Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål
Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter 2 timar Del 2 skal leverast i etter 5 timar Valege skrivesaker, passar, lijal med cm-mål og vikelmålar Alle hjelpemiddel er tillate, med utak av Iterett og adre verktøy som tillèt kommuikasjo Alle kjelder som blir brukte til eksame, skal oppgivast på ei slik måte at lesare ka fie fram til dei Du må oppgi forfattar og heile tittele på både lærebøker og aa litteratur Dersom du har med deg utskrift eller sitat frå ettsider, skal heile adressa og edlastigsdato oppgivast Det er td ikkje tilstrekkeleg med wwwwikipediao Ige Der oppgåvetekste ikkje seier oko aa, ka du fritt velje framgagsmåte Om oppgåva krev ei bestemt løysigsmetode, vil også ei alterativ metode kue gi oko utteljig Karaktere blir fastsett etter ei samla vurderig Det betyr at sesor vurderer i kva grad du viser rekedugleik og matematisk forståig gjeomfører logiske resoemet ser samahegar i faget, er oppfisam og ka bruke fagkuskap i ye situasjoar ka bruke formålstelege hjelpemiddel vurderer om svar er rimelege forklarer framgagsmåtar og grugir svar skriv oversiktleg og er øyaktig med utrekigar, emigar, tabellar og grafiske framstilligar Illustrasjoe på framsida er heta frå wwwabelpriseo Niels Herik Abel sette Norge på verdskartet i matematikk Eksame, REA3024 Matematikk R2 Side 2 av 12
Del 1 Oppgåve 1 a) Deriver fuksjoe f x 2l x 1 3 b) Gitt fuksjoe f x x cos x 1) Ligg grafe over eller uder x - akse år x? 2) Stig eller fell grafe år x? (Du ka få bruk for at si 0 og cos 1 ) c) Bestem summe av de uedelege rekkja 2 2 2 2 3 9 27 d) Gitt pukta A 2, 3, 7, B 3, 5, 2, C1, 1, 5 og 3, 5, 1) Bestem ei verdi for t slik at AB AD D t 2) Udersøk om det fist ei verdi for t slik at AB II CD e) Løys differesiallikiga y 4x y 0, der y 0 5 f) Bestem itegrala 1) si2 x x dx 2) 24 d x 4 x Eksame, REA3024 Matematikk R2 Side 3 av 12
Oppgåve 2 Vi har gitt pukta A 1, 0, 0, B 0, 2, 2, C 1, 1, 2 og 4, 1, - 3 D 3 a) Fi AB AC Vis at arealet av trekate ABC er lik 2 b) Bestem volumet av pyramide ABCD c) Fi likiga for plaet som går gjeom pukta A, B og C Del 2 Oppgåve 3 I dee oppgåva skal vi lage ei modell for temperature i vatet i eit badekar Badekaret er fylt med vat som til å begye med har temperature 38 C Romtemperature er kostat lik 21 C Vi lèt y( t) vere vasstemperature i gradar celsius etter t timar a) Forklar kva yt fortel oss, og kvifor yt er egativ i dee oppgåva Vi atek at temperaturedriga per time er proporsjoal med differase mellom vasstemperature y t og romtemperature Proporsjoalitetskostate er k b) Forklar at de differesiallikiga som beskriv dee problemstilliga, er y k y 21 c) Forklar kvifor y(0) 38 Løys differesiallikiga ved rekig d) Etter 3 timar er vasstemperature 27 C Bruk dette til å bestemme k e) Bestem lim y t Kommeter svaret t Eksame, REA3024 Matematikk R2 Side 4 av 12
