FYS1120 Elektromagnetisme, Oppgavesett 4 20. september 2016
I FYS1120-undervisningen legger vi mer vekt på matematikk og numeriske metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene som blir gitt til eksamen. Derfor er det viktig at du gjør ukesoppgavene som blir gitt. Dersom du synes det er vanskelig å komme i gang, eller hvis du ikke synes det er nok oppgaver, kan du godt gjøre følgende oppgaver fra læreboka i tillegg: Fra kapittel 25, Current, Resistance and Electromotive Force: Exercises 1,2,10,28 Oppgave 1 Dielektrisk platekondensator To ledende plater plasseres parallellt for å lage en kondensator. Hver av platene har et areal på 0.1 m 2. En stømforsyning holder spenningen mellom platene på 5.00 kv og avstanden mellom platene er 0.02 m. a) Hva blir kapasitansen C 0 til kondensatoren? C 0 = 44.3 pf C 0 = ɛ 0 A d = 44.3 pf b) Hva er ladningen Q 0 på hver plate? Q 0 = 0.222 µc Q 0 = C 0 V 0 = 0.222 µc c) Hvor stort er det elektriske feltet E 0 mellom platene? E 0 = 2.50 10 5 V/m E 0 = V 0 d = 2.50 105 V/m 1
Vi kobler fra strømforsyningen og setter inn et dielektrikum mellom platene. Spenningen mellom platene faller til 1.00 kv. Anta at ladningene som var på platene før vi begynte å koble fra strømforsyningen, fortsatt er der. d) Hva er kapasitansen C etter at dielektrikumet er satt inn? C = 222 pf C = Q V = 222 pf e) Hva er dielektrisitetskonstanten for materialet? K = 5.01 K = C C 0 = 222 pf 44.3 pf = 5.01 f) Hva er permittiviteten til dielektrikumet? ɛ = 4.43 10 11 C 2 N m 2 ɛ = Kɛ 0 = 4.43 10 11 C 2 N m 2 2
g) Hva blir den induserte ladningen Q i på overflaten av dielektrikumet? Q i = 0.178 µc eller ( σ i = σ 1 1 ), K ( Q i = σ i A = σa 1 1 ) ( = Q 1 1 ) = 0.178 µc K K h) Hva er det elektriske feltet E på innsiden av det dielektriske materialet? E = 4.99 10 4 V/m E = E 0 K = 4.99 104 V/m Oppgave 2 Lydkabler Kobber og sølv er de to vanligste materialene brukt som leder i lydkabler. Sølv har noe lavere resistivitet enn kobber, så sølvkabler kan lages tynnere enn kobberkabler. La oss se på en kobberleder med diameter på 0.5 mm og lengde 5.0 m. (Kobber har ρ C = 1.7 10 8 Ω m) a) Hva er motstanden i lederen? R = 0.43 Ω Motstanden i en leder med uniform resistivitet er R = ρl A = 4ρL πd 2 3
der d er diamereten til lederen. For kobber med ρ C = 1.7 10 8 Ω får vi R = 4ρ CL πd 2 = 4 1.7 10 8 5.0 π (0.5 10 3 ) Ω = 0.43 Ω 2 b) Hva måtte diameteren vært dersom vi skulle laget en sølvkabel med samme lengde og motstand? (Sølv har ρ S = 1.5 10 8 Ω m.) d = 0.47 mm Diameteren til en sølvkabel med samme motstand blir 4ρL d = = 0.47 mm πr d = 0.47 mm som er ca 6 % tynnere enn kobberkabelen. Oppgave 3 Airhockey med elektrisk ladet puck I denne oppgaven trenger man å programmere. På gruppetimene kan vi hjelpe deg med å programmere i Python og MATLAB. Vi anbefaler at du gjør tidsintegrasjonen for hockeypucken med Euler-Cromers metode. I Euler-Cromers metode brukes den nyeste verdien av hastigheten v til å beregne neste verdi av posisjonen r = (x, y, z). For mer informasjon om Euler-Cromers metode anbefaler vi kapittel 4 og 5 fra Elementary Mechanics Using Python av Anders Malthe-Sørenssen: http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-19596-4. Av ukjente grunner har vi klart å lage et 2-dimensjonalt elektrisk felt på et kvadratisk airhockey-bord med sidekanter på 1 m. Bordet er skissert i figur 1. Det elektriske feltet er gitt ved følgende elektriske potensial: V (x, y) = 4 [e 20[(x 0.25)2 +(y 0.25) 2] + e 20[(x 0.25)2 +(y 0.75) 2] ] + e 20[(x 0.75)2 +(y 0.5) 2 ] (1) Enheten for potensialet er J C 1 og enheten for lengder er meter. På dette bordet skal du spille en variant av airhockey. Poenget med spillet er å plassere ut en ladet puck slik at den beveger seg til mål (ut av brettet gjennom utgangen på motsatt side). Om pucken forlater bordet gjennom området merket med selvmål, taper du spillet. Som spiller får du lov til å plassere pucken langs linja y = 0.3 m For enkelhets skyld ser vi på pucken som en punktpartikkel med ladning 1.0 C og en masse på 0.6 kg. 4
