Logaritmer i norsk skole

Logaritmer i norsk skole I dag vil en elev i videregående skole som følger løpet fra 1T på vg1 til programfagene R1 og R2, møte Briggske og naturlige logaritmer. Slik var det også tidligere for elever som tok 2MN/3MN og 2MX/3MX. I det videre er det disse programfagenes eksamensoppgaver og lærebøker som er utgangspunkt. Logaritmer er også tema i dagens S1 og S2-matematikk, men er ikke tatt med her. Eksamensoppgaver For å si noe om logaritmenes plass i matematikkfagene og undervisningen, kan eksamensoppgavene være en kilde. Solvang skriver i boken Matematikkdidaktikk (s.21) at ( ) eksamensoppgavene i stor grad styrer matematikkundervisningen. (Solvang, 1992) Gjennomlesning av eksamensoppgavene fra 1972 frem til i dag, viser at hva som har vært tema andre og tredje året på videregående har endret seg noe. Temaer har flyttet fra andre til tredje år og motsatt. I det følgende er det kun fokusert på oppgaver der logaritmer brukes og oppgaver med inverse funksjoner. I vurderingen av hvor vanskelige oppgavene antageligvis vil være for dagens elever, har jeg bare tatt hensyn til i hvilken grad liknende oppgaver finnes i lærebøkene i fagene. Inverse funksjoner Basert på eksamensoppgavene, var inverse funksjoner et sentralt tema i 3MN fra 1972. Oppgaven gitt til eksamen i 3MN høsten 1988 er et typisk eksempel på en slik oppgave. (Bjåstad & Jasper, 1992) Funksjonen g er gitt ved a) Regn ut funksjonens nullpunkter. b) Drøft monotoniegenskapene til g. g(x) = ln ( 2 x x 2 ), D g =, 0 0, 2 c) Vis at linjene x = 0 og x = 2 er asymptoter til grafen. d) Tegn grafen med 2 cm som enhet på aksene. Funksjonen h er gitt ved h(x) = ln ( 2 x x 2 ), D h = 0, 2 Aina Fossum Side 1 av 8

e) Grunngi at h har en omvendt funksjon h -1. Regn ut h 1 (t) og (h 1 ) (t) for t = ln 6 uten å bruke funksjonsuttrykket til h -1. Oppgaven er gitt som den femte av fem oppgaver i settet og krever funksjonsforståelse og kompetanse utover det elevene som tar matematikk R2 i dag får. Ommundsen og Solvangs lærebok i 3MN er bygd opp med omvendte funksjoner som et forholdsvis omfattende kapittel før man i neste kapittel går løs på eksponential- og logaritmefunksjonene. (Ommundsen & Solvang, 1980) Fra og med våren 1997 har det ikke forekommet oppgaver med spørsmål om inverse funksjoner på matmatikkeksamen. I forbindelse med introduksjon til logaritmer nevnes inverse funksjoner i noen av dagens norske lærebøker, men det er ikke et eget tema som det brukes tid på eller regnes oppgaver innenfor. Ascehougs bøker i Matematikk 1T (Heir, Engeseth, Moe, & Borgan, 2014) og Matematikk R1 (Heir, Engeseth, Moe, & Borgan, 2015) introduserer logaritmene kun gjennom definisjonen, og det nevnes ikke annet enn Briggske logaritmer og naturlige logaritmer. Det vises ingen logaritmiske skalaer, men det henger igjen noen oppgaver der lydintensitet og jordskjelv er tema. Logaritmer Helt fra eksamen tidlig på 1970-tallet har det vært gitt oppgaver i logaritmeregning. Her følger noen eksempler fra eksamen ulike år. Eksamen 3MN, desember 1972 (oppgave 1 i settet). (Bjåstad & Jasper, 1984) 1) Finn løsningsmengden til likningen x 3 = 5 x 2) Bestem mengden {x R + ln x 3 = 5 ln x} 3) Regn ut ln 12 og lg 12 når vi har oppgitt at ln 2 = 0,693, ln 3 = 1,099og ln 10 = 2,303. 4) Finn løsningsmengden til 2 2 ln x + 2 ln x 6 = 0, x R + Kommentar: Skrivemåten i delspørsmål 2 er ikke familiær for dagens elever, men bortsett fra oppgave 3, bør den kunne løses av dagens R1-elever. Å regne om mellom Briggske og naturlige logaritmer var tema i 3MN, men har ikke vært det senere. Aina Fossum Side 2 av 8