Oppgåve 4 Du skal svare på ate alterativ I eller alterativ II Dei to alterativa er likeverdige ved vurderiga (Dersom svaret ieheld delar av begge, vil berre det du har skrive på alterativ I, bli vurdert) Alterativ I Fuksjoe f er gitt ved 2 f( x) 2 (si x ) a) Teik grafe til f år x 0, 2 b) Grafe er ei siuskurve Bruk grafe til å vise at vi tilærma ka lese av at f ka skrivast på forma f( x) si2x 1 2 c) Bruk formele for siu v til å vise at uttrykket i b) stemmer med f( x) 2 (si ) 2 x d) Bestem ved rekig koordiatae til evetuelle topp-, bot- og vedepukt på grafe til f år x 3, 4 Alterativ II I deler av dee oppgåva er det ei fordel å bruke digitalt verktøy 0,2x Gitt fuksjoe f( x) 4 e 4 si2x 3cos 2x år x 0, 5 a) Skisser, eller ta ei utskrift av, grafe til f b) Fi ullpukta, topp-, bot- og vedepukta på grafe til f år x 0, 0,2x Fuksjosuttrykket til f ka skrivast på forma f( x) K e si2x c) Fi kostatae K og d) y f( x), der f( x) er fuksjoe ovafor, er ei løysig av differesiallikiga y ay by 0 Bestem kostatae a og b Eksame, REA3024 Matematikk R2 Side 5 av 12
Oppgåve 5 Trekattal ka illustrerast som talet på golfballar som daar ei trekatfigur Figure edafor viser dei tre første trekattala a 1, a 2 og a 3 S er summe av dei første trekattala a) Skriv opp dei fem første trekattala a1, a2, a3, a4 og a5 og dei fem første summae S1, S2, S3, S4 og S 5 b) Forklar at a 1 2 3 Bruk dette til å vise at a 1 2 c) Bruk regresjo på dei fem første summae S1, S2, S3, S4 og S5 til å fie eit tredjegradsuttrykk for S Vis at tredjegradsuttrykket er ei tilærmig av S 1 2 6 Resultatet ovafor gjeld i prisippet berre for dei fem første summae S1, S2, S3, S4 og S 5 Vi øskjer å udersøkje om formele gjeld for alle - verdiar Da må vi gjeomføre eit matematisk bevis d) Bruk iduksjo til å bevise at formele S 1 2 6 er riktig Eksame, REA3024 Matematikk R2 Side 6 av 12
Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer: Del 1 skal leveres i etter 2 timer Del 2 skal leveres i etter 5 timer Valige skrivesaker, passer, lijal med cm-mål og vikelmåler Alle hjelpemidler er tillatt, med utak av Iterett og adre verktøy som tillater kommuikasjo Alle kilder som blir brukt til eksame, skal oppgis på e slik måte at lesere ka fie fram til dem Du må oppgi forfatter og hele tittele på både lærebøker og ae litteratur Dersom du har med deg utskrift eller sitat fra ettsider, skal hele adresse og edlastigsdato oppgis Det er feks ikke tilstrekkelig med wwwwikipediao Ige Der oppgavetekste ikke sier oe aet, ka du fritt velge framgagsmåte Om oppgave krever e bestemt løsigsmetode, vil også e alterativ metode kue gi oe uttellig Karaktere blir fastsatt etter e samlet vurderig Det betyr at sesor vurderer i hvilke grad du viser regeferdigheter og matematisk forståelse gjeomfører logiske resoemeter ser sammeheger i faget, er oppfisom og ka avede fagkuskap i ye situasjoer ka bruke hesiktmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgagsmåter og begruer svar skriver oversiktlig og er øyaktig med utregiger, beeviger, tabeller og grafiske framstilliger Illustrasjoe på forside er hetet fra wwwabelpriseo Niels Herik Abel satte Norge på verdeskartet i matematikk Eksame, REA3024 Matematikk R2 Side 7 av 12
Del 1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoe f x 2l x 1 3 b) Gitt fuksjoe f x x cos x 1) Ligger grafe over eller uder x - akse år x? 2) Stiger eller syker grafe år x? (Du ka få bruk for at si 0 og cos 1 ) c) Bestem summe av de uedelige rekka 2 2 2 2 3 9 27 d) Gitt puktee A 2, 3, 7, B 3, 5, 2, C1, 1, 5 og 3, 5, 1) Bestem e verdi for t slik at AB AD D t 2) Udersøk om det fies e verdi for t slik at AB II CD e) Løs differesiallikige y 4x y 0, der y 0 5 f) Bestem itegralee 1) si2 x x dx 2) 24 d x 4 x Eksame, REA3024 Matematikk R2 Side 8 av 12
