FYS3410 Kondenserte fasers fysikk Modul Sindre Rannem Bilden 1. mai 016
Oppgave 1 - Endimensjonal krystall (Obligatorisk Se på vibrasjoner i en uendelig lang endimensjonell krystall med kun ett atom i sin basis. a Utled dispersjonsrelasjonen for en bølge i denne krystallen. Svar: Man kan tilnærme potensialkurven som binder atomene til et harmonisk potensiale. Videre kan man se at kraften som virker på et vilkårlig atom i krystallen er fra de to naboatomene. Disse kreftene kan beskrives ved Hookes lov på grunn av det harmoniske potensialet. Hookes lov bunner ut i en fjerkonstant g og en avstand d vekk fra en likevektsavstand i et gitter med avstand d, F = gx. F s =F s + F s+ =g ( d s+ 1 d s + g ( ds 1 d s =g ( d s+ 1 + d s 1 d s Newtons andre lov F s = ma s gir: m d s t =g ( d s+ 1 + d s 1 d s En løsning av denne likningen er d s = d exp [ iωt] og man får da en relasjon: mω d s =g ( d s+ 1 + d s 1 d s En løsning av denne likningen er d s±1 = d exp [iskd] exp [±ikd] som kan settes tilbake inn i relasjonen og stryke overlappende ledd. mω = g (exp [ikd] + exp [ ikd] ω = g (exp [ikd] + exp [ ikd] m Ved identiteten exp [ikd] + exp [ ida] = cos (kd får man ω = g (1 cos(kd m ( 4g ω = kd m sin b Tegn en graf og vis hvorfor det kun er nødvendig å kjenne til dispersjonsrelasjonen innenfor første Brillouinsone. Svar: Bruker uttrykket fra 1a som gir grafen under. ω π a π a Man kan se at ω repeterer seg etter første Brillouinsone, derfor er det nok å kun kjenne til første Brillouinsone. c Analyser gruppehastigheten spesielt rundt senter og kantene til første Brilouinsone. Svar: Gruppehastigheten er som regel gitt ved v g = ω k, man kan derfor tenke på gruppehastigheten som stigningen i grafen fra 1b. På den måten vil gruppehastigheten være størst ved senter og minke ut mot kanten der den blir null. d Bruk den endimensjonelle modellen utviklet i oppgaven til å beregne maksimal vibrasjonsfrekvens i [100] retning for en natriumkrystall. 4g Svar: Vi har maksimal frekvens ω max m. Basert på tettheten ρ = 0.971gcm 3 gitterparameteren a = 4.30Å og elastisitetskonstanten g = 0.073 10 11 Nm k
ω maxρ =gk max ω maxρ =g( π a ωmax = g π ρ a 0.073 10 ω max = 11 Nm π 0.971gcm 3 =0.36T Hz Verdier hentet (07.03.16 fra læreboka og fra: http://www.infoplease.com/periodictable.php?id=11 Oppgave - Tilstandstettheter (Obligatorisk Utled/analyser tilstandstettheten av fononer i én dimensjon for N atomer, ved å følge punktene under. a Introduser periodiske grensebetingelser, utled DOS i krommet og plot DOS(k. Svar: Et kjede på N atomer kan ses på som (4.30 10 10 m ring der start og slutt er koblet sammen. På den måten vil atom nummer n være lik som atom nummer n + N og dermed ha samme vibrasjon. d n = d n+n de ikd(n = de ikd(n+n 1 =e ikdn 1 = cos(kdn + i sin(kdn πm =kdn k = π Nd m m = 1,,..., N Hver tilstand er separert med k = π Nd, med andre ord finnes det én tilstand 1 per k. DOS blir derfor k = Nd π. b Bruk dispersjonsrelasjonen fra Oppgave 1, ω = ω 0 sin ( kd, til å finne DOS som en funksjon av ω.
