etinget sannsynlighet, total sannsynlighet og ayes setning Vi vil først ved hjelp av et eksempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr: Vi legger fire røde kort og to svarte kort i en bunke Januar 01 Ørnulf organ/geir Storvik Matematisk institutt niversitetet i Oslo 1 Trekker tilfeldig ett kort og så ett kort til Ser på begivenhetene: Vi har at P(A) = /6 = /3 = "andre kort svart" Hvis A har inntruffet er sannsynligheten for lik / Dette er den betingede sannsynligheten for gitt A Vi skriver P( A) = / 3 I eksemplet er det intuitivt klart hva betinget sannsynlighet er Det er ikke alltid like enkelt: Hva er den betingede sannsynligheten for at begge kortene er røde gitt at minst ett av dem er rødt? Hva er den betingede sannsynligheten for at det første kortet er rødt gitt at det andre er svart? Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Vi vil bruke et eksempel til å motivere definisjonen Norske barn delt inn etter kjønn og fargeblindhet (i prosent): Eksemplet motiverer definisjonen: Normal Fargeblind Totalt Gutt 7.3.1 1. Jente.3 0.3.6 Totalt 9.6. 100 P( A P( A Registrerer kjønn og fargesyn for tilfeldig valgt barn. egivenheter: F = "fargeblind" og G = "gutt" Vi har P(G) = 0.1 og P(F G) = 0.01 "Opplagt" at 0.01 P( F G) 0.1 P( F G) PG ( ) Ved å bytte om "rollene" til A og P( A 6 1
Vi ser igjen på korteksemplet: Trekker tilfeldig ett kort og så ett kort til = "andre kort svart" Vil bestemme P( A) ut fra definisjonen (det gir en "sjekk" på at definisjonen er rimelig) 7 Vi kan trekke to kort på 6. = måter Vi kan trekke først et rødt og så et svart kort på. = måter Vi kan trekke det første kort rødt på. = 0 måter Det gir P( A Dermed er (selvfølgelig!) P( A 0 / 0 / 0 Men hva er den betingede sannsynligheten for at det første kortet er rødt gitt at det andre er svart? (Jf. det andre spørsmålet ovenfor) Vi har funnet at P( A Vi kan få et svart kort andre gang på to måter: først rødt, så svart kort, dvs to svarte kort, dvs A A 1 10 1 6 6 3 P( P( A P( A dvs lik sannsynligheten for at første kort er svart! Vil bestemme P(A = "andre kort svart" 9 P( A P( A / 10 / 10 10 Hva betyr det egentlig at den betingede sannsynligheten er / = 0% for at det første kortet er rødt gitt at det andre er svart? Husk at sannsynlighet er relativ frekvens i det lange løp Produktsetningen Definisjon av betinget sannsynlighet: P( A P( A At P(A) = /3 betyr at det første kortet vil være rødt ca /3 av gangene i det lange løp At P(A = / betyr at hvis vi bare teller med de gangene der det andre kortet er svart, så vil det første kortet være rødt ca / av disse gangene i det lange løp 11 Denne gir produktsetningen: P( A P( A P( Tilsvarende: P( A P( A) 1
Ovenfor fant vi P(A i korteksemplet som "antall gunstige delt på antall mulige utfall" Vi kan også finne denne sannsynligheten ved produktsetningen Vi har 6 og Dermed gir produktsetningen: P( A P( A) 6 13 Produktsetningen for tre begivenheter: P( A C) P( A P( C A P( A) P( C A Produktsetningen gjelder på tilsvarende måte for fire og flere begivenheter 1 Etter offentlig statistikk er sannsynligheten 9% for at 6 år gammel kvinne skal bli minst 70 år 91% for at 70 år gammel kvinne skal bli minst 7 år % for at 7 år gammel kvinne skal bli minst 0 år Hva er sannsynligheten for at 6 år gammel kvinne skal bli minst 0 år? Tar for oss 6 år gammel kvinne: A = "kvinnen blir minst 70 år" = "kvinnen blir minst 7 år" Opplysningene gir: P(A)=0.9 P( A) = 0.91 P(C A = 0. Hvis kvinnen blir minst 0 år, blir hun også minst 70 år og minst 7 år Derfor er C = "kvinnen blir minst 0 år" 1 16 A C C P(minst 0 år) P( C) P( A C) P( A) P( C A 0.9 0.910. 0.73 Total sannsynlighet Vi kan skrive en begivenhet A som en disjunkt union av A og A Dette og produktsetningen gir setningen om total sannsynlighet P( A) P( A P( A P( A P( P( A P( (Se side 79 i læreboka for en mer generell versjon A En bedrift produserer varer på to maskiner Maskin I produserer 3% av varene Maskin II produserer 6% av varene 3% av varene fra maskin I er defekte 1% av varene fra maskin II er defekte En vare velges tilfeldig fra lageret Hva er sannsynligheten for at varen er defekt? av setningen om total sannsynlighet) 17 1 3
A = "varen er defekt" = "varen kommer fra maskin I" 0.3 0.6 P( A 0.03 P( A 0.01 Setningen om total sannsynlighet gir: P( A P( P( A P( 0.0.3 0.010.6 0.017 19 ayes setning Definisjon av betinget sannsynlighet: P( A ruker produktsetningen for telleren og total sannsynlighet for nevneren og får ayes setning P( A P( P( A P( P( A P( (Se side 0 i læreboka for en mer generell versjon av ayes setning) 0 Se på eksempelet med produksjon av varer. Hvis varen er defekt, hva er da sannsynligheten for at den kommer fra den første maskinen? A = "varen er defekt" = "varen kommer fra maskin I" 0.3 0.6 P( A 0.03 P( A 0.01 ayes setning gir: 0.03 0.3 0.03 0..010.6 0.6 1 En kvinne tar en mamografiundersøkelse Se på begivenhetene: S = "kvinnen har brystkreft" M = "mammogrammet viser tegn på kreft" Fra erfaringer med mammografi har vi P( M S) 0.9 P( M S) 0.03 Vi antar at PS ( ) 0.007 Anta at mammogrammet viser tegn på kreft Hva er da sannsynligheten for at kvinnen virkelig har kreft? ayes setning gir: P( M S) P( S) P( S M ) P( M S) P( S) P( M S) P( S) 0.90.007 0.16 0.90.007 0.0.993 Selv om mammogrammet viser tegn på kreft, er det bare 16% sannsynlig at hun virkelig har det 3 avhengighet ayes setning: P A oppdateres til P A Som regel er P A forskjellig fra P A Hva hvis P A = P(A)? Hvis så er tilfelle, sier vi at A og er uavhengige Merk: Hvis uavhenghet så er P(A P A P( P A = = = P( P(A) P(A) Hvis uavhengighet, er P A = P A P(
Salg av vaskemaskiner og tørketromler % av vaskemaskiner trenge service innen reklamasjonstid, P A = 0. 10% av tørketromler trenger service innen reklamasjonstid, P( = 0.10 Rimelig med uavhengighet Sannsynlighet for at begge trenger service: P A = P A P = 0.3 0.1 = 0.03 Sannsynlighet for minst en trenger service: P A = P A + P P A = 0.3 + 0.1 0.03 = 0.37 avhengighet for flere begivenheter egivenhetene A 1,, A n er gjensidig uavhengige hvis for hver k og i 1,, i k så er P A i1 A i A ik = P A i1 ) P(A P(A ik ) 6