DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S Løsningsforslag Oppgave 1 a. (3p) Her er det enklest å regne i forhold til arbeidspunktet. Ekstra tyngde 1 kg gir ekstra kraft (vekt) G mg 10 N eller kg m/s 2, merk at siden g er i negativ retning får en minustegn. Krafta fra fjøra motvirker ekstra tyngde og har positiv verdi F 10 N, Fjøra strekkes da 40 cm ekstra, det er i negativ retning slik vi har definert det her, x 0.4 m. Fra formel (1) får vi k F/x 10/0.4 25. b. (2p) Enhet er N/m eller kg/s 2. 1
c. (10p) Direkte fra ligningene 8, 9 og 10 får vi: 0 1 0 A k 0, B C k, m m D 1 0, E 0. (1) d. (2p) Fra c har vi at A 0 1 a 2 0, der a k/m 5. (2) Det er altså ei matrise på form som gitt i ligning 3 i oppgaven og har egenverdier ±ja, der j 1. Her får vi altså egenverdier ±j k/m ±5j. e. (1p) Vi bør ha T 0.1/5 0.02. f. (2p) Med samplingsfrekvens 100 Hz blir tidssteget T 1/100 0.01. g. (2+2+1+1 p) Med nullteordens holdeelement og Eulers forovermetode har en x(k + 1) x(k) + T ẋ(k). D og E er som i det kontinuerlige tilfellet. Det gir 1 T 1 0.01 Φ I + AT. (3) T k/m 1 0.25 1 Γ BT 0 T k/m 0 0.25, D 1 0, E 0. (4) h. (2p) Med å ta Eulers forovermetode på ligning (9) i oppgaven får vi x 2 (k + 1) T k m x 1(k) + x 2 (k) + T k m u(k) + T k v(k). (5) m Standardavvik for v(k) her er oppgitt til 0.005 m, med v 2 (k) T k v(k) får m vi da standardavvik for v 2 (k) til σ v2 T k 0.005 0.25 0.005 0.00125. Vi m har da σv 2 2 0.00125 2 0.0000015625 1.6 10 6 m 2. Med matrisa Ω som 2 2 identitetsmatrise har en støyleddet som v1 v1 Ωv Ω. (6) der σ 2 v 1 1 10 10 m 2 og σ 2 v 2 1.6 10 6 m 2. v 2 v 2 i. (2p) Vi skal her finne egenverdiene λ for matrisa 1 T 1 0.01 Φ EF I + AT T k/m 1 0.25 1. (7) 2
Subskrift EF står for Eulers forovermetode. Vi har ikke oppgitt løsningen her i oppgaven og må da regne den ut. Fra definisjonen av egenverdier har vi det(λi Φ EF ) 0 (8) ( λ 0 1 T ) det 0 (9) 0 λ T k/m 1 ( λ 1 T ) det 0 (10) T k/m λ 1 (λ 1) 2 + T 2 k/m 0 (11) λ 2 2λ + (1 + T 2 k/m) 0 (12) λ 1 2( 2 ± 4 4(1 + T 2 k/m) ) (13) λ 1 ± T 2 k/m (14) λ 1 ± jt k/m (15) Her har vi k/m 25 og får da egenverdiene λ 1 ± 5T j. j. (4+4p) Eksakt diskretisering gir Φ e AT og A er som i punkt 1c og 1d her i løsningsforslaget, med a k/m 5 som i ligning (2). I oppgaven i ligning (4) er da e AT gitt. Φ e AT cos at a 1 sin at. (16) a sin at cos at med rekkeutvikling har en (merk Φ EF er første ledd for hvert element, til og med T ) Φ e AT 1 1 (at 2 )2 + 1 (at 24 )4 T 1 6 a2 T 3 + 1 120 a4 T 5 a 2 T + 1 6 a4 T 3 1 120 a6 T 5 + 1 1(aT 2 )2 + 1 (at. 24 )4 (17) med tall 0.9988 0.01 Φ e AT. (18) 0.25 0.9988 Det å finne Γ er kanskje litt vanskeligere. Fra ligning (17) i oppgaven ser en at B + AΓ ΦB altså Γ A 1 (Φ I)B. B er i oppgave 1c funnet til B 0 a 2 T, der a k/m 5. A 1 er gitt i oppgaven og Φ ble nettopp funnet. Vi får 0 a 2 cos at 1 a Γ 1 sin at 0 1 0 a sin at cos at 1 a 2. (19) Vi multipliserer sammen de to høgre faktorene først 0 a 2 a sin at 1 cos at Γ 1 0 a 2 (cos at 1) a sin at. (20) 3
med rekkeutvikling har en (merk Γ EF er ledd til og med T ) 1 cos at 1 Γ (at 2 )2 1 (at 24 )4 + a sin at a 2 T 1 6 a4 T 3 + 1 120 a6 T 5 + med tall Γ 1 cos at a sin at 0.0012 0.25 (21). (22) Fra rekkeutviklingen ser en at differansen mellom Φ e AT og Φ EF I + AT er alle ledd der T er med med grad 2 eller høyere. Dette gjelder også for Γ og Γ EF. k. (2p) Egenverdiene for Φ e AT er gitt i oppgaven som cos at ± j sin at. l. (3p) Et systems stabilitetsegenskaper kan defineres ut fra dets impulsrespons slik Asymptotisk stabilt system, lim k y δ (k) 0. Alle polene i det kontinuerlige systemet ligger i venstre