og så gjelder: b 1a ( 1)( ) 1a + 6b+ c, og dermed 1+ og a 1 c y y1 Linja gjennom vendepunktene har likningen: y g( ) k k1+ y1 der k og 1 y1 f( 1) og y f( ) Skjæringspunktene mellom kurven og linjen l er gitt ved f( ) g( ) f( ) g( ) 0 som gir: 4 3 4 3 I: a + b + c + d + e k + k y 0 a + b + c + ( d k) + ( k y + e) 0 Siden 1 og er røtter i likning I kan denne også skrives slik: tangenten 1/007 31
b c a ( + m+ n)( 1)( ) 0 a ( + m+ n)( + + ) 0 a II: 4 b a + ( am + 3 mb c + an + + cm nb cn ) ( ) + ( + ) + 0 6 6 6 For å bestemme m og n, er det tilstrekkelig å sette koeffisientene i 3 og gradsleddene fra I og II lik hverandre Dette gir to nye likninger Vi løser den ene med hensyn på m Uttrykket for m settes inn i den andre likningen som løses med hensyn på n III: am + b b m b a og IV: an mb c 5c b 10ac 3b + + c n 6 1a Røttene i likningen m n + + 0 kaller vi for 3 og 4 Da gjelder + m + n ( 3)( 4) b 10ac 3b og vi har 3 + 4 m og 3 4 n a 1a Nå har vi at b c 3b 8ac 9b c ( 1) ( + 1) 41 4 6, altså 1 a 1a 3 Tilsvarende får vi at 9b c b ac b ( 4 3) ( 4 3) 443 4 10 + 3 1a b ac 5 3 8 1a altså 5( ) Nå er 4 3 1 ( ) + ( + )( + )( ) 1 3 1 1 3 4 3 4 b b ( 1) + + 5( 1) a a ( 1) og ( 4 3) + ( 4 + 3) ( + 1) ( 1) 4 b b 5( 1) + ( 1 ) a a ( 1) Dette gir: 1 3 4 og 4 ST Altså har vi: PQ ST og 1 QS gylne snitt og påstanden vår er bevist Alternativt kan man beregne verdiene som er det 3 1/007 tangenten
3 1 3b 9b c 1a 3b 9b c + 1a 3b 5 9b c 1a 4 3b 5 9b c + 1a direkte, og bekrefte sammenhengen mellom avstandene derfra Så deriverer vi f( ) to ganger ved å bruke kommandoen Differentiate Uttrykket vi får, den andrederiverte, kaller vi for h( ) Bemerkning Det er overraskende å se at koordinatene til alle skjæringspunktene med linjen ikke bare koordinatene til vendepunktene er uavhengige av parametrene d og e i fjerdegradskurven Løsning på kalkulator med CAS På matematikksenterets novemberkonferanse i Trondheim 005 hadde Bengt Åhlander et innlegg Bättre förståelse i matematikundervisningen med symbolhanterande verktyg, (se www matematikksenteretno/contentap?thisid30) På dette foredraget foreslår han å bruke en symbolbehandlende kalkulator for å arbeide med det nevnte problemet på fjerdegradskurver På den måten kan en få hjelp til en del av det hodearbeidet de algebraiske omformingene krever, samtidig som kalkulatoren kommer frem til det samme pene resultatet Fremgangsmåten er illustrert ved en TI89, men kan trolig gjennomgås med alle kalkulatorer som har en innebygd CASdel Her vil det være nødvendig å gå trinnvis til verks 1 Først definerer vi funksjonen f( ) a 4 + b 3 + c + d + e 3 Sett h( ) 0 og bestem røttene ved å bruke kommandoen Solve 4 Kall løsningene for s 1 og s tangenten 1/007 33
8 Finn røttene til resultatfunksjonen ved hjelp av kommandoen Solve Dette er da verdiene til de to nye skjæringspunktene mellom linjen g gjennom vendepunktene og utgangskurven f 5 Finn de tilhørende yverdiene på kurven f( ) og kall dem for m og m 1, altså f( s ) m og f( s ) m 9 Kall dem s 3 og s 4 6 Definer linjen gjennom vendepunktene m m1 g ( ) ( s1) + m1 s s 1 10 Beregn forholdene s s s s 4 1 3 og s s s s 4 1 7 Divider f( ) g( ) med h( ) Her er det nok å bruke en vanlig delingsstrek Kalkulatoren forstår at det dreier seg om polynomdivisjon Resultatet bekrefter at det første forholdet er 1, mens det andre er det gylne snitt! 34 1/007 tangenten