HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510 BJØRN JAHREN Euklids Elementer introduserte den aksiomatiske metode i geometrien, og i mer enn 2000 år var den omtrent enerådende som lærebok i geometri. Men den revolusjonen som skjedde på 1800-tallet både i geometrien og i forståelsen av aksiomatisk metode og logikk ble det etterhvert klart at Euklids fremstilling var mangelfull. Den som i første rekke ryddet opp i dette var den store tyske matematikeren David Hilbert, som publiserte et nytt aksiomsystem i boken Grundlagen der Geometrie i 1898. Vi skal her gi en kortfattet gjennomgang av Hilberts aksiomer med noen eksempler og kommentarer, men uten beviser. For flere detaljer henvises f. eks. til bøkene Euclidean and non-euclidean geometies av M. J. Greenberg og Geometry: Euclid and beyond av R. Hartshorne. Hilbert behandler også romgeometrien, men vi skal konsentrere oss om geometri i planet. Planet er da en mengde S hvor elementene kalles punkter. De geometriske figurene vi vil studere er bygd opp ved hjelp av linjer og sirkler. Linjene vil vi postulere, mens sirklene blir definert ved hjelp av de andre begrepene. Den fundamentale relasjonen er insidensrelasjonen P l som kan gjelde eller ikke gjelde mellom et punkt P og en linje l. Men i tillegg innfører vi to nye relasjoner: mellomhet, som gjør det mulig å snakke om de punktene som ligger mellom to gitte punkter, og kongruens, som vi trenger for å sammenligne konfigurasjoner forskjellige steder i planet. Egenskapene til disse relasjonene formulerer Hilbert i tre grupper av aksiomer: insidensaksiomer, mellomhetsaksiomer og kongruensaksiomer. I tillegg trenger vi et kontinuitetsaksiom for å sikre at linjene har nok punkter, og naturligvis Euklids parallellitetsaksiom. Tilsammen karakteriserer disse aksiomene de delmengdene av S som skal kalles linjer, og dermed hvilke geometriske figurer som kan forekomme i geometrien. Hilbert viste at disse aksiomene karakteriserer Euklidsk plangeometri fullstendig, og dessuten at aksiomene er uavhengige av hverandre, i den forstand at for hvert aksiom finnes en modell som tilfredsstiller alle de andre men ikke detruth Allewelt Assistant to Dr. Peters Mathematics Editorial IV Phone: 06221 487 8409 Springer Fax: 06221 487 8355 Tiergartenstr. 17 69121 Heidelberg Germany te. Vi begynner med insidensaksiomene: I1: For alle par av distinkte punkter A og B fins en entydig bestemt linje l som inneholder A og B. I2: Hver linje har minst to punkter. I3: Det fins minst tre punkter som ikke ligger på samme linje. Vi lar AB være den entydig bestemte linjen gjennom A og B. Allerede disse aksiomene gir opphav til mye interessant geometri, såkalt insidensgeometri. Det euklidske planet R 2, der linjene er løsningsmengdene 1
2 BJØRN JAHREN til lineære ligninger ax + by = c, er et opplagt eksempel, og også de delmengdene vi får om vi f. eks. restrikterer til det tilfellet at a, b, c, x og y er rasjonale tall (Q 2 ) eller hele tall (Z 2 ). Sfærisk geometri (der S er en kuleflate og linjene er storsirkler) er derimot ikke et eksempel, siden et par av antipodale punkter ligger på uendelig mange storsirkler, og derfor er ikke entydigheten i I1 tilfredsstilt. Dette problemet kan vi løse ved å identifisere alle par av antipodale punkter på sfæren. Da får vi en insidensgeometri som kalles det (reelle) projektive planet P 2. En måte å tenke på punktene i P 2 på er som rette linjer gjennom origo i R 3. Hvis kulen har sentrum i origo, så bestemmer en slik rett linje (og er bestemt av) et par av antipodale punkter på kulen, nemlig snittpunktene mellom kulen og linjen. En linje i P 2 kan vi da tenke på som et plan gjennom origo i R 3, siden et slikt plan skjærer kulen nettopp i en storsirkel. Legg merke til at med denne tolkningen blir insidensrelasjonen inklusjon av linjer i plan. Vi har også endelige insidensgeometrier den minste består av tre punkter der linjene er de tre delmengdene med to elementer. (Prøv å finne alle mulige insidensgeometrier med 4 og 5 punkter!) Den neste gruppen av aksiomer gjelder relasjonen B ligger mellom A og C, som i Euklidsk geometri kan være sann eller ikke sann for tre distinkte punkter A, B og C som ligger på en rett linje. Trepunktsgeometrien ovenfor viser også at det ikke er mulig å gi denne relasjonen noen fornuftig mening i enhver insidensgeometri, så vi trenger å postulere de egenskapene vi trenger. Vi vil her bruke notasjonen A B C for B ligger mellom A og C. Hilberts mellomhetsaksiomer er da: B1: Hvis A B