Forelesning 7. mars, 2017 AVSNITT 5.1 Eksempel: Miljøkonturer AVSNITT 5.2 Forventningen til en funksjon av flere variable Kovariansen mellom to variable
Eksempel: Miljøkonturer Miljøvariable som karakteriserer en sjøtilstand: T = Bølgeperiode (tid) H = Signifikant bølgehøyde Feilregionen til en mekanisk struktur er mengden av miljøtilstander, F R 2 som er slik at strukturen svikter. H F B B T En miljøkontur er en mengde B R 2 som er valgt slik at P[(T, H) B] er stor. Enhver feilregion F som ligger utenfor B, vil dermed ha en liten sannsynlighet P[(T, H) F].
Eksempel: Miljøkonturer, forts. MÅL: Velg en mengde B slik at for enhver rimelig feilregion F som ikke overlapper med B, så er P[(T, H) F] P e, for en passende kritisk verdi P e. Den eksakte feilregionen er typisk ikke kjent, men det kan likevel være mulig å anta at enhver rimelig feilregion F tilhører en passende vel-definert klasse av mengder E. Klassem E defineres relativt til B slik at F B = for alle F E. Overskridelsessannsynligheten til B med hensyn på E defineres som: P e (B, E) = sup{p[(t, H) F] : F E}.
Overskridelsessannsynligheten versus den sanne feilsannsynligheten Anta at den sanne feilregionen til en gitt mekanisk struktur er F true, og anta at F true E. Vi har da: P[(T, H) F true ] sup{p[(t, H) F] : F E} Dette betyr at overskridelsessannsynligheten representerer en øvre grense for den sanne feilsannsynligheten til den mekaniske strukturen. Dette er prisen vi må betale for at vi ikke kjenner den sanne feilregionen eksakt.
En triviell løsning på konturproblemet En triviell måte å løse konturproblemet på er å la E = {F} = B c. H F B B T Problemet med denne fremgangsmåten er at vi får en veldig konservativ mijøkontur der: P e (B, E) = sup{p[(t, H) F] : F E} = P[(T, H) / B] Dette medfører at B må velges veldig stor for å oppnå en overskridelsessannsynlighet som er liten nok. Dermed blir kravene til design av den mekaniske strukturen blir unødvendig strenge.
Konvekse feilregioner Man kan ofte argumentere for at en rimelig feilregion vil være en konveks mengde. Dette betyr at for ethvert par av feiltilstander, (t 1, h 1 ), (t 2, h 2 ) F, så vil også alle tilstander på linjen mellom (t 1, h 1 ) og (t 2, h 2 ) også være feiltilstander. I slike tilfeller kan overskridelsessannsynligheten til konturen B evalueres med hensyn på klassen av alle konvekse mengder som ikke overlapper med B.
Miljøkontur konstruert ved tradisjonelle metoder 17.50 14.00 10.50 7.00 3.50 0.00 2.50 6.50 10.50 14.50 18.50 22.50
Miljøkontur konstruert ved Monte Carlo simulering 17.50 14.00 10.50 7.00 3.50 0.00 2.50 6.50 10.50 14.50 18.50 22.50
Sammenligning av de to konturene 17.50 14.00 10.50 7.00 3.50 0.00 2.50 6.50 10.50 14.50 18.50 22.50
Randfeilsannsynligheter for de to konturene 0.0052 % 0.0043 % 0.0033 % 0.0024 % 0.0014 % 0.0005 % 0.00 75.00 150.00 225.00 300.00 375.00
