NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI OG ANVENDT GEOFYSIKK SIG445 Geofysisk Signalanalyse Lsningsforslag ving 8. Liner prediksjon bestar i aanvende et prediksjonslter, mens prediktiv dekonvolusjon bestar i a anvende et prediksjons-feil-lter. Et prediksjonslter er et Wiener-lter hvor nsket output z t er en forsinket versjon av input x t : z t = x t+. Det vil si at vi spr ltret om a spa verdier i \framtiden" til input signalet. Et slik lter kunne for eksempel brukes for a spa vret de neste dagene, gitt vret de siste arene. Hvis x t er en hvit-sty-sekvens, har vi ' xx () =, 2 og ' xx (i) = ; 8i 6=. Normal ligningene for prediksjonsltret f gir da f = f = ::: = f m =,og vi far null-output. Med andre ord kan ikke ltret spa framtiden til en hvit-sty sekvens. Hvis x t er en multippel-rekke, vil ' xx (i) fa store verdier for n = ;l;2l; :::, hvor lt er tidsintervallet mellom to multipler i multippel-rekken. Det blir lett for ltret, ut fra kunnskapen til ' xx, a spa framtiden til x t. Nar det gjelder vart meteorologiske eksempel vet vi at det alltid har vrt kaldere om vinteren enn om sommeren. Derfor er det lett a spa at det sannsynligvis ogsa blir slik neste ar... En annen viktig egenskap til prediksjonsltret er at det er kausalt, og kan derfor ikke \ytte energi til venstre" (det kan bare konsentrere energi innenfor pulsen, avhengig av delay-egenskapene, se ving 8). Vi er ikke interessert i multiplene i trasen, og vil gjerne fjerne dem, Derimot er vi interessert i reeksjonsrekken, som inneholder reeksjonskoesientene til de forskjellige laggrensene. Reeksjonsrekken er veldig uforutsigbar, og den kan betraktes som hvit sty. Nar vi anvender et prediksjonslter pa en reeksjonsrekke med multipler (altsa konvolvert med en multippel-rekke) vil vi da bare fa multiplene med forsprang i output. Feilen i prediksjonen (dvs. det som vi ikke har klart a spa) bestar av alle primrankomstene uten multiplene. Denne feilen kan beregnes veda subtrahere nsket output fra output til prediksjonsltret. Vi kan til slutt forsinke resultatet med sampler. Det hele er det samme som a bruke et prediksjon-feil-lter, eller, mao. a utfre prediktiv dekonvolusjon i stedet for liner prediksjon. Figur illustrerer liner prediksjon og prediktiv dekonvolusjon for en multippel-rekke: Den frste spike'n brukes for a lage den frste multiplen i nsket output. Den frste multiplen brukes for a lage den andre, osv. Den frste multiplen i multippel-rekken kan ikke lages fordi prediksjonsltret er kausalt. Derfor bestar prediksjonsfeilen av kun den frste spike'n.
Input α Desired output Linear prediction Prediction error Figure : Prediktiv dekonvolusjon av en multippel-rekke Input α Desired output Linear prediction Prediction error Figure 2: Prediktiv dekonvolusjon av en hvit-sty sekvens 2
Input α Desired output Linear prediction Prediction error Figure 3: Prediktiv dekonvolusjon av en trase med = Input α Desired output Linear prediction Prediction error Figure 4: Prediktiv dekonvolusjon av en trase med =2 3
For en hvit-sty sekvens (gur 2) kan vi nne et kausalt lter som vil kunne lage den andre spike'n i nsket output ut fra den frste, men vi ser at det samme ltret ikke kan brukes for a lage den tredje spike'n ut av den andre. Mao. nnes det rett og slett ikke noe lter som kan tilfredsstillende lage vart nsket output ut fra hvit-sty-sekvensen. Derfor blir den predikterte trasen null, og prediksjonsfeilen er lik den opprinnelige trasen. Rollen til er illustrert i gur 3 ( = ) og gur 4 ( = 2): Pulsen blir avkortet til bare de frste samplene. 