NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 972355 EKSAMEN I FY245/TFY425 KVANTEMEKANIKK I Torsdag 9. august 22 kl. 9. - 3. Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter Et ark med uttrykk og formler er vedlagt. Sensuren faller i uke 35. Oppgave Det oppgis at bundne tilstander i et symmetrisk endimensjonalt potensial generelt har veldefinert paritet; grunntilstanden er symmetrisk og fri for nullpunkter, første eksiterte tilstand er antisymmetrisk med ett nullpunkt, osv. En partikkel med masse m beveger seg i et endimensjonalt potensial som inneholder en barriere og to deltafunksjonsbrønner: { V V x = for a < x < a, β[δx a + δx + a] ellers. Her er V = h 2 /2ma 2 og β >. a. For én bestemt β-verdi, β = β, har dette systemet en energiegenfunksjon med formen ψ = C både for x < a og for x > a. Finn energien E for denne tilstanden. For a < x < a kan den generelle løsningen for denne tilstanden med β = β skrives på formen Finn κ og vis at B =. ψ = A coshκ x + B sinhκ x.
Side 2 av 4 b. Bruk den oppgitte diskontinuitetsbetingelsen se formelarket til å finne β. Skissér ψ. Argumentér for at dette systemet ikke har noen bunden tilstand for β = β. c. For β større enn en viss grenseverdi, β, har dette systemet mer enn én bunden tilstand. Finn β. Kan dette systemet ha mer enn to bundne tilstander? Begrunn svaret. Oppgave 2 En spinn- -partikkel befinner seg i utgangspunktet i et konstant og homogent magnetfelt 2 B = B ẑ. Når vi ser bort fra andre frihetsgrader, kan Hamilton-operatoren for dette systemet skrives på formen Ĥ = ω S z = 2 hω σ z. a. Angi egentilstandene til Ĥ og de tilhørende egenverdiene. Skriv også ned formler for de tidsavhengige stasjonære tilstandene [analogt med Ψ n x, t = ψ n xe ient/ h ] for dette systemet. Finn kommutatorene [Ĥ, S x] og [Ĥ, S y]. Hva innebærer disse kommutatorene for kompatibiliteten mellom observablene E, S x og S y? b. Ved t = måles komponenten S ˆn av spinnet, der ˆn = ˆx sin θ + ẑ cos θ er en enhetsvektor i xz-planet, med < θ < π. Målingen etterlater spinnet i tilstanden χ + = cos 2 θ sin 2 θ Finn måleresultatet for S ˆn, og sannsynligheten for dette resultatet, når spinntilstanden umiddelbart før målingen var χ = / 2 i/ 2 Hva kan forklaringen være på at denne sannsynligheten er uavhengig av θ? [Hint: Sjekk spinnretningen før målingen.] c. Forklar hvorfor energien ikke er skarp i tilstanden χ +, og finn forventningsverdiene E og E 2 samt usikkerheten E ved t = +. Hvorfor er disse størrelsene tidsuavhengige for t >? d. Finn spinnretningen σ t som funksjon av t for t >. Det oppgis at ved tiden t = 2π/ω er χt = χ2π/ω = χ +. Finn sannsynligheten for at en måling av S x ved dette tidspunktet gir resultatet + 2 h?..
Side 3 av 4 Oppgave 3 Et elektron befinner seg i utgangspunktet i grunntilstanden i et hydrogenlignende atom, som beskrives ved potensialet V r = Ze 2 /4πɛ r. Ved t = utsettes dette systemet for et elektrisk felt i form av en deltafunksjonspuls. Denne svarer til et perturberende ledd V t = zp δt, en perturberende kraft Ft = ẑp δt, og en impulsoverføring p i z-retningen. Dette problemet skal angripes ved hjelp av førsteordens tidsavhengig perturbasjonsteori. Som normerte og bundne energiegentilstander for det uperturberte systemet kan vi bruke ψ nlm = R nl ry lm θ, φ. For t > etter at perturbasjonen er overstått kan bølgefunksjonen for dette systemet i prinsippet skrives på formen Ψ = nlm a nlm ψ nlm e ient/ h + bidrag fra ubundne tilstander, der amplitudene er tidsuavhengige. Vi ser i første omgang bort fra muligheten for spontan de-eksitasjon. a. Betrakt matrise-elementene z nlm, ψ nlm z ψ d 3 r, og vis at disse er lik null når l og/eller m. [Hint: Y = / 4π og z = r 4π/3 Y.] Det oppgis at R = 2a 3/2 exp r/a og R 2 = [32a 3 ] /2 r/a exp r/2a a = a Z. Anslå uten regning størrelsen av matrise-elementet z 2, ψ 2 z ψ d 3 r uttrykt ved grunntilstandsradien a. Bruk dette til å finne et estimat av sannsynligheten for at atomet befinner seg i tilstanden ψ 2 umiddelbart etter perturbasjonen, når impulsoverføringen p er prosent av rms-impulsen p rms i grunntilstanden. Oppgitt: p 2 rms = 2m e K = 2m e E ; E n = m ec 2 2 αz2 n. 2 b. Overganger vil også skje til andre tilstander med l = og m =. La oss da fokusere på et ensemble av slike hydrogenlignende atomer som er eksitert til tilstanden ψ 4. Forklar hvilke spontane overganger fra denne tilstanden som er mulige i dipoltilnærmelsen, og hvilke slutt-tilstander som dermed bidrar når en skal beregne levetiden for tilstanden ψ 4 i denne tilnærmelsen. Illustrér dette ved hjelp av et nivåskjema, der overgangene er markert.