20 cm mål 1 m selvmål 50 cm Figur 1: Skisse av airhockey-bordet. Det er lov å plassere ut pucken på den stiplede linja. 5
a) Lag et program som plotter det elektriske potensialet på brettet. Om du programmerer i python kan du bruke matplotlib-funksjonen pcolor eller contour. Et program som løser programmeringsdelen av denne oppgaven er lagt ved bakerst i oppgavesettet. b) Bruk uttrykket for det elektriske potensialet V til å finne et analytisk uttrykk for kraften F som virker på en puck i posisjon (x, y) på brettet. F(x, y) = q V (2) c) Skriv opp differensiallikningen som styrer bevegelsen til pucken på brettet. Bruker Newtons 2. lov, F = mẍ, og setter inn kraften fra forrige oppgave. d) Lag er program som løser likningen du fant i forrige deloppgave, og som fritt lar deg sette initialbetingelsen r(t 0 ). (Kommentar: Du kan velge selv om du ønsker at pucken skal falle av bordet eller reflekteres av en vegg når den når kantene på bordet. Et fornuftig tidssteg i integratoren er t = 1 10 4 s, og likningen bør løses fra t 0 = 0 s til om lag t 1 = 10 s.) Et program som løser programmeringsdelen av denne oppgaven er lagt ved bakerst i oppgavesettet. e) Plott banen til pucken i samme figur som det elektriske potensialet. Finn en initialbetingelse som gjør at du vinner spillet. Et eksempel på en bane som fungerer er gitt i figur 2. f) Plott strømlinjene til det elektriske potensialet. Om du programmerer i python kan du bruke matplotlib-funksjonen streamline. Se figur 3. g) Plott banen til pucken i samme figur som strømlinjene. Følger puckens bevegelse en strømlinje eller ikke? Hvorfor? Figur 3 viser en bane sammen med strømlinjer. 6
Figur 2: Eksempel på bane som fører til scoring. Initialposisjonen er (0.265, 0.30) Figur 3: Banen til pucket plottet sammen med strømlinjene. Vi ser at banen ikke følger en strømlinje. Det skyldes at puckens treghet (masse) gjør at den ikke alltid beveger seg i retning av den påtrykte kraften. 7
Oppgave 4 Resistivitet i en konusformet leder Anta en konusformet (avkappet kjegle) leder med resistivitet ρ. Radiene i endene er r 1 og r 2 og lengden er L. Figur 4: Konusformet leder. a) Beregn motstanden mellom endeflatene i lederen. R = ρl πr 1 r 2 Vi begynner med å finne radien som funksjon av hvor på konusen vi er: r(z) = r 1 + r 2 r 1 L z Videre ønsker vi å finne motstanden ved å integrere opp infinitesimale sylindere med høyde dz, siden vi vet at motstanden i en sylinder er R = L z=0 ρ r2 πr 2 dz = r=r 1 ρ πr 2 L r 2 r 1 dr = ρ πr 2 h. [ ρl 1 ] r2 = ρl π(r 2 r 1 ) r r=r 1 πr 1 r 2 b) Sjekk at resultatet ditt er konsistent med motstanden i en sylinderformet leder: R = ρl/πr 2. c) På en eller annen måte klarer vi å gi konusen en strømtetthet på J = ar rettet langs konusaksen. Finn forskjellen i strøm fra den ene enden til den andre. Vil denne lederen forbli nøytral over tid? I r2 r 1 = aπ(r2 3 r1). 3 Nei. I(r) = A(r)J(r) = aπr 3, I r2 r 1 = aπ(r 3 2 r 3 1). (3) 8
