Eksamensoppgaver 7500, 750 og SIF5003 Matematikk /A Samlet for SIF5003 Matematikk høsten 00 Samlingen inneholder de fleste oppgaver gitt i 7500 og 750 Matematikk A og enkelte oppgaver fra 7500 Matematikk ved NTH/NTNU i tiden 993 998. Oppgaver eller punkter som faller helt eller delvis utenfor pensum i SIF5003 er ikke tatt med. Oppgavene er grovt inndelt etter emne og omtrentlig sortert i den rekkefølgen stoffet undervises i SIF5003. Høsten 00 er eksamensoppgavene fra høsten 997 og kontinuasjonseksamen 998 lagt til på slutten, så oppgavenumrene på de øvrige oppgavene er uendret fra forrige utgaveavsamlingen. En fasit starter på side 3. På http://www.math.ntnu.no/fag/kode/sif5003/gamle-eks/ vil du kunne finne en liste over eventuelle kjente feil i fasiten eller oppgavesettet for øvrig. Der kan du også finne ut hvordan du rapporterer om feil du selv finner, og du kan hente siste versjon av samlingen. Oppgave (993 08 3: 750 oppgave ) For hvilke reelle tall x gjelder ulikheten < x + <? Oppgave (993 08: 7500 oppgave, 750 oppgave ) a) Bestem grenseverdien x 0 lim (et ) dt. x 0 x 3 b) Bestem grenseverdien for alle B>0. lim x π/ cos x ln( + sin Bx) Oppgave 3 (995 5: 7500 oppgave, 750 oppgave ) Beregn grenseverdiene ( (i) lim x 0 x ) x +kx og (ii) lim e x x x. x I (ii) skal konstanten k ha den verdien som gjør at grenseverdien eksisterer (og er endelig). Oppgave 4 (993 08 3: 750 oppgave 3) Finn ligningen for tangenten til kurven i punktet (, π). xy +siny =π
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A Oppgave 5 (994 08 5: 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) Et kuleformet akvarium med radius 30 cm fylles med vann, 50 cm 3 pr. sekund. Hvor hurtig stiger vannet i akvariet ved det tidspunkt da vanndybden (midt i akvariet) er 0 cm? Oppgave 6 (994 08 5: 7500 oppgave 4, 750 oppgave 4) En wire med lengde L deles i to deler. Den ene delen bøyes til et kvadrat og den andre til en likesidet trekant. Avgjør hvordan wiren skal deles for at summen av de to arealene skal bli minst mulig. Oppgave 7 (994 08 5: 7500 oppgave 5, 750 oppgave 5) Vis at ligningen x 3 =cosx har nøyaktig en løsning og at denne ligger mellom 0 og. Bruk Newtons metode til å finne løsningen med to korrekte desimaler. Oppgave 8 (994 6: 7500 oppgave 4, 750 oppgave 4) Et åpent trau er formet som på figuren, bunnflata er et rektangel med bredde x og lengde y. Endeflatene er plane flater som består av et rektangel og to kvartsirkler med radius. Trauet har et gitt volum V =6π. y x x Finn dimensjonene (x og y) av trauet når arealet A av overflata (dvs. bunnflata, de to endeflatene og de to krumme sideflatene) er minst mulig. Oppgave 9 (994 6: 7500 oppgave 5, 750 oppgave 5) a) Gitt funksjonen f(x) =x α α ln x, x > 0 der α er en konstant, α>. Vis at f(x) oppnår sin minimumsverdi for x = [ α /(α ) α ]. For hvilke verdier av α er minimumsverdien negativ? b) Gjør rede for at ligningen x /3 4 ln x =0 3 har nøyaktig to løsninger. Velg en startverdi x 0 og bruk Newtons metode til å finne tilnærmingsverdier x, x for den største av de to løsningene. Oppgave 0 (995 08 6: 7500 oppgave ) Volumet av en kuleformet ballong øker med konstant vekstrate lik 8 cm 3 pr. minutt. Hvor fort øker radien på det tidspunktet da radien er nøyaktig 0 cm? Hvor fort øker arealet av ballongens overflate ved det samme tidspunktet?