halvplan, negativ reell del. Alle polene i det diskrete systemet ligger strengt innenfor enhetssirkelen. Marginalt stabilt system, 0 lim k y δ (k). En eller flere (ikke multiple) poler i det kontinuerlige systemet ligger på den imaginære akse, de andre i venstre halvplan. En eller flere (ikke multiple) poler i det diskrete systemet ligger på enhetssirkelen, de andre innenfor. Ustabilt system, lim k y δ (k) En eller flere poler i det kontinuerlige systemet ligger i høyre halvplan, positiv reell del. En eller flere poler i det diskrete systemet ligger utenfor enhetssirkelen. m. (2p) Det kontinuerlige systemet satt opp i 1c eller systemet med eksakt diskretisering satt opp i 1j er følgelig marginal stabilt. En impuls på pådraget vil gi vedvarende svingninger på loddet, og de vil ikke dempes. n. (2p) Systemet diskretisert med Eulers forovermetode har egenverdier (det vil si poler) utenfor enhetssirkelen, se svar for 1i, og er følgelig ustabilt. I en modell implementert på denne måten vil en impuls på pådraget gi svingninger som etter hvert vokser til uendelig amplitude. Dette er samme hvor liten T er, (så sant en da ikke får numeriske avrundinger som virker andre veien). o. (3p) Et sant fysisk system er som det kontinuerlige system, bare at en vil ha med en eller annen form for demping også. Dermed vil et fysisk system satt opp som i oppgaven være stabilt. 4
Oppgave 2 a. (10 p) Stikkordspreget forklaring, mer detaljert i boka. x(k) og x(k + 1) er tilstandene ved tidssteg k og k + 1. Dimensjon er n 1. u(k) er pådrag ved tidssteg k. Dimensjon er s 1. v(k) er prosesstøy ved tidssteg k. Dimensjon er n 1. y(k) er måling ved tidssteg k. Dimensjon er l 1. w(k) er målestøy ved tidssteg k. Dimensjon er l 1. Φ(k) er transisjonsmatrisen ved tidssteg k. Dimensjon er n n. Γ(k) er pådragsmatrisen ved tidssteg k. Dimensjon er n s. Ω(k) er forstyrrelsesmatrisen ved tidssteg k. Dimensjon er n n. D(k) er målematrisen ved tidssteg k. Dimensjon er l n. E(k) er direktekoplingsmatrisen ved tidssteg k, den er ofte 0. Dimensjon er l s. b. (1 p) Φ(k) og D(k) har blitt Φ og D fordi de ikke er tidsvarierende, eller gjerne mer presist at det ikke betyr noe ved utledingen om det er tidsvarierende. Vi kan da innføre Φ(k) og D(k) igjen når vi har resultatet, det vil si ligningene som kan implementeres. c. (2 p) Γ(k) har blitt satt til null (leddet Γ(k)u(k) er fjernet). Dette kan gjøres fordi en kan dele tilstanden i en deterministisk del, og en stokastisk del, x(k) x d (k) + x s (k). x(k + 1) Φ(k)x(k) + Γ(k)u(k) + Ω(k)v(k), (23) x d (k + 1) + x s (k + 1) Φ(k) ( x d (k) + x s (k) ) + Γ(k)u(k) + Ω(k)v(k).(24) Dermed kan en skrive x d (k + 1) Φ(k)x d (k) + Γ(k)u(k) (25) x s (k + 1) Φ(k)x s (k) + Ω(k)v(k). (26) For utledning av Kalmanfilteret ser en kun på stokastisk del i siste ligning, den deterministiske delen har ingen stokastiske element og trenger ikke estimeres. Den kan bestemmes eksakt. d. (1 p) Ω(k) har blitt satt til identitetmatrisa. Dette kan gjøres ved å anta at de ulike støykomponenter er uavhengige og at hver virker på kun en av tilstandene. Variansen for støy må da ofte justeres. e. (1 p) E(k) har blitt satt til null. Som sagt over har en ofte ikke denne med i systemet i det hele. Og om den er med kan den tas bort her med tilsvarende resonnement som i 2c. f. (4 p) Vi antar at støyen, v(k) og w(k), har forventningsverdi (middelverdi) null Ev(k) 0, Ew(k) 0, (27) 5