Eksamen (utsatt) 3MN 1975 (oppgave 1 i settet). (Bjåstad & Jasper, 1984) Løs likningene a) e 2 ln x e ln 3x + 2 = 0, x R b) ln(6x + 1) + ln x = 0 Kommentar: Begge deloppgavene her vil være utfordrende for mange elever, og a- oppgaven finnes det få tilsvarende eksempler til i bøkene. Siden dette var oppgave 1 på eksamenssettet, må den ha vært regnet som en rutineoppgave i 1975. Eksamen 3MN våren 1981 (oppgave 1b i settet). (Bjåstad & Jasper, 1984) 1) Løs ulikheten x 2 + x 12 > 0 2) Funksjonen f er gitt ved f(x) = ln (x 2 + x 12) Hva er den mest omfattende definisjonsmengden til f? Finn f (x). Eksamen 3MN våren 1992 (oppgave 1c i settet). (Bjåstad & Jasper, 1992) Løs likningene 1) e 2x = 6 e x 2) (ln x) 3 3 ln x 3 = 0 Kommentar: Oppgavene fra 1981 og 1992 er det sannsynlig at mange av dagens R1- elever ville få til siden tilsvarende oppgaver finnes i lærebøkene. Eksamen 2MX våren 1998 (siste oppgave i settet). ("Eksamensoppgaver og veiledninger våren 1998," 1998) Vedvarende støy kan gi varige hørselsskader. Arbeidsmiljøloven har derfor bestemmelser om maksimalt lydnivå. Det naturlige målet for støy er lydintensitet som måles i mw milliwatt per kvadratmeter, 2 men av praktiske grunner bruker man lydnivået som måles i db (decibel). Dersom lydintensiteten er I mw m2, er lydnivået L db, der L = 10 lg(i) + 90 a) Beregn L når I er 0,631. Tabellen viser lydnivået (L db) fra ulike støykilder, målt på et bestemt sted på en byggeplass. Støykilde L Boremaskin 63 Betongblander 68 Kompressor 78 Gravemaskin 1 85 Gravemaskin 2 85 m Aina Fossum Side 3 av 8

b) Vis at lydintensiteten fra kompressoren er 0,063 mw/m 2. Bestem lydintensiteten fra hver av de andre støykildene i tabellen. Den samlede lydintensiteten på et sted er summen av lydintensiteten fra de enkelte støykildene. c) I en periode er begge gravemaskinene i bruk, mens de andre støykildene er slått av. Vis at det samlede lydnivået fra de to gravemaskinene er 88 db. d) Hvis lydnivået på en arbeidsplass er større enn 90 db, bør ikke arbeidstakeren oppholde seg der uten hørselsvern. Undersøk om lydnivået på denne plassen overskrider grensen på 90 db når alle støykildene i tabellen foran avgir støy samtidig. e) Vi skal finne det samlede lydnivået L db fra to støykilder som hver for seg gir støy med L1 db. La I1 mw/m 2 være lydintensiteten som svarer til lydnivået L1 db. Finn L uttrykt ved I1 og vis at L L1 + 3 Kommentar: I denne oppgaven kreves det ikke kompliserte utregninger, men det er forholdsvis mye tekst og oppgaven krever derfor kompetanse i å oversette tekst til matematikk. I siste deloppgave må både opplysningene i teksten over og logaritmereglene brukes. Hvor utfordrende det er for elevene, vil avhenge av i hvilken grad logaritmene har vært knyttet til praktiske oppgaver gjennom undervisningen. Eksamen 3MX våren 1998 (oppgave 1c i settet). ("Eksamensoppgaver og veiledninger våren 1998," 1998) Løs likningssystemet ved regning xy = 1 e ln x ln y = 1 Kommentar: En oppgave som vil kreve noe problemløsningskompetanse hos dagens elever, men ble nok ikke ble vurdert slik i 1998 siden den ligger så tidlig i oppgavesettet. Eksamen 2MX våren 2000 (oppgave 1c). ("Eksamensoppgaver og veiledninger våren 2000," 2000) Løs likningen ved regning lg(13x 2 12x 15) = 1 + 2 lg x Kommentar: Denne oppgaven lå helt i starten av settet i 2000 i dag bruker jeg denne og lignende oppgaver for å skille ut elever på høyt nivå. Aina Fossum Side 4 av 8