Siden strøm er endring i ladning per tid, og denne endringa ikke er lik over alt i lederen, så vil det hope seg opp med ladning. Lederen vil ikke forbli nøytral over tid. # c o d i n g : u t f 8 import numpy as np import m a t p l o t l i b. p y p l o t as p l t def V( x, y, gp ) : """ G a u s s i s k p o t e n s i a l i 2d f r a en l i s t e av p a r a m e t r e. V e k t o r i s e r t. Arguments : x p o s i s j o n y p o s i s j o n gp en N by 4 a r r a y med p a r a m e t r e t i l d e t g a u s s i s k e p o t e n s i a l e t. Hver rad i a r r a y e t e r e t s e t t med p a r a m e t r e t i l e t l e d d i p o t e n s i a l e t. [ x, y, A, a ], d e r x og y e r s e n t e r av g a u s s k u r v e n, A e r a m p l i t u d e n og a e r s k a r p h e t e n. """ C = np. z e r o s _ l i k e ( x ) f o r i i n range ( l e n ( gp ) ) : C += gp [ i, 2 ] np. exp( gp [ i, 3 ] ( ( x gp [ i, 0 ] ) 2+(y gp [ i, 1 ] ) 2) ) r e t u r n C def gradv ( x, y, gp ) : """ G r a d i e n t e n t i l G a u s s i s k p o t e n s i a l i 2d f r a en l i s t e av p a r a m e t r e. R e t u r n e r e s som en numpy 2 a r r a y. Arguments : x p o s i s j o n y p o s i s j o n gp N by 4 a r r a y med p a r a m e t r e t i l d e t g a u s s i s k e p o t e n s i a l e t. Hver rad i a r r a y e t e r e t s e t t med p a r a m e t r e t i l e t l e d d i p o t e n s i a l e t. [ x, y, A, a ], d e r x og y e r s e n t e r av g a u s s k u r v e n, A e r a m p l i t u d e n og a e r s k a r p h e t e n. """ gradvx = np. z e r o s _ l i k e ( x ) gradvy = np. z e r o s _ l i k e ( x ) f o r i i n range ( l e n ( gp ) ) : gradvx += gp [ i, 2 ] 2 ( x gp [ i, 0 ] ) ( gp [ i, 3 ] ) np. exp( gp [ i, 3 ] ( ( x gp [ i, 0 ] ) 2+(y gp [ i, 1 ] ) 2) ) gradvy += gp [ i, 2 ] 2 ( y gp [ i, 1 ] ) ( gp [ i, 3 ] ) np. exp( gp [ i, 3 ] ( ( x gp [ i, 0 ] ) 2+(y gp [ i, 1 ] ) 2) ) r e t u r n np. a r r a y ( [ gradvx, gradvy ] ) # x0, y0, A, a # Parametre t i l p o t e n s i a l e t gp = np. a r r a y ( [ ( 0. 2 5, 0. 7 5, 4, 20), ( 0. 2 5, 0. 2 5, 4, 20), ( 0. 7 5, 0. 5, 4, 20) ] ) # L s b e v e g l e s e s l i k n i n g e n e f o r s y s t e m e t. r 0 = np. a r r a y ( ( 0. 2 6 3, 0. 3 0 ) ) v0 = np. a r r a y ( ( 0. 0, 0. 0 ) ) m = 0. 6 9
Q = 1. 0 t = 0 T = 10 dt = 1e 4 r = np. z e r o s ( (T/ dt +1,2) ) v = np. z e r o s ( (T/ dt +1,2) ) r [ 0, : ] = r 0 v [ 0, : ] = v0 f o r i i n range ( l e n ( r ) 1) : a = Q gradv ( r [ i, 0 ], r [ i, 1 ], gp ) /m v [ i + 1, : ] = v [ i, : ] + a dt r [ i + 1, : ] = r [ i, : ] + v [ i + 1, : ] dt # Under h e r e r d e t t a t t h y d e f o r a t pucken e n t e n s k a l r e f l e k t e r e s, g i m l e l l e r g i s e l v m l. i f ( ( r [ i +1,0] >1.0 and r [ i,0] <=1.0) or ( r [ i +1, 0 ] < 0 and r [ i,0] >=0) ) : p r i n t " t r a f f v a n t e t " v [ i +1,0] = 1.0 v [ i +1,0] i f ( r [ i +1,1] >1.0 and r [ i,1] <=1.0) : i f ( r [ i +1,0] >0.4 and r [ i +1,0] <0.6) : p r i n t " M l! " break e l s e : p r i n t " t r a f f v a n t e t " v [ i +1,1] = 1.0 v [ i +1,1] i f ( r [ i +1, 1 ] < 0 and r [ i,1] >=0) : i f ( r [ i +1,0] >0.25 and r [ i +1,0] <0.75) : p r i n t " S e l v m l : ( " break e l s e : p r i n t " t r a f f v a n t e t " v [ i +1,1] = 1.0 v [ i +1,1] # K l a r g j r f o r p l o t t i n g av p o t e n s i a l e t N = 200 x_grid, y_grid = np. m e s h g r i d ( np. l i n s p a c e ( 0, 1,N), np. l i n s p a c e ( 0, 1,N) ) C = V( x_grid, y_grid, gp ) # P l o t t e r p o t e n s i a l e t p l t. f i g u r e ( 1 ) p l t. p c o l o r ( x_grid, y_grid, C) p l t. c o l o r b a r ( ) # L e g g e r i n n banen t i l p a r t i k k e l e n i p o t e n s i a l p l o t t e t p l t. f i g u r e ( 1 ) p l t. p l o t ( r [ 1 : i, 0 ], r [ 1 : i, 1 ], r, l i n e w i d t h =4) p l t. show ( ) # P l o t t e r s t r m l i n j e r og banen t i l p a r t i k k e l e n i en ny f i g u r F = gradv ( x_grid, y_grid, gp ) F_len = np. s q r t ( F [ 0, :, : ] 2 + F [ 1, :, : ] 2 ) p l t. f i g u r e ( 2 ) p l t. s t r e a m p l o t ( x_grid, y_grid, F [ 0, :, : ], F [ 1, :, : ], d e n s i t y =2, l i n e w i d t h =3 F_len / F_len. max ( ) ) p l t. p l o t ( r [ 1 : i, 0 ], r [ 1 : i, 1 ], r ) p l t. show ( ) 10