Forelesningsnotater i FYS4520

1 Det kvantemekaniske mange-partikkel problem 1.1 Definisjon av mange-partikkel problemet Vi skal begrense oss til systemer av fermioner, som kan behandles ikkerelativistisk. Egenskapene til et system av n identiske fermioner er bestemt av Schrødinger ligningen H(x 1, x 2,...,x n )Ψ λ (x 1, x 2,...,x n ) = E λ Ψ λ (x 1, x 2,..., x n ) (1-1) Her er x i koordinatene, inklusive spinn-variable, til den i-te partikkel, mens λ representerer settet av kvantetall som er nødvendige for en entyig spesifikasjon av tilstanden Ψ. Hamiltonoperatoren H kan skrives som H = T + V der T er operatoren for den kinetiske energi T = n i=1 p 2 n i 2m = ) ( 2 2m i 2 = i=1 n t(x i ) i=1 (1-2a) (1-2b) og V er operatoren for den potensiell energi. n n V = u(x i ) + v(x i, x j ) i=1 j i=1 (1-2c) Her har vi antatt at operatoren for den potensielle energi består av en enpartikkel operator u og en to-partikkel operator v. En-partikkel operatoren u representerer et ytre felt som den enkelte partikkel beveger seg i, mens to-partikkel operatoren v representerer den innbyrdes vekselvirkning mellom partiklene. Det er vanlig å kalle egenverdiproblemet definert ved (1-1) og (1-2) for det kvantemekaniske mange-partikkel (eller mer presist n-partikkel) problem. Det som gjør dette problemet ikke-triviellt, slik at det ikke kan løses eksakt er 2-partikkel operatoren v. For v=0 er H simpelthen en sum av en-partikkel operatorer, slik at løsningen av (1-1) kan skrives på formen E λ = n i=1 Ψ λ = A e λi n i=1 ψ λi (1-4a) (1-4b) der e λi og ψ λi er løsningen av egenverdiproblemet for den i-te partikkel og A er en antisymmetriseringsoperator (1-17a) 1

Figur 1.1: Atom H = i ) ( 2 2m 2 i 2 2M 2 i Ze 2 r i R r i r j 0000 1111 00000 11111 00000 11111 0000 1111 R i + i j e 2 r i r j 2 2m 2 i i Ze 2 r i + i j e 2 r i r j I siste ligning har vi regnet kjernen som immobil og lagt origo i kjernes sentrum Figur 1.2: Fast stoff H = i + k ( 2 2m 2 i ( 2 2m 2 k ) + i j ) + k l Z i Z j e 2 R i R j e 2 r k r l r k r l R i R j 0000 1111 00000 11111 00000 11111 0000 1111 0000 1111 000000 111111 00000 11111 0000 1111 k,i Z i e 2 r k R i Born-Oppenheimer k k,i ( 2 2m 2 k Z i e 2 r k R i ) + k l e 2 r k r l Figur 1.3: Atomkjerne 00 11 00 11 00 11 000 111 00 11 000 111 000 111 00 11 00 11 000 111 00 11 000 111 00 11 00 11 000 111 00 11 00 11 000 111 00 11 000 111 00 11 00 11 000 111 000 00 00 111 11 11 000 111 000 111 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 000 111 00 11 000 111 00 11 000 111 00 11 000 111 00 11 00 11 000 111 00 11 000 111 000 111 000 111 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 000 111 00 11 000 111 000 111 00 11 000 111 00 11 00 11 00 11 00 11 000 111 000 111 00 11 r j r i H = i + i j ) ( 2 2m 2 i v(r i r j,p i p j, σ i σ j ) Hva menes med σ i her? 2

1.2 Permutasjonssymmetri og antisymmetriske bølgefunksjoner Det kvantemekaniske mange-partikkel problem kan i allminnelighet ikke løses eksakt for n 1. Imidlertid kan en del generelle egenskaper ved løsningen bestemmes ved hjelp av symmetriegenskapene til Hamiltonoperatoren. DErved kan en betydelig forenkling av problemet oppnåes. Hvis f.eks Hamiltonoperatoren er rotasjons invariant, som for (1-3), dvs [H, R] = HR RH = 0 (1-5) der R er rotasjonsoperatoren, vil det totale spinn av systemet være bevart. Dette tillater oss å diagonalisere energimatrisen separat for hvert spinn, slik at vi oppnår en reduksjon av dimensjonnaliteten av energimatrisen. En annen viktig symmetriegenskap for Hamiltonoperatoren er permutasjons symmetri. Hamiltonoperatoren for for et system av identiske partikler er invariant ovenfor permutasjoner av partikkelkoordinatee. La P ik være permutasjonsoperatoren sim byter om koordinatene for i-te og k-te partikkel. Vi har da P ik H(x i,...,x i,..., x k,..., x n )P 1 ik H(x i,...,x k,..., x i,..., x n ) = H(x i,...,x i,..., x k,..., x n )(1-6a) som er ekvivalent med [H, P ik ] = 0 (1-6b) En innser lett at Hamiltonoperatoren (1-3) tilfredstiller(1-6). Dersom (1-6) er oppfyllt, kan en konstruere egenfunksjonene Ψ λ av H som samtidig er egenfunksjoner av P ik : P ik Ψ λ (x i,...,x i,..., x k,..., x n ) = βψ λ (x i,..., x i,...,x k,..., x n ) (1-7a) Siden har vi P 2 ik Ψ λ(x i,...,x i,..., x k,..., x n ) = β 2 Ψ λ (x i,...,x i,..., x k,..., x n ) = Ψ λ (x i,..., x i,...,x k,..., x n ) (1-7b) β = ±1 (1-7c) Pluss-tegnet gjelder for systemer av identiske bosoner, svarende til at Ψ λ er symmetrisk under ombytting av av koordinatene til 2 partikler. Minus-tegnet gjelder for systemer av identiske fermioner, svarende til at Ψ λ er antisymmetrisk under ombytting av koordinatene til to partikler. Vi skal her begrense oss til systemer av fermioner. Egenfunksjonene Ψ λ til Hamiltonoperatoren H må derfor være antisymmetriske. For å konstruere antisymmetriske egenfunksjoner Ψ λ går en gjerne frem på følgende måte. Først velges et passende sett av basisfunksjoner Φ µ, som egenfunksjonene Ψ l ambda utvikles etter: Ψ λ = µ c λµ Φ µ (1-8) 3

Hvis funksjonene Φ µ er antisymmetriske, vil også Ψ λ være antisymmetriske. Basisfunksjonene Φ µ velges gjerne som egen funksjoner av en en-partikkel operatore H 0 med enkle matematiske egenskaper: H 0 (x 1, x 2,..., x n )Φ µ (x 1, x 2,...,x n ) = W µ (x 1, x 2,...,x n ), n H 0 (x 1, x 2,...,x n ) h 0 (x i ) (1-9) F.eks for Z-elektron atomet i (1-3) ville det være naturlig å velge en H 0 bestående av den kinetiske energi og en-partikkel delen av den potensielle energi H 0 = Z i=1 i=1 ) ( 2 2m 2 i Ze2 r i (1-10) Valget av H 0 er imidlertid vilkårlig, siden en kan skrive enhver Hamiltonoperator som H = H 0 + H 1, H1 H H 0 (1-11) En kan derfor velge H 0 fritt, forutsatt at en kompenserer for det i H 1. I mange problemer er det hensiktsmessig å la H 0 ha harmonisk oscillator form. Det er ønskelig å velge H 0 slik at H 1 er så liten at den kan behandles ved hjelp av en eller annen form for perturbasjonsteori. La oss nå introdusere en-partikkel basisfunksjoner Φ α som er egenfunksjoner av en-partikkel Hamiltonoperatoren h 0 : h 0 (x i )ϕ αi (x i ) = ǫ αi ϕ αi (x i ), i = 1, 2,...n (1-12) Vi ser da lett at den enkle n-partikkel produktfunksjonen Φ µ (x 1, x 2,..., x n ) = ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) (1-13) tilfredstiller egenverdiligningen (1-9), med egenverdi W µ = ǫ α1 + ǫ α2 +... + ǫ αn (1-14) I alminnelighet vil imidlertid ikke produktfunksjonen (1-13) ha god permutasjonssymmetri, siden f.eks P 12 Φ µ (x 1, x 2,..., x n ) = ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) ±Φ µ (x 1, x 2,..., x n ) (1-15) hvis a 1 a 2. For å konstruere antisymmetriske basisfunksjoner Φ as µ, må vi ta linerkombinasjoner av produktfunksjoner (1-13), der partikkelkoordinatene er riktig permutert. For det enkleste tilfellet, nemlig n = 2, har vi: Φ as α 1,α 2 (x 1, x 2 ) = 1 2 [ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 ) ϕ α1 (x 2 )ϕ α2 (x 1 )] (1-16) Vi ser umiddelbart at denne er antisymmetrisk under ombytting av koordinatene til partiklene 1 og 2. Faktoren 1/ 2 sørger for at tilstanden er normert, når vi 4

