OPPGAVE I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x 7 74 546 y 48 6 45 a) Plott Y ln y mot X ln x i et rettvinklet koordinatsystem. ) Finn en lineær sammenheng mellom X og Y ved hjelp av plottet i a): Y ax + : Tegn linjen Y ax + i XY -koordinatsystemet. c) Finn, ved hjelp av den lineære sammenhengen du fant i deloppgave ), en funksjonssammenheng mellom x og y på formen y Cx r : OPPGAVE I trekanten ABC er sidelengdene a BC 7; AC 5; c AB 4: Finn vinkelen A (målt i grader og radianer). Hint: ruk cosinussetningen. 3 OPPGAVE Bestem grenseverdien ln (x + ) lim x! x x : Hint: ruk L Hôpitals regel ( ere ganger om nødvendig).
4 OPPGAVE Et stort vannreservoar samler smeltevannet for å unngå oversvømmelse. Vannet strømmer inn med konstant hastighet (målt i liter pr én time), og strømmer ut med en hastighet av proporsjonal til volumet V (t) (målt i liter) av vannet i reservoaret ved tidspunktet t (målt i timer). Volumet V (t) av vannet i reservoaret tilfredsstiller derfor di ikningen V (t) av (t) + : a) Vis at funksjonen V (t) Ce at + a der C er en vilkårlig konstant, tilfredsstiller di ikningen ovenfor. ) La a :95, 7, og anta at reservoaret er tomt ved tidspunktet t. Finn formelen for V (t) (dvs. nn konstanten C fra deloppgave a)). c) På hvilket tidspunkt t vil volumet V (t) overstige 8 liter? 5 OPPGAVE Gitt funksjonen f (x) 3x + 3x + x + : a) Finn det uestemte integralet Z f (x) dx: Hint: ruk sustitusjonen u 3x + x +. ) Bruk resultatet fra deloppgave a) for å nne arealet mellom kurven y f (x), x-aksen, y-aksen, og den vertikale linjen x.
6 OPPGAVE Funksjonen f (x; y) er de nert ved f (x; y) x 3 + x 3x + xy + y : a) Beregn førsteordens partielle deriverter f x og f y samt gradienten rf. Finn de stasjonære punktene til f. Hint: Bruk ligningen fra f y til å uttrykke y fra x. Sett deretter dette inn i ligningen f x og nn x og y. Merknad. Jeg ruker notasjoner som i Kompendium. I læreoken etegnes de partielle derivertene annerledes: f x @f @x ; f y @f @y : ) Beregn andreordens partielle deriverter f xx, f yy, og f xy. Bestem om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller sadelpunkt. Merknad. Jeg ruker notasjoner som i Kompendium. I læreoken etegnes de partielle derivertene annerledes: f xx @ f @x ; f yy @ f @y ; f xy @ f @x@y : LYKKE TIL! 3
7 Løsningsforslag 7. OPPGAVE I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x 7 74 546 y 48 6 45 a) La oss eregne logaritmene: X : 4849 3: 95 8 4: 34 5: 98 3 6: 3 6 Y 7: 998 6: 3986 4: 75 3: 867 : 3979 og plotte resultatene i et XY -koordinatsystem: 8 7 6 Y5 4 3 3 4 5 6 7 X ) Den grønne linjen Y ax + : 86 44 4x + : 5 78 passer est dataene du har plottet. Koe sientene a og nner man ved å ruke funksjonen LinReg på kalkulatoren. c) Siden e e : 5 78 t 3635: 966 79; 4
er y e Y e a ln x+ e x a t 3636 x : 86 4 : Merknad. Det er rent tilfeldig at den rette linjen går gjennom det første og det siste punktet. Det kunne vært annerledes, for eksempel: 8 7 6 Y5 4 3 3 4 5 6 7 X I dette tilfelle velger vi to låe punkter som ligger på linjen (ikke punkter fra taellen!) og eregner likningen Y ax + til den rette linjen. Punktene er (: 3; 7: 44) og (6: 5; : 4). Derfor er stigningstallet a : 4 7: 44 6: 5 : 3 Sett punktet (: 3; 7: 44) i likningen Y ax + : : og få Endelig: Y ax 7: 44 ( : ) (: 3) : : y e Y e : ln x+: e : x : 693 x : : 5
7. OPPGAVE a BC 7; AC 5; c AB 4: A cos + c a c (radianer) eller 5 cos + 4 7 : 77 54 48 5 4 (grader). : 77 54 48 8 : 536 959 7.3 OPPGAVE ln (x + ) lim x! x x lim x! lim x! (x+) x+ x : 7.4 OPPGAVE V (t) av (t) + : a) Vis at funksjonen V (t) Ce at + a der C er en vilkårlig konstant, tilfredsstiller di ikningen. V (t) Cae at ; av (t) + a Ce at + + ace at + Cae at ; a ) V (t) av (t) + : 6
) a :95, 7, V (). V (t) Ce at + a ; C + a ; C a 7 :95 t :564 8 ; V (t) :564 8 :564 8 e :95t : c) På hvilket tidspunkt t vil volumet V (t) overstige 8 liter? (timer). a e at + 8 V ; a a e at V a ; e at t av + ; ln a av ln :95 8 7 :95 t 8: 97 33 53 7.5 OPPGAVE a) Z f (x) dx f (x) 3x + 3x + x + : u 3x + x + ; du (6x + ) dx; dx 6x + du (3x + ) du; Z 3x + u (3x + ) du Z u du ln juj + C ln 3x + x + + C: ) Bruk resultatet fra deloppgave a) for å nne arealet mellom kurven y f (x), x-aksen, y-aksen, og den vertikale linjen x. Funksjonsverdien f (x) er positiv for x (se grafen nedenfor), 7
y.5.75.5.5.5.5.75 x derfor er arealet lik Z 3x + 3x + x + dx ln 3x + x + ln 6 t :895 879 734 6: 7.6 OPPGAVE f (x; y) x 3 + x 3x + xy + y : a) De førsteordens partielle deriverte er: f x @ @x x3 + x 3x + xy + y 3x 3 + x + y; f y @ @y x3 + x 3x + xy + y x + y: Gradienten er lik rf [f x ; f y ] 3x 3 + x + y; x + y : 8
Hvis (x; y) er et stasjonært punkt, er f y x + y ; og Setter dette i likningen f x : y x: 3x 3 + x + ( x) ; 3x 3 ; x ; y : Det er to stasjonære punkter: (; ) ; ( ; ) : ) f xx @ @ @x @x x3 + x 3x + xy + y 6x + ; f yy @ @ @y @y x3 + x 3x + xy + y : f xy @ @ @x @y x3 + x 3x + xy + y ; f xx f yy (f xy ) (6x + ) x: I punktet ( ; ) er <, derfor er punktet et sadelpunkt. I punktet (; ) er >, og f xx (; ) 8 >, derfor er punktet et minimumspunkt. 9