og at sekvensene v(k) og w(k) er ukorrelerte med hverandre (R vw (τ, k) er en n l matrise) Ev(k + τ)w T (k) R vw (τ, k) 0, (28) og støyen er hvit, det vil si uavhengig av tidligere verdier, Ev(k + τ)v T (k) R v (τ, k) δ(τ)r v (0, k) Q(k) Q, (29) Ew(k + τ)w T (k) R w (τ, k) δ(τ)r w (0, k) R(k) R. (30) Q og R er da autokovariansmatriser for prosesstøy v(k) og målestøy w(k) henholdsvis. g. (1 p) Vi skal også ha at initialtilstanden x(0) skal være en hvit stokastisk variabel med forventningsverdi Ex(0) m 0. h. (2 p) rekursiv: tilstandsestimatet ˆx(k) beregnes ut fra estimatet i forrige tidssteg ˆx(k 1). Også andre verdier ved forrige tidssteg kan brukes, her vil det si ˆP (k). i. (2 p) optimal: Det er det best mulige estimatet som estimeres. Andre metoder vil ikke gi bedre estimat. Betingelse er i tillegg til de nevnt i 2f at støy skal være Gaussisk, det vil si normalfordelt. Med best mener en her forventningsrett og minimum varians, se nedenfor. j. (2 p) lineær: Estimatoren skal være en lineær kombinasjon av (estimat av) forrige tilstand og nye målinger. Altså ˆx(k) K(k) ˆx(k 1) + K(k) y(k) (31) Der K(k) og K(k) er n n og n l matriser der elementene velges fritt slik at estimatet blir optimalt. k. (2 p) forventningsrett: Det vil si at forventningsverdien til estmatet er lik sann verdi av estimatet, selv om vi ikke kjenner sann verdi kan vi likevel lage estimatoren slik at den er forventningsrett. Altså: Eˆx(k) x(k). l. (2 p) og minimum varians. Varians for estimeringsavviket, x(k) x(k) ˆx(k), minimeres. Når det er flere tilstander blir dette at n i1 σ2 i minimeres, og der σi 2 E( x i x i (k)) 2. Oppgave 3 a. (6 p) Ligning k, k {1, 2, 3}, i ligningssytemet for LS-estimatet er y(k) θ + e(k) (32) der θ, vi bruker θ her og ikke Θ siden det kun er en parameter, er den ene parameteren vi estimerer, og e(k) er målefeilen (støy). Altså har en her, for 6
alle k, at φ(k) φ T (k) 1. Et ligningssystem med k 3 ligninger er (vi skriver ikke k for enkelhets skyld) y(1) e(1) 1 e(1) Y y(2) θ + e(2) 1 θ + e(2) Φθ + e. (33) y(3) e(3) 1 e(3) Alternativ kan en ha samme system uten e, Y Φθ. b. (4 p) Ved å løse ligningssytemet får en LS-estimatet, løsning er gitt i lingning (23) i oppgaven. Siden Φ 1 1 1 T, har vi Φ T 1 1 1 og Φ T Φ 1 + 1 + 1 3, (Φ T Φ) 1 1/3, Φ T Y y(1) + y(2) + y(3) 81. Løsningen er ˆθ (Φ T Φ) 1 Φ T Y 1/3 81 27. Det er altså, ikke overraskende, det samme som gjennomsnittet av målte verdier. c. (2 p) Vi har gitt ˆθ(k 1) 26, P (k 1) 0.05, φ(k) 1, og y(k) 28. med λ 0.98 får vi Fra ligning (24) i oppgaven K(k) 0.05 0.0485. 0.05+0.98 Fra ligning (25) i oppgaven ɛ(k) 28 26 2. Fra ligning (26) i oppgaven θ(k) 26 + 0.0485 2 26.0971. Fra ligning (27) i oppgaven P (k) (1 0.0485) 0.05/0.98 0.0485. d. (2 p) Vi har gitt ˆθ(k 1) 26, P (k 1) 0.05, φ(k) 1, og y(k) 28. med λ 0.9 får vi Fra ligning (24) i oppgaven K(k) 0.05 0.0526. 0.05+0.9 Fra ligning (25) i oppgaven ɛ(k) 28 26 2. Fra ligning (26) i oppgaven θ(k) 26 + 0.0526 2 26.1053. Fra ligning (27) i oppgaven P (k) (1 0.0485) 0.05/0.98 0.0526. e. (2 p) Vi ser at med den laveste λ så oppdaterer estimatet seg mer mot målingen til for hvert seg. Det er fordi lavere glemmefaktor gjør at en legge noe mindre vekt på de eldre (forrige steg) ligninger enn for den aller siste ligningen. En kan også legge merke til at P (k) K(k), dette er jo siden φ(k) 1 og ved utledning av RLS fant vi P (k)φ(k) K(k) (ligning 26 og 55 i utlending av RLS). f. (2 p) Med φ(k) 1 og når en setter ligning 24 inn i ligning 27 i oppgaven får en P (k) 1 P (k 1) P (k 1) λ som gir P (k) P (k 1) P (k 1). P (k 1)+λ λ P (k 1)+λ λ P (k 1)+λ Ved stasjonærtilstand har en at P (k + 1) P (k) P s altså P s P s som P s+λ gir P s 1 λ. g. (2 p) Stasjonærverdi for K(k) kan finnes ved å sette P s inn i ligning (24) i oppgaven. K s Ps 1 λ 1 λ. P s +λ 1 λ+λ 7