bruker ortonormerte en-partikkel funksjoner, dvs. ϕ α ϕ β = δ αβ. Det er nå enkelt å generalisere til n partikler: Φ as α 1,α 2,...,α n (x 1, x 2,..., x n ) = 1 ( 1) P ˆPϕα1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) n! P (1-17a) Her er ˆP en operator som permuterer partikkelkoordinatene x 1, x 2,..., x n. Vi summerer over alle permutasjoner P, multiplisert med en fase ( 1) P, som er lik +1 eller -1 ettersom P er en like eller odde permutasjon. Siden det er n! mulige permutasjoner ialt, er normaliseringsfaktoren 1/ n!. Høyre side av (1-17a) kan uttrykkes v.h.a en determinant ϕ α1 (x 1 ) ϕ α2 (x 2 )... ϕ αn (x n ) Φ as α 1,α 2,...,α n (x 1, x 2,..., x n ) = 1 n! ϕ α1 (x 1 ) ϕ α2 (x 2 )... ϕ αn (x n )... ϕ α1 (x 1 ) ϕ α2 (x 2 )... ϕ αn (x n ) (1-17b) Denne kalles gjerne en Slater-determinant. Siden determinanten bytter fortegn når to rader byttes om, ser vi at bølgefunksjonen (1-17b), og ekvivalent (1-17a), er antisymmetrisk under ombytting av koordinatene til to vilkårlige partikler. Det er verdt å merke seg at i tilstanden (1-17a) eller (1-17b) er det ikke mulig å tilordne noen en-til-en korrespondanse mellom partikkelkoordinatene x i og partikkeltilstandene α i. I en antisymmetrisk tilstand er det derfor ikke mulig å si hvilken partikkel som er i en bestemt en-partikkel tilstand. Alt en kan si, er hvilken partikkeltilstand som er besatt. Determinantformen (1-17b) inneholder derfor mye overflødig informasjon som er tungvint å ta vare på. Det er derfor mer hensiktsmessig å karakterisere antisymmetriske bølgefunksjoner bare ved hjelp av de en-partikkel tilstander som er besatt. Vi innfører derfor følgende forkortede skrivemåte for tilstanden (1-17b) Φ as α 1,α 2,...,α n 1 n! det {ϕ α1 ϕ α2...ϕ αn } α 1 α 2... α n (1-17c) der all referanse til partikkelkoordinatene er utelatt. Vi skal kalle denne notasjonen for besetningsrepresentasjonen. I denne representasjonen kan en ikke eksplisitt vise antisymmetrien i partikkelkoordinatene. Imidlertid skifter determinanten fortegn også når to søyler byttes om, slik at tilstanden (1-17b) også er antisymmetrisk under ombyttning av to partikkeltilstander. Dette kan uttrykkes i besetningsrepresentasjonen som α 1...α i... α k...α n as = 1 n! det {ϕ α1...ϕ αi... ϕ αk... ϕ αn } = 1 n! det {ϕ α1...ϕ αk... ϕ αi...ϕ αn } = α 1...α k... α i... α n as (1-18) Det er slik vi skal uttykke antisymmetrien av mange-fermion tilstander i det følgende. Skal vi dra full nytte av en besetningsinterprasjon av antisymmetriske tilstander, må vi imidlertid innføre kreasjons og destruksjonsoperatorer som h.h.v skaper og fjerner ferminoner i partikkeltilstander. En slik formalisme 5

svarer til annenkvantisering i feltteorien, men har ikke som denne direkte fysikalsk betydning. I feltteorien reflekterer annenkvantiseringsformalismen fysikalske prosesser som kreasjon og annihilasjon av kvanter. I den ikkerelativistiske mange-partikkel teori er imidlertid antallet partikler uforandret og annenkvantisering innføres bare som en hensiktsmessig formalisme som tillater oss å anvende en partikkel-hull representasjon. 6

2 Annenkvantisering 2.1 Kreasjons- og destruksjonsoperatorer Besetningsinterpretasjonen av antisymmetriske mange-fermion tilstander tillater oss å introdusere operatorer a α og a α som henholdsvis skaper og fjerner partikler i en en-partikkel tilstanden ϕ α. Vi definerer en fermion kreasjonsoperator a α ved a α 0 α a α α 1... α n a s αα 1... α n as (2-1a) (2-1b) I øverste ligning av (2-1) virker operatoren a α på vakumtilstanden 0, som ikke inneholder noen partikler, og skaper en partikkel i tilstanden ϕ α. I nederste linje av (2-1) virker a α på en antisymmetrisk n-partikkel tilstand og danner en antisymmetrisk (n+1)-partikkel tilstand, der en-partikkel tilstanden ϕ α er besatt, forutsatt at α α 1, α 2,...,α n. Av 1-2) følger at vi kan utrykke en antisymmetrisk tilstand som et produkt av kreasjonsoperatorer som virker på vakumtilstanden. α 1... α n a s = a α 1 a α 2... a α n 0 (2-2) Vi kan nå lett utlede kommutatoralgebraen til fermion kreasjons operatorene a α. Fra antisymmetrien til tilstandene (2-2) α 1... α i... α k...α n as = α 1... α k...α i...α n as (2-3a) som skyldes determinantformen (1-18), følger umiddelbart Fra Pauliprinsippet følger a α i a α k = a α k a α i (2-3b) α 1... α i... α i...α n as = 0 (2-4a) a α i a α i = 0 (2-4b) Kombinerer vi (2-3b) og (2-4b), får vi den velkjente antikommutatorregelen a αa β + a β a α {a α, a β } = 0 (2-5) Den hermittisk konjugerte av a α er aα = (a α ) (2-6) Tar vi den hermitisk konjugerte av (2-5), har vi {a α, a β } = 0 (2-7) Hva er så den fysikalske tolkningen av operatoren a α? Eller med andre ord, hva er virkningen av a α på en vilkårlig antisymmetrisk tilstand α 1 α 2... α n as? La oss studere matriseelementet α 1 α 2...α n a α α 1 α 2... α m (2-8) 7

der både bra og ket vektorene er antisymmetriske, men hvor vi har sløyfet indeksene as for lettvinthets skyld. Vi kan nå skjelne mellom to tilfeller: 1. α {α i }. Fra Pauliprinsippet (2-4a) følger ved hermittisk konjugering α 1 α 2...α n a α = 0 (2-9a) 2. α / {α i }. Fra (2-1) følger ved hermitisk konjugering α 1 α 2... α n a α = αα 1 α 2... α n (2-9b) Ligning (2-9b) holder selvsagt også for tilfelle (1) idet høyre side er lik null pga. Pauliprinsippet. Vi kan derfor skrive (2-8) som α 1 α 2... α n a α α 1α 2...α m = α 1 α 2... α n αα 1α 2... α m (2-10) Her må selvsagt m = n + 1 dersom (2-10) skal være trivielt forskjellig fra null. Vi har da pga. (2-9a) og (2-9a) 1 α 1 α 2... α n a α α 1α 2...α n+1 = { 0 α {αi } {αα i } {α i } } ±1 α / {α i } {αα i } = {α i } (2-11) I siste tilfellet gjelder pluss og minustegnene når sekvensen α, α 1, α 2,..., α n og α 1, α 2,...,α n+1 er relatert til hverandre ved henholdsvis like og ulike permutasjoner. Anta nå at α / {α i }. Fra (2-11) følger at dersom vi skal ha når α {α i }. Hvis α / {α i }, har vi og spesielt α 1 α 2... α n a α α 1 α 2... α n+1 = 0 (2-12) a α α 1α 2...α n+1 = 0 (2-13a) }{{} α a α 0 = 0 (2-13b) Hvis {αα i } = {α i }, kan vi anta at sekvensen α, α 1, α 2,...,α n er identisk med sekvensen α 1, α 2,..., α n+1 (ellers kan vi bare foreta de nødvendige permutasjoner med tilhørende fortegnsskifte). Da har vi og dermed α 1 α 2...α n a α αα 1 α 2... α n = 1 (2-14) a α αα 1 α 2... α n = α 1 α 2... α n (2-15) Altså er virkningen av operatoren a α på en ket-vektor å fjerne en partikkel i tilstanden α. Hvis ket-vektoren ikke inneholder tilstanden α, blir resultatet null i følge (2-13). Operatoren a α kalles derfor destruksjons- eller annihilasjons operator. 1 Vi antar her og i det følgende 0 0 = 1. 8

