Regneøvelse 29/5, 2017

Transkript

1 Regneøvelse 29/5, 2017 Arne Bang Huseby Eksamen STK : oppgave 3 Eksamen STK : oppgave 2

2 Eksamen 2008, oppgave 3 Et vannverk tar prøver av drikkevannet for å kontrollere forekomsten av en bestemt parasitt. La X være antall av denne parasitten i en vannprøve på v liter. a) Forklar at det kan være rimelig å anta at X er Poisson fordelt med parameter v, dvs. at Forklar også at per liter vann. P (X = k) = ( v)k k! e v for k =0, 1, 2,... kan fortolkes som tettheten av den aktuelle parasitten

3 Poissonprosess i en tredimensjonal region: (Se Devore & Berk s ) Forutsetninger: 1. Det finnes en parameter > 0 slik at for ethvert lite volum v så er sannsynligheten for at nøyaktig én parasitt blir funnet lik v + o( v) 2. Sannsynligheten for å finne flere parasitter i et lite volum v er o( v) 3. Antall parasitter i ikke-overlappende volumer er uavhengige av hverandre Forventet antall parasitter i v liter vann er v Parameteren kan dermed fortolkes forventet antall partikler pr. liter vann.

4 b) Anta i dette punktet at tettheten av parasitten er 0.20 per liter vann. Hva er sannsynligheten for at en vannprøve på 1/2 liter ikke inneholder noen parasitter? Hva er sannsynligheten for at den inneholder minst to parasitter? For =0.20 og v =0.50 har vi at P (X =0)=e =0.905 Sannsynligheten er 90.5% for at vannprøven inneholder ingen parasitter. P (X 2) = 1 P (X =0) P (X =1) = 1 e e = = Sannsynligheten er 0.5% for at vannprøven inneholder minst to parasitter.

5 For å kontrollere vannkvaliteten bruker vannverket følgende framgangsmåte. De tar ti prøver som hver er på 1/2 liter. Hvis åtte eller flere av prøvene ikke inneholder parasitter, godkjennes vannkvaliteten. Vi antar at når vannverket tar flere prøver, er antall parasitter i en prøve uavhengig av antall parasitter i de andre prøvene. c) Hva er sannsynligheten for at vannkvaliteten blir godkjent hvis tettheten av parasitten er 0.20 per liter vann? Antall prøver N som ikke inneholder parasitter er binomisk fordelt med p = e = e 0.10 og n = 10. Vi har at P (N 8) = P (N =8)+P (N =9)+P (N =10) = 10X k=8 µ 10 p k (1 p) 10 k k = = Sannsynligheten er 93.8% for at vannkvaliteten vil bli godkjent.

6 Vannverket planlegger å legge om kontrollrutinene. Ved de nye rutinene tar de fortsatt ti prøver som hver er på 1/2 liter. Men i stedet for å analysere prøvene hver for seg, blander de alle prøvene og teller antall parasitter i den samlede prøven. Vannkvaliteten blir godkjent hvis de finner høyst 2 parasitter i den samlede prøven. d) Hva er sannsynligheten for at vannkvaliteten blir godkjent etter de nye kontrollrutinene hvis tettheten av parasitten er 0.20 per liter vann? La X i være antall parasitter i prøve nummer i; i =1, 2,...,10. Da er X i -ene uavhengige og hver av dem er Poisson fordelt med parameter P v = = Da er antall parasitter i den samlede prøven Y = P 10 i=1 X i Poisson fordelt med parameter 10 v = 1. Nåer P (Y 2) = P (Y =0)+P (Y =1)+P (Y =2) = e 1 +1 e e 1 = = Sannsynligheten er 92.0 % for at vannkvaliteten vil bli godkjent etter de nye kontrollrutinene.

7 Eksamen 2004, oppgave 2 La X være årsinntekten til en tilfeldig valgt person i en befolkningsgruppe. Det er vanlig å anta at X er Pareto-fordelt, det vil si at X har sannsynlighetstettheten ( apple x 1 for x>apple f X (x) = (1) 0 ellers. Her er apple minsteinntekten i den befolkningsgruppen vi betrakter, mens > 2 er en parameter som avhenger av lønnsforskjellene i gruppen. (

8 a) Vis at den kumulative sannsynlighetsfordelingen til X er gitt ved F X (x) = ( 1 apple x for x>apple 0 ellers. Vis også at median årsinntekt er 2 1/ apple.

9

10 b) Vis at E(X) = apple 1 og Var(X) = apple 2 ( 1) 2 ( 2)

11

12 I resten av oppgaven vil vi se på en befolkningsgruppe der apple = kroner og =2.5. c) Beregn median årsinntekt og forventet årsinntekt når apple = kroner og =2.5. Hvilken av disse størrelsene gir etter din mening best uttrykk for den typiske årsinntekten? Svaret skal begrunnes!

13

14 Vi lar nå X 1,X 2,...,X 50 være årsinntektene for et tilfeldig utvalg på 50 personer fra den aktuelle befolkningsgruppen. Disse stokastiske variablene er uavhengige, og de har alle sannsynlighetstettheten (1) med apple = kroner og =2.5. d) La S = P 50 i=1 X i. Finn forventningen og standardavviket til S.

15

16 P e) Bestem tilnærmet sannsynligheten for at de 50 personene til sammen vil tjene minst 20 millioner kroner i løpet av ett år.