EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 7. desember 0 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian F Heide Eksamensoppgaven: Oppgavesettet består av 6 sider inklusiv denne forsiden og et vedlegg på én side. Kontroller at oppgaven er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgavesettet består av syv oppgaver med i alt 8 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Karakteren settes ut fra en helhetsvurdering av besvarelsen. På alle oppgaver (så sant det er mulig) skal du: vise utregninger og hvordan du kommer fram til svarene begrunne dine svar, selv om dette ikke er eksplisitt sagt i hvert spørsmål Sensurdato: Torsdag 5. januar Karakterene er tilgjengelige for studenter på studentweb senest virkedager etter oppgitt sensurfrist. Følg instruksjoner gitt på: www.hiof.no/studentweb
Oppgave En aksepterende automat er angitt med følgende tilstandstabell: Tilstand Inngangsverdi 0 s0 s3 s s s3 s s s s s3 s3 s Både tilstand s og s er aksepterende tilstander. a) Tegn tilstandsdiagrammet for denne automaten. b) Automaten vil akseptere bestemte strenger som tilhører et regulært språk. i. Angi mengden av ikke-avslutningsymboler (N) og avslutningssymboler (T) for dette språket. ii. Angi produksjonsreglene for grammatikken som genererer dette språket. Oppgave a) Gitt det komplekse tallet 5i z i Skriv tallet på kartesisk (rektangulær) form, altså som z a bi. b) Konvertér tallet 000 til det binære tallsystemet. c) Ved straffesparkkonkurranser i fotball må treneren velge ut fem av de elleve spillerne på banen som skal ta de fem første straffene for laget. Det anses for å være av stor betydning i hvilken rekkefølge spillerne tar straffesparkene. Hvor mange ulike grupper av fem spillere har treneren å velge blant, når vi altså tar hensyn til rekkefølgen de skal ta straffene? (Siden kalkulator ikke er tillatt på denne eksamen, trenger du ikke å regne ut svaret, men bare sette opp hvordan det skal regnes ut og forkorte brøken du får mest mulig.) Eksamen i Matematikk for IT, desember 0 Side av 6
Oppgave 3 a) Gitt følgende vektede graf: a 8 b 6 4 f 8 5 7 c e 3 d Bruk Kruskals algoritme til å finne et minimalt spenntre for grafen. Vis hvert trinn i algoritmen. b) Nedenfor er grafene G ( V, E) og G ( V, E ) tegnet. Er G og G isomorfe? Dersom de er isomorfe, angi en isomorfi f : V V. Dersom de ikke er isomorfe, forklar hvorfor de ikke er det. a b 3 e d c 5 4 G V, ) G V, ) ( E ( E Eksamen i Matematikk for IT, desember 0 Side 3 av 6
Oppgave 4 a) Bruk sannhetstabeller til å vise følgende p q ( p q) ( q p) b) Bruk resultatet i spørsmål a) og lovene for logisk ekvivalens (gitt på vedlagte ark), til å vise at uttrykkene og p q ( p q) ( p q) er logisk ekvivalente. c) I læreboka er det beskrevet tre gyldige slutningsregler: modus ponens, modus tollens og syllogismeloven. Er noen av disse tre gyldige slutningsreglene brukt i de følgende to slutninger? Angi i så tilfelle hvilken slutningsregel som er brukt i hvert tilfelle. i. Hvis Kari og Per har samme mor, så er Kari og Per søsken. Kari og Per er søsken. Derfor har Kari og Per samme mor. ii. Hvis Kari og Per har samme far, så er Kari og Per søsken. Kari og Per er ikke søsken. Derfor har Kari og Per ikke samme far. d) Benytt direkte bevis til å bevise at summen av et partall og et oddetall, er et oddetall. Oppgave 5 Gitt mengden A a, c, d, e R a, c),( a, d),( a),(. En relasjon på denne mengden er gitt ved ( b),( d),( c, c),( c, e),( e, b),( e, e),( a, a),( d, d) a) Angi relasjonen ved dens nabomatrise. b) Tegn relasjonen som en rettet graf. c) Angi og begrunn hvorvidt relasjonen er refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk og/eller transitiv. Bruk dette til å avgjøre om R er en ekvivalensrelasjon, en delvis ordning (partialordning) eller ingen av delene. Eksamen i Matematikk for IT, desember 0 Side 4 av 6
Oppgave 6 Gitt et univers, U, og mengdene A og B. Anta nå at mengdene A og B er ikke-disjunkte. a) Hva er A B ( B A)? Bruk venndiagram når du begrunner svaret. b) Vi definerer en ny mengde, C, ved C ( A B) ( B A) Hva er da C ( A B) Bruk venndiagram til å begrunne svaret. Oppgave 7 Gitt følgende matriser: A 0 4 3 0 B 3 a) Finn B T. b) Finn følgende matriseprodukter dersom de eksisterer: i. AB ii. BA Eksamen i Matematikk for IT, desember 0 Side 5 av 6
CFH,.0.0 Vedlegg: Regneregler logikk og mengder Lov Logikk Mengder. Assosiative lover ( p q) r p ( q r) (A B) C = A (B C) ( p q) r p ( q r) (A B) C = A (B C). Kommutative lover p q q p A B = B A p q q p A B = B A 3. Distributive lover p ( q r) ( p q) ( p r) A (B C) = (A B) (A C) p ( q r) ( p q) ( p r) A (B C) = (A B) (A C) 4. De Morgans lover p q) p q A B A B p q) p q A B A B 5. Idempotenslover p p p A A = A p p p A A = A 6. Absorpsjonslover p ( p q) p A (A B) = A p ( p q) p A (A B) = A 7. Dobbel negasjon / Involusjonslov (p) p A A 8. Inverslover p p S A A U p p F A A 9. Identitetslover p S p A U A p F p A A 0. Dominanslover p F F A = p S S A U = U. Implikasjon p q p q. Kontrapositive p q q p utsagn Inklusjons- og eksklusjonsprinsippet A B C = A + B + C A B A C B C + A B C Eksamen i Matematikk for IT, desember 0 Side 6 av 6