La oss så etablere kommutatoralgebraen til a α og a β. Vi undersøker først virkningen av antikommutatoren {a α,a α } på en vilkårlig n-partikkel tilstand. Denne kan enten inneholde eller ikke inneholde α. Vi må undersøke begge tilfeller. Dersom α ikke er inneholdt i tilstanden, har vi a α a α α 1 α 2... α n = 0 }{{} α a α a α α 1α 2... α n }{{} α = a α αα 1 α 2...α n }{{} α Dersom α er inneholdt i tilstanden, har vi = α 1 α 2... α n }{{} α a α a α α 1 α 2...α k αα k+1...α n 1 = a α a α( 1) k αα 1 α 2...α n 1 = ( 1) k αα 1 α 2...α n 1 = α 1 α 2... α k αα k+1... α n 1 a α a α α 1α 2...α k αα k+1...α n 1 = 0 (2-16a) (2-16b) Fasen ( 1) k i annet ledd i første ligning skyldes at det må foretas ombytninger for å bringe α fra (k+1)-te posisjon til første posisjon, der α uten videre fjernes av destruksjonsoperatoren a α. Kreasjonsoperatoren a α plasserer igjen α i første posisjon, og det trenges k ombytninger, svarende til en fase ( 1) k, for å bringe α til sin opprinnelige posisjon. Fra (2-16a) og (2-16b) følger {a α, a α} = a α a α + a α a α = 1 (2-17) Dernest studerer vi virkningen av a α, a β, der α β, på en vilkårlig n-partikkel tilstand. vi får da tre tilfeller å undersøke, idet tilstanden kan inneholde (1) både α og β, (2) enten α eller β, eller(3) hverken α eller β. Hvis α og β er inneholdt i tilstanden, kan vi ifølge (2-16b) uten videre plassere dem foran de øvrige partikkeltilstander α i. Er de nemlig plassert i en annen vilkårlig posisjon, får de ifølge (2-16b) to faser som kansellerer hverandre. For enkelhets skyld antar vi derfor at det i det følgende at α og β eventuellt er plassert foran de øvrige tilstandsindekser α i. Vi har for tilfelle (1) For tilfelle (2) og for tilfelle (3) a αa β αβα 1 α 2... α n 2 = 0 a β a α αβα 1α 2... α n 2 = 0 a α a β β α 1 α 2...α n 1 = α α 1 α 2...α n 1 }{{}}{{} α α (2-18a) a β a α β α 1α 2...α n 1 = a β αβ βα 1 α 2... α n 1 }{{}}{{} α α = α α 1 α 2... α n 1 (2-18b) }{{} α a αa β α 1 α 2... α }{{ n = 0 } α,β a β a α α 1 α 2... α }{{ n = a } β α α 1 α 2... α n = 0 (2-18c) }{{} α,β α,β 9

For alle tre tilfellene gjelder {a α, a β } = a αa β + a β a α = 0, α β (2-19) Vi kan sammenfatte reglene (2-17) og (2-19) som der δ αβ er Kroenecker deltasymbol. {a α, a β } = δ αβ (2-20) La oss oppsummere egenskapene til kreasjonsog destruksjonsoperatorene for fermioner. Vi definerte først en kreasjonsoperator a α ved (2-1) Herav følger a α 0 α (2-1a) a α α 1... α n a s αα 1... α n as (2-1b) α 1... α n a s = a α 1 a α 2... a α n 0 (2-2) Dernest utledet vi egenskapene til den hermitisk konjugerte av a α, kallt a α: Vi fant a α = (a α) (2-6) a α α 1α 2...α n+1 = 0, }{{} spesielt a α 0 = 0 (2-13) α a α αα 1 α 2... α n = α 1 α 2... α n (2-15) Det vil være nyttig å kjenne kommutatoralgebraen (egentlig antikommutator) til disse operatorene. Vi fant {a α, a β } = {a α, a β } = 0 (2-5), (2-7) {a α, a β } = δ αβ (2-20) 2.2 Operatorer i annenkvantisering Vi har nå lært å uttrykke mange-fermion tilstander (dvs. bra- og ket vektorer) ved hjelp av kreasjonsog destruksjonsoperatorer, og vi har lært regnereglene for disse. Men det er klart at dersom vi skal ha fullt utbytte av denne formalismen, må vi også kunne utrykke de operatorene som forekommer i den kvantefysiske formuleringen av mange-partikkel problemet ved hjelp av kreasjonsog destruksjonsoperatorer. De enkleste operatorene er selvsagt fermionoperatorene selv. En kreasjons operator a α adderer en partikkel i en-partikkel tilstanden α til en gitt tilstand, mens destruksjonsoperatoren a α fjerner en partikkel i en-partikkel tilstanden α. Disse operatorene brukes derfor når en skal beregne sannsynlighetsamplituder for reaksjonsprosesser der det adderes en partikkel til eller fjernes en partikkel fra en gitt tilstand (f. eks (d,p) eller (p,d) reaksjoner i kjernefysikken). Ved å 10

ta produkter av kreasjonsoperatorer (destruksjons operatorer) kan en beskrive prosesser der det adderes (fjernes) flere partikler i en gitt tilstand. Her skal vi imidlertid hovedsaklig konsentrere oss om energiegenverdi problemet til et (ikke-relativistisk) mange-partikkel system. Her har vi å gjøre med operatorer som bevarer partikkeltallet. Disse må derfor kunne uttrykkes ved hjelp av produkter av kreasjonsog destruksjons operatorer, der det inngår like mange kreassjons- og destruksjons operatorer. Den enkleste operator som bevarer partikkeltallet, er av formen a α a β. La oss her sette α = β og studere virkningen av a αa β på en vilkårlig n-partikkeltilstand. Vi har ifølge (2-16) 0 α / {α i } a α a α α 1 α 2... α n = (2-16) α 1 α 2... α n α {α i } Summerer vi over alle mulige en-partikkel tilstander α, har vi åpenbart ( ) a α a α α 1 α 2... α n = n α 1 α 2...α n (2-21) α idet vi får et bidrag lik 1 fra hver en-partikkel tilstand som er besatt. Operatoren N = α a αa α (2-22) kalles derfor antallsoperatoren, idet den simpelthen teller opp antall partikler i tilstanden. Dette er den enkleste operator som bevarer partikkeltallet. Siden den er en sum av ledd som hver for seg virker på en enkelt partikkel, sier vi at den er av en-partikkel karakter og kaller den gjerne bare for en en-partikkel operator. La oss så se hvordan vi kan skrive en generell en-partikkel operator, som bevarer partikkeltallet, i annenkvantiseringsformalismen. Vi starter med å undersøke virkningen av en en-partikkel operator på en vilkårlig n-partikkel tilstand i partikkelkoordinatrepresentasjonen og uttrykker så dette i annenkvantiseringsrepresentasjonen. En en-partikkel operator er i koordinatrepresentasjonen definert ved F = f(x i ) (2-23) i mens en antisymmetrisk, n-partikkel tilstand er definert ved (1-17a) Nå er α 1 α 2... α n = 1 ( 1) P ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) (2-24) n! P f(x i )ϕ αi (x i ) = α k ϕ α k (x i ) α k f α k (2-25) og dermed kan vi lett beregne virkningen av F på hvert enkelt produkt av en-partikkel funksjoner inneholdt i α 1 α 2...α n. For grunnpermutasjonen på 11

