Løsningsfoslag TEP 00 FLUIDMEKNIKK.juni 007 Oppgave a) Foskjellen i vekt e oppdiftskaften på kula nå den e neddykket i olje (oppdiften i luft neglisjees). Oppdift =ρ Volum g olje π =ρvann SGolje d g 6 π = = 6 6 998 0.85 0.00 9.8N.6 0 N mg Vekt = mg Vekt = mg - oppdift Oppdift mg Konstant hastighet U bety ingen akseleasjon, dvs. F VETIKL = 0: F = 0 mg = Oppdift + Dag VETIKL Dag ρ oljeu π D olje ρoljeu eal ed ρoljeud/ μ π π dg ( ρkule ρolje ) = ρ kule = ρ olje + πμ = C Dag= ρ U eal= d = Uπμ d mg d g d g U d U 6 6 8μ ρ = = = 8μ 8 0. dg vann SGkule SGolje 0.00 9.8 998.0 0.85 m / s 0.07m / s Kontollee eynoldstallet: ρ Ud ρ SG Ud 998 0.85 0.07 0.00 = = = = < μ μ 0. olje vann olje ed 0.099 0. Legge et kontollvolum (som følge kula med hastighet U) med topp- og bunnflate ved de hoisontale tvesnittene og de vi kjenne hastighet og tykk. Ove snitt e hastigheten u og tykket e p mens ove snitt e hastigheten U og tykket e p. Kontollflaten må også legges inntil kula slik at vi få med kontaktkaften de. Kaftloven i vetkal etning (positiv opp): eal u F = F + p d p d m g = ρ U d + ρ u d Vetikal K olje olje olje Kaften fa olja på kula bli motkaften til F K : U F = F = p p d m g+ρ U ρ u d kule K olje olje olje
He kan man sette inn fo massen til olja: m =ρ Volum Volum g. olje olje CV kule Kaften fa olja på kula vil he bestå av motstandskaften (dag) og oppdiftskaften. Dagkaften alene bli da Dag = p p d m g +ρ U ρ u d Oppdift olje olje olje ltenativ: Betakte hastighetsfodelingen u oppgitt i et absolutt koodinatsystem. La kontollvolumet ligge stille. Svaet bli da: Dag = p p d m g ρ u d Oppdift olje olje ltenativ: Ta man vekk den statiske tykkvaiasjonen, dvs anta tykket i snitt og e statiske, få man et litt enklee uttykk fodi m olje g + oppdift utgjø nettopp tykkaften unde ove : Dag =ρoljeu ρolje u d (Som å betakte poblemet uten tyngdekaft.) I. Vektøkning nå kula henge stille i snoa neddykket i olje bli oppdiftskaften funnet i a). Fo vekta kjennes det ut som om det e blitt et volum = kulas volum med olje eksta. Vektøkning =.6 0-6 N elle. 0-7 kg. II. Vektøkning nå kula synke med hastighet U bli oppdiftskaften og dagkaften som tilsammen e lik vekten av kula. Vektøkning π π 5 6 = mkuleg =ρ vannsgkule d g = 998.0 0.00 9.8 =.5 0 N elle.57 0 kg. 6 6 III. Vektøkning nå kula ligge stille på bunnen bli den samme som i tilfelle II. Oppgave a) Netto tykkaft bety at vi kan ta vekk atmosfæetykket. Den hoisontale tykkaften F H som vike på den kumme endeflaten B finne vi ved å se på tykket på vetikalpojeksjonen av flaten: π FH = pcg eal=ρg H D/ D H D ( D) ρg H Skisse av tykkfodelingen: ρ gh B