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A 3 Oppgave (996 08 9: 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) En politipatrulje skal foreta en radarkontroll ved innkjørselen til en tunnel. Veien antas å være rett og går i nord/sør-retning. 00 m fra tunnelåpningen står et skilt som angir hastigheten til 70 km/h. En politimann som står 00 m rett øst for tunnelåpningen retter en laserpistol mot en bil idet den passerer skiltet. Laserpistolen angir at avstanden til bilen avtar med 65 km/h ved dette tidspunktet. Kjører bilen for fort? Svaret skal begrunnes. Oppgave (996 08 9: 7500 oppgave 4, 750 oppgave 4) Bensinforbruket F til en bil varierer med hastigheten v (mil per time). Forbruket i liter per mil varierer etter formelen F (v) = ev + e v + v, v > 0. a) Finn en ligning som bestemmer den hastigheten v 0 som gir minimalt bensinforbruk. b) Bruk Newtons metode med utgangspunkt v = tilå finne en tilnærmet løsning av ligningen v e v v e v =0. Bruk to desimalers nøyaktighet. Oppgave 3 (996 07: 7500 oppgave 4, 750 oppgave 4) La A være arealet av det ringformede området S begrenset av to konsentriske sirkler med radier henholdsvis r og R, se S R figuren. Vi tenker oss at r og R, og følgelig A, varierer med tiden t. r a) Finn vekstraten for A mhp. t i det øyeblikket at r =4cm og øker med 0,0 cm/s mens R = 5 cm og øker med 0,0 cm/s. b) Anta nå atr =ogr = 4 ved tidspunktet t =0,ogatbåde r og R øker eksponentielt: r =e αt og R =4e βt, t 0, der α og β er positive konstanter. Under hvilke forutsetninger om α og β vil A først øke og deretter avta til 0? Angi tidspunktet t når A oppnår maksimumsverdien og tidspunktet t når A blir 0. Oppgave 4 (997 08 8: 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) Vis at grafen til ligningen x 3 + y 3 = xy ikke har horisontal tangent (dy/dx = 0) i noen punkter.
4 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A Oppgave 5 (997 08 8: 7500 oppgave 4, 750 oppgave 4) Anta at farten, i meter pr. sekund, til en sprinter, når han har løpt x meter av et 00-meterløp, er gitt ved funksjonen v(x) = 7 40 60x x, 0 x 00. a) Hva er mannens maksimumsfart, og hvor langt har han løpt når maksimumsfarten oppnås? Bestem også mannens akselerasjon dv/dt som funksjon av x. b) Hvor lang tid bruker mannen på 00-meteren? Oppgave 6 (993 08: 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) Z B To parallelle linjer skjæres av en rett linje AB. Sefiguren. Fra punktet C trekkes en rett linje til punktet b merket Z. A Bestem beliggenheten av Z slik at summen av arealene C av de to trekantene vi får blir minst mulig. a Oppgave 7 (996 08 9: 7500 oppgave 5, 750 oppgave 5) Vis at funksjonen ( ) ( ) x x f(x) =arcsin arcsin er konstant for 0 x 4. Hva er funksjonens konstante verdi? Oppgave 8 (993 08: 7500 oppgave, 750 oppgave ) Vis ved induksjon at n i n + = i n for alle positive heltall n. Oppgave 9 (994 6: 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) Vis ved induksjon at i= (cos u)(cos u)(cos 4u)(cos 8u) [cos( n u)] = sin (n u) n sin u for alle hele tall n. Oppgave 0 (995 08 6: 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) Vis ved induksjon at n ( ) i i n n(n +) =( ) for alle positive heltall n. i=
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A 5 Oppgave (995 5: 7500 oppgave 4, 750 oppgave 5) Angi en funksjon f(x) slik at n i= ( n + i n ) ln ( + i ) n er en Riemannsum for f på intervallet [0, ]. Finn grenseverdien lim n n i= ( n + i n ) ln ( + i ). n Oppgave (993 08 3: 750 oppgave 4) La R være flatestykket i xy-planet som er avgrenset av kurvene x =, x =, y = x, y = x. La T være rotasjonslegemet som dannes når R roteres om y-aksen. a) Finn volumet av T. b) Finn arealet av overflaten til T. Oppgave 3 (993 08 3: 750 oppgave 5) En boreplattform slepes med hastighet 0 km/time idet slepewiren ryker. Plattformen siger videre, bent fram. Anta at intet gjøres for å stoppe den, men at hastigheten avtar med en rate proporsjonal med kvadratet av hastigheten til enhver tid. Etter 5 minutter er hastigheten sunket til 8 km/time. Hvor lang tid tar det før hastigheten er sunket til 0.5 km/time? Hvor lang strekning har da plattformen drevet? Oppgave 4 (993 08 3: 750 oppgave 6) a) Vis at kurven x = 3cost, y =sint, 0 t π er en ellipse med buelengde L = π 0 cos udu. b) La L være som i a). Bruk trapesmetoden til å beregne L medenfeil< 0.5. Oppgave 5 (993 08: 7500 oppgave 4) Løs initialverdiproblemet dy dx = y y, y( ) =. x +x +