høyre side av (2-24) har vi ifølge (2-25) ( ) f(x i ) ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) = α 1 i α 1 f α 1 ϕ α 1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) + α 2 f α 2 ϕ α1 (x 1 )ϕ α 2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) α 2 +... + α n α n f α n ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ α n (x n ) (2-26) For det ledd på høyre side av (2-24) hvor koordinatene til partikkel 1 og 2 er permutert, får vi ( ) f(x i ) ϕ α1 (x 2 )ϕ α1 (x 2 )...ϕ αn (x n ) = α 2 i α 2 f α 2 ϕ α1 (x 2 )ϕ α 2 (x 1 )...ϕ αn (x n ) + α 1 f α 1 ϕ α 1 (x 2 )ϕ α2 (x 1 )...ϕ αn (x n ) α 1 +... + α n α n f α n ϕ α1 (x 2 )ϕ α1 (x 2 )...ϕ α n (x n ) (2-27) Slik kan vi fortsette for alle permutasjonene på høyre side av (2-24). Multipliserer vi nå (2-26), (2-27) og de tilsvarende ligninger for de øvrige permutasjoner med de relevante faser ( 1) P og summerer, får vi ifølge (2-24) F α 1 α 2... α n = α 1 α 1 f α 1 α 1 α 2... α n + α 2 f α 2 α 1 α 2... α n α 2 +... + α n α n f α n α 1 α 2... α n (2-28) Vi merker oss at første ledd på høyre side av (2-28) får bidrag fra første ledd på høyre side av (2-26) og annet ledd på høyre side av (2-27), mens annet ledd på høyre side av (2-28) får bidrag fra annet ledd på høyre side av (2-26), første ledd på høyre side av (2-27), osv. I (2-28) har vi nå uttrykt virkningen av en-partikkel operatoren (2-23) på n- partikkel tilstanden (2-24) i besetnings representasjonen. Men (2-28) er enda ikke i noen hensiktsmessig form, idet forskjellige n-partikkeltilstander inngår på høyre side. Ved hjelp av annenkvantiseringsformalismen kan imidlertid alle disse uttrykkes ved den samme n-partikkel tilstand, idet vi har α 1 α 2...α k... α n = a α ka αk α 1 α 2...α k... α n (2-29) 12

Innsetning på høyre side av (2-28) gir F α 1 α 2...α n = α 1 α 1 f α 1 a α 1a α1 α 1 α 2...α n + α 2 f α 2 a α 2a α2 α 1 α 2...α n α 2 +... + α n α n f α n a α n a α n α 1 α 2... α n = α,β α f β a α a β α 1 α 2... α n (2-30a) I annenkvantiseringsformalismen har vi dermed følgende uttykk for en enpartikkel operator som bevarer partikkeltallet F = α,β α f β a αa β (2-30b) Operatoren F tar altså en partikkel fra tilstanden β (idet den destruerer partikkelen i denne tilstanden) til tilstanden α (idet den skaper en partikkel i denne tilstanden) med sannsynlighetsamplitude lik matriseelementet α f β. Det er instruktivt å verifisere (2-30b) ved å ta matrise elementet av F mellom to en-partikkel tilstander α 1 F α 2 = α,β α f β 0 a α1 a α a βa α 2 0 (2-30c) Her får vi å beregne - og det er typisk for matriseelementer i annen kvantiseringsformalismen - vakunforventningsverdien av et produkt av kreasjonsog destruksjonsoperatorer. Vi benytter da antikommutasjons reglene (2-5), (2-7) og (2-20) til å bringe destruksjonsoperatorene over til høyre, idet de ifølge (2-13) gir null når de virker på vakumtilstanden 0. Anvender vi (2-30c), får vi umiddelbart a α1 a α a βa α 2 = (δ αα1 a α a α 1 )(δ βα2 a α 2 a β ) (2-30d) Altså er og dermed slik vi skulle forvente. 0 a α1 a αa β a α 2 0 = δ αα1 δ βα2 (2-30e) α 1 F α 2 = α,β α f β δ αα1 δ βα2 = α 1 f α 2 (2-30f) La oss utlede utrykket for en generell to-partikkeloperator, som bevarer partikkeltallet, i AKV. Vi går fram på tilsvarende måte som for en enpartikkel operator, ved å studere virkningen av operatoren på en vilkårlig n-partikkel tilstand. I koordinatrepresentasjonen har en generell to-partikkel operator formen G = g(x i, x j ) (2-31) i<j 13

der summasjonen er over distinkte par. Virkningn av g(x i, x j ) på et produkt av to en-partikkel funksjoner er g(x i, xj)ϕ αk (x i )ϕ αl (x j ) = ϕ α k (x i )ϕ α l (x j ) α kα l g α k α l (2-32) α k,α l Vi lar nå G virke på de enkelte ledd i linearkombinasjonen (2-34) for α 1 α 2...α n. For grunnpermutasjonen har vi g(x i, x j ) ϕ α1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) i<j = α 1 α 2 g α 1α 2 ϕ α 1 (x 1 )ϕ α 2 (x 2 )...ϕ αn (x n ) α 1,α 2 +... + α 1,α n +... + α 2,α n α 1 α n g α 1α n ϕ α 1 (x 1 )ϕ α2 (x 2 )...ϕ α n (x n ) α 2 α n g α 2α n ϕ α1 (x 1 )ϕ α 2 (x 2 )...ϕ α n (x n ) +... (2-33) der det på høyre side er et ledd for hvert distinkt par. For de andre leddene på høyre side av (2-24) får vi tilsvarende uttrykk og summerer vi over alle leddene, får vi G α 1 α 2... α n = α 1 α 2 g α 1α 2 α 1 α 2...α n α 1,α 2 +... + α 1,α n +... + α 2,α n α 1 α n g α 1α n α 1 α 2...α n α 2 α n g α 2α n α 1 α 2...α n +... (2-34) Vi innfører nå annenkvantisering ved hjelp av relasjonen a α a k α la αl a αk α 1 α 2...α k... α l... α n = ( 1) k 1 ( 1) l 2 a α a k α la αl a αk α k α l α 1 α 2...α }{{ n } α k,α l = ( 1) k 1 ( 1) l 2 α k α l α 1α 2... α }{{ n } α k,α l = α 1 α 2... α k...α l...α n (2-35) 14

Innsetning i (2-34) gir G α 1 α 2...α n = α 1,α 2 +... = α 1,α n +... = α 2,α n α,β,γ,δ α 1 α 2 g α 1α 2 a α a 1 α 2a α2 a α1 α 1 α 2... α n α 1 α n g α 1α n a α 1a α n a α n a α1 α 1 α 2... α n α 2 α n g α 2α n a α 2a α n a α n a α2 α 1 α 2... α n +... = αβ g γδ a α a β a δa γ α 1 α 2...α n (2-36) Her indikerer at summasjonen over α og β går over alle en-partikkel tilstander, mens summasjonen over γ og δ går over alle distinkte par av enpartikkel tilstander. Vi ønsker å fjerne denne restriksjonen. Siden αβ g γδ = βα g δγ (2-37) har vi α,β αβ g γδ a αa β a δa γ = βα g δγ a αa β a δa γ (2-38a) α,β = βα g δγ a β a αa γ a δ (2-38b) α,β der vi i (2-38b) har anvendt antikommutasjonsreglene (2-5) og (2-7) for operatorene. Bytter vi nå om summasjonsindeksene α og β i (2-38b) har vi α,β αβ g γδ a αa β a δa γ = αβ g δγ a αa β a γa δ (2-38c) α,β Herav følger at restriksjonen på summasjonen over γ og δ kan oppheves dersom vi multipliserer med en faktor 1 2, slik at vi får G = 1 2 α,β,γ,δ αβ g γδ a αa β a δa γ (2-39) hvor vi nå summerer fritt over alle en-partikkel tilstander α, β, γ og δ. Det er nå ett å verifisere at annenkvantiseringsformen (2-39) av G gir det samme matriseelementet mellom (antisymmetriske) to-partikkel tilstander som koordinatrepresentasjonen (2-31). Vi har α 1 α 2 G β 1 β 2 = 1 2 α,β,γ,δ αβ g γδ 0 a α2 a α1 a α a β a δa γ a β 1 a β 2 0 (2-40) der vi eksplisitt har vist at matriseelementet på v.s er tatt mellom antiymmetriske tilstander til forskjell fra matriseelementet på høyre side som er tatt 15

