Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 7 ( 5) Vi skal btte integrasjonsrekkefølgen i integralet dd Når vi btter integrasjons- rekkefølgen må integrasjonsområdet beskrives på ntt Dobbelintegralet er gitt ved iterert integrasjon og vi finner først ulikhetene for integrasjonsområdet Disse er integrasjons- grensene i variabelen som det integreres over i hvert enkelt integral Integrasjonsområdet er beskrevet som enkelt og er Vi bestemmer først randa til området Denne er gitt ved finne som funksjon av De to første likningene gir, Vi trenger å, gir at og Kvadrering av den siste gir, Dobbelulikheten Samlet gir dette Området er avgrenset av en parabel og en rett linje En figur viser at Det er mulig å resonnere seg fram til dette også, men det er vesentlig enklere med figur etter btte av integrasjonsrekkefølge blir da som enkelt område Vi får 6 dd dd [ ] d d [ ] Oppgave 5 ( 5 ) Problemet med integralet sin dd er at vi ikke kjenner noen antiderivert til sin d I stedet er det slik at integralet definerer en n funksjon, på samme måte som d definerer sin logaritmefunksjonen ln Funksjonen d er ikke viktig nok til å ha eget navn Dermed kan ikke integrasjonen utføres Vi merker oss at integrasjonsområdet beskrevet som enkelt gjør at integralet er uløselig Dette er den tterste versjon av at integrasjonen avhenger av integrasjonsrekkefølgen Vi skal btte integrasjonsrekkefølge og må beskrive integrasjonsområdet på ntt Fra integralet finner vi den enkle beskrivelsen av området:
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Btte av integrasjonsrekkefølgen krever at vi bestemmer området som enkelt Vi finner som den ene randkurven Videre har vi at Siden må den andre være Dermed er, noe som enkelt finnes fra en figur Dermed er sin sin sin dd d d [ ] d sin d [ cos ] cos + cos, hvor vi har benttet at sin er konstant når det integreres i Merk at integralet var løselig kun fordi området var så spesielt at vi fikk forkortet i nevneren Andre former på området, f eks et kvadrat, umuliggjør forkortingen og integralet forblir uløselig uansett integrasjonsrekkefølge Oppgave 5 ( 5 ) Ovenfra er legemet avgrenset av paraboloiden Øvre + Nedenfra er legemet avgrenset av planet Nedre I planet er projeksjonen av legemet avgrenset av linjene, og + Vi bestemmer avgrensingen langs aksen ved å bestemme skjæringspunktet til linjene: Dermed har vi beskrevet projeksjonen av legemet som Den øverste ulikheten framkommer ved å bestemme hvem av linjene som gir størst verdi i Volumet av legemet er v ( D ) da da Øvre Nedre + + dd [ + ] d ( ) + ( ) ( + ) d 7 7 7 6 ( ) d [ ( ) ] + + + + + Kommentar: Volumet av et legeme er alltid gitt ved vd ( ) dv Dette gjelder uavhengig av koordinatsstem Her integreres den konstante funksjonen f(,, ), og denne har samme verdi i alle koordinatsstemer Beskrivelsen av legemet er Trippelintegralet gir D + D + + v( D) d d d [ ] d d + d d,
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) som er dobbelintegralet over av Øvre dobbelintegral Nedre, i overensstemmelse med volumformelen fra Oppgave ( 5 ) Vi nøer oss med å beregne integralet cos sin fra sin cos tan tan () Integrasjon gir d d Skjæringspunktet til kurvene bestemmes cos cos [ ] sin sin d d d d cos sin [sin + cos ] sin + cos (sin + cos ) + Oppgave 7 ( 57 ) Gjennomsnittet av en funksjon i to variable er f f(, ) da a ( ) Gjennomsnittshøden 8 er h h(, ) da dd [ ] d d a ( ) + + + 8 8 [ ] + Oppgave ( 5 ) Fra integrasjonsgrensene i integralet + dd følger at området er Vi har at området være i kvadrant Området er dermed kvartsirkelen + r blir integralet + Siden både og er positive må r Med θ + d d r r dr dθ [ r ] dθ [ θ ] 8