C, så er A, B og C distinkte punkter på en linje, og vi har også C B A. B2: Gitt to distinkte punkter A og B, så fins et punkt C slik at A B C. B3: Hvis A, B og C er distinkte punkter på en linje, så gjelder en og bare en av relasjonene A B C, B C A og C A B. B4: Anta at A, B og C ikke ligger på samme linje og anta at l er en linje som ikke inneholder noen av dem. Hvis D l og A D B, så fins E på l slik at B E C eller F på l slik at A F C, men ikke begge deler. (Hvis vi tenker på A, B og C som hjørnene i en trekant, så sier B4 at hvis l er en linje som går gjennom en side i trekantene men ingen av hjørnene, så må den også gå gjennom nøyaktig en av de andre sidene. Dette aksiomet kalles ofte Pasch s aksiom.) I et standard Euklidsk plan (og i andre eksempler som vi skal studere senere) kan vi bruke avstandsbegrepet til å definere mellomhet. Vi lar da A B C bety at A, B og C er distinkte og d(a, C) = d(a, B) + d(b, C), der d(x, Y ) er avstanden mellom X og Y. (Sjekk at B1-4 da blir oppfylt!) På denne måten blir også Q 2 et eksempel, men ikke Z 2, siden B4 ikke blir oppfylt. (Finn et moteksempel!) Bemerk også at enhver åpen, konveks delmengde K av R 2 (f. eks. det indre av en sirkelskive) tilfredsstiller alle aksiomene så langt, hvis vi lar linjer være (ikke-tomme) snitt mellom linjer i R 2 og K, og mellomhet defineres som i R 2. (Dette eksemplet vi spille en viktig rolle senere.) Derimot kan
HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510 3 det projektive planet ikke gis noen naturlig slik relasjon. I den sfæriske modellen for P 2 er linjene storsirkler der antipodale punkter er identifisert med hverandre, og disse kan igjen på naturlig måte identifiseres med sirkler. Men hvis vi har tre punkter på en sirkel, er alle like mye mellom de to andre. Derfor kan ikke B3 være oppfylt. Mellomhetsrelasjonen kan brukes til å definere segmentet AB som punktmengden som består av A, B og alle punkter mellom A og B. På lignende måte kan vi definere strålen AB som mengden AB {C A B C}. Hvis A, B og C er tre punkter som ikke ligger på samme linje, så kan vi definere vinkelen BAC som paret bestående av de to strålene AB og AC Mellomhetsbegrepet gir oss også mulighet til å skille mellom de to sidene av en linje l. Vi sier at to punkter A og B er på samme side av l dersom AB l =. Det er ikke så vanskelig å vise ut fra aksiomene at dette er en ekvivalensrelasjon på komplementet til l, og at det er nøyaktig to ekvivalensklasser - de to sidene av l. På lignende vis sier vi at et punkt D er innenfor vinkelen BAC, dersom B og D er på samme side av AC og C og D er på samme side av AB. Dermed kan vi f. eks. skille mellom punkter innenfor og utenfor en trekant. Vi sier også at vinklene BAC og BAD er på samme (resp. motsatt) side av strålen AB, dersom C og D er på samme (resp. motsatt) side av linjen AB. Nå har vi bygd opp noe av geometriens begrepsapparat, men en viktig ingrediens mangler: vi kan ennå ikke sammenligne konfigurasjoner på forskjellige steder i planet. For å kunne gjøre dette introduserer vi begrepet kongruens. Intuitivt vil vi tenke på to konfigurasjoner som kongruente dersom alle deres bestanddeler er like store, eller at de kan flyttes over i hverandre ved en rigid bevegelse. Selvfølgelig har ingenting av dette mening ut fra de definisjonene vi har gitt så langt, så kongruens må være en ny struktur, en relasjon hvis egenskaper må bestemmes av ytterligere aksiomer. Siden de figurene vi er interessert i å studere består av segmenter og vinkler, må kongruensrelasjonen i utgangspunktet være definert for disse. Vi skriver AB = CD for segmentet AB er kongruent med segmentet CD, og tilsvarende for vinkler. Hilberts aksiomer for kongruens av segmenter er: C1: Gitt et segment AB og en stråle r fra C, så fins et entydig bestemt punkt D på r slik at CD = AB. C2: = er en ekvivalensrelasjon på mengden av segmenter. C3: Hvis A B C og A B C og vi har både AB = A B og BC = B C, så er også AC = A C. Hvis mellomhet er definert ved et avstandsbegrep (som i det Euklidske planet, se ovenfor), så kan vi definere AB = CD som d(a, B) = d(c, D). C2 og C3 er da automatisk oppfylt, mens C1 blir en sterkere versjon av B2. Selv uten et avstandsbegrep kan vi nå bruke kongruens til å sammenligne vilkårlige segmenter: vi sier at AB er mindre enn CD (AB < CD) dersom det fins E slik at C E D og AB = CE. Aksiomene for kongruens av vinkler er: C4: Gitt stråle AB og vinkel B A C, så fins vinkler BAE og BAF på motsatte sider av AB slik at BAE = BAF = B A C.