Side 4 av 4 c. I dipoltilnærmelsen og ifølge.-ordens perturbasjonsteori er overgangsraten overgangssannsynligheten pr tidsenhet ved en spontan overgang gitt ved w i f = α 4ω3 if 3c d fi 2, med d 2 fi = ψ f r ψ i d 3 r. Dette uttrykket skal vi etter hvert bruke til å finne levetiden for tilstanden ψ 2. Vis først at x- og y-komponentene av det aktuelle dipolmomentet d fi er lik null. Det oppgis at I r r 3 R rr 2 rdr = 256 8 6 a. Finn tallverdier for i energien til det spontant emitterte fotonet, ii Bohr-frekvensen ω if, iii dipolmomentet d fi, iv overgangsraten w i f og v levetiden τ 2 for tilfellet Z =, og notér samtidig hvordan hver av disse størrelsene skalerer som funksjoner av Z. Avgjør om dipoltilnærmelsen er en god tilnærmelse for dette tilfellet. Oppgitt: α 37.36 ; 2 α2 m e c 2 = 3.6 ev; h = 6.582 6 evs; a =.529 m; c = 2.998 8 m/s.
Vedlegg: Formler og uttrykk Noe av dette kan du få bruk for. Diskontinuitetsbetingelse, med potensial V x = αδx a ψ a + ψ a = 2mα h 2 ψa. Vinkelfunksjoner { L 2 } { h 2 ll + Y lm = L z hm } Y lm, l =,, 2,...; 2π dφ dcos θy l m Y lm = δ l lδ m m; Y = 3 4π, Y = 4π cos θ = 3 4π z r Y p z, 3 Y ± = 8π sin θ e±iφ ; Utvalgsregler i dipol-tilnærmelsen Målepostulatet l = ±; m =, ±. i De eneste mulige verdiene som en måling av observabelen F kan gi er en av egenverdiene f n. ii Umiddelbart etter målingen av F er systemet i en egentilstand til den tilhørende operatoren F, nemlig en egentilstand som svarer til den målte egenverdien f n. Spinn 2 For en partikkel med spinn kan en bruke spinnoperatoren 2 S = 2 hσ = 2 hê xσ x + ê y σ y + ê z σ z, der σ x =, σ y = i i er de såkalte Pauli-matrisene. Pauli-spinorene χ + =, σ z = og χ = er da egentilstander til S z = 2 hσ z kan karakteriseres ved spinnretningen, med egenverdiene ± 2 h. En normert spinntilstand χ = a b σ = χ σχ = ê x Re2a b + ê y Im2a b + ê z a 2 b 2. Matrisene S x = 2 hσ x osv oppfyller dreieimpulsalgebraen, Videre er [S x, S y ] = i hs z, [S y, S z ] = i hs x, [S z, S x ] = i hs y. S 2 x = S 2 y = S 2 z = S ˆn 2 = h2 4 og S 2 = 3 h2 4.
Noen formler sina + b = sin a cos b + cos a sin b; sin 2a = 2 sin a cos a; cosa+b = cos a cos b sin a sin b; cos2a = cos 2 a sin 2 a = 2 cos 2 a = 2 sin 2 a. sin a = e ia e ia /2i, cos a = e ia + e ia /2; tan y = cot y = tany + nπ, n =, ±, ; sinh y = 2 ey e y ; cosh y = 2 ey + e y ; tanh y = coth y = sinh y cosh y ; cosh 2 y sinh 2 y = ; Tidsutvikling av forventningsverdier d d sinh y = cosh y; dy d dt F = ī [Ĥ, F ] + F. h t Utgangspunktet for tidsavhengig perturbasjonsteori cosh y = sinh y. dy Med en Hamilton-operator Ĥ = Ĥ + V t kan den eksakte løsningen utvikles i de uperturberte stasjonære løsningene: Ψr, t = n a n tψ n r, t, der Ψ n r, t = ψ n re ient/ h, Ĥψ n r = E n ψ n r. Det eksakte ligningssettet for utviklingskoeffisientene er i h da k dt = e iωknt V kn ta n t; n V kn t = ψ k V t ψ n = ω kn = E k E n / h; ψ k V tψ n dτ. Med a n t = δ ni oppfyller den eksakte amplituden ligningen a f t = δ fi + i h t e n t iω fnt V fn t a n t dt. Til første orden i perturbasjonen er da amplituden a f a i f gitt ved a i f = δ fi + t iωfit e V fi t dt. i h t