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 8 ( 58 ) Arealet av et område er a ( ) da, som gjelder uavhengig av koordinatsstem Siden randa til området er beskrevet i polare koordinater beskriver vi området direkte i polare koordinater Kurvene skjærer hverandre når + cosθ θ cos () ± Dette gir r + cosθ Arealet blir θ + cosθ + cosθ a ( ) rdrdθ [ r ] dθ ( + cos θ ) dθ cosθ + cos θdθ cos θ + ( + cos θ) dθ [sin θ + ( θ + sin θ) ] {sin + ( + sin ) sin( ) ( + sin( )} ( + ) + Oppgave ( 58 ) Integralet d d ( + + ) er et generalisert integral siden integrasjonsområdet er ubegrenset Integrasjonsområdet er, som vi kjenner igjen som hele kvadrant I r polare koordinater blir området Med + r og dd da rdrdθ blir θ integralet ( ) dd rdrdθ + + ( + r ) Vi ser på r integralet for seg Vi hadde opprinnelig to generaliserte integraler, men etter du variabelskiftet er det kun ett igjen Vi substituerer u + r dr De ne grensene blir r u + og r u Integralet blir du rdr r u du [ u ] ( + r ) u r u du (lim B + ) B r Egentlig skal integralet beregnes som en grenseverdi grensen ikke er ubestemt og har verdi så brukes samme innsettingsnotasjon som for bestemte integral, selv om dette strengt tatt ikke er riktig Vi får ( + + ) d d dθ [ θ ] Siden
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 57 ( 57 ) cos( u + v + w) du dv dw [sin( u + v + w) ] dv dw sin( + v+ w) sin( + v+ w) dvdw [ cos( + v+ w) + cos( v+ w) ] dw cos( + + w) + cos( + w) + cos( + + w) cos( + w) dw cos( + w) cos wdw [sin( + w) sin w] (sin( + ) sin sin( + ) + sin ) Vi har kun integrert i en variabel av gangen og satt inn grenseverdiene for denne Det er intet poeng å forsøke å forenkle uttrkket ved å bruke addisjonsformlene for sinus og cosinus Videre har vi brukt at perioden er Oppgave 55 ( 55 ) I oktant er alle tre variablene positive Planet + Dermed er avgrensingen vertikalt Vi trenger projeksjonen av legemet i planet Slinderen gir avgrensingen Vi trenger avgrensingen langs aksen Fra planet har vi med at Fra slinderen har vi at ± med samme resultat som for planet siden legemet er i oktant Dermed er Vi har funnet følgende beskrivelse av legemet: D Vi ser at integrasjonsrekkefølgen avviker noe fra standard, dette for å slippe å løse som funksjon av som gir en kvadratrot Volumet blir v( D) dv d d d D [ ] ( )[ ] ( )( ) d d d d d d 6 8 + d [8 + ] 6 8 + 5
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 67 ( 57 ) Massen til et område i planet med tetthet δ δ (, ) er m δ (, ) da M M Massesentret, som er legemets balansepunkt i et homogent tngdefelt, er C,, m m med momentene M δ (, ) da og M δ (, ) da Treghetsmomentene om aksene er I δ (, ) da, I δ (, ) da og I + da Vi ser at ( ) δ (, ) I I + I Groradiene, som er avstanden fra rotasjonsaksen til en ekvivalent punktmasse, I dvs at punktmassen har samme treghetsmoment om aksen som hele legemet, er, m I I og Merk at treghetsmomentene og dermed groradiene vanligvis er m m forskjellige for de forskjellige aksene Vi skal beregne c, I og Vi må først beregne massen til den tnne platen Området er gitt som Med tettheten δ (, ) 7+ blir massen ved innsetting av uttrkket for tettheten 7 7 7 5 7 [ ] [ ] 5 m + d d + d + d + Massesentrets koordinat er M C δ (, ) da m m δ (, ) M da 7 7 6 7 5 (7 + ) d d [ + ] d + d [ + ] 5 5 Massesentrets koordinat er C 5 Treghetsmomentet om aksen er I δ (, ) da 7 7 6 7 5 7 (7 + ) d d [ + ] d + d [ + 5 ] 5 Groradien blir da 7 5 5 I 8 m 6