4 BJØRN JAHREN C5: = er en ekvivalensrelasjon på mengden av vinkler. C6: Gitt trekanter ABC og A B C. Hvis AB = A B, AC = A C og BAC = B A C, så er de to trekantene kongruente dvs. BC = B C, ABC = A B C og BCA = B C A. C4 og C5 er analoge til C1 og C2, men bemerk at C4 sier at vi kan avsette en vilkårlig vinkel på begge sider av en gitt stråle. C6 sier at en trekant er bestemt av to sider og deres mellomliggende vinkel. Dette utsagnet refereres ofte til som SAS (side-angle-side). Disse tre gruppene av aksiomer er de mest grunnleggende, og ut fra dem kan man f. eks. vise alle unntatt én av de første 27 proposisjonene i bok I av Euklids Elementer. Men en viktig ingrediens mangler: Euklid gjør etter hvert utstrakt bruk av sirkler, og for at argumentene skal være gyldige må vi vite noe om når sirkler skjærer hverandre, eller når de skjærer gitte linjer. ( Konstruksjon med passer og linjal.) La oss se litt nøyere på hva vi trenger (vi forutsetter at vi har en geometri som tilfredsstiller alle aksiomene så langt): Først definerer vi sirkelen med sentrum i O og radius AB som mengden {C S OC = AB}. En slik sirkel vil alltid ha punkter; f. eks følger det av C1 at enhver linje gjennom O vil skjære sirkelen i nøyaktig to punkter. (Oppgave: Vis at sentrum er entydig bestemt av sirkelen!) Definisjon: La Γ være en sirkel med sentrum O og radius OA. Vi sier at et punkt B er innenfor Γ hvis OB < OA og utenfor hvis OA < OB. Vi sier også at en linje eller sirkel tangerer Γ hvis de har nøyaktig ett punkt felles med Γ. Vi kan nå formulere Hilberts aksiom E: Gitt to sirkler Γ og slik at inneholder punkter både innefor og utenfor Γ. Da har Γ og felles punkter. (De skjærer hverandre.) (En konsekvens av de andre aksiomene er at de skjærer hverandre i nøyaktig to punkter.) Dette er et eksempel på det vi kaller et kontinuitetsaksiom. En konsekvens av aksiom E er en annen variant: E : Hvis en linje l inneholder punkter både innenfor og utenfor sirkelen Γ, så vil l og Γ skjære hverandre. (Igjen i nøyaktig to punkter.) Parallellaksiomet gir Hilbert denne formuleringen ofte kalt Playfairs aksiom (etter John Playfair i 1795, selv om den går tilbake til Proclus på 400-tallet): P: (Playfairs aksiom) Gitt en linje l og et punkt P utenfor linjen, så fins høyst en linje m gjennom P som ikke skjærer l. (Hvis m ikke skjærer l sier vi at m og l er parallelle og skriver m l. Eksistensen av en slik m kan man vise følger av de andre aksiomene.) Med disse aksiomene har vi nok til å vise alle resultatene i Euklids Elementer I IV, men de bestemmer ikke det Euklidske planet entydig. Standardplanet (R 2 med strukturen ovenfor) er et eksempel, og det er en instruktiv oppgave å vise dette i detalj, men vi får andre eksempler ved å erstatte de reelle tall i definisjonen med en ordnet kropp der vi kan ta kvadratroten av alle positive elementer! For å få entydighet trenger vi et sterkere kontinuitetsaksiom, f. eks. Dedekinds aksiom:
HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510 5 D: Hvis en linje l er en disjunkt union av to delmengder T 1 og T 2 slik at alle punktene i T 1 er på samme side av T 2 og omvendt, så fins entydig punkt A l slik at hvis B 1 T 1 og B 2 T 2 så er enten A = B 1, A = B 2 eller B 1 A B 2. Dette er et kompletthetsaksiom som har sin bakgrunn i Dedekinds definisjon av de reelle tall, og en konsekvens er at geometrien på enhver linje kan identifiseres med geometrien på R. Man kan vise at det impliserer aksiom E, og sammen med aksiomgruppene I*, B*, C* og parallellaksiomet bestemmer det den plane Euklidske geometrien fullstendig. Vi nevner tilslutt at aksiom D også impliserer et annet kontinuitetsaksiom, Arkimedes aksiom: A: Gitt to segmenter AB og CD, så finnes punkter C = C 0, C 1,... C n på CD, slik at alle C i C i+1 = AB og Cn 1 D C n. ( Gitt A B, så så kan ethvert annet segment dekkes av et endelig antall kongruente kopier av AB.) Med dette aksiomet kan vi vise at vi kan innføre et lengdemål med enhet AB, og en geometri med aksiomene I*, B*, C* P, E og A kan identifiseres med en delmengde av det standard Euklidske planet.