mellom enkle produktfunksjoner. For å beregne overlapps matriseelementet på høyre side bringer vi ved hjelp av antikommutatorreglene (2-5), (2-7) og (2-20) destruksjons operatorene helt over til høyre, der de ifølge (2-13) gir null når de anvendes på vakumtilstanden 0. Vi har a α2 a α1 a α a β a δa γ a β 1 a β 2 = a α2 a α1 a α a β (a δδ γβ1 a β 2 a δ a β 1 a γ a β 2 ) = a α2 a α1 a αa β (δ γβ 1 δ δβ2 δ γβ1 a β 2 a δ a δ a β 1 δ γβ2 + a δ a β 1 a β 2 a γ ) = a α2 a α1 a αa β (δ γβ 1 δ δβ2 δ γβ1 a β 2 a δ δ δβ1 δ γβ2 + δ γβ2 a β 1 a δ + a δ a β 1 a β 2 a γ ) (2-41) Vakum forventningsverdien av dette operator produktet er da 0 a α2 a α1 a α a β a δa γ a β 1 a β 2 0 = (δ γβ1 δ δβ2 δ δβ1 δ γβ2 ) 0 a α2 a α1 a α a β 0 (2-42a) = (δ γβ1 δ δβ2 δ δβ1 δ γβ2 )(δ αα1 δ βα2 δ βα1 δ αα2 ) (2-42b) der siste skritt følger umiddelbart av det første. Innsetning av (2-42b) i (2-40) gir da α 1 α 2 G β 1 β 2 as = 1 2[ α1 α 2 g β 1 β 2 α 1 α 2 g β 2 β 1 α 2 α 1 g β 1 β 2 + α 2 α 1 g β 2 β 1 ] der vi i (2-43a) brukte (2-37) = α 1 α 2 g β 1 β 2 α 1 α 2 g β 2 β 1 (2-43a) = α 1 α 2 g β 1 β 2 as (2-43b) To-partikkeloperatoren G kan også utrykkes ved hjelp av de anti symmetriske matriseelementer αβ g γδ as i stedet for de enkle produktmatriseelementene αβ g γδ. Siden αβ g γδ a α a β a δa γ γ,δ = γ,δ αβ g δγ a α a β a γa δ = γ,δ αβ g δγ a α a β a δa γ (2-44) der vi har byttet om summasjonsindeksene γ og δ og anvendt antikommutasjonsreglene (2-7), har vi G = 1 2 = 1 4 = 1 4 α,β,γ,δ α,β,γ,δ α,β,γ,δ αβ g γδ a α a β a δa γ [ αβ g γδ αβ g δγ ] a αa β a δa γ αβ g γδ as a α a β a δa γ (2-45) 16

I det følgende kommer vi ofte til å sløyfe indeksen as på to-partikkel matriseelementene, da det vil fremgå av faktoren 1 4 eller 1 2 om vi bruker antisymmetriske eller ikke-antisymmetriske to-partikkel matriseelementer. Vi er nå i stand til å uttrykke Hamiltonoperatoren for et mange-fermion system i annenkvantiseringsformalismen. Hamiltonperatoren (1-2) som i koordinatrepresentasjonen har formen H = T + V T = i t(x i ) V = i u(x i ) + i<j v(x i, x j ) (2-46a) kan i annenkvantisering skrives som H = α t + u β a α a β + 1 2 α,β αβ g γδ a α a β a δa γ α,β,γ,δ (2-46b) 2.3 Partikkel-hull formalisme Vi har sett at annenkvantisering er en hensiktsmessig formalisme til å konstruere antisymmetriske tilstander (2-2). Det er også enkelt å uttrykke operatorer i annenkvantisering, og vi får uttrykkene (2-30b) og (2-39) for henholdsvis en- og to-partikkel opertatorer som tilsvarer partikkeltallet. Det er derfor enkelt å formulere matriseelementer av operatorer i annenkvantisering. Matrise elementene kan da beregnes ved hjelp av antikommutasjonsreglene (2-5), (2-7) og (2-20) og relasjonen (2-13). I forhold til konvensjonelle metoder medfører dette imidlertid ingen vesentlig besparelse. Det som gjør annenkvantisering til en hensiktsmessig formalisme er at den gjør det enkelt å innføre en annen referansetilstand c enn den sanne vakuumtilstand 0, når det er mange partikler til stede. Derved kan problemets dimensjonalitet reduseres betraktelig. Det enkleste eksempelet på en slik reduksjon er den såkallte partikkel-hull formalisme. Overgangen fra den opprinnelige partikkelrepresentasjonen til en partikkelhull representasjon er vist skjematisk i figur 2.1. Her er et sett en-partikkel tilstand α i suksessivt fyllt opp med henholdsvis n, n+1 og n-1 partikler. I den opprinnelige partikkelrepresentasjonen konstruerer disse tilstander produkter av kreasjonsoperatorer a α i anvendt på den sanne vakuumtilstand 0. Ifølge (2-2) hat vi α 1 α 2... α n 1 α n = a α 1 a α 2...a α n 1 a α n 0 (2-47a) α 1 α 2...α n 1 α n α n+1 = a α 1 a α 2...a α n 1 a α n a α n+1 0 (2-47b) α 1 α 2... α n 1 = a α 1 a α 2...a α n 1 0 (2-47c) Formuleringen av disse tilstandene kan forenkles betraktelig, hvis vi f.eks anvender (2-47a) som ny referansetilstand. c α 1 α 2... α n 1 α n = a α 1 a α 2...a α n 1 a α n 0 (2-48a) 17

α n+1 α n α n 1 α n+1 α n α n 1 α n+1 α n α n 1 α 2 α 1 α 2 α 1 α 2 α 1 a b c α n+1 α n+1 α n+1 d c e c f c Figur 2.1: Tilstander med n, n+1 og n-1 partikler i partikkelrepresentasjon (a, b,c) og i partikkel-hull representasjon (d,e,f) der n-partikkeltilstanden er den nye vakumtilstanden. 18

Tilstandene (1b) og (1c) kan da skrives sm α 1 α 2... α n 1 α n α n+1 = ( 1) n a α n+1 c ( 1) n α n+1 c (2-48b) α 1 α 2...α n 1 = ( 1) n 1 a αn c ( 1) n 1 α n 1 c (2-48c) Tilstanden (1b) har en partikkel i tillegg til den nye vakuum tilstanden c og beskrives derfor som en en-partikkel tilstand i denne representasjonen. Tilstanden (1c) mangler en partikkel i forhold til c og sies derfor å ha et hull i c. Denne tilstanden kalles følgelig en hulltilstand. Den nye representasjonen kalles gjerne for en partikkel-hull representasjon og referansetilstanden c for et partikkel-hull vakuum. En skjematisk framstilling av de tre tilstandene i den nye representasjonen er vist i figur 2.1 (1a), (1b) og (1c). Valget av ny referansetilstand c er selvsagt vilkårlig. Men dersom den nye representasjonen skal være hensiktsmessig, bør c svare til en fysisk relativt stabil konfigurasjon. Den omtalte transformasjonen til partikkel-hull representasjon er det enkleste eksempelet på en såkallt kvasipartikkel transformasjon. Når det sanne partikkelvakuum 0 erstattes med et partikkel-hull vakuum c, er det klart at også kreasjonsog destruksjonsoperatorene for de opprinnelige partikler må erstattes med kreasjonsog destruksjons operatorer får såkallte kvasipartikler, dersom den utledede algebra for disse operatorene fortsatt skal være gyldig. Nødvendigheten av dette følger umiddelbart fra (2-48c), som viser at vi kan ha a α c 0 (2-49) nemlig når α er inneholdt i c, i strid med (2-13) som krever a α 0 = 0 (2-13b) for alle α. Innføringen av ny vakuumtilstand krever derfor at vi også transformerer kreasjonsog destruksjonsoperatorene. Vi skal kalle de nye operatorene for b og b. disse må tilfredstille følgende relasjoner: b α c = 0 (2-50a) {b α, b β } = {b α, b β } = 0 (2-50b) {b α, b β } = δ αβ (2-50c) Vi antar videre at den nye vakuumtilstanden er normert til 1 c c = 1 (2-51) Vi kan slutte oss til de nye kreasjonsoperatorene b fra (2-48), idet både tilstandene b og c oppfattes som en-kvasi partikkel tilstander. V definerer derfor operatoren b α, som skaper en kvasipartikkel i tilstanden α, ved b α c = { a α c = α, α > α F a α c = α 1, α α F (2-52) 19