2. I gur 5 har vi tegnet reeksjonsrekken og trasen. Den tredje multiplen til den frste spike'n faller sammen med den andre spike'n. I gur 6 og 7 har vi anvendt prediktiv dekonvolusjon pa henholdsvis multippel-rekken M og reeksjonsrekken R. Som forventet blir multiplene fjernet fra M, mens R blir urrt. Seismic trace and reflection series.5.5 2 4 6 8 Figure 5: Trase T Resultatet til prediktiv dekonvolusjon pa trasen T er vist i gur 8. Vi ser at multiplene blir fjernet, mens primr-ankomstene forblir. Prediktiv dekonvolusjon danner litt sty, men stynivaet er lavt i forhold til den rekonstruerte reeksjonsrekken. Nar vi senker lterlengden til 9 blir trasen ikke ltrert i det hele tatt, fordi avstanden mellom to multipler er, og ltret er for kort for a ytte en multippel til neste... Dette ser man godt i gur 9. I gur, og 2 ser man hva som skjer nar vi ker lterlengden. Disse eksemplene kan overbevise de mest skeptiske over at a ke lterlengden ikke ndvendigvis forbedrer resultatene. Tvert imot blir det mer og mer sty, og den andre og den tredje spike'n far feil amplitude. Det er lettere a forsta innytelsen til lterlengden L nar man ser separat pa resultatene til prediktiv dekonvolusjon pa M og R: Figur 3 viser at et lter med lengde L< (nar avstanden mellom to multipler er ) ikke fjerner multiplene i det hele tatt. Derimot vil man fjerne alle multipler fra M nar ltret har lengde strre eller lik. Nar vi anvender prediktiv dekonvolusjon pa R far vi akkurat samme resultat med L=6 (gur 4) som vi hadde med L= (gur 7). Det er fordi den minste avstanden 4
Predictive deconvolution (length=, alpha=) Multiple series.5.5 2 3 4 5 6 7 Figure 6: Multippel-rekke M etter prediktiv dekonvolusjon Predictive deconvolution (length=, alpha=).5 Reflection series.5 2 3 4 5 6 7 Figure 7: Reeksjonsrekke R etter prediktiv dekonvolusjon Predictive deconvolution (length=, alpha=).5.5 2 4 6 8 2 Figure 8: Trasen T etter prediktiv dekonvolusjon (L=) 5
Predictive deconvolution (length=9, alpha=).5.5 2 4 6 8 2 Figure 9: Trasen T etter prediktiv dekonvolusjon (L=9) Predictive deconvolution (length=7, alpha=).5.5 2 4 6 8 2 Figure : Trasen T etter prediktiv dekonvolusjon (L=7) Predictive deconvolution (length=3, alpha=).5.5 2 4 6 8 2 4 Figure : Trasen T etter prediktiv dekonvolusjon (L=3) 6
Predictive deconvolution (length=6, alpha=).5.5 2 4 6 8 2 4 6 Figure 2: Trasen T etter prediktiv dekonvolusjon (L=6) Predictive deconvolution (length=9, alpha=).5 Multiple series.5 2 3 4 5 6 7 Figure 3: Multippel-rekke M etter prediktiv dekonvolusjon (L=9) Predictive deconvolution (length=6, alpha=).8 Reflection series.6.4.2 2 3 4 5 6 Figure 4: Reeksjonsrekke R etter prediktiv dekonvolusjon (L=6) 7
Predictive deconvolution (length=7, alpha=).8 Reflection series.6.4.2.2 2 3 4 5 6 Figure 5: Reeksjonsrekke R etter prediktiv dekonvolusjon (L=7) Predictive deconvolution (length=29, alpha=).8 Reflection series.6.4.2.2 2 3 4 5 6 7 8 Figure 6: Reeksjonsrekke R etter prediktiv dekonvolusjon (L=29) Predictive deconvolution (length=3, alpha=).8 Reflection series.6.4.2.2 2 3 4 5 6 7 8 Figure 7: Reeksjonsrekke R etter prediktiv dekonvolusjon (L=3) 8
mellom to spike'r i reeksjonsrekken er 7 punktprver. Nar L=6 er R fullstendig uforutsigbar for prediksjonltret, og feilen i prediksjonen er lik selve R.Nar L=7 (gur 5) klarer prediksjonltret a \spa" R i noen grad (selv om det er darlig), og da ligner ikke prediksjonfeilen s godt pa R lenger. Darligere og darligere blir det nar man ker lterlengden. Avstanden mellom den frste og den andre spike'n er 3 punktprver. Derfor er resultatet likt for L=7 og L=29 (gur 6), mens kvaliteten senkes igjen nar L=3 (gur 7). Ideelt ville R vrt helt umulig a spa. I praksis er dette bare umulig hvis lter-lengden ikke er for langt. Derfor velger vi L sa liten som mulig, men likevel stor nok for a fjerne multiplene. Her er den optimale verdien L=. 