π FH = 750 9.8 5 N = 9.5kN Tallvedi: egne føst om til SI-enehete. 7 Viskositet: ν= 0 cm /s= 0 m /s Volumstøm: Q = 8 lite / min = 0.000 m / s Q 0.000 Finne gjennomsnittshastigheten V i øet: V= = m/s=.5m/s πd π 0.06 Vd.5 0.06 Finne eynoldstallet i øet: e = = = 60 000 > 00 : Tubulent! 7 ν 0 Fiksjonsfakto: Fiksjonstapet: 0.5 0.5 f 0.6 e = = 0.6 60000 = 0.00 V L.5 50 hf = f = 0.00 m =.7 m g d 9.8 0.06 øbendtap: V.5 hk = K 50 = 0. 50m =.5m g 9.8 Total tapshøyde: h tot = hf + hk =.7 m +.5m =.87 m Buke Benoulli s likning med tap langs en stømlinje fa bensin-oveflaten inne i tanken (de tykket e p a, hastigheten e null og høyden e H) til enden av øledningen (de ovetykket e p e, hastigheten e V og høyden e null): p a ρg p + 0 H= e + p ρg a V 0 h tot h pumpe +α + + g Tubulent stømning: α. Pumpehøyden h pumpe bli p V 00000.5 ρg g 750 9.8 9.8 e hpumpe = + + h tot + H = + + + 5 m = ( 7.8 + 0.5 + + 5) m = 55.m Pumpa må altså lage en tykkøkning tilsvaende ρgh pumpe og samtidig gi en volumstøm Q. Pumpe-effekt: P = Qρ gh = 0.000 750 9.8 55. W = W pumpe Kavitasjon (= koking) vil oppstå hvis det absolutte tykket bli minde enn damptykket p v. Det laveste tykket i øledningen finne vi like fø pumpa. (Ette pumpa vil tykket inne i øet væe p e elle støe). Buke Benoulli s likning med tap langs en stømlinje fa bensin-
oveflaten inne i tanken til like fø pumpa de tykket e p lavt. Da må vi ta hensyn til tap ove ølengden S ( = 5m) og tap gjennom øbend: pa plavt V V S V S H= +α + f + K plavt = pa ρgh ρv α+ f + K ρg ρg g g d g d 5 5 = 0 750 9.8 5 750.5 + 0.00 + 0. Pa = 56705 Pa > pv 0.06 Oppgave a) Dette e en stømning kun i hoisontalplanet (). Da e det nok å undesøke z-komponenten v d av hvivlingen: ( v) = ( v ) 0 z = = d Stømfunksjon ψ og hastighetspotensial φ: ψ ϕ v = = = 0 ψ=ψ() og ϕ=ϕ ψ ϕ v = = = ψ= ln og ϕ= Dette e stømfunksjonen og hastighetspotensialet fo en potensialvilvel. SI-enhetene fo ψ og φ e de samme som fo konstanten : [ ψ og ϕ ] = [ ] = [ v ] = m / s Hastighetsfeltet e hvivlingsfitt. Da kan Benoulli s likning benyttes uavhengig av stømlinje. Benoulli fa et vilkålig punkt (, z) til vannoveflaten langt unna de v e null: p(,z) v pa + + gz = p(,z) = pa ρ ρgz ρ ρ Fomen på vannoveflaten finnes ved å keve p(, z) = p a : 0= ρ ρgz z= g Kontollee at tykk- og hastighetsfelt tilfedsstille Navie-Stokes. Fodi stømningen e stasjonæ og bestå av kun en hastighetskomponent v fjenes alle ledd som inneholde tidsdeivet og som inneholde v elle v z. Videe e v kun en funksjon av slik at - og z- deivete av v fosvinne. Tyngden vike i negativ z-etning og tykket e uavhengig av. Kun leddene som e undesteket bli igjen: v v v v v p v v v v v + v + + vz v = + g +ν + + t z ρ z
v v v v v v v v v p v + v + + vz + vv = + g +ν + + + t z ρ z vz vz v vz vz p vz vz v z + v + + vz = + gz +ν + + t z ρ z z egne føst ut de deivete av tykket m.h.p. og z: p d d ρ p d = ρ = ρ ( ) = og = ( ρ gz) = ρg d d z dz Sette så inn i de edusete Navie-Stokes likningene. -etn.: p ρ ρ ρ v = = d d d -etn.: 0= d d = = d p 0= + gz 0= ρg g ρz ρ z-etn.: Konstanten finnes fa gensebetingelsen: v( = ) =Ω =Ω =Ω Finne føst skjæspenningen som vike på oveflaten av den oteende sylindeen: v v v dv τ =μ v +, W = =μ + =μ = μ τ =τ = μ d Finne deette hvo mye av sylinde-lengden L som e unde vann. Fa uttykket fo vannoveflaten: z unde vann. = /g. Da e lengden ( L /g ) Momentet M som dillen må yte: M = τw Oveflate am = μ π L g Effekt: P= M Ω= μ π L L Ω= μπω g g Innsatt fo : Ω P= μπω L g