der α F er den siste en-partikkel tilstand ( det såkallte fermi- nivå) som er besatt i vakuumtilstanden c. I (2-48) er Ferminivået α n. I (2-52) er indeksen c på ketvektorene sløyfet,da det fremgår klart at referansetilstanden er c. Det følger av (2-52) at kvasipartiklene er virkelige partikler for α > α F og hull for α α F. Destruksjons operatoren b α, som fjerner en kvasipartikkel i tilstanden α, finnes ved å ta den hermitisk konjugerte av b α : b α = (b α ) (2-53) Vi har da for kvasipartikkel operatorene svarende til vakuumtilstanden c med Ferminivå α F : b α = { a α α > α F a α α α F b α = { aα α > α F a α α α F (2-54) Virkningen av destruksjonsoperatoren b α er å fjerne en virkelig partikkel for α > α F og å fylle et hull ved å skape en partikkel for α α F. På grunnlag av (2-54) er det nå lett å vise at operatorene b og b tilfredstiller (2-50). b α c = a α c = 0 (2-55a) ifølge (2-13). For α α F har vi b α c = a α c = 0 (2-55b) ifølge (2-4a). Altså følger (2-50a). I (2-50b) og (2-50b) kan antikommutatorene for b og b etter innsetning fra (2-54) uttrykkes ved de tilsvarende anti kommutatorer for s og a. Anvendelse av (2-5), (2-7) og (2-20) gir da straks (2-50). Vi kan nå ved hjelp av kreasjonsoperatorene b for kvasi partikler (partikkel og hull) konstruere mange-kvasipartikkel tilstander (partikkel, partikkel-hull og hull-tilstander) på helt tilsvarende måte som vi ovenfor konstruerte mangepartikkel tilstander i forhold til den sanne vakuumtilstand ved hjelp av operatorene a. En generell partikkel-hull tilstand kan da skrives som β 1 β 2... β np γ1 1 2... γn 1 h b β 1 b β 2... b β np γ 1 b γ 2...b γ nh }{{}}{{} c (2-56) α F >α F b Det gjenstår å formulere de øvrige operatorer av interesse i den nye representasjonen. Vi tar da utgangspunkt i uttrykkene for disse operatorene i den opprinnelige partikkelrepresentasjonen og innfører de nye kreasjonsog destruksjonsoperatorene b og b ved hjelp av (2-54). For antallsoperatoren (2-22) har vi N = a αa α = a αa α + a αa α α α>α F α α F = b αb α + b α b α α>α F α α F (2-57a) 20

der vi har brukt (2-54). I siste ledd på høyre side anvendes anti kommutasjonsreglene (2-50), slik at vi får N = b α b ( ) α 1 b α b α α>α F α α F = b α b α + n c b α b α (2-57b) α>α F α α F der n c er antall partikler i vakuumtilstanden c. La oss undersøke virkningen av N på partikkel-hull tilstanden (2-56). Vi har ( ) b α b α b β 1 b β 2... b β np γ 1 b γ 2...b γ nh c α>α F }{{}}{{} Totalt får vi b αb α α α F >α F b α F = n p β 1 β 2... β np γ1 1 γ 1 2... γn 1 h b β 1 b β 2... b β np γ 1 b γ 2...b γ nh c }{{}}{{} >α F b α F = n h β 1 β 2...β np γ1 1 γ 1 2...γn 1 h (2-58a) (2-58b) N β 1 β 2... β np γ1 1 γ 1 2... γn 1 h = (n p + n c n h ) β 1 β 2... β np γ1 1 γ 1 2... γn 1 h (2-59) Her er n = n p +n c n h det totale antall partikler i partikkel-hull tilstanden (2-56), i samsvar med den fysikalske betydning av antallsoperatoren. Legg merke til at N er antallsoperatoren for virkelige partikler. Den må ikke forveklses med antallsoperatoren for kvasipartikler, som er gitt ved N kp = α b α b α (2-60) Lar vi N kp virke på partikkel-hull tilstanden (2-56), får vi N kp β 1 β 2...β np γ1 1 γ 1 2...γn 1 h = (n p + n h ) β 1 β 2...β np γ1 1 γ 1 2...γn 1 h (2-61) Her er selvsagt n kp = n p + n h det totale antall kvasipartikler. La oss dernest utrykke en-partikkel operatoren (2-30b) i partikkel-hull representasjonen. Her får vi fire typer bidrag til summasjonen over α og β: = + + + (2-62) α,β α,β>α F α,β α α > α F α α F F β α F β > α F 21

Insetning i (2-54) og (2-30b) gir da F = α,β α f β a αa β = α f β b α b β + α f β b α b β α,β>α F α > α F β α F + α f β b α b β + α α F β > α F α,β α F α f β b α b β (2-63a) Dersom vi bytter om summasjonsindeksene α og β i tredje og fjerde ledd ag anvender antikommutasjonsreglene (2-50) i fjerde ledd, får vi F = α f β b α b ] β + [ α f β b α b β + β f α b βb α α,β>α F α > α F β α F + α f α β f α b αb β (2-63b) α α F α,β α F Her representerer tredje ledd bidraget fra vakuumtilstanden c. Første ledd gir bidrag bare for partikkeltilstander, mens siste ledd gir bidrag bare for hull-tilstander. Begge disse ledd bevarer antall kvasi partikler. Operatorens annet ledd kan imidlertid skape eller fjerne to kvasipartikler (dvs. et partikkelhull par). Men også dette leddet bevarer selvsagt antallet virkelige partikler, i samsvar med forutsetningene. Den fysikalske betydning av de enkelte leddene i (2-63b) vil komme klarere fram når vi siden innfører diagrammatisk representasjon av matriseelementene. Endelig skal vi transformere to-partikkel operatoren (2-39) til partikkelhull representasjonen. Fremgangsmåten er den samme som for en-partikkel operatorer. Vi setter inn for a og a fra (2-54) og forenkler utrykkene om nødvendig ved hjelp av enkel operator algebra. For to-partikkel operatorer får vi imidlertid relativt kompliserte uttrykk siden vi summerer over fire tilstandsindekser. Vi får faktisk hele 16 forskjellige bidrag til summasjonen over α, β, γ og δ, nemlig 1 bidrag for alle 4 indekser > α F 4 bidrag for 2 indekser > α F og 1 indeks α F 6 bidrag for 2 indekser > α F og 2 indekser α F 4 bidrag for 1 indekser > α F og 3 indekser α F 1 bidrag for alle 4 indekser α F (2-64) Det er hensiktsmessig å ordne de forskjellige bidragene til en to-partikkel operator G i de fem gruppene som beskrevet i (2-64). Vi skriver derfor G som en sum av fem bidrag: G = G 1 + G 2 + G 3 + G 4 + G 5 (2-65) 22

Her er G 1 triviell, siden alle kvasipartiklene svarer til virklige partikler, og vi har bare ett ledd: G 1 = 1 αβ g γδ b 2 αb β b δb γ (2-66) α,β,γ,δ>α F Utrykket for G 2 er mer komplisert og består av fire ledd: G 2 = 1 2 αβ g γδ b αb β b δ b γ + 1 2 + 1 2 + 1 2 α, β, γ > α F δ α F αβ g γδ b α b β b δb γ α, β, δ > α F γ α F αβ g γδ b α b βb δ b γ α, γ, δ > α F β α F αβ g γδ b α b β b δb γ = 1 2 β, γ, δ > α F α α F [ αβ g γδ b αb β b δ b γ + αβ g δγ b αb β b γb δ α, β, γ > α F δ α F + αδ g γβ b αb δ b β b γ + δβ g γα b δ b β b αb γ ] (2-67a) I de tre siste ledd på høyre side av siste likning har vi byttet om summasjonsineksene for å få δ α F. ved hjelp av kommutatoralgebra samler vi alle kreasjonsoperatorene til venstre for destruksjonsoperatorene. Vi får G 2 = 1 2 α, β, γ > α F δ α F [ ( αβ g γδ ) αβ g δγ b αb β b δ b γ + ( αδ g γβ δα g γβ ) ] b α b δb β b γ (2-67b) der vi i siste ledd har byttet om summasjonsindeksene α og β. Denne komponenten av G bevarer ikke antallet kvasipartikler, men skaper eller fjerner to kvasipartikler (et partikkel-hull par) i nærvær av en partikkel. 23

