Permutasjoner og utvalg En permutasjon av en samling objekter er en eller annen rekkefølge objektene i samlingen kan settes opp i. Eksempel 1 Gitt bokstavene a, b, c og d. Da er følgende oppstillingen en permutasjon: a, b, c, d c, b, a, d d, a, b, c b, a, d, c De fire bokstavene kan permuteres på 4 3 2 1 = 4! = 24 måter. Eksempel 2 Gitt tallene 11, 12, 13, 14, 15 og 16. Da er følgende oppstillingen en permutasjon: 11, 12, 13, 14, 15, 16 13,16, 14, 11, 12, 15 16, 15, 14, 13, 12, 11 15, 14, 11, 12, 13, 16 De seks tallene kan permuteres på 6 5 4 3 2 1 = 6! = 720 måter. Antall forskjellige permutasjoner Gitt n forskjellige objekter. Det er n muligheter for å velge det som skal stå først, n-1 mulighet for å velge det som skal stå nest først, osv. Til sammen blir det: n (n-1) (n-2). 2 1 = forskjellige permutasjoner. NB! leses som «n fakultet». 1
Ordnede r-utvalg (eller r-permutasjoner) Gitt n forskjellige objekter. Ut fra disse n objektene skal vi velge r objekter i rekkefølge. Et slikt utvalg kalles et ordnet r- utvalg eller en r-permutasjon fordi rekkefølgen objektene velges i har betydning. Spørsmål: Hvor mange forskjellige ordnede r-utvalg er det? Svar: n muligheter for å velge det som skal stå først, n-1, mulighet for å velge det som skal stå nest først, osv. til n-r+1 muligheter for å velge det siste av de r objektene som skal velges. Dermed får vi: n (n-1) (n-2). (n-r+1) = (n r)! Læreboka bruker formelen P(n, r) = (n r)! (P står for Permutasjon, som betyr at rekkefølgen objektene velges i har betydning.) Eksempel 1 Gitt tallene 1 til 6. Hvor mange ordnede 3-utvalg er det? Her er n = 6 og r = 3. Vi får da = 6! = 6! = 6 5 4 3 2 1 (n r)! (6 3)! 3! 3 2 1 = 6 5 4 = 120 Eksempel 2 Gitt bokstavene A til Å. Hvor mange ordnede 5-utvalg er det? Her er n = 29 og r = 5. Vi får da = 29! = 29! = 29 28 27 26 25 = 14250600 (n r)! (29 5)! 24! 2
Eksempel 3 En forening har 50 medlemmer. De skal velges et styre på fire personer (leder, nestleder, kasserer og sekretær). Hvor mange forskjellige styresammensetninger er det mulig å få til? Her er n = 50 og r = 4. Vi får da 50! = 50! = 50 49 48 47 = 5527200 (50 4)! 46! Legg merke til at antall faktorer i svaret er lik r. Uordnede r-utvalg eller r-kombinasjoner Hvis en velger et utvalg på r stykker fra en samling på n forskjellige objekter og rekkefølgen ikke er av betydning, kalles det et uordnet r-utvalg eller en r-kombinasjon. Ta som eksempel tallene fra 1 til 10. Vi skal velge tre tall, f.eks. 2, 5, 8. De samme tallene kan også velges ut i disse rekkefølgene: 2, 8, 5 5, 2, 8 8, 5, 2 8, 2, 5. De tre tallene 2, 5 og 8 kan velges på 3! forskjellige måter, men når rekkefølgen ikke betyr noe, vil alle disse 3! utvalgene utgjøre det samme utvalget. Dermed må vi dele det tilsvarende 3-permutasjonen på 3!: 10! (10 3)! 3! = 10! (10 3)! 3! = 10 9 8 3! forskjellige uordnede r-utvalg. = 10 9 8 3 2 1 = 120 3