Eksamen 2MX høsten 2005 (oppgave 4 nest siste oppgave i settet). Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom pris og antall solgte enheter av en vare: Pris x 10 20 24 30 34 40 Solgte enheter q 84 48 40 36 32 28 lg x lg q a) Skriv av tabellen ovenfor og fyll ut. b) Merk av dataene i to koordinatsystem, ett med x og lg q langs aksene og ett med lg x og lg q langs aksene. c) Gi en begrunnelse for at en potensfunksjon q, der q(x) = a x b, kan være en brukbar modell for sammenhengen mellom pris og etterspørsel. Bestem konstantene a og b ved regresjon. I resten av oppgaven skal du bruke modellen du fant i c). d) Hva blir antall solgte enheter q når prisen x = 15? e) Hva blir prisen når antall solgte enheter er 45? f) Finn den prosentvise nedgangen i antall solgte enheter når prisen x stiger med 10%. Kommentar: Oppgaven krever ingen regning eller metodebruk som er ukjent for R1- elever i dag, men teknikken med å gjøre om en eksponentiell regresjon eller potensregresjon til en lineær regresjon er ukjent. Eksamen R1 våren 2009 (oppgave 1f, del 1 og oppgave 1b på del 2) Skriv så enkelt som mulig lg ( 1 a2) + 3 lg a Finn den eksakte løsningen til likningen ved regning (ln x) 2 + ln x 2 = 3 Kommentar: Oppgaven på del 1 er en typisk oppgave på del 1 av todelt eksamen Siden dette var før CAS-verktøy hadde gjort sitt inntog, kunne oppgaven gis på del 2 av eksamen. Eksamen R1 høsten 2014 (oppgave 3 del 1) Sammenhengen mellom lydstyrken L db (desibel) og lydintensiteten I W/m 2 er gitt ved L = 10 lg I I 0, I 0 = 10 12 er en konstant. a) Vis at formelen kan skrives som L = lg I + 120 b) På en arbeidsplass blir lydintensiteten målt til 10 4 W/m 2. Hvor mange desibel er lydstyrken på arbeidsplassen? c) På en klassefest blir lydstyrken målt til 100 db. Hvilken lydintensitet svarer det til? Aina Fossum Side 5 av 8

Kommentar: Bortsett fra forvirringen den praktiske konteksten skaper, krevde ikke denne oppgaven på del 1 annet enn kompetanse i formelregning og logaritmeregler. Logaritmeregningen lå tidligere på vg3, nå er den lagt til vg2. Tilgjengelige hjelpemidler er jo endret nå det er ikke lenger aktuelt å teste kompetanse i å bruke matematiske tabeller kombinert med logaritmereglene. I perioden med fagene 2MX/3MX var det ikke aktuelt å teste om man kunne logaritmereglene de stod i formelsamlingen som var tillatt hjelpemiddel til eksamen. (Utdanningsdirektoratet, 2001) Når det gjelder de innledende oppgavene på eksamen, har det ofte vært oppgaver som krever kunnskap i logaritmeregler og løsning av logaritmelikninger og eksponentiallikninger. I forbindelse med innføringen av Kunnskapsløftet gjorde jeg en analyse av om eksamensoppgavene etter reformen stilte større krav til problemløsningskompetanse hos elevene enn tidligere, og fant at det var svært små endringer i eksamensoppgavene til tross for ny eksamensform med todelt eksamen. (Fossum, 2009) Det kan se ut som det på enkelte områder har skjedd større endringer tidligere. I en periode var logaritmisk regresjon sentralt tema i matematikk 2MX, og det preget eksamensoppgavene. Man kan også spore noen andre trender. I det siste har vi fått oppgaver som disse: Eksamen R1 våren og høsten 2013: n 2 ( x x n )lg = x 2, n N og n 2 ( x x 2 n )lg = x 2, x > 0, n > 0 Oppgavene ble gitt på del 2, men Cas-verktøyet i GeoGebra løste ikke disse. Eksamen R1 våren 2014, siste oppgave på del 1: Funksjonen h er gitt ved h(x) = x x, x > 0 a) Forklar at vi kan skrive h(x) = e x ln x b) Bestem h (x). Disse oppgavene viste seg å være vanskelig for de fleste kandidatene. Praktiske logaritmeoppgaver var også mer vanlig tidligere enn det har vært de siste årene, men som vist over var det en oppgave med praktisk kontekst tilbake på eksamenssettet i R1 høsten 2014. Aina Fossum Side 6 av 8