Svar: Fra b vet vi at DOS(kdk = Nd π dk, men dette gir også at DOS(ωdω = DOS(kdk = Nd π dk. DOS(ωdω = Nd dω dk π dω = Nd 1 dω π v g Vi har et uttrykk for v g v g (k = dω(k dk = d ( dk = ω 0d cos ( kd ω 0 sin ( kd Videre kan ω(k skrives om til k(ω sin ( kd ω =ω 0 sin = ω ω 0 kd = arcsin ( kd ( ω ω 0 k = d arcsin ( ω ω 0 c Se på den relativt enkle DOS(k i forhold til den med komplekse DOS(ω, kom med noen argumenter for å beregne tilstandstetthet i k rommet. Svar: DOS(k ser man er en konstant verdi for alle k i én dimensjon, dette er svært mye enklere å bruke enn en varierende verdi som i DOS(ω. Den mye mer stabile tilstandstettheten i k rommet er en grunn i seg selv til å bruke k, men også en tettere relasjon til det resiproke gitteret og til lysbølger. man kan skifte variabelen i v g tik ω ved å bruke relasjonen k(ω v g = ω ( ( 0d d cos ω d arcsin ω 0 = ω ( 0d ω 1 ω 0 settes denne tilbake til DOS(ω får vi DOS(ωdω = N 1 πω 0 1 ( ω ω0 dω
Oppgave 3 - Oscillatormodeller (Obligatorisk Evaluer fordeler og ulemper ved Dulong-Petit, Einstein og Debye modellene for beregning av varmekapasitetens temperaturavhengighet C v (T. Svar: Dulong-Petit beskriver atomene som klassiske oscillatorer med kontinuerlig energi. Dette er en god modell for hva man kan se ved høye temperaturer, der energien er tilnærmet kontinuerlig. For lave temperaturer vil modellen derimot ta helt siden kvantisering av energi ikke er tatt høyde for. Einsteinmodellen tar høyde for kvantiseringer i energi, alle atomer i krystallensees på som oscillatorer med de samme kvantisering. Modellen ser ikke på noen relasjon mellom atomene, og lar atomene vibrere uavhengig av hverandre. Dette modellen blir lik Dulong-Petit for høye temperaturen der energien kan sees på som kontinuerlig. Samtidig vil varmekapasisteten minke med temperatur på grunn av kvantiseringen men minker for raskt. Debye modellen ser på krystallen som én enhet der vibrasjonene brer seg som bølger gjennom krystallen med kvantiserte k vektorer på grunn av krystallgrensene. Disse oscillatorene har forskjellige kvantiseringer og gir forskjellige energispektere. Dette er en mer korrekt modell for varmekapasiteten ved lave temperaturer. Oppgave 4 - Todimensjonell krystall Et todimensjonellt endelig heksagonalt gitter har en krystallparameter på d = 3Å. Anta at lydhastigheten i dette materialet er c = 10 3 m/s, hva er Debye frekvensen? Svar: Et heksagonalt gitter i to dimensjoner har enhetscelle som vist i rødt under: a a 1 Lengen til begge disse vektorene blir like lange som sidene i heksagonalene og er d. Vinkelen mellom vektorene er 60 og gir derfor et areal A = a 1 a = a 1 a cos(60 = 4.5Å Har at N D = ω D A 4π πk og setter inn for N D = A 4π πk = A 4π ω D v G Den høyeste frekvensen oppnås i én enhetcelle N = 1 og vi får ω D = πv G A = 16.7T Hz
Oppgave 5 - Fonon Gi en kvalitativ forklaring av T 3 -Debye loven der du ser på andelen okkuperte fonon-moder ved en temperatur T sammenliknet med alle fonon-moder innenfor Debye cut-off vektor k D. Beregn k D og θ D for en Na krystall. Svar: I k rommet kan k T = k BT hv ses på som en kuleflate med radius k T. Man kan se på alle modene innenfor denne sirkelen som termisk eksitert. På samme måte kan k D = k Bθ D hv ses på som en større kuleflate med radius k D. Denne kulen inneholder alle mulige moder. Man se på forholdet mellom volumene av sirklene for å etsimere forholdet mellom okkuperte og mulige moder. V T 4 3 πk3 T = V 4 D 3 πk3 D = k3 T k 3 D = T 3 θ 3 D Det er totalt( 3N moder som kan eksiteres, hvor T 3 θ D av disse er okkupert. Om det antas at alle okkuperte tilstander har energien k B T får man at ( 3 U 3Nk B T T θ D som kan deriveres ( og få C V = 1Nk T 3, B θ D som gir en T 3 stigning. Oppgave 6 - Termisk ledningsevne (Obligatorisk Den termiske ledningsevnen κ er gitt ved κ = 1 3 C V Λ hvor C V er varmekapasistet og Λ er fononets midlere frie veilengde. Se på temperaturavhengigheten til C V, Λ og κ for høye og lave temperaturgrenser. Fyll inn tabell. Lag en graf som viser termisk ledningsevne med både normal og umklapp prosesser. høy temperatur. Λ begrenses av antall okkuperte tilstander og vil derfor i teorien gå mot utendelig når temperaturen og antall okkuperte tilstander går mot null. Λ er begrenset av krystallens lengde og vi får derfor Λ(T low = L. For høye temperaturer vil mange tilstander være okkupert og Λ går mot Λ(T high = 0 med en stigning på L T 1. C V Λ κ T low T 3 Λ L T 3 T high 3k B T 1 T 1 Stigningen til κ blir for slak for høye temperaturer. For høye temperaturer vil fononer med lav energi ha liten innvirkning på kollisjoner og kan derfor neglisjeres når det kommer til midlere frie veilengde. Vi tar derfor kun med fononene som er del i umklappen prosesser. Dette vil si at kun fononer med energi E > E 1/ = 1 hω D siden vi har θ D = hω D k B kan man skrive E 1/ = k Bθ D. Settes dette inn [ i ] n(e = exp E k B T får man [ ] 1 Λ n(e 1/ = exp θd T C V Λ κ T low T 3 Λ L T 3 [ ] T high 3k B exp θd T κ 1 T [ ] exp θd T Svar: Vi har fra tidligere at C V går med C V T 3 mot C V (T low = 0 ved lav temperatur og mot C V (T high = 3k B T ved exp [ ] θ T T