Dette gir oss følgende viktige formel: (n r)! r! = (n r)! r! Læreboka bruker formelen C(n, r) = (n r)! r! (C står for Combination, som betyr at rekkefølgen objektene velges i ikke har betydning.) Eksempel Gitt en kortstokk med 52 kort. Hvor mange korthender på 5 kort finnes det. Rekkefølgen av kortene velges i spiller ingen rolle. Her er n = 52 og r = 5. Vi får: = 52! (n r)! r! = 52! = 52 51 50 49 48 (52 5)! 5! 47! 5! 5 4 3 2 1 = 52 51 49 20 = 2598960 Denne formelen er så viktig at den har fått sitt eget symbol: ( n r ) = (n r)! r! r 0, n 0 Symbolet ( n ) leses som «n over r» og kalles for en r binomialkoeffisient. Læreboka bruker som sagt 4
C(n, r) istedenfor ( n ) og P(n, r) istedenfor r Merk! r = 0 gir mening: ( n ) = 1 fordi 0! = 1 0 (n r)! Eksempel Hvor mange bit-sekvenser av lengde 8 har nøyaktig 3 1-ere (og dermed 5 0-ere)? Vi kan velge de 3 plassene der det skal være 1-ere på ( 8 3 ) forskjellige måter: ( 8 3 ) = 8! (8 3)! 3! = 8 7 6 3 2 1 = 56 Av de 2 8 = 256 mulige bit-sekvensene er det 56 som har nøyaktig 3 1-ere. Vi kunne ha tenkt omvendt: Det må være like mange bitsekvenser av lengde 8 som har nøyaktig 5 0-ere som det er bit-sekvenser med nøyaktig 3 1-ere, dvs. ( 8 3 ) = (8 5 ) ( 8 5 ) = 8! (8 5)! 5! = 8 7 6 5 4 5 4 3 2 1 = 8 7 6 3 2 1 = 56 Dette gir oss følgende formel: ( n r ) = ( n n r ) 5
Andre viktige observasjoner: 0! = 1 ( 0 0 ) = 1 (n 0 ) = 1 (n 1 ) = n (n n ) = 1 Utvalg med tilbakelegging Gitt n forskjellige objekter. Vi skal velge r objekter på en slik måte at for hvert objekt vi velger, noterer vi hvilket det er og legger det tilbake. Det betyr at vi kan velge det samme objektet flere ganger. 1. Ordnet r-utvalg med tilbakelegging. Hvis rekkefølgen objektene velges i har betydning kalles det et ordnet r-utvalg med tilbakelegging. (eng. permutation with reptition) Det første objektet kan velges på n måter. Når objektet legges tilbake vil det også være n måter å velge neste objekt, osv. Dermed får vi følgende antall mulige utvalg: n n n n n = n r Eksempel Gitt bokstavene A, B og C. Hvor mange ordnede 5-utvalg med tilbakelegging finnes det? Svar: 3 3 3 3 3 = 3 5 = 243 2. Uordnet r-utvalg med tilbakelegging. Hvis rekkefølgen objektene velges i ikke har betydning kalles det et uordnet r-utvalg med tilbakelegging. (eng. combination with repetition) Eksempel. 6
Gitt bokstavene A, og B. Hvor mange uordnede 3-utvalg med tilbakelegging finnes det? Vi finner først alle ordnede 3-utvalg: Vi fikk 2 3 = 8 ordnede utvalg. De tre utvalgene med to A er og en B sees på som samme utvalg når vi ser bort fra rekkefølgen. Tilsvarende for de tre utvalgene med utvalgene med to B er og en A. Dermed er har vi kun fire forskjellige uordnede utvalg: AAA, AAB, BBA, BBB. Vi har følgende formel for uordnede utvalg med tilbakelegging: n + r 1 ( ) r Oppsummering Gitt n forskjellige objekter og r objekter som vi skal velge: Ordnet Uten tilbakelegging (n r)! Med tilbakelegging n r Uordnet ( n r ) n + r 1 ( ) r Alternativ form for tilbakelegging: Vi skal nå tenke oss at samlingen av objekter vi skal velge fra har nok eksemplarer av hvert type (n forskjellige typer) til å velge alle mulige r-utvalg. 7