Oppgave 2 Vi har gitt puktee A 1, 0, 0, B 0, 2, 2, C 1, 1, 2 og 4, 1, - 3 3 a) Fi AB AC Vis at arealet av trekate ABC er lik 2 b) Bestem volumet av pyramide ABCD D c) Fi likige for plaet som går gjeom puktee A, B og C Del 2 Oppgave 3 I dee oppgave skal vi lage e modell for temperature i vaet i et badekar Badekaret er fylt med va som til å begye med har temperature 38 C Romtemperature er kostat lik 21 C Vi lar y( t) være vaets temperatur i grader celsius etter t timer a) Forklar hva yt forteller oss, og hvorfor yt er egativ i dee oppgave Vi atar at temperaturedrige per time er proporsjoal med differase mellom vatemperature y t og romtemperature Proporsjoalitetskostate er k b) Forklar at de differesiallikige som beskriver dee problemstillige, er y k y 21 c) Forklar hvorfor y(0) 38 Løs differesiallikige ved regig d) Etter 3 timer er vatemperature 27 C Bruk dette til å bestemme k e) Bestem lim y t Kommeter svaret t Eksame, REA3024 Matematikk R2 Side 9 av 12
Oppgave 4 Du skal besvare ete alterativ I eller alterativ II De to alterativee er likeverdige ved vurderige (Dersom besvarelse ieholder deler av begge, vil bare det du har skrevet på alterativ I, bli vurdert) Alterativ I Fuksjoe f er gitt ved 2 f( x) 2 (si x ) a) Teg grafe til f år x 0, 2 b) Grafe er e siuskurve Bruk grafe til å vise at vi tilærmet ka lese av at f ka skrives på forme f( x) si2x 1 2 c) Bruk formele for siu v til å vise at uttrykket i b) stemmer med f( x) 2 (si ) 2 x d) Bestem ved regig koordiatee til evetuelle topp-, bu- og vedepukter på grafe til f år x 3, 4 Alterativ II I deler av dee oppgave er det e fordel å bruke digitalt verktøy 0,2x Gitt fuksjoe f( x) 4 e 4 si2x 3cos 2x år x 0, 5 a) Skisser, eller ta e utskrift av, grafe til f b) Fi ullpuktee, topp-, bu- og vedepuktee på grafe til f år x 0, 0,2x Fuksjosuttrykket til f ka skrives på forme f( x) K e si2x c) Fi kostatee K og d) y f( x), der f( x) er fuksjoe ovefor, er e løsig av differesiallikige y ay by 0 Bestem kostatee a og b Eksame, REA3024 Matematikk R2 Side 10 av 12
Oppgave 5 Trekattall ka illustreres som atall golfballer som daer e trekatfigur Figure edefor viser de tre første trekattallee a 1, a 2 og a 3 S er summe av de første trekattallee a) Skriv opp de fem første trekattallee a1, a2, a3, a4 og a5 og de fem første summee S1, S2, S3, S4 og S 5 b) Forklar at a 1 2 3 Bruk dette til å vise at a 1 2 c) Bruk regresjo på de fem første summee S1, S2, S3, S4 og S5 til å fie et tredjegradsuttrykk for S Vis at tredjegradsuttrykket er e tilærmig av S 1 2 6 Resultatet ovefor gjelder i prisippet bare for de fem første summee S1, S2, S3, S4 og S 5 Vi øsker å udersøke om formele gjelder for alle - verdier Da må vi gjeomføre et matematisk bevis d) Bruk iduksjo til å bevise at formele S 1 2 6 er riktig Eksame, REA3024 Matematikk R2 Side 11 av 12
Kolstadgata 1 Postboks 2924 Tøye 0608 OSLO Telefo 23 30 12 00 Telefaks 23 30 12 99 wwwutdaigsdirektorateto