Utrykket for G 3 består av hele seks ledd: G 3 = 1 2 αβ g γδ b α b β b δ b γ + 1 2 + 1 2 α, β > α F γδ α F αβ g γδ b α b βb δ b γ α, γ > α F βδ α F αβ g γδ b α b βb δ b γ + 1 2 α, δ > α F βγ α F αβ g γδ b α b β b δ b γ + 1 2 β, γ > α F α, δ α F αβ g γδ b α b β b δb γ + 1 2 = 1 2 β, δ > α F α, γ α F γ, δ > α F α, β α F αβ g γδ b α b β b δ b γ [ αβ g γδ b αb β b δ b γ + αγ g βδ b αb γ b δ b β + α, β > α F γδ α F αδ g γβ b α b δb β b γ + γβ g αδ b γb β b δ b α + δβ g γα b δ b β b αb γ + γδ g αβ b γb δ b β b α ] (2-68a) I siste likning har vi byttet om summasjonsindekser for alltid å ha γ, δ α F. Ved hjelp av kommutator algebra finner vi så G 3 = 1 [ αβ g γδ b 2 αb β b δ b γ α, β > α F γδ α F + ( αγ g βδ αγ g δβ )( b α b δ b βb γ + δ γδ b α b ) β + ( γβ g αδ γβ g δα )( b β b δ b γb α δ γδ b β b ) α ] + γδ g αβ b α b β b δ b γ (2-68b) Dette forutsetter ombytting av summasjonsindeksene γ og δ i tredje og femte ledd på høyre side av (2-68a). Hvis vi nå i tredje linje av (2-68b) bytter om 24

summasjonsindeksene α og β og anvender (2-37), får vi endelig G 3 = 1 [ αβ g γδ b αb ] β 2 b δ b γ + γδ g αβ b α b β b δ b γ α, β > α F γδ α F [ ] + αγ g βδ αγ g δβ b α b δ b βb γ + α, β > α F γδ α F α, β > α F γ α F [ ] + αγ g βγ αγ g γβ b α b β (2-68c) Her vil de to leddene i den første summen henholdsvis skape og fjerne to partikkel-hull par. Den andre summen bevarer antall kvasipartikler og representerer vekselvirkningen mellom en partikkel og et hull. Den siste summen bevarer også antall kvasipartikler og representerer vekselvirkningen mellom en partikkel utenfor vakuumtilstanden og partiklene i vakuumtilstanden. Vi studerer dernest G 4 som har fire komponenter: G 4 = 1 2 αβ g γδ b αb β b δ b γ + 1 2 α > α F β, γ, δ α F αβ g γδ b α b β b δ b γ + 1 2 + 1 2 β > α F α, γ, δ α F γ > α F α, β, δ α F αβ g γδ b α b β b δ b γ αβ g γδ b α b β b δ b γ = 1 2 δ > α F α, β, γ α F [ αβ g γδ b α b βb δ b γ + βα g γδ b βb α b δ b γ α > α F β, γ, δ α F + γβ g αδ b γ b β b δ b α + δβ g γα b δ b β b α b γ ] (2-69a) I de tre siste leddene på høyre side har vi byttet om summasjonsindekser for å 25

få α > α F. Ved hjelp av kommutatoralgebra finner vi så G 4 = 1 2 α > α F β, γ, δ α F [ ( αβ g γδ )( βα g γδ b αb δ b γb β + δ βδ b αb γ δ βγ b αb ) δ + ( γβ g αδ γβ g δα )( b δ b γb β b α + δ βδ b γ b α δ γδ b β b α ) ] (2-69b) Dette forutsetter ombytting av summasjonsindeksene γ og δ i fjerde ledd på høyre side av (2-69a). Summerer vi nå bort Kroenecker-deltaene, får vi G 4 = 1 2 α > α F β, γ, δ α F [ ( αβ g γδ ) βα g γδ b αb δ b γb β + ( γβ g αδ γβ g δα ) ] b δ b γb β b α + 1 2 α > α F β, γ α F [ ( αβ g γβ βα g γβ ) b αb γ ( αβ g βγ βα g βγ ) b αb γ + ( γβ g αβ γβ g βα ) b γ b α ( βγ g αβ βγ g βα b γ b α ] (2-69c) Her har vi byttet om summasjonsindeksene γ og δ i fjerde linje og β og γ i sjette linje. Anvender vi så (2-37) på matriseelementene i den andre hakeparantesen, får vi endelig G 4 = 1 2 α > α F β, γ, δ α F [ ( αβ g γδ ) βα g γδ b αb δ b γb β + ( γβ g αδ γβ g δα ) ] b δ b γb β b α + 1 2 α > α F β, γ α F [ ( αβ g γβ αβ g βγ ) b αb γ + ( γβ g αβ γβ g βα ) b γ b α ] (2-69d) Denne komponenten av G endrer antallet kvasipartikler med to. De to leddene i den første hakeparantesen henholdsvis skaper og fjerner et partikkel-hull par i nærvær av er hull, mens de to leddene i den andre hakeparantesen henholdsvis skaper og fjerner et partikkel-hull par i nærvær av partiklerne i vakuumtilstanden. 26

Den siste komponenten G 5 består av ett eneste ledd G 5 = 1 αβ g γδ b α b β b δ 2 b γ α,β,γ,δ α F (2-70a) Vi får imidlertid en rekke forskjellige ledd når vi kommuterer kreasjons operatorene over til venstre for destruksjonsoperatorene. Ved hjelp av enkel kommutatoralgebra finner vi b α b β b δ b γ = δ βδb α b γ b αb δ b βb γ = δ βδ δ αγ δ βδ b γ b α (δ αδ b δ b α)(δ βγ b γ b β) Innsetning i (2-70a) gir = δ βδ δ αγ δ αδ δ βγ δ βδ b γb α + δ αδ b γb β + δ βγ b δ b α δ αγ b δ b β + b δ b γ b αb β G 5 = 1 αβ g γδ b δ 2 b γ b αb β α,β,γ,δ α F + [ ] αβ g γα b γ b β αβ g γβ b γ b α α,β,γ α F + α,β,δ α F + [ ] αβ g βδ b δ b α αβ g αδ b δ b β [ ] αβ g αβ αβ g βα (2-70b) (2-70c) α,β α F Dette uttrykket kan forenkles ytterligere dersom vi foretar enkelte ombyttinger av summasjonsindekser i annen og tredje linje. I første ledd i annen linje bytter vi om α og β. I annen linje kaller vi summasjonsindeksen δ for γ og bytter om α og β i siste ledd. Bytter vi dessuten om α og δ i første linje og dessuten β og γ og anvender (2-37) får vi endelig G 5 = 1 γδ g αβ b α 2 b β b δb γ α,β,γ,δ α F [ ] αβ g γβ βα g γβ b γb α α,β,γ α F + α,β α F [ ] αβ g αβ αβ g βα (2-70d) Her bevarer alle ledd antall kvasipartikler. Første ledd reprensenterer vekselvirkning mellom to hull, mens annet ledd representerer veksel virkningen mellom et hull og partiklene i vakuumtilstanden. Endelig er siste ledd summen av alle to-partikkel vekselvirkninger mellom partiklene i vakuumtilstanden. Vi skal senere innføre diagrammatisk representasjon av matriseelementene i G: Det vil da bli lettere å anskueliggjøre den fysikalske betydningen av de forskjellge bidragene til G. 27

