Løsningsforslag eksamen INF3480 vår 0 Oppgave a) A - Arbeidsrommet er en kule med radius L 3 + L 4. B - Alle rotasjonsaksene er paralelle, roboten beveger seg bare i et plan, dvs. null volum. C - Arbeidsrommet er en kule med radius L 4. D - Arbeidsrommet er en kule med radius L 3 + L 4. b) Proprioceptive sier noe om robotens egen tilstand: Termometer, akselerometer, gyroskop. Exteroceptive sier noe om verden rundt roboten: Kamera, kontaktsensor, kompass, GPS, sonar. c) Tre svareksempler: Gåmønstre for benbasert robot, representert som kromosomer/bit-strenger i en evolusjonær algoritme Utvikling skjer ved å teste ut mulige løsninger, forkaste de dårlige, og lage nye kombinasjoner av de beste løsningene. I robotkyllingen Henriette var ulike løsningskandidater til gåmønsteret kodet som bit-strenger, hvor hver bitstreng bestod av 3 benkonfigurasjoner med mellomliggende pause. De første 4 bitene beskrev aktuatorene som kontrollerer benene, de neste 6 bitene beskrev lengden på pause før neste benkonfigurasjon ble aktivert. (se fig ) (p) Maskinlæring kan brukes til å rette feil på roboter som opererer i omgivelser hvor det ikke er mulig for en tekniker å gjøre reparasjoner. (p) Sensorer brukes til å vurdere om roboten utfører oppgaver på riktig måte. (p) Eksempel: Mars Rover - Adaptiv hardware. Dersom roboten blir skadet, for eksempel i landingen, og ikke beveger seg på vanlig måte kan roboten ved hjelp av rekonfigurerbar hardware justere seg selv slik at den fortsatt beveger seg i riktig retning i forhold til kommandoer fra forskerne på jorden. Reinforcement learning - kan brukes til å lære en robot strategier for å bevege seg rundt i et område. Roboten har et kart. Den vet hvor på kartet den er, og har som mål å nå et bestemt sted på kartet. Den setter opp en tabell over ulike mulige steder å gå fra de ulike posisjonene på kartet. En poengsum gis for å nå målet, og en mindre poengsum gis for å nå en posisjon med en kjent vei til målet. Ved å plassere roboten på tilfeldige steder på kartet, og repetere prosessen tilstrekkelig antall ganger vil til slutt roboten ha lært seg d) To ekvivalente svar:. Egenverdiene til det andre ordens systemet er like.. Dempingsforholdet ζ er null. Figur viser en typisk respons for et kritisk dempet system i rødt. Figure : Svareksempel til oppgave c
Figure : Respons fra. ordens system Oppgave a) DH-parametre b) Transformasjonsmatrisser fra DH-parametrene c 0 s c L off T 0 = s 0 c s L off 0 0 L T 3 = s 3 c 3 0 s 3 L 3 c 3 s 3 0 c 3 L 3 0 0 0 i a i α i d i θ i L off 90 L θ 0 90 L 90 3 L 3 0 0 θ 3 90 T = 0 0 0 0 0 0 0 0 L () () Regner ut T 0 T T 0 = T 0 T = T 0 3 = T 0 T 3 = 0 s c s L + c L off 0 c s c L + s L off 0 0 L s c 3 s s 3 c s L + c L off s c 3 L 3 c c 3 c s 3 s c L + s L off + c c 3 L 3 s 3 c 3 0 L + s 3 L 3 (3) (4) c) Setter opp likningene Isolerer s 3 i (7) som gir s L + c L off s c 3 L 3 = p x (5) c L + s L off + c c 3 L 3 = p y (6) L s 3 L 3 = p z (7) s 3 = A 3 = L p y L 3 (8)