6 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A Oppgave 6 (994 08 5: 750 oppgave 6) I denne oppgaven ser vi på en matematisk modell for et legeme som faller fritt, uten luftmotstand, i jordas gravitasjonsfelt. Dersom h er legemets høyde over jordoverflaten og angis med jordradien som enhet, så er sammenhengen mellom h og legemets fart v bestemt av differensialligningen v dv ( ) b dh = +h der b er en positiv konstant. a) Anta at legemet slippes uten begynnelsesfart fra høyden h =. Vis, ved åløse differensialligningen ovenfor, at legemets fart (absoluttverdien) i høyden h blir h v = b +h. Hvilken fart har legemet når det treffer jordoverflaten? b) La T være falltiden, dvs. tiden fra legemet slippes i høyden h = til det treffer jordoverflaten. Vis at T = b Oppgave 7 (994 08 5: 7500 oppgave ) a) Bestem grenseverdien b) Løs initialverdiproblemet lim x 0 x 0 dy dx = yx ; ( π + ). ln( + t ) dt x 3. y()=. Oppgave 8 (994 6: 7500 oppgave, 750 oppgave ) Et vannkar fremkommer ved å dreie kurven x = 4 sin y for 0 y π/ om y-aksen. (Benevning for x og y er dm.) Sett opp et integral (uten å regne ut integralet) for vannvolumet når vanndybden midt i karet er h. Karet fylles med vann. Vanmengden som strømmer inn i karet pr. tidsenhet er konstant og lik liter pr. minutt. Hvor fort øker vanndybden h når h = π/6 dm? Oppgave 9 (994 6: 750 oppgave 6) Finn generell løsning av differensiallikningen y x 3 +y 3 4 x (y +)=0, x >. Bestem løsningen som oppfyller y(0) =.
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A 7 Oppgave 30 (994 6: 750 oppgave 7) I denne oppgaven gjør vi de forenklede forutsetningene at jorda har form av en kule (med radius r 0 ) og at temperaturen i lufta er konstant. a) La ρ = ρ(h) betegne lufttettheten i atmosfæren som funksjon av høyden h over jordoverflata. Endring av ρ pr. lengdeenhet i vertikal retning er proporsjonal med ρ når temperaturen er konstant. Finn ρ(h) når det er kjent at ρ(0) = ρ 0, ρ(00) = ρ. b) La V betegne volumet av et kuleskall med indre radius r 0 + h og tykkelse h. Bruk middelverditeoremet (sekantsetningen) til å vise at vi kan skrive V =4π(r 0 + h ) h der h er en verdi i intervallet (h, h + h). Sett deretter opp et integraluttrykk for massen av all luft over jorda mellom 0 og 00 meters høyde. (Integralet skal ikke regnes ut.) Oppgave 3 (994 6: 7500 oppgave ) a) Løs initialverdiproblemet dy dx = y +, y(0) = 0. b) Beregn buelengden til den delen av grafen til løsningen i (a) som ligger mellom y =0ogy =. (Vink: Uttrykk buelengden som et integral m.h.p. y.) Oppgave 3 (995 08 6: 7500 oppgave, 750 oppgave ) Vis at [ ( )] d +sinx ln = dx sin x cos x. Finn lengden av kurvestykket y =lncosx, x [0,π/4]. Oppgave 33 (995 08 6: 7500 oppgave 4, 750 oppgave 4) a) Ved rotasjon av parabelen y = x om y-aksen fremkommer en rotasjonsparaboloide. Paraboloiden skjæres av et plan P vinkelrett på y-aksen slik at den delen F av rotasjonsparaboloiden som ligger under P har areal 7π/6. Bestem punktet (0,b)derP skjærer y-aksen. b) En sirkulær sylinder S skal plasseres inne i F med akse langs y-aksen, slik at toppflata til S ligger i planet P. Bestem sylinderen slik at den har størst mulig volum og finn dette volumet.
8 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A Oppgave 34 (995 08 6: 750 oppgave 6) En beholder med høyde H har en plan, horisontal bunnflate med areal A 0. I avstanden y over bunnflata er arealet av et horisontalt tverrsnitