Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Nøgleord og begreber Funktioner af flere variable Grafen og niveaukurver Grænseovergange og grænseværdier Kontinuitet i flere variable Test kontinuitet Polære koordinater Test polære koordinater Calculus 1-2006 Uge 35.2-1

En generel funktion [S] 9.6 Functions and surfaces Figur y D (x, y) f(x, y) 0 x D R 2, f : D R Calculus 1-2006 Uge 35.2-2

Definitions- og værdimængde [S] 9.6 Functions and surfaces Definition En tilordning af et tal til et givet talpar definerer en funktion af to variable f : D R Calculus 1-2006 Uge 35.2-3

Definitions- og værdimængde [S] 9.6 Functions and surfaces Definition En tilordning af et tal til et givet talpar definerer en funktion af to variable f : D R Mængden af talpar kaldes definitionsmœngden. D R 2 Calculus 1-2006 Uge 35.2-3

Definitions- og værdimængde [S] 9.6 Functions and surfaces Definition En tilordning af et tal til et givet talpar definerer en funktion af to variable f : D R Mængden af talpar kaldes definitionsmœngden. Mængden af tal kaldes vœrdimœngden. D R 2 f(d) = {f(x,y) R (x,y) D} Calculus 1-2006 Uge 35.2-3

Bestem definitionsmængden [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3 Forskriften g(x,y) = 9 x 2 y 2 Calculus 1-2006 Uge 35.2-4

Bestem definitionsmængden [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3 Forskriften g(x,y) = 9 x 2 y 2 giver en funktion med definitionsmængde D = {(x,y) 9 x 2 y 2 0} = {(x,y) x 2 + y 2 3} som er cirkelskiven med centrum i 0 og radius 3. Calculus 1-2006 Uge 35.2-4

Bestem definitionsmængden [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3 Forskriften g(x,y) = 9 x 2 y 2 giver en funktion med definitionsmængde D = {(x,y) 9 x 2 y 2 0} = {(x,y) x 2 + y 2 3} som er cirkelskiven med centrum i 0 og radius 3. Værdimængden er intervallet g(d) = [0, 3] R Calculus 1-2006 Uge 35.2-4

Et populært problem [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel Aktive væsker x,y,z blandes med proportional virkning V = xyz Hvilket blandingsforhold giver størst virkning? Calculus 1-2006 Uge 35.2-5

Et populært problem [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel Aktive væsker x,y,z blandes med proportional virkning V = xyz Hvilket blandingsforhold giver størst virkning? x + y + z = 1 V = xy(1 x y) D = {(x,y) x > 0,y > 0,x + y < 1} Calculus 1-2006 Uge 35.2-5

Et populært problem [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel Aktive væsker x,y,z blandes med proportional virkning V = xyz Hvilket blandingsforhold giver størst virkning? x + y + z = 1 V = xy(1 x y) D = {(x,y) x > 0,y > 0,x + y < 1} Bestem maksimum for funktionen V på mængden D. Calculus 1-2006 Uge 35.2-5

Graf og niveaukurve [S] 9.6, 11.1 Functions of several variables Definition Grafen for en funktion f : D R Γ f = {(x,y,z) (x,y) D,z = f(x,y)} er en flade i rummet R 3. Calculus 1-2006 Uge 35.2-6

Graf og niveaukurve [S] 9.6, 11.1 Functions of several variables Definition Grafen for en funktion f : D R Γ f = {(x,y,z) (x,y) D,z = f(x,y)} er en flade i rummet R 3. Niveaukurven(konturlinjen) af kote k for en funktion f : D R f 1 (k) = {(x,y) D f(x,y) = k} er en kurve i planen R 2. Koter k vælges fra værdimængden. Calculus 1-2006 Uge 35.2-6

Udseende saddel Figur [S] 11.1 Functions of several variables z x y Grafen af f(x,y) = x 2 y 2 Calculus 1-2006 Uge 35.2-7

Udseende saddel [S] 11.1 Functions of several variables Figur y y = ± x 2 4 x Niveaukurver for f(x,y) = x 2 y 2 Calculus 1-2006 Uge 35.2-8

Halvkugleskal [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3,4,8 g(x,y) = 9 x 2 y 2 Calculus 1-2006 Uge 35.2-9

Halvkugleskal [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3,4,8 g(x,y) = 9 x 2 y 2 Grafen er en halvkugleskal Γ g = {(x,y,z) x 2 + y 2 9,z = 9 x 2 y 2 } = {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 = 9,z 0} Calculus 1-2006 Uge 35.2-9