Dette git θ 3 som ( ) θ 3 = ±atan A 3, A 3 (9) For å finne de to resterende variablene kan man bruke to framgangsmåte, algebraisk og geometrisk. Først algebraisk. Opphøyer (5) og (6) i andre s L + c L off + s c 3L 3 s c L L off + s c 3 L L 3 = p x (0) c L + s L off + c c 3L 3 + s c L L off + c c 3 L L 3 = p y () Adderer men disse to likningene sammen får man L + L off + c 3L 3 + c 3 L L 3 = p x + p y () Ved å bruke første kvadratsettning kan man skive dette som (L + c 3 L 3 ) + L off = p x + p y (3) Dette gir løsningen på L L = p x + p y L off c 3L 3 (4) Bruker bare den positive løsningen til kvadratroten, da L må være positiv. Så multipliserer vi (5) med s og (6) med c og får Adderer vi disse to likningene får vi Dette gir θ s L s c L off + s c 3 L 3 = s p x (5) c L + s c L off + c c 3 L 3 = c p y (6) L + c 3 L 3 = s p x + c p y (7) A = p y (8) B = p x (9) C = L + c 3 L 3 (0) ( ) θ = atan(b, A ) ± atan A + B C, C () Ved geometrisk tilnærming projekserer man roboten i x 0, y 0 planet. Se figur 3. Posisjonen til griperen er gitt lengden av vektoren [p x, p y ]. Den kan også finnes som hypotenusen til trekanten. Katetene er L off og L + c 3 L 3. Dette gir likningen p x + p y = L off + (L + c 3 L 3 ) () Dette er den samme likningen som for den algebraiske metoden. For å finne den siste variabelen projekserer vi posisjonsvektoren til det nye koordinatsystemet med aksene x 0 og y 0, dvs. en rotasjon på θ. Dette gir [ ] [ ] [ ] c s px c p = x + s p y (3) s c p y s p x + c p y Dette skal da være lik lengdene på robotarmene, slik at vi får to likninger c p x + s p y = L off (4) s p x + c p y = L + c 3 L 3 (5) hvor den ene likningen er lik den vi fikk ved å bruke algebraisk metode. 3
Figure 3: Geometrisk tilnærming til invers kinematikk d) q = invkin(tt BpT ) e) Jacobian fra formlene på s. 33 i boka J v = z 0 (o o 0 ) = z 0 o (6) J v = z (7) J ω = z 0 (8) J ω = 0 (9) Det eneste som må regnes ut er z 0 o = [ c L s L off, s L + c L off, 0] T (30) Dette gir følgene Jacobian J = c L s L off s s L + c L off c 0 0 0 0 0 0 0 (3) f) NB: mulig feil i løsningsforslaget på oppgave f Setter opp farten v = J v (q) q = (c L + s L off ) θ s L (s L c L off ) θ + c L 0 (3) Setter opp kinetisk energi K = m(v v) = m ( (L + L off ) θ + L + L off θ L ) (33) Setter opp potensiell energi, høyden er y-aksen til base-koordinatsystemet P = mgh = mg (c L + s L off ) (34) Setter opp Lagrangian L = K P = ((L m + L off ) θ + L ) + mg (c L + s L off ) (35) 4
Deriverer Lagrangian Bruker den generelle likningen θ = m ( L + L ) off θ + ml off L (36) L = m L + ml off θ (37) d dt θ = m ( L + L ) off θ + ml θ L + ml off L (38) d dt L = m L + ml off θ (39) = ( s L + c L off )mg θ (40) = m θ L + c mg (4) M(q) q + C(q, q) q + g(q) = u (4) Dette gir [ ( ) m L M(q) = + L off ml off m [ ] 0 ml C(q, q) = θ ml θ 0 [ ] (s L g(q) = c L off )mg c mg ml off ] (43) (44) (45) Oppgave 3 a) Transformerer til Laplacedomenet. s X + s d m X + k m X = U + m g (46) b) Løser likningen X = U + m g s + d m s + k m (47) c) Likningen for PD regulator u = K p e + K d ė (48) hvor e = x d x, ẋ d = 0 og ė = ẋ. Dette gir u = K p (x d x) K d x (49) Transformert til Laplacedomenet U = K p (X d X) sk d X (50) 5
Figure 4: Blokkdiagram for oppgave 3 a Figure 5: Blokkdiagram for oppgave 3 c 6
d) Setter inn (50) i (46) s X + d m X + k m X = K p(x d X) sk d X + m g (5) Dette blir K p X d + m X = g s + ( d m + K d)s + k m + K p (5) Bruker sluttverditeormet lim s 0 s s K p C + m G s + ( d m + K d)s + k m + K p = K p k m + K C + p m k m + K p G (53) Gravitasjonskraften virker som er konstant forstyrrelse og fjærkraften lager et stasjonært avvik. e) Bruker definisjonen på s. i boka s + ζωs + ω (54) For å ha et kritisk dempet system må ζ =. Dette git følgende likninger Løser man disse får man ω = d m + K d ω = k m + K p (55) K d = ω d m K p = ω k m (56) 7