2.4 Beregning av matriseelementer og Wicks teorem Enhver behandling av det ikke-relativistiske kvantemekaniske mange- partikkel problem medfører beregning av matriseelementer av operatorer mellom tilstandsvektorer. I annenkvantisering betyr dette at en må beregne vakuumforentningsverdien av produkter av kreasjonsog destruksjonsoperatorer. Et eksempel ble gitt i (2-40) - (2-43), der vi beregnet et enkelt to-partikkel matriseelement i partikkelrepresentasjonen. Fremgangsmåten var V.H.A antikommutasjons reglene å flytte alle destruksjonsoperatorer til høyre for kreasjons operatorene der de ifølge (2-13b) ga null når de virket på vakuum ketvektoren. Selv i det enkle eksempelet i (2-40) med fire kreasjonsoperatorer og fire destruksjonsoperatorer ble imidlertid relativt komplisert. I andre representasjoner, som f.eks partikkel-hull representasjonen, kan selve operatorene bli ganske kompliserte, slik vi allerede har sett. Hvis dessuten tilstandene inneholder mange partikler og hull, kan beregningene bli nokså arbeidskrevende, selv om de i prinsippet er enkle. Det er derfor behov for en lettvint og systematisk metode til å beregne vakuum-forventningsverdien av et produkt av kreasjonsog destruksjonsoperatorer. En slik metode har vi i Wicks teorem, som vi her skal bevise i dets tidsuavhengige form. Vi trenger da først å definere to grunnleggende begreper som inngår i Wicks teorem, nemlig normalprodukt og kontraksjoner av operatorer. Gitt et produkt XY Z... W av kreasjonsog destruksjonsoperatorer, defineres normalproduktet N(XY Z...W) som det produkt der alle kreasjonsoperatorene er plassert til høyre for destruksjonsoperatorene, multiplisert med +1 eller 1 avhengig av om det kreves et like eller ulike antall ombytninger P for å realisere denne ordningen. Skjematisk skriver vi 2-71 Ordningen av kreasjonsoperatorene innbyrdes og av destruksjonsoperatorene innbyrdes er uten betydning på grunn av antikommutasjonsreglene (2-5) og (2-7), men det kan være greit å benytte den opprinnelige ordningen. For eksempel har vi 2-72 Bytter vi om f.eks a 4 og a 6 på høyre side, får vi en faktor 1, svarende til at normalproduktet da skal ha fasen ( 1) 6. Normalproduktet har den viktige egenskap at dets vakuum-forventningsverdi er lik null: 2-73 siden a α 0 = 0 og 0 a α = 0 i følge (2-13b). Når vi skal beregne vakuum-forventningsverdien av et produkt av kreasjonsog destruksjonsoperatorer, vil vi derfor søke å skrive dette ved hjelp av normalprodukt. Et enkelt eksempel kan belyse fremgangsmåten. Produktet a 1 a 2 a 3 kan skrives som en sum av normalprodukt V.H.A vanlig operator algebra: 2-74a Hittil har vi bare brukt den tradisjonelle fremgangsmåten som vi søker et alternativ til. Nå merker vi at alle leddene på høyre side av (??) er på normalproduktform. Men bare det siste leddet har alle tre operatorene inntakt. I begge de to første leddene er to operatorer eliminert på grunn av antikummutasjonen. Vi sier at de to operatorene er kontraktert og oppfatter derfor de to første leddene i (??) som normalprodukt med kontrakterte operatorer. Vi skal skrive (??) som 2-74b der vi har forbundet de kontrakterte operatorene med linjer. En kontraksjon av to vilkårlige operatorer X og Y er definert som vakuum- forventningsverdien av produktet XY : 2-75 Vi har da 2-76 som viser at Kroenecker-deltaene i (??) kan oppfattes som 28

kontraksjoner. Først utføres de permutasjoner som er nødvendige for å bringe de kontrakterte operatorer ved siden av hverandre, dernest tas normalproduktet av de resterende operatorer. For begge operasjoner inkluderes fasene av de respektive permutasjoner. For eksempel har vi 2-77 Fortegnet skyldes her ombyttingen av a 1 og a 2 for å bringe a 1 over til a 3. Den gjenværende operator a 2 er allerede på normalproduktform. Dermed har vi også gjort rede for fortegnene på høyre side av (??). I tillegg til kontraksjonen a α a β = δ αβ har vi tre andre typer kontraksjoner, nemlig 2-78 Derfor kan vi uten videre generalisere (??) slik at vi på høyre side inkluderer alle mulige normalprodukt med og uten kontraksjoner. Dette er nettopp Wicks teorem for tidsuavhengige operatorer. I følge dette kan et produkt av n operatorer XY Z... W skrives som 2-79 Her betyr summen (m) over alle ledd med m kontraksjoner, mens [ ] n 2 er det største heltall som ikke overstiger n/2. Teoremet (??) vises ved induksjon. Antar vi at det gjelder for n (vi vet allerede at det gjeldet for n 3), må vi vise at det også gjelder for n+1. For å vise dette, trenger vi følgende lemma 2-80 der summen på høyre side inkluderer alle kontraksjoner mellom Ω og en av de øvrige operatorer X, Y, Z,...,W For å vise lemmaet, merker vi følgende 1. Lemmaet gjelder uten videre når Ω er en destruksjonsoperator, siden N(XY Z... W)Ω da allerede er på normalprodukts form og alle kontraksjoner a a og aa er null. Derfor trenger vi bare å vise lemmaet for det tilfelle at Ω er en kreasjonsoperator. 2. Vi kan anta at sekvensen av operatorer X, Y, Z,...,W i (??) allerede fra begynnelsen av er ordnet som i et normal produkt. Hvis den ikke var det, ville en omordning til normalprodukts rekkefølge introdusere samme fase i alle ledd i (??). 3. Hvis Ω er en kreasjonsoperator, trenger vi bare vise lemmaet for det tilfelle at alle X, Y, Z,..., W er destruksjonsoperatorer, siden alle kontraksjoner a a er null 4. For tillfelle (3) antikommuterer vi Ω forbi alle X, Y, Z,...,W og får første ledd på høyre side av (??). Alle antikommutatorene som derved produseres, gir derved det andre leddet på høyre side av (??). Vi er nå klar til å bevise Wicks teorem (??) ved induksjon. Antar vi at (??) gjelder for produktet XY Z... W av n operatorer, skal vi vise at det også gjelder for produktet XY Z...WΩ av n+1 operatorer. Vi mutipliserer derfor (??) fra høyre med Ω: 2-81 Vi anvender lemma (??) på høyre side av (??) og får 2-82 der og er summene over alle ledd med m kontraksjoner som henholdsvis (m)ω (m) Ω inkluderer og ekskluderer Ω. Siden + =, er (??) Wicks teorem (m)ω (m) Ω (m) for et produkt av n+1 operatorer. Dermed er Wicks teorem (??) bevist. 29

Anvendelsen av Wicks teorem på beregning av matriseelementer av operatorer er nå åpenbar. Som tidligere påpekt får en å beregne vakuum- forventningsverdien av produkter av kreasjonsog destruksjonsoperatorer. Ifølge Wicks teorem kan disse nå skrives som en sum av alle mulige normal produkter med og uten kontraksjoner. Siden vakuum-forventningsverdien av et normalprodukt med ikke-kontrakterte operatorer er null, kan vi bare få bidrag fra de normalprodukter der alle operatorene er kontraktert, og vi har 2-83 Vakuumforventningsverdien av et produkt av kreasjonsog destruksjons operatorer er altså lik summen av alle fullstendig kontrakterte produkter av de samme operatorer. Som påpekt tidligere får vi imidlertid bare bidrag fra kontraksjoner av typen a α a α. Wicks teorem for produlter av kvasipartikkel operatorer b, b som er definert relativt en vakuum-tilstand c (f.eks et partikkel- hull vakuum) er selvsagt identisk med (??), forutsatt at kontraksjonene også er definert i forhold til c. Den eneste kontraskjonen som er forskjellig fra null, er da 2-84 Dessuten gjelder (??) fortsatt, dersom 0 erstattes med c. Som et eksempel på anvendelsen av Wicks teorem skal vi beregne om igjen det enkle to-partikkel matriseelementet som ble beregnet ved hjelp av vanlig kommutator algebra i (2-40) - (2-43). Anvendelse av (??) på høyre side av (2-40) gir 2-85 der vi i siste trinn brukte (2-37). Resultatet (??) er selvsagt det samme som i (2-43a), men det er neppe tvil om at Wicks teorem er en mer lettvint. systematisk og sikker metode enn konvensjonell kommutatoralgebra. Spesielt blir Wicks teorem uunværlig for systemer av mange partikler. Det er også lett å bestemme fortegnet på de enkelte ledd i (??). Når kontraksjonslinjene tilsammen skjærer hverandre et like elle ulike antall ganger, skal produktet av kontraksjoner multipliseres med henholdsvis +1 og -1. Det er trivielt å verifisere denne regelen for eksempelet (??). Beregning av matriseelementer i kvasipartikkel-representasjoner som f.eks partikkel-hull representasjoner kan være nokså brysomt, fordi operatorene F og G består av mange ledd, som vist i avsnitt??. Det kan derfor i mange tilfelle være mer hensiktsmessig å uttrykke både tilstandene og operatorene ved hjelp av de opprinnelige kreasjonsog destruksjonsoperatorer a og a for partikler, men da må kontraksjonene av disse defineres i forhold til kvasipartikkelvakuumet c. Vi har da 2-86 De øvrige kontraksjoner er alle lik null. 30