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 76 ( 566 ) Vi skal stille opp f (, r θ, ) dv som et iterert integral over det gitte området, som er en D slinder Vi bør av den grunn velge slinderkoordinater Vi har at 5 Siden uttrkket inneholder koordinaten må vi bruke rcos θ, rsinθ for å skrive om uttrkket Slinderkoordinater kan kun inneholde r, θ, som variable Omskrivingen blir 5 rcosθ Projeksjonen er gitt ved r cosθ Siden sirkelen går gjennom origo blir likningen for vinklene r cosθ θ ± Dette kan også ses direkte av figuren, når vi 5 rcosθ merker oss av aksen peker ut av papirplanet Dermed er D r cosθ θ Integralet på iterert form blir D cosθ 5 r cosθ (,, ) (,, ) f r θ dv f r θ r d dr dθ Vi skal som spesialtilfelle beregne volumet av slinderen Da er f(, r θ, ) som gir cosθ 5 r cosθ cosθ 5 cos vd ( ) r [ ] drdθ r(5 rcos θ) drdθ [ r r cos θ ] dθ 5 5 cos 9 cos cos 9 cos θ θ dθ θ dθ θ dθ Vi må beregne integralene for seg cos θ dθ ( + cos θ) dθ [ θ + sin θ ] og cos θ dθ cos θ ( sin θ) dθ cos θ (cosθsin θ) dθ sin ( θ) dθ ( cos θ) dθ 8[ θ sin θ ] 8 8 5 9 7 6 Volumet blir vd ( ) 9 8 8 8 θ Oppgave 78 ( 568 ) Her er det naturig å bruke kulekoordinater siden deler av overflaten til legemet er en kuleflate Igjen må vi beskrive området i rommet Legemet er mellom kjegleflaten ϕ og planet Dette gir ϕ, siden vinkelen ϕ langs den positive aksen Dermed er ρ θ D ϕ 7
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Volumet er ( ) sin D vd dv ρ ϕdρdϕdθ 8 8 8 [ sin ] d d [ cos ] d ( cos + cos )[ ] ρ ϕ ϕ θ ϕ θ θ Dette gir en oppdeling av halvkulen i to deler med samme volum Delevinkelen fra toppen er 6 Oppgave 766 ( 5666 ) Gjennomsnittet er f v( D) f(,, ) dv D ρ cosϕ ρ sin ϕdρdϕdθ [ ρ ] cosϕsinϕdϕdθ 6 sin ϕdϕdθ 6 [ cos ϕ] dθ ( cos + cos )[ θ ] 8 Merk at siden ρ cosϕ så har vi beregnet gjennomsnittshøden til halvkuleflaten over planet For en generell halvkule er den h, noe som innses direkte fra beregningene 8 Oppgave 89 ( 579 ) Vi skal beregne integralet + dahvor integrasjonsområdet er avgrenset av, 9,, hvor de to første kurvene er hperbler og de to siste er rette 9 linjer Løst for blir hperblene, Vi skal skifte til ne variable u, v med u v, uv Her kjenner vi de gamle koordinatene som funksjon av de ne, så vi slipper å løse likningene for de gamle uttrkt ved de ne Vi finner først den ne integranden + + uv v + u u + v; u >, v > uv u u v v Vi må finne det ne integrasjonsområdet G Vi vet at koordinatskiftet tar randa til G på randa til og vice versa Vi skifter derfor variable i likningene for randkurvene til området u Innsatt i den første hperbelen gir dette v uv u u ± Siden u > er den tilsvarende randkurven for området G u Den andre hperbelen gir u v uv u 9 u ± Siden u > blir tilhørende randkurve for G u Den første u rette linjen gir uv v v ± og med v > er den tilsvarende randkurven v 8