Halvkugleskal [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 3,4,8 g(x,y) = 9 x 2 y 2 Grafen er en halvkugleskal Γ g = {(x,y,z) x 2 + y 2 9,z = 9 x 2 y 2 } = {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 = 9,z 0} Niveaukurver er cirkler g 1 (k) = {(x,y) x 2 + y 2 9, 9 x 2 y 2 = k} = {(x,y) x 2 + y 2 = 9 k 2 } Calculus 1-2006 Uge 35.2-9

Globus Figur [S] 11.1 Functions of several variables z x y Grafen for g(x,y) = 9 x 2 y 2 Calculus 1-2006 Uge 35.2-10

Breddegrader [S] 11.1 Functions of several variables Figur y x 2 + y 2 = 9 k 2 0 x Niveaukurver for g(x,y) = 9 x 2 y 2 Calculus 1-2006 Uge 35.2-11

Top og dal Figur [S] 11.1 Functions of several variables z x Grafen af f(x,y) = y y 1 + x 2 + y 2 Calculus 1-2006 Uge 35.2-12

Top og dal Figur [S] 11.1 Functions of several variables y x Niveaukurver for f(x, y) = y 1 + x 2 + y 2 Calculus 1-2006 Uge 35.2-13

Udvid til mange variable [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 11 Omtalen af funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Calculus 1-2006 Uge 35.2-14

Udvid til mange variable [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 11 Omtalen af funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Udtrykket f(x,y,z) = ln(z y) + xy sin(z) er en funktion i tre variable, defineret på definitionsmængden D = {(x,y,z) R 3 z > y} Calculus 1-2006 Uge 35.2-14

Udvid til mange variable [S] 11.1 Functions of several variables Eksempel 11 Omtalen af funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Udtrykket f(x,y,z) = ln(z y) + xy sin(z) er en funktion i tre variable, defineret på definitionsmængden D = {(x,y,z) R 3 z > y} Værdimængden er f(d) = R Calculus 1-2006 Uge 35.2-14

Goddag igen til grænseværdier [S] 11.2 Limits and continuity 1 Definition Grænseværdien af f(x,y) i et punkt (a,b) skrives eller lim f(x,y) = L (x,y) (a,b) f(x,y) L for (x,y) (a,b) når f antager værdier vilkårligt tæt på L, bare (x,y) er tilstrækkeligt tæt på (a,b). Calculus 1-2006 Uge 35.2-15

Helt præcist 5 Definition Grænseværdien eksisterer, hvis [S] Appendix D - Functions of two variables lim f(x,y) = L (x,y) (a,b) ǫ > 0 δ > 0 : (x a)2 + (y b) 2 < δ f(x,y) L < ǫ Calculus 1-2006 Uge 35.2-16

Ingen grænseværdi [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 1 f(x,y) = x2 y 2 x 2 + y 2 har ingen grænseværdi for (x,y) (0, 0). Calculus 1-2006 Uge 35.2-17

Ingen grænseværdi [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 1 f(x,y) = x2 y 2 x 2 + y 2 har ingen grænseværdi for (x,y) (0, 0). Løsning f(x, 0) = 1,x 0 f(0,y) = 1,y 0 Calculus 1-2006 Uge 35.2-17

Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the... Regneregler 1. Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. Calculus 1-2006 Uge 35.2-18

Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the... Regneregler 1. Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. 2. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. Calculus 1-2006 Uge 35.2-18

Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the... Regneregler 1. Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. 2. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. 3. Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien. Calculus 1-2006 Uge 35.2-18

Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the... Regneregler 1. Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. 2. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. 3. Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien. 4. Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne. Calculus 1-2006 Uge 35.2-18

Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the... Regneregler 1. Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. 2. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. 3. Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien. 4. Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne. 5. Grænseværdien af en kvotient er kvotienten af grænseværdierne. Calculus 1-2006 Uge 35.2-18

Kontinuitet på ny [S] 11.2 Limits and continuity 3 Definition Kontinuitet af f(x,y) i et punkt (a,b) skrives eller lim f(x,y) = f(a,b) (x,y) (a,b) f(x,y) f(a,b) for (x,y) (a,b) f er kontinuert i D, hvis f er kontinuert i alle punkter (a,b) D. Calculus 1-2006 Uge 35.2-19

Godt naboskab [S] 11.2 Limits and continuity Figur y D (x, y) (a, b) f(x, y) f(a, b) 0 x Kontinuitet Calculus 1-2006 Uge 35.2-20

Helt præcist Definition Kontinuitet hvis der gælder [S] Appendix D - Functions of two variables lim f(x,y) = f(a,b) (x,y) (a,b) ǫ > 0 δ > 0 : (x a)2 + (y b) 2 < δ f(x,y) f(a,b) < ǫ Calculus 1-2006 Uge 35.2-21

