Numeric Solver er spesielt nyttig for slike ligninger.

Kapittel 19: Numeric Solver 19 Innledning til Numeric Solver... 334 Vise Numeric Solver og skrive inn en ligning... 335 Definere de kjente variablene... 337 Løse for den ukjente variabelen... 339 Fremstille løsningen grafisk... 340 Med Numeric Solver kan du skrive inn et uttrykk eller en ligning, definere verdier for alle variablene bortsett fra én ukjent, og løse med hensyn på den ukjente variabelen. Obs! Hvis du vil løse ligningen for den ukjente variabelen fra Homeskjermbildet eller et program, bruker du nsolve() slik det er beskrevet i tillegg A. Når du har skrevet inn en ligning og de kjente verdiene, plasserer du markøren på den ukjente variabelen og trykker. Du kan også fremstille løsningen grafisk. X-aksen er den ukjente variabelen. Y-aksen er verdien left rt, som angir løsningens nøyaktighet. Løsningen finnes der kurven krysser x-aksen. Som i eksemplet over, brukes Numeric Solver ofte til å løse ligninger på lukket form. Men den gir også en rask måte for å løse andre ligninger, som for eksempel transendentale ligninger der det ikke er noen lukket form. Du kan for eksempel ordne den følgende ligningen manuelt slik at du kan finne en hvilken som helst av variablene. a = (m2 ì m1) / (m2 + m1) ù g m1 = (g ì a) / (g + a) ù m2 Hvis du har en ligning slik som den neste, vil det imidlertid kanskje ikke være så lett å finne x manuelt. y = x + e x Numeric Solver er spesielt nyttig for slike ligninger. Kapittel 19: Numeric Solver 333

Innledning til Numeric Solver Betrakt ligningen a=(m2ì m1)/(m2+m1)ù g, der de kjente verdiene er m2=10 og g=9.8. Hvis vi antar at a=1/3 g, finn verdien til m1. Fremgangsmåte ³ TI-89 Tastetrykk TI-92 Plus Tastetrykk Skjermbilde 1. Åpne Numeric Solver. O 9 O 9 2. Skriv inn ligningen. Når du trykker eller D, vil skjermen vise variablene som er brukt i ligningen. j A Ác j M2 j M1dec j M2«j M1dp j G A Ác M2 M1dec M2«M1dp G 3. Oppgi verdier for hver variabel, bortsett fra den ukjente variabelen m1. Definer m2 og g først. Deretter definerer du a. (Du må definere g før du definerer a som en funksjon av g.) Godta verdien for bound. Hvis en variabel er blitt definert tidligere, vises verdien for denne som standardverdi. 4. Flytt markøren til den ukjente variabelen m1. D 10DD 9.8CCC j G e 3 DD D 10DD 9.8CCC G e 3 DD Hvis du vil, kan du oppgi en startverdi for m1. Selv om du oppgir en verdi for alle variablene, vil Numeric Solver løse for variabelen som er angitt av markøren. 5. Løs for den ukjente variabelen. g/3 blir beregnet når du flytter markøren vekk fra linjen. For å kontrollere løsningens nøyaktighet, blir venstre og høyre side av ligningen beregnet hver for seg. Forskjellen vises som leftì rt. Hvis løsningen er nøyaktig, er leftì rt=0. 6. Fremstill løsningen grafisk ved å bruke et ZoomStd-visningsvindu. 3 3 é merker den beregnede verdien. Grafen vises i et delt skjermbilde. Du kan utforske grafen ved å bruke Trace, Zoom, osv. 7. Gå tilbake til Numeric Solver og avslutt det delte skjermbildet. Du kan trykke eller D hvis du vil vise listen over variablene på nytt. 2a 2 2a 2 Variabelen som er angitt av markøren (ukjent variabel m1) er på x-aksen, og leftìrt er på y-aksen. 334 Kapittel 19: Numeric Solver