Forventningen til en funksjon Diskret tilfelle La X og Y være to diskrete stokastiske variable med simultan punktsannsynlighet p(x, y), og la h = h(x, Y ). Da er: E[h(X, Y )] = Alle (x,y) h(x, y)p(x, y) La X 1,..., X n være n diskrete stokastiske variable med simultan punktsannsynlighet p(x 1,..., x n ), og la h = h(x 1,..., X n ). Da er: E[h(X 1,..., X n )] = h(x 1,..., x n )p(x 1,..., x n ) Alle (x 1,...,x n)
Forventningen til en funksjon Kontinuerlig tilfelle La X og Y være to kontinuerlige stokastiske variable med simultan sannsynlighetstetthet f (x, y), og la h = h(x, Y ). Da er: E[h(X, Y )] = Alle (x,y) h(x, y)f (x, y)dx dy La X 1,..., X n være n kontinuerlige stokastiske variable med simultan sannsynlighetstetthet f (x 1,..., x n ), og la h = h(x 1,..., X n ). Da er: E[h(X 1,..., X n )] = h(x 1,..., x n )f (x 1,..., x n )dx 1 dx n Alle (x 1,...,x n)
Forventningen til en funksjon Eksempler Fem venner kjøper billetter til en konsert. De får fem seter ved siden av hverandre og fordeler disse tilfeldig seg i mellom. Vi velger ut to av vennene, Arild og Hilde, og lar: X = Setenummeret til Arild Y = Setenummeret til Hilde Det er 20 mulige og like sannsynlige kombinasjoner av setenumre for Arild og Hilde, så (X, Y ) har simultan punktsannsynlighet: { 1 p(x, y) = 20 x, y = 1,..., 5, x y 0 ellers
Forventningen til en funksjon Eksempler Vi lar så funksjonen h(x, Y ) være gitt ved: h(x, Y ) = X Y 1 = Antall seter mellom Arild og Hilde Vi har f.eks. at: h(1, 2) = h(2, 3) = h(3, 4) = h(4, 5) = 0 h(1, 3) = h(2, 4) = h(3, 5) = 1 h(1, 4) = h(2, 5) = 2 h(1, 5) = 3 I tillegg er naturligvis h(x, y) = h(y, x), så f.eks. er h(2, 1) = h(1, 2) = 0 osv.
Forventningen til en funksjon Eksempler Vi kan nå finne forventningen til h(x, Y ): E[h(X, Y )] = h(1, 2)p(1, 2) + h(2, 3)p(2, 3) + + h(5, 4)p(5, 4) = 1 (8 0 + 6 1 + 4 2 + 2 3) 20 = 1 20 (0 + 6 + 8 + 6) = 20 20 = 1
Forventningen til en funksjon Eksempler EKSEMPEL: Anta at X og Y har simultan sannsynlighetstetthet f (x, y) gitt ved følgende formel: { 6 f (x, y) = 5 (x + y 2 ) 0 x 1, 0 y 1 0 ellers La videre h(x, Y ) = (X Y 2 ). Vi skal finne: E[h(X, Y )] = = 1 1 0 [ 0 1 1 0 [ 0 6 5 (x y 2 )(x + y 2 )dx]dy 6 5 (x 2 y 4 )dx]dy
Forventningen til en funksjon Eksempler Vi regner videre og får: E[h(X, Y )] = = = 1 1 0 1 0 1 0 [ 0 6 5 (x 2 y 4 )dx]dy 6 5 [1 3 x 3 xy 4 x=1 x=0 ]dy 6 5 (1 3 y 4 )dy = 6 5 [1 3 y 1 5 y 5 y=1 y=0 ] = 6 5 [1 3 1 5 ] = 4 25
Forventningen til en sum av to stokastiske variable Anta at X og Y er to stokastiske variable med simultan sannsynlighetstetthet f (x, y). La videre h(x, Y ) = X + Y. Vi skal finne E[h(X, Y )] = E[X + Y ]: E[X + Y ] = = = [ (x + y) f (x, y)dx dy x f (x, y)dy]dx + [ y f (x, y)dx]dy x[ f (x, y)dy]dx + y[ f (x, y)dx]dy = xf X (x)dx + yf Y (y)dy = E[X] + E[Y ]
Forventningen til sum av funksjoner av stokastiske variable Mer generelt kan vi på nøyaktig samme måte vise at dersom X 1,..., X n er stokastiske variable og E[h 1 (X 1 )],..., E[h n (X n )] eksisterer, så har vi: E[h 1 (X 1 ) + + h n (X n )] = E[h 1 (X 1 )] + + E[h n (X n )] BEMERK: Dette holder uansett om variablene er uavhengige av hverandre eller ikke!