Test kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuity Test Hvis f(x,y) er en kontinuert funktion defineret i hele R 2, så er lim f(x,y) = f(0, 0). (x,y) (0,0) Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 35.2-22

Test kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuity Test Hvis f(x,y) er en kontinuert funktion defineret i hele R 2, så er lim f(x,y) = f(0, 0). (x,y) (0,0) Løsning Dette er netop definitionen på kontinuitet i (0, 0). Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 35.2-22

Regler om kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuity Morale for kontinuitet Calculus 1-2006 Uge 35.2-23

Regler om kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuity Morale for kontinuitet 1. De fire regningsarter og sammensat funktion af kontinuerte funktioner danner igen kontinuerte funktioner. Calculus 1-2006 Uge 35.2-23

Regler om kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuity Morale for kontinuitet 1. De fire regningsarter og sammensat funktion af kontinuerte funktioner danner igen kontinuerte funktioner. 2. De kendte elementære funktioner er kontinuerte. sin, cos, tan, arcsin,...,exp, log,... Calculus 1-2006 Uge 35.2-23

Regler om kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuity Morale for kontinuitet 1. De fire regningsarter og sammensat funktion af kontinuerte funktioner danner igen kontinuerte funktioner. 2. De kendte elementære funktioner er kontinuerte. sin, cos, tan, arcsin,...,exp, log,... 3. Funktionsudtryk er kontinuerte, hvor de er definerede. Calculus 1-2006 Uge 35.2-23

Anvend regler [S] 11.2 Limits and continuity Eksempler om kontinuitet Calculus 1-2006 Uge 35.2-24

Anvend regler [S] 11.2 Limits and continuity Eksempler om kontinuitet 1. Kontinuert på R 2 x y x 2 + y 2 + 1 Calculus 1-2006 Uge 35.2-24

Anvend regler [S] 11.2 Limits and continuity Eksempler om kontinuitet 1. Kontinuert på R 2 x y x 2 + y 2 + 1 2. Kontinuert på R 2,x pπ cosy sinx Calculus 1-2006 Uge 35.2-24

Anvend regler [S] 11.2 Limits and continuity Eksempler om kontinuitet 1. Kontinuert på R 2 x y x 2 + y 2 + 1 2. Kontinuert på R 2,x pπ 3. Kontinuert når x 2 + y 2 > 2 cosy sinx ln(x 2 + y 2 2) Calculus 1-2006 Uge 35.2-24

Kontinuert de rigtige steder [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 1, 6, 7 g(x,y) = { x 2 y 2, x 2 +y 2 (x,y) (0, 0) 0, (x,y) = 0 er ikke kontinuert i (0, 0), da g(x,y) ingen grænseværdi har for (x,y) (0, 0). Calculus 1-2006 Uge 35.2-25

Kontinuert de rigtige steder [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 1, 6, 7 g(x,y) = { x 2 y 2, x 2 +y 2 (x,y) (0, 0) 0, (x,y) = 0 er ikke kontinuert i (0, 0), da g(x,y) ingen grænseværdi har for (x,y) (0, 0). Fra regneregler for kontinuitet følger, at g(x,y) er kontinuert på mængden R 2 \{(0, 0)} af alle talpar fraregnet (0, 0). Calculus 1-2006 Uge 35.2-25

Hul i taget [S] 11.2 Limits and continuity Figur z x Ikke kontinuert i (0, 0) y Calculus 1-2006 Uge 35.2-26

Øvelse [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 4, 8 f(x,y) = { 3x 2 y, x 2 +y 2 (x,y) (0, 0) 0, (x,y) = 0 er kontinuert på mængden R 2. Calculus 1-2006 Uge 35.2-27

Øvelse [S] 11.2 Limits and continuity Eksempel 4, 8 f(x,y) = { 3x 2 y, x 2 +y 2 (x,y) (0, 0) 0, (x,y) = 0 er kontinuert på mængden R 2. Løsning viser, at x 2 f(x,y) = 3 y 3 y x 2 + y2 f(x,y) 0, når (x,y) (0, 0) Calculus 1-2006 Uge 35.2-27

Øvelse grafisk [S] 11.2 Limits and continuity Figur z x Kontinuert i (0, 0) y Calculus 1-2006 Uge 35.2-28

Udvid det hele til mange variable [S] 11.2 Limits and continuity Flere variable Omtalen af grænseværdi og kontinuitet for funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Calculus 1-2006 Uge 35.2-29

Udvid det hele til mange variable [S] 11.2 Limits and continuity Flere variable Omtalen af grænseværdi og kontinuitet for funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Eksempel Funktionen f(x,y,z) = 1 x 2 + y 2 + z 2 er kontinuert på mængden R 3 \{(0, 0, 0)}. Calculus 1-2006 Uge 35.2-29