Vise Numeric Solver og skrive inn en ligning Når du har åpnet Numeric Solver, starter du med å skrive inn den ligningen du vil løse. Vise Numeric Solver For å vise Numeric Solver, trykker du O 9. Skjermbildet for Numeric Solver viser den siste ligningen du har skrevet inn, dersom den finnes. Skrive inn en ligning Skriv inn ligningen på linjen eqn:. Tips: Husk på dette når du skriver inn en ligning: Ikke bruk navn på systemfunksjoner (for eksempel y1(x) eller r1(q)) som enkle variabler (y1 eller r1). Vær forsiktig med implisert multiplikasjon. For eksempel vil a(m2+m1) bli behandlet som en funksjonsreferanse, og ikke som aù (m2+m1). Obs! Når du definerer variabler, kan du enten definere exp eller løse med hensyn på den. Obs! Når du trykker, lagres den gjeldende ligningen automatisk i systemvariabelen eqn. Du kan: Skrive inn en ligning direkte. Referere til en funksjon eller ligning som er definert et annet sted. Skrive inn et utrykk uten likhetstegn. Hente frem en tidligere oppgitt ligning, eller åpne en lagret ligning. For eksempel: a=(m2ì m1)/(m2+m1)ù g a+b=c+sin(d) Anta at du har definert y1(x) i enten: Y= Editor: y1(x)=1.25xù cos(x) eller Home-skjermbildet: Define y1(x)=1.25xù cos(x) I Numeric Solver kan du da oppgi: y1(x)=0 eller y1(t)=0, etc. Argumentet trenger ikke å være det samme som det du brukte da du definerte funksjonen eller ligningen. e+fì ln(g) Når du trykker, settes uttrykket lik en systemvariabel som kalles exp, og oppgis som: exp=e+fì ln(g) Se under den aktuelle overskriften lenger bak i dette kapitlet. Kapittel 19: Numeric Solver 335

Hente frem tidligere oppgitte ligninger Tips: Du kan angi hvor mange ligninger som skal lagres. Fra Numeric Solver trykker du ƒ og velger 9:Format (eller bruk TI-89: Í TI-92 Plus: F). Deretter velger du et tall mellom 1 og 11. De siste ligningene du har skrevet inn (opp til 11 med standardinnstillingene), blir lagret i minnet. Slik henter du frem en av disse ligningene: 1. Trykk i skjermbildet for Numeric Solver. En dialogboks viser den siste ligningen du har skrevet inn. 2. Velg en ligning. Trykk hvis du vil velge den viste ligningen. Hvis du vil velge en annen ligning, trykker du B for å vise en liste. Deretter velger du den du vil ha. 3. Trykk. Bare unike ligninger vises. Hvis du skriver inn den samme ligningen fem ganger, vises den bare en gang. Lagre ligninger for fremtidig bruk Obs! En ligningsvariabel har datatypen EXPR, slik skjermbildene MEMORY og VAR-LINK viser. Siden antallet ligninger du kan hente frem med Eqns er begrenset, vil en gitt ligning ikke ligge i minnet for alltid. Hvis du vil ta vare på den gjeldende ligningen for fremtidig bruk, lagrer du den i en variabel. 1. Trykk ƒ i skjermbildet til Numeric Solver og velg 2:Save Copy As. 2. Angi en mappe og et variabelnavn for ligningen. 3. Trykk to ganger. Åpne en lagret ligning Slik åpner du en tidligere lagret ligningsvariabel: 1. Trykk ƒ i skjermbildet til Numeric Solver og velg 1:Open. 2. Velg den aktuelle mappen og ligningsvariabelen. 3. Trykk. Variabelen eqn inneholder gjeldende ligning; den vises alltid alfabetisk på listen. 336 Kapittel 19: Numeric Solver

Definere de kjente variablene Når du har skrevet inn ligningen i Numeric Solver, oppgir du de aktuelle verdiene for alle variablene, bortsett fra den ukjente. Definere variabellisten Obs! Hvis en eksisterende variabel er låst eller arkivert, kan du ikke endre verdien til den. Når du har skrevet inn ligningen på linjen eqn:, trykker du eller D. Skjermen viser en liste over variablene i den rekkefølgen de forekommer i ligningen. Hvis en variabel allerede er definert, vises verdien for denne. Du kan redigere disse variabelverdiene. Løsningen må ligge innenfor de angitte grensene, som du kan redigere. Oppgi et tall eller talluttrykk for alle variablene, bortsett fra den du vil finne. Merknader og vanlige feil Obs! Når du tildeler en verdi til en variabel i Numeric Solver, blir den variabelen definert globalt. Den vil fremdeles eksistere etter at du har avsluttet Numeric Solver. Hvis du definerer en variabel: Uttrykt ved en annen variabel i ligningen, må den variabelen defineres først. Uttrykt ved en annen variabel som ikke er i ligningen, må den variabelen allerede ha en verdi; den kan ikke være udefinert. Som et uttrykk, blir det beregnet når du flytter markøren vekk fra linjen. Uttrykket må kunne utregnes til et reelt tall. Hvis ligningen inneholder en variabel som allerede er definert ved andre variabler, vil de andre variablene stå på listen. Hvis du refererer til en tidligere definert funksjon, vil eventuelle variabler som brukes som argumenter i funksjonen bli listet opp, og ikke variablene som ble brukt til å definere funksjonen opprinnelig. Siden a er definert som et uttrykk av g, må du definere g før a. Når du flytter markøren til en annen linje, beregnes g/3. Hvis en variabel er blitt definert tidligere som b+c!a, vil b og c stå på listen i stedet for a. Hvis f(a,b) ble definert tidligere som (a^2+b^2) og ligningen inneholder f(x,y), vil x og y stå på listen, men ikke a og b. Kapittel 19: Numeric Solver 337

