Løsningsforslag Øving 5 TEP41 Fluidmekanikk, Vår 216 Oppgave til forberedning til Lab x dx y y Figure 1 a) Oppdriftskraften på kvartsirkelen er F B = γu = γ π2 4 L der γ = ρg er den spesifikke vekten av vannet. Del opp arealet av kvartsirkelen i vertikale striper, hver av bredde dx og høyde y = 2 x 2, og ta flatemomentet av arealet omkring O: A x CG = Med substitusjon u = 2 x 2 blir integralet x 2 x 2 dx = 1 2 x 2 x 2 dx, A = 1 4 π2. 2 udu = 1 3 3. Det gir x CG = 4 3π, 1
og kraftmomentet M omkring O blir M = F B x CG = 1 3 γ3 L. Diskusjon Oppdriften på kvartsirkelen utøver et dreiemoment om O, med aksen pekende ut av pappiret M O = M k = 1 3 γ3 L dvs. kvartsirkelen vil dreie med klokken. b) Sigden er differansen mellom en kvartsirkel med radius og en halvsirkel med radius /2. Sigdens volum Altså blir oppdriftskraften på sigden V = [ 1 4 π2 1 2 π(/2)2 ]L = 1 8 π2 L. F B = γv = 1 8 γπ2 L. O /2 /2 Figure 2 Kraftmomentet omkring O kan skrives M = M 1 M 2, hvor M 1 er momentet for kvartsirkelen M 1 = 1 3 γ3 L, som før. For halvsirkelen ytterst til høyre i figur 2 er volumet (se over) V 2 = 1 2 π(/2)2 L = 1 8 π2 L, 2
og avstanden til angrepslinjen er Det betyr at og dermed x CG2 = 4/2 3π = 2 3π. M 2 = F B2 x CG2 = 1 8 γπ2 L 2 3π = 1 12 γ3 L, M = M 1 M 2 = 1 4 γ3 L. Diskusjon Kraftmomentet omkring O er mindre for sigden enn for kvartsirkelen, men retningen av dreiemomentet om aksen er den samme. Oppgave 4-35 Løsning Antagelser Analyse For et gitt hastighetsfelt skal vi utlede et uttrykk for strømlinjene. 1 Strømningen er stasjonær. 2 Strømningen er todimensjonal i x-y-planet. Det stasjonære, todimensjonale hastighetsfeltet i oppgave 4-17 er Hastighetsfelt : V = (u, v) = (U + bx) i by j (1) For en todimensjonal strømning i x-y-planet er strømlinjene gitt med dy Strømlinjer i x-y-planet : = v dx langs en strømlinje u Vi setter u og v fra (1) inn i (2) og får dy dx = by U + bx Vi løser differensialligningen over ved separasjon av variablene dy y = bdx U + bx Ved å integrere får vi ln y = ln ( U + bx ) + ln C (3) hvor vi har satt integrasjonskonstanten lik den naturlige logaritmen til konstanten C for å gjøre algebraen enklere. Vi bruker at ln (ab) = ln a + ln b og ln a = ln (1/a), og gjør om (3) til Uttrykk for strømlinjene : y = C (U + bx) Diskusjon Ved å bruke ulike verdier for konstanten C får vi ulike, unike strømlinjer for strømningen. For løsningen av MatLab-oppgaven se MatLab LF5.m på It slearning 3 (2) (4)
Oppgave 4-51 Løsning For et gitt hastighetsfelt skal vi finne et uttrykk for x-posisjonen til en fluidpartikkel som beveger seg langs x-aksen som en funksjon av tid. Antagelser Analyse 1 Strømningen er stasjonær. 2 Strømningen er todimensjonal i x-y-planet. Hastighetsfeltet er Hastighetsfelt : V = (u, v) = (U + bx) i by j (5) Dersom vi følger en fluidpartikkel langs x-aksen, har vi x-komponenten av hastigheten til en fluidpartikkel: dx partikkel dt = u = U + bx partikkel (6) hvor vi har satt inn u fra (5). Vi separerer variablene og fjerner partikkelnotasjonen Ved å integrerere på begge sider får vi dx = dt (7) U + bx 1 b ln (U + bx) = t 1 b ln C 1 (8) Igjen har vi satt integrasjonskonstanten lik den naturlige logaritmen til en konstant C 1 multiplisert med konstanten 1/b for å gjøre algebraen enklere. Vi bruker at ln (ab) = ln a + ln b, og gjør om (8) til ln ( C 1 (U + bx) ) = bt og får U + bx = C 2 e bt (9) hvor C 2 = 1/C 1 er en ny konstant, definert for å gjøre uttrykket enklere. Vi setter videre inn den kjente initialbetingelsen x(t = ) = x A for å finne konstanten C 2 i (9). Etter litt algebra får vi Fluid partikkelens x-posisjon ved tid t: x = x A = 1 ] [(U + bx A )e bt U (1) b Diskusjon Vi kan se at x = x A for t = i (1). Oppgave: Todimensjonal inkompressibel strømning a) Strømningens horisontale hasighetskomponent, u(x) = Ue x/l, er uavhengig av y. Volumstrømmen mellom de to veggene blir: V = Q = h(x) udy = u(x) h(x) = UH 4
b) Fra Kontinuitetslikningen får vi den vertikale hastighetskomonenten v = v(x, y): Integrering gir: v y = u x = U L ex/l v = Uy L ex/l + F (x) Vi må ha F (x) = fordi på den nedre veggen er v(x, y = ) =. Derfor: v = Uy L ex/l c) Strømlinjene finnes ved å bruke det generelle uttrykket for strømlinjer: dy/dx = v/u. Det gir: dy dx = y L. Strømlinjene blir: y = y e x/l hvor y er posisjonen til en gitt strømlinje som starter ved x =. Starter du i y = H ser du at den øvre veggen også er en strømlinje. 5