Undervise logaritmer Logaritmer er et verktøy i matematikken som begrunnes svakt i lærebøkene. Fokus ligger på å lære teknikker for å forenkle uttrykk og løse eksponential- og logaritmelikninger. Eksponential- og logaritmefunksjoner behandles i forbindelse med funksjonsdrøfting. Når logaritmeregningen er så lite sentralt på eksamen, kan det være en utfordring å utvide undervisningen i temaet noe særlig. For mange elever er ikke matematikk nyttig i seg selv, det er matematikkarakterene som er nyttige (Imsen, 2005). Regneregler og teknikker for logaritmer, løsning av eksponentiallikninger og -ulikheter og logaritmelikninger og -ulikheter bygger i stor grad på teknikker elevene kjenner fra tidligere. For eksempel må andregradslikninger ofte løses. Det er få egne logaritmeregler, men uten et minimum av forståelse for eksponential- og logaritmefunksjonene kan særlig ulikhetene bli en utfordring. En grundigere innledning til logaritmene, en plassering i historisk kontekst og betydningen i regresjon, kan muligens gjøre kunnskapen på området bedre og dypere. Lærplanmålene Briggske logaritmer er mål i faget 1T på vg1. Mål for opplæringa er at eleven skal kunne omforme uttrykk og løyse likningar, ulikskapar og likningssystem av første og andre grad og enkle likningar med eksponential- og logaritmefunksjonar, både ved rekning og med digitale verktøy ("Læreplan i matematikk fellesfag - kompetansemål 1T,") På vg2, i matematikk R1, utvides det til naturlige logaritmer (selv om det ikke sies noe om dette i kompetansemålene i læreplanen). Mål for opplæringen er at eleven skal kunne utlede de grunnleggende regnereglene for logaritmer, og bruke dem og potensreglene til å forenkle uttrykk og løse likninger og ulikheter bruke formler for den deriverte til potens-, eksponential- og logaritmefunksjoner, og derivere summer, differanser, produkter, kvotienter og sammensetninger av disse funksjonene bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte forløpet til funksjoner og tolke de deriverte i modeller av praktiske situasjoner tegne grafer til funksjoner med og uten digitale hjelpemidler, og tolke grunnleggende egenskaper til en funksjon ved hjelp av grafen ("Læreplan i matematikk for realfag - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram - kompetansemål R1,") Aina Fossum Side 7 av 8

Kilder Bjåstad, S., & Jasper, P. (1984). Eksamensoppgaver i matematikk, 2MN, 3MN, 1971-1984 H. Oslo: H. Aschehoug & Co (W. Nygaard). Bjåstad, S., & Jasper, P. (1992). Eksamensoppgaver matematikk 2MN - 3MN, våren 1987 - våren 1992, med fasit. Oslo: Aschehoug. Eksamensoppgaver og veiledninger våren 1998. (1998). Oslo: Statens utdanningskontor i Oslo og Akershus, Eksamenssekretariatet. Eksamensoppgaver og veiledninger våren 2000. (2000). Oslo: Statens Utdanningskontor i Oslo og Akershus, Eksamenssekretariatet. Fossum, A. (2009). Algoritmer og kreativitet til matematikkeksamen. Fra 2MX til R1: Endret eksamensoppgavene seg med eksamensformen? (Masteroppgave), Universitetet i Oslo. Heir, O., Engeseth, J., Moe, H., & Borgan, Ø. (2014). Matematikk 1T. Oslo: H.Aschehoug & Co. [W. Nygaard]. Heir, O., Engeseth, J., Moe, H., & Borgan, Ø. (2015). Matematikk R1. Oslo: H. Ascheoug & Co. [W. Nygaard]. Imsen, G. (2005). Elevens verden: Innføring i pedagogisk psykologi. Oslo: Universitetsforlaget. Læreplan i matematikk fellesfag - kompetansemål 1T. Retrieved from http://www.udir.no/kl06/mat1-04/kompetansemaal?arst=1858830316&kmsn=2088314978 Læreplan i matematikk for realfag - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram - kompetansemål R1. Retrieved from http://www.udir.no/kl06/mat3-01/kompetansemaal?arst=1858830315&kmsn=-1169861937 Ommundsen, J. B., & Solvang, R. (1980). Matematikk for den videregående skole, Grunnbok 3MN. Oslo: J.W:Cappelens forlag AS. Solvang, R. (1992). Matematikkdidaktikk. Oslo: NKI Forlaget. Utdanningsdirektoratet. (2001). Formelsamling i matematikk. Oslo: Gyldendal Norsk Forlag AS. Aina Fossum Side 8 av 8