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) for G v Den andre linja gir den siste randkurven for det ne området G: u uv v v v± som med v > er, v Det ne integrasjonsområdet v blir G og dette gir de ne integrasjonsgrensene u G uv Vi må beregne Variabelskifteformelen er f ( da, ) f ( uv (, ), uv (, )) Juv (, ) da jacobideterminanten til variabelskiftet/koordinattransformasjonen Juv u v ( u) ( u ) u v v u v u v v v u u (, ) ( ) ( uv) ( uv) v v v u v v u u v Innsatt i integralet blir dette u u (, ) ( ) [ ln ] G v uv v f da u + v da + u dv du u v + uv du 5 u ln + udu [ u ln + u ] 8ln + 9 ln ln + 8 Oppgave 8 ( 57 ) Integralet + ( ) ( ) e d d skal løses ved å bentte koordinattransformasjonen, + u+ v v Området er beskrevet som enkelt og integrasjonsgrensene er gitt Integrasjonsområdet er Vi må bestemme det ne området G ved å bentte at koordinattransformasjonen overfører på G og omvendt Vi har ( + ) Vi setter transformasjonslikningene inn i likningene for randa til området Likningene overføres da til de ne koordinatene, og siden rendene er i en til en korrespondanse, så er dette likningene for randa til det ne området, G Vi setter inn i likningene etter tur: u+ v v u, ( + ) + u+ v v+ u, u u v og v Vi har funnet G v v 9
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Med dette er de ne integrasjonsgrensene avklart og det ne området er v G u Vi trenger å bestemme integranden i de ne koordinatene Vi må først omforme ( u+ v) v u Integranden i de ne koordinatene blir ( ) ( u) u ( ) e v ( u) e v ue Til slutt trenger vi jacobideterminanten til koordinattransformasjonen (, ) Juv (, ) Innsatt blir integralet i ne ( uv, ) koordinater + ( u+ v) ( u+ v) u v u v ( v) ( v) u v u v ( ) ( ) e d d u u u ( ) [ ] 8 v u e dv du v ue du ue du dw dw dw Det siste integralet løser vi ved substitusjon i en variabel Lar w u du u 8u De ne integrasjonsgrensene blir: Nedre grense: u w u og Øvre grense: u w u Dermed er integralet 6 vue 6 6 u dvdu ue u du ue w dw e w dw e 6 e e 6 8u 8 8 ( u ) Oppgave 8 ( 57 ) Vi skal beregne trippelintegralet + dv over området avgrenset av D,, ved å bentte variabelskiftet/koordinattransformasjonen u, v, w Her kjenner vi de ne koordinatene uvw,, som funksjoner av de gamle koordinatene,, Dette gjør at vi må løse likningene for å finne de gamle koordinatene som funksjoner av de ne Med G som området beskrevet i de ne koordinatene gir variabelskifteformelen for trippelintegral f (,, ) dv guvw (,, ) Juvw (,, ) dv D G uvw, hvor den ne integranden bestemmes ved å sette inn for de gamle koordinatene i f (,, ) Vi starter med å finne integrasjonsområdet G I stedet for å bestemme randa til D så setter vi inn de ne variablene direkte i ulikhetene Dette gir w ( u, v, ) ( u, v, w ) Fra ulikhetene har vi det ne
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) u integrasjonsområdet G v w Her var opplsningene slik at det ikke lønte seg å gå via randa til D, selv om også dette hadde ført fram Vi trenger de gamle koordinatene som funksjoner av de ne Fra uttrkkene har vi v v direkte at u, w Det gjenstår å bestemme Vi har Transformasjonen er u v u Jcobideterminanten er w ù u u u v w u v w (,, ) ( v) u ( v) u ( v) u v ( uvw,, ) u v w u v w u u ( w) ( w) ( w) u v w u v w Juvw (,, ), u u siden determinanten er øvre triangulær Ìntegranden bestemmes ved direkte innsetting f (,, ) + u + u w uv+ vw guvw (,, ) Trippelintegralet blir v v u u D u w + dv ( uv + vw) dwdv du v( + ) dwdv du w 9 [( u ] ( u) [ ( u)] u v w + dv du v + dv du v + du + du [u+ ln u] ( + ln ( + ln)) + ln u Løsninger til oppgaver fra fellesliste over manglende oppgaver i gammel og n utgave Oppgave 55 (Gammel) Vi må finne en beskrivelse av legemet Fra opplsningene om har vi Det gjenstår å bestemme projeksjonen i planet Vi har at og ønsker å beholde denne for å slippe kvadratroten som følger hvis vi løser for Paraboloiden skjærer planet i ± Legemet er i første oktant og dermed er, minusløsningen er utelukket Videre er kurven mindre enn siden den går gjennom origo Da gjenstår avgrensingen langs aksen Vi har at kurvene skjærer hverandre
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) når ± Første oktant gir Legemet blir D Vi skal beregne C, I og Til dette trenger vi massen m dv [ ] ( ) [ ] k d d d k d d k d d k d 5 9 6 8 5 k + d k[ + ] k( + ) k Massesentrets komponent er M C m D M δ (,, ) dv k d d d D k k 5 k [ ] dd ( ) dd (6 8 + ) dd k 6 5 9 6 6 [8 6 ] d k 8 k 6 d [ 5 8 ] + + + ( + ) k k 8 56 5 8 5 Massesentrets koordinat er C M k 8 m k 7 56 5 5 Merk at både massen og momentet avhenger av proporsjonalitetsfaktoren k, mens massesentret er uavhengig av proporsjonalitetsfaktoren, k Massesentret avhenger kun av hvordan massen er fordelt i legemet Dette er rimelig siden to legemer med samme massefordeling har massesentret på samme sted selv om det ene legemet har dobbelt så stor masse som det andre, dvs har dobbel så stor k ( ) (,, ) D ( ) ( )[ ] Treghetsmomentet om aksen er I + δ dv + k d d d k + d d 5 k ( + )( ) d d k ( ) + ( ) d d 6 6 9 7 [ ( 6 ) ( ) ] 6 k + d k + + + d
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) 8 8 6 8 6 5 8 8 8 8 5 k[ + + + ] k( + + + ) k Groradien er I k 5 m k 56 5 5 5 Igjen er treghetsmomentet avhengig av proporsjonalitetsfaktoren, k, mens groradien ikke avhenger av k Groradien er avhengig av massefordelingen og ikke av skaleringsfaktoren For å gi et inntrkk av integrasjonsrekkefølgens betdning er oppgavene nedenfor løst på begge måtene Vi får forskjellige uttrkk avhengig av integrasjonsrekkefølgen og vi kan ende opp med generaliserte integraler selv om den opprinnelige integranden er definert på hele integrasjonsområdet Oppgave 7 ( N ) Vi skal løse integralet dd + ) Ved integrasjon i variabelen er variabelen konstant Vi løser først integralet du du du ved substitusjonsmetoden u + som gir d u ( + ) Ne integrasjonsgrenser blir Nedre: u + og Øvre: u + + Dette gir Dermed er + + + du du d [ln u ] ln( + ) ln ln( + ) + u u dd ln( + ) d + Integralet løses som vanlig ved delvis integrasjon hvor vi deriverer bort logaritmen ln( + d ) ln( + d )
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Setter U U d og V ln( + ) V + Delvis integrasjon gir ln( + d ) [ ln( + ) ] d + ln ln du ln [ ln( + )] ln ( ln ( ln)) ln, + + Hvor vi har brukt at, som også kan finnes ved polnomdivisjon + + + Omskrivingen er nødvendig siden telleren ikke har lavere grad enn nevneren ) Integralet kan også beregnes ved å btte rekkefølgen: dd dd + + Nå har telleren samme grad som nevneren og vi må polnomdividere I polnomdivisjonen i variabelen betraktes som konstant Divisjonen gir: + + + :( ) + ln( ) Innsatt får vi + dd + dd [ ] d ln( + ) d + + Det siste integralet løses ved delvis integrasjon og delbrøkoppspalting I ln( + ) d lar vi U U d og V ln( + ) V + Innsatt i formelen for delvis integrasjon finner vi ln( + ) d ln( + ) d ln( + ) + d + ( + ) Vi bentter delbrøkoppspalting på det siste integralet og finner A B + A( + ) + B Valget gir A og valget gir B ( + ) + Dermed er ( + ) + + + Det siste integralet blir ( ) d d ln( ) ln( + )