Populære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsystem i planen består af et punkt polen O og en halvlinje polæraksen ud fra polen. Et vilkårligt punkt P er nu bestemt ved et talpar (r,θ). θ er vinklen mellem polæraksen og linjen OP målt med fortegn mod urets retning. r er afstanden fra O til P regnet med fortegn mht. den valgte polærakse. r P O 1 θ Calculus 1-2006 Uge 35.2-30

Pol og sigtelinje [S] Appendix H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsystem bestemmer et kartesisk koordinatsystem. Polen og punktet med polære koordinater (1, 0) bestemmer x-aksen og polen og punktet med polære koordinater (1, π ) bestemmer y-aksen. 2 y P(r cos(θ), r sin(θ)) 1 r O 1 θ x Calculus 1-2006 Uge 35.2-31

Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Sætning Givet et polœrt og tilhørende kartesiske koordinatsystem. Et punkt med polœre koordinater (r,θ) har kartesiske koordinater 1 x = r cos(θ), y = r sin(θ) Et punkt med kartesiske koordinater (x,y), x > 0 har polœre koordinater 2 r = x 2 + y 2, θ = tan 1 ( y x ) Calculus 1-2006 Uge 35.2-32

Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel Et punkt med polære koordinater har kartesiske koordinater (r,θ) = (2, 5π 4 ) x = r cosθ = 2 cos 5π 4 = 2 y = r sin θ = 2 sin 5π 4 = 2 (x,y) = ( 2, 2) Calculus 1-2006 Uge 35.2-33

Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Figur y P(3,3) 5π/4 3 2 π/4 P( 2, 2) 2 1 x Calculus 1-2006 Uge 35.2-34

Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel Et punkt med kartesiske koordinater har polære koordinater (x,y) = (3, 3) r = x 2 + y 2 = 3 2 + 3 2 = 3 2 θ = tan 1 y x = tan 1 3 3 = π 4 (r,θ) = (3 2, π 4 ) Calculus 1-2006 Uge 35.2-35

Test polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Test Punktet med kartesiske koordinater (x,y) = (1, 1) har polære koordinater: (a) (r,θ) = (2,π). (b) (r,θ) = ( 2, π 2 ). (c) (r,θ) = ( 2, π 4 ). Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Calculus 1-2006 Uge 35.2-36

Test polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Test Punktet med kartesiske koordinater (x,y) = (1, 1) har polære koordinater: (a) (r,θ) = (2,π). (b) (r,θ) = ( 2, π 2 ). (c) (r,θ) = ( 2, π 4 ). Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Løsning y (1,1) 0 1 x Calculus 1-2006 Uge 35.2-36

Test polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Test Punktet med kartesiske koordinater (x,y) = (1, 1) har polære koordinater: (a) (r,θ) = (2,π). (b) (r,θ) = ( 2, π 2 ). (c) (r,θ) = ( 2, π 4 ). Løsning Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) y (1,1) r = x 2 + y 2 = 1 2 + 1 2 = 2 0 1 x tanθ = y x = 1 1 = 1 θ = π 4 Calculus 1-2006 Uge 35.2-36

Delmængder i polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel y 0 a b x Den halve cirkelring i øvre halvplan kan beskrives i både kartesiske koordinater og i polære koordinater. Calculus 1-2006 Uge 35.2-37

Delmængder i polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel y 0 a b x Den halve cirkelring i øvre halvplan kan beskrives i både kartesiske koordinater og i polære koordinater. I kartesiske koordinater ved {(x,y) a x 2 + y 2 b, 0 y} Calculus 1-2006 Uge 35.2-37

Delmængder i polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel y 0 a b x Den halve cirkelring i øvre halvplan kan beskrives i både kartesiske koordinater og i polære koordinater. I kartesiske koordinater ved {(x,y) a x 2 + y 2 b, 0 y} I polære koordinater ved {(r,θ) a r b, 0 θ π} Calculus 1-2006 Uge 35.2-37

Funktioner i polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel En funktion g : R 2 \{0} R er givet i kartesiske koordinater ved forskriften (x,y) x2 y 2 x 2 + y 2 Calculus 1-2006 Uge 35.2-38

Funktioner i polære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Eksempel En funktion g : R 2 \{0} R er givet i kartesiske koordinater ved forskriften (x,y) x2 y 2 x 2 + y 2 I polære koordinater x = r cos(θ), y = r sin(θ) er funktionen g givet ved (r,θ) (r cos θ)2 (r sin θ) 2 (r cosθ) 2 + (r sin θ) 2 = (cosθ) 2 (sinθ) 2 = cos(2θ) Calculus 1-2006 Uge 35.2-38