Obs! Du kan ikke løse for andre systemvariabler enn exp. Dessuten, hvis ligningen inneholder en systemvariabel, kan du ikke tegne opp grafen med. Obs! Denne feilen oppstår hvis du bruker et reservert navn på feil måte eller refererer til en udefinert systemfunksjon som en enkel variabel uten parenteser. Hvis ligningen inneholder en systemvariabel (xmin, xmax, osv.), vil den variabelen ikke bli listet opp. Numeric Solver bruker de gjeldende verdiene for systemvariablene. Selv om du kan bruke en systemvariabel i ligningen, vil du få en feil dersom du bruker til å fremstille løsningen grafisk. Hvis du ser feilen som er vist til høyre, sletter du den oppgitte variabelverdien. Deretter redigerer du ligningen slik at den bruker en annen variabel. I standard-visningsvinduet er xmax=10. For eksempel er y1(x) ikke definert, og du bruker y1. Redigere ligningen Angi en startverdi og/eller verdimengde (valgfritt) Tips: Hvis du vil velge en startverdi grafisk, kan du se side 340 og 341. Trykk C i Numeric Solver til markøren er plassert over ligningen. Skjermbildet endres automatisk slik at det bare viser linjen eqn:. Gjør de endringene du ønsker, og trykk eller D for å gå tilbake til variabellisten. Hvis du vil finne en raskere løsning eller en bestemt løsning (dersom det finnes flere løsninger), kan du: Oppgi en startverdi for den ukjente variabelen. Denne startverdien må ligge i den angitte verdimengden. Oppgi en nedre og øvre grense i nærheten av den antatte løsningen. Startverdiene må være innenfor grensene. For grensene til verdimengden kan du også oppgi variabler som utregnes til de aktuelle verdiene (bound={nedre,øvre}) eller en gyldig listevariabel som inneholder en liste med to elementer (bound=liste). Grensene må være to flyttallselementer der det første er mindre enn eller lik det andre. 338 Kapittel 19: Numeric Solver

Løse for den ukjente variabelen Når du har skrevet inn en ligning i Numeric Solver og oppgitt verdier for de kjente variablene, er du klar til å løse med hensyn på den ukjente variabelen. Finne løsningen Obs! Trykk hvis du vil stoppe (avbryte) en beregning. Den ukjente variabelen viser verdien som ble testet da avbruddet inntraff. Vi antar nå at alle de kjente variablene er definert: 1. Flytt markøren til den ukjente variabelen. 2. Trykk Solve. En é angir løsningen og leftì rt. Symbolet é forsvinner når du redigerer en verdi, flytter markøren til ligningen eller går ut av Numeric Solver. Plasser markøren på variabelen du vil løse for. Ved å bruke løsningen og verdiene du har oppgitt, beregnes venstre og høyre side av ligningen hver for seg. leftì rt viser forskjellen, som indikerer hvor nøyaktig løsningen er. Jo mindre denne verdien er, jo mer presis er løsningen. Hvis løsningen er helt riktig, er leftnrt=0. Obs! Ligninger løses ved hjelp av en iterativ prosess. Hvis den iterative prosessen ikke konvergerer mot en løsning, oppstår denne feilen. Hvis du: Vil løse for andre verdier. Vil finne en annen løsning for en ligning som har flere løsninger. Får meldingen: Gjør du dette: Rediger ligningen eller variabelverdiene. Oppgi en startverdi og/eller en ny verdimengde med grensene nær den andre løsningen. Trykk N. Den ukjente variabelen viser verdien som ble testet da feilen oppsto. Verdien leftì rt er kanskje så liten at du er fornøyd med resultatet. Hvis ikke, oppgir du andre intervallgrenser for verdimengden. Kapittel 19: Numeric Solver 339