Eksempel. I fruktdisken i butikken er det epler, pærer og appelsiner. Vi skal kjøpe 4 frukter. På hvor mange måter kan dette gjøres? Vi har et uordnet 4-utvalg (med tilbakelegging 1 ) der n = 3 og r = 4. ( 3 + 4 1 ) = ( 6 4 4 ) = (6 2 ) = 6 5 2 1 = 15 Permutasjon der det inngår like verdier. Hvis vi har n forskjellige objekter, kan de permuteres på forskjellige måter. Men hvis noen av objektene er like er det annerledes! Eksempel Gitt bokstavene A, A, A, B, B, C, dvs. 6 bokstaver. Hvor mange måter kan disse permuteres på? Vi kan dele hele oppgaven opp i 3 deloppgaver: 1. Vi starter med å beregne hvor mange måter vi kan plassere A ene på. Vi har 6 plasser å velge mellom og skal plassere 3 stykker. Dette kan sammenlignes med å skulle velge ut 3 plasser av 6 mulige. Dermed får vi n = 6 (antall mulige valg av plass for A) r = 3 (antall plasser som skal velges A ene) Mulige plasseringer for A ene blir: ( n r ) = (6 3 ) A A A 1 NB! «med tilbakelegging» menes det i denne forbindelse at samme type frukt kan velges flere ganger. 8
2. Etter at A ene er plassert skal vi plassere B ene. Det er nå 3 ledige plasser å velge mellom og skal vi velge 2 av dem (fordi vi har 2 B er). Dermed blir n = 3 og r = 2 og vi får ( n r ) = (3 2 ) mulige plasseringer av B ene etter at A ene er plassert. A B A B A 3. Etter at alle A er og begge B ene er plassert skal C en plasseres. Nå er det imidlertid kun en plass som skal velges, men også bare en ledig plass igjen slik at n = r = 1. Bruker vi samme formel får vi ( n r ) = (1 ) = 1 plass å plassere C-en. 1 Løsningen på hele oppgaven blir produktet av de tre deloppgavene: ( 6 3 ) (3 2 ) (1 1 ) = (6 3 ) ( 3 3 2 ) =(6 3 ) (3 6 5 4 )= 1 3 = 60 3 2 1 Generelt. Gitt n objekter der k av dem er forskjellige. Anta at det er n 1 stykker av type 1, n 2 stykker av type 2, n 3 stykker av type 3, osv. til n k stykker av type k. Da har vi at n = n 1 + n 2 + n 3 + + n k De n objektene kan permuteres på ( n n 1 ) ( n n 1 n 2 ) ( n n 1 n 2 n 3 ). = n 1! n 2! n 3! n k! 9
Eksempel 1 Hvor mange måter kan bokstavene i ordet RABARBRA stokkes om? Totalt er det 8 bokstaver hvorav det er 3 A er, 3 R er og 2 B er. Dermed blir svaret: 8! 3! 3! 2! = 8 7 6 5 4 3 2 = 8 7 5 2 = 560 3 2 3 2 2 Eksempel 2 Hvor mange måter kan bokstavene i ordet SUPPEPOSE stokkes om? Totalt er det 9 bokstaver hvorav det er 3 P er, 2 S er, 2 E er, 1 U, og 1 O. Dermed blir svaret: 9! 3! 2! 2! 1! 1! = 9 8 7 6 5 4 3 2 = 3 7! = 15120 3 2 2 2 Eksempel 3 Hvor mange måter kan bokstavene i ordet KULTURUKE stokkes om? Totalt er det 9 bokstaver hvorav det er 3 U er, 2 K er, 1 L, 1 T, 1 R og 1 E. Dermed blir svaret: 9! 3! 2! 1! 1! 1! 1! = 9 8 7 6 5 4 3 2 3 2 2 = 30240 Dikteren Jan Erik Vold utgav i 1969 diktsamlingen «Kykelipi». Et av diktene handler om omstokking av bokstavene i ordet KULTURUKE. Det inneholdt følgende omstokking: 10
Hør dikterens egen opplesing på Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=pgm2rape-vy Samme ide i en annen sammenheng. Anta at vi har n forskjellige objekter som skal deles i k grupper. Det skal være n 1 stykker i gruppe 1, n 2 stykker i gruppe 2, n 3 stykker i gruppe 3, osv. til n k stykker i gruppe k. Vi har at n = n 1 + n 2 + n 3 + + n k Dette kan gjøres på følgende antall måter: n 1! n 2! n 3! n k! Eksempel I kortspillet Bridge fordeles hele kortstokken på 52 kort på 4 spillere slik at de hver får 13 kort. På hvor mange måter kan kortene deles ut? (NB! Her spiller rekkefølgen en rolle.) Svar: 52! 13! 13! 13! 13! = 11
12