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Totalt gir integrasjonen ( ) ln( + ) d ln ln( + ) + ln( ) ln( + ) ln( + ) + ln( + ) Siden integranden ikke er definert i er ln( +) d et generalisert integral Verdien bestemmes som en grense: ln( + ) d lim ln( + ) d A + A A + A A + A ( ) lim [ ln( + ) + ln( + ) ] lim ln( + ) + ln( + ) ( ln( + A) + ln( + A)) ln ln lim A ln( A) ln ln lim A ln( A) A + A + + + + Den siste grensen er et ubestemt uttrkk av tpen ln( + A) + A lim lim, A + A A + og bestemmes fra L Hopitals regel som med resultat dd lim ln( + ) d ln A + + A Det er enklere å løse integralet ved først å integrere i variabelen, siden en slipper hele problematikken med generalisert integral Integranden i dobbelintegralet er definert på hele området, men integrasjon først i variabelen gjør at integranden ikke er definert i Vi ser at uttrkkene kan endre karakter ved å btte integrasjonsrekkefølge Oppgave 6 ( N ) ) Integralet blir etter at vi har beskrevet integrasjonsområdet som enkelt: sin( + ) da sin( + ) dd Vi bruker delvis integrasjon i variabelen U U og V sin( + ) V sin( + ) d cos( + ) Innsatt gir dette sin( + ) d [ cos( + ) ] ( cos( + )) d cos( + ) + [sin( + ) ] cos( + ) + sin( + ) sin 5
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Vi kan bruke trigonometriske formler til å forenkle uttrkket til cos sin, men det er ikke nødvendig sin( + ) dd cos( + ) + sin( + ) sin d [ sin( + ) cos( + ) + cos ] sin( + ) cos( + ) + cos ( sin( + ) cos( + ) + cos( ) + + + ) Integralet blir etter at vi har beskrevet integrasjonsområdet som enkelt: sin( + ) da sin( + ) dd [ cos( + ) ] d cos + cos( + ) d (cos( + ) cos ) d Igjen kan uttrkket forenkles, nå til cos, men heller ikke dette er nødvendig Delvis integrasjon gir U U og V cos( + ) cos V cos( + ) cosd sin( + ) sin (cos( + ) cos ) d [ (sin( + ) sin ) ] (sin( + ) sin ) d [ cos( + ) + cos ] cos cos cos( ) + cos Oppgave ( N ) ) Integrasjonsområdet beskrives som enkelt og integralet blir da dd + + Vi ser først på d + Variabelskiftet ( substitusjonen ) u d du du du + gir u ( + ) 6
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Ne grenser Nedre: u + og Øvre: u + + Dermed + + du du + d [ln u ] + u u ln( + ) (ln( ) ln) + Integralet blir ln( + ) ln( + ) + dd d d Dette er et generalisert integral selv om dobbelintegralet ikke er det Følgelig får vi en grenseberegning i tillegg til innsettingene Vi bruker delvis integrasjon for å kvitte oss med logaritmedelen: U U d og V ln( + ) V + Innsatt dd + d + d + + ln( ) [ ln( ) ] ln( + ) + ln( + ) + lim + d ln lim [tan ] + + + + + ln ln + + tan tan ) Området beskrevet som enkelt gir integralet da dd + + Vi ser først på d + Variabelskiftet ( substitusjonen ) u gir du du du d u ( ) Ne grenser Nedre: u og Øvre: u Dermed er du du d [tan u ] tan tan tan + u + u + 7
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Innsatt tan tan + dd d d Vi kvitter oss med invers tangens ved hjelp av delvis integrasjon: U U d og V tan V + Vi får tan d [ tan ] d + ln tan tan [ ln( + )], du du hvor vi benttet substitusjonen u + d u du du + u u d ln u ln( + ) med 8