Forventningen til et produkt av to uavhengige variable Anta at X og Y er uavhengige stokastiske variable, dvs. f (x, y) = f X (x) f Y (y). La videre h(x, Y ) = X Y. Vi skal finne E[h(X, Y )]: E[X Y ] = = = yf Y (y)[ xy f X (x) f Y (y)dx dy yf Y (y) E[X]dy xf X (x)dx]dy = E[X] yf Y (y)dy = E[X] E[Y ]
Forventningen til produkt av funksjoner av uavhengige variable Mer generelt kan vi på nøyaktig samme måte vise at dersom X 1,..., X n er uavhengige stokastiske variable og E[h 1 (X 1 )],..., E[h n (X n )] eksisterer, så har vi: E[h 1 (X 1 ) h n (X n )] = E[h 1 (X 1 )] E[h n (X n )] BEMERK: Dette holder bare dersom variablene er uavhengige av hverandre!
Kovariansen mellom to stokastiske variable Kovariansen mellom to stokastiske variable X og Y med forventningsverdier E[X] = µ X og E[Y ] = µ Y, defineres som: Cov(X, Y ) = E[(X µ X )(Y µ Y )] = x y (x µ X )(y µ Y )p(x, y) (x µ X )(y µ Y )f (x, y)dx dy diskrete kont. Kovariansen er positiv dersom store verdier av X typisk forekommer samtidig med store verdier av Y, og små verdier av X typisk forekommer samtidig med små verdier av Y. Kovariansen er negativ dersom store verdier av X typisk forekommer samtidig med små verdier av Y, og små verdier av X typisk forekommer samtidig med store verdier av Y.
Kovarians lik 0.0 Uavhengige stokastiske variable 5.00 3.45 1.90 0.35-1.20-2.75-3.00-1.20 0.60 2.40 4.20 6.00
Kovarians lik 0.5 5.00 3.35 1.70 0.05-1.60-3.25-3.00-1.35 0.30 1.95 3.60 5.25
Kovarians lik 0.9 4.75 3.20 1.65 0.10-1.45-3.00-3.00-1.40 0.20 1.80 3.40 5.00
Kovarians lik -0.5 4.75 3.25 1.75 0.25-1.25-2.75-3.00-1.30 0.40 2.10 3.80 5.50
Kovarians lik -0.9 5.50 3.80 2.10 0.40-1.30-3.00-2.50-1.00 0.50 2.00 3.50 5.00
Kovariansen mellom to stokastiske variable SETNING: Cov(X, Y ) = E[XY ] µ X µ Y. BEVIS: Cov(X, Y ) = E[(X µ X )(Y µ Y )] = E[XY Xµ Y Y µ X + µ X µ Y ] = E[XY ] µ Y E[X] µ X E[Y ] + µ X µ Y = E[XY ] µ X µ Y µ X µ Y + µ X µ Y = E[XY ] µ X µ Y
Kovariansen mellom to stokastiske variable SETNING: Dersom X og Y er uavhengige, er Cov(X, Y ) = 0. BEVIS: Cov(X, Y ) = E[XY ] µ X µ Y = E[X] E[Y ] µ X µ Y (siden X og Y er uavh.) = µ X µ Y µ X µ Y = 0. BEMERK: Det motsatte holder ikke! To variable kan godt ha kovarians lik 0, men likevel være avhengige!
Regneregel for kovarians SETNING: Cov(aX + by, Z ) = a Cov(X, Z ) + b Cov(Y, Z ). BEVIS: Cov(aX + by, Z ) = E[(aX + by aµ X bµ Y )(Z µ Z )] = E[a(X µ X )(Z µ Z ) + b(y µ Y )(Z µ Z )] = a E[(X µ X )(Z µ Z )] + b E[(Y µ Y )(Z µ Z )] = a Cov(X, Z ) + b Cov(Y, Z )