3. Den litt mer realistiske trasen T er tegnet i gur 8. Vi har anvendt prediktiv dekonvolusjon med -verdier fra til 4 (gur 9 til 22). Jo kortere lag, desto kortere spike far man i teori (se gur 3 og 4). I praksis er det litt \sty " som kommer inn i bildet. Her gir =3de beste resultatene. Multiplene er blitt fjernet, og man ser bra de re primrankomstene. Hyden til hver av spike'ne er ogsa nesten riktig. Ut fra gur 2 eller 2 er det mulig a rekonstruere reeksjonsrekken nesten perfekt. I stedet for en spike, far vi, i teori, de frste samplene i kilde-signalet ved alle primr-ankomster. Derfor blir ankomstene forskjvet mot hyre. I praksis er det ikke helt slik (se gur 23 til 26). Den seismiske trasen med sty er tegnet i gur 27. Nar vi anvender prediktiv dekonvolusjon, far vi resultatet vist i gur 28. Det er ganske mye sty (mer enn i dataene TW), slik at man bare kan detektere de to frste laggrensene. Dessuten er hyden til spike'ne ikke sa riktig lenger. For a forbedre resultatet kan man prveadempe styen. I gur 29 og 3 har vi tegnet spektrene til henholdsvis kilde-signalet (uten sty) og prediksjon-feil-ltret. Vi ser at ltret har store verdier utenfor intevallet [25;25] Hz, og vil dermed blase opp all styen som nnes i dette frekvensomradet. Intervallet [25;25] Hz tilsvarer nettopp passbandet til signalet vart. Vi kan derfor anvende et band-pass-lter med knekkfrekvenser 25 og 25 Hz for a dempe styen. Resultatet er vist i gur 3. Na kan man se en tredje primr ankomst. Derimot er det vanskelig a skille lag 3 og 4 fra hverandre. 9
.3 Seismic trace.2...2.3.4 5 5 2 25 Figure 8: Trase T.3 Seismic trace after predictive deconvolution.25.2.5..5 alpha=.5..5.2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Figure 9: Trase T etter prediktiv dekonvolusjon (=).3 Seismic trace after predictive deconvolution.25.2.5..5 alpha=2.5..5.2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Figure 2: Trase T etter prediktiv dekonvolusjon (=2)
.3 Seismic trace after predictive deconvolution.25.2.5..5 alpha=3.5..5.2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Figure 2: Trase T etter prediktiv dekonvolusjon (=3).3 Seismic trace after predictive deconvolution.25.2.5..5 alpha=4.5..5.2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Figure 22: Trase T etter prediktiv dekonvolusjon (=4) Predictive deconvolution (length=3, alpha=).5.5 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Figure 23: Prediktiv dekonvolusjon anvendt pa kilde-signalet (=)
Predictive deconvolution (length=3, alpha=2).5.5 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Figure 24: Prediktiv dekonvolusjon anvendt pa kilde-signalet (=2) Predictive deconvolution (length=3, alpha=3).5.5 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Figure 25: Prediktiv dekonvolusjon anvendt pa kilde-signalet (=3) Predictive deconvolution (length=3, alpha=4).5.5 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Figure 26: Prediktiv dekonvolusjon anvendt pa kilde-signalet (=4) 2
.3 Noisy seismic trace TW.2...2.3.4 5 5 2 25 Figure 27: Seismisk trase pluss sty TW Noisy seismic trace after predictive deconvolution.25.2.5..5 alpha=3.5. 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Figure 28: Prediktiv dekonvolusjon anvendt pa TW(=2) 5 Spectrum 4 3 2 25 2 5 5 5 5 2 25 Frequency in Hz 4 Phase Spectrum 2 2 4 25 2 5 5 5 5 2 25 Frequency in Hz Figure 29: Spektrum til kilde-signalet 3
8 Spectrum 6 4 2 25 2 5 5 5 5 2 25 Frequency in Hz 4 Phase Spectrum 2 2 4 25 2 5 5 5 5 2 25 Frequency in Hz Figure 3: Spektrum til prediksjon-feil-ltret Noisy seismic trace after prediconv and band pass filtering.25.2.5..5 alpha=3.5. 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Figure 3: TW etter prediktiv dekonvolusjon og band-pass ltrering 4