Fremstille løsningen grafisk Du kan fremstille løsningene for en ligning grafisk når som helst etter at du har definert de kjente variablene, enten før eller etter at du har løst ligningen. Ved å fremstille løsningene grafisk, kan du se hvor mange løsninger som finnes, og bruke markøren til å velge en nøyaktig startverdi og verdimengde. Vise grafen La markøren være på den ukjente variabelen i Numeric Solver. Trykk og velg: 1:Graph View eller 3:ZoomStd eller 4:ZoomFit Graph View bruker de gjeldende verdiene for Window-variablene. Hvis du vil ha informasjon om ZoomStd og ZoomFit, kan du se i kapittel 6. Tips: Husk dette når du bruker delt skjermbilde: Bruk 2afor å bytte side. Den aktive siden har en tykk ramme. Verktøylinjen hører til den aktive siden. Hvis du vil ha mer informasjon, kan du se kapittel 14. Grafen vises i et delt skjermbilde, der: x-aksen viser den ukjente variabelen. y-aksen viser leftì rt. Løsninger på ligningen finnes der leftnrt=0, det vil si der grafen krysser x-aksen. De gjeldende innstillingene for grafformat blir brukt. Du kan utforske grafen ved å bruke en markør som kan beveges fritt, følge kurvene (Trace), zoome, osv., slik det er beskrevet i kapittel 6. Slik påvirker grafen forskjellige innstillinger Dette skjer når du bruker Numeric Solver til å vise en graf: Disse modiene endres automatisk til følgende innstillinger: Obs! Hvis du tidligere brukte andre modusinnstillinger, må du velge disse på nytt manuelt. Modus (Mode) Innstilling Graph FUNCTION Split Screen LEFT-RIGHT Number of Graphs 1 Funksjoner som velges i Y= Editor vil ikke bli fremstilt grafisk. All merking av statistiske plott fjernes. Når du går ut av Numeric Solver, vil Graph-skjermbildet kanskje fremdeles vise løsningen på ligningen, og ignorere eventuelle valgte Y= funksjoner. Hvis dette skjer, åpner du Y= Editor og går deretter tilbake til Graph-skjermbildet. Grafen blir dessuten tilbakestilt når du endrer Graph-modus eller bruker ClrGraph fra Home-skjermbildet ( 5) eller et program. 340 Kapittel 19: Numeric Solver

Velge en ny startverdi fra grafen Obs! Markørkoordinaten xc er verdien til den ukjente variabelen, og yc er verdien for leftì rt. Gå tilbake til fullt skjermbilde Slik bruker du grafmarkøren til å velge en startverdi: 1. Flytt markøren (enten i fri bevegelse eller ved å bruke Trace) til det punktet du vil bruke som den nye startverdien. 2. Bruk 2atil å aktivere skjermbildet for Numeric Solver. 3. Kontroller at markøren er på den ukjente variabelen, og trykk. 4. Trykk for å løse ligningen på nytt. setter grafmarkørens xc-verdi som startverdi og yc-verdien som leftìrt. Grafens xmin- og xmaxverdier angir verdimengden. Når du er i det delte skjermbildet: Hvis du vil vise fullt skjermbilde i Numeric Solver, bruker du 2afor å aktivere skjermbildet i Numeric Solver, trykker og velger 2:Clear Graph View. eller Trykk 2Kto ganger hvis du vil vise Home-skjermbildet. Slette variabler før du avslutter Numeric Solver Tips: Når du vil slette en ett-tegnsvariabel i Numeric Solver, kan du bruke: TI-89: 2ˆ TI-92 Plus: ˆ Hvis du løser en ligning, vil ligningsvariablene fremdeles eksistere når du avslutter Numeric Solver. Hvis ligningen inneholder enkelttegnsvariabler, kan verdiene i disse få uønsket virkning på senere symbolske beregninger. Før du avslutter Numeric Solver, kan det være lurt å gjøre følgende: 1. Trykk: TI-89: 2ˆ TI-92 Plus: ˆ for å slette alle enkelttegnsvariabler i den gjeldende mappen. 2. Trykk for å bekrefte handlingen. Skjermbildet går tilbake til linjen eqn: i Numeric Solver. Kapittel 19: Numeric Solver 341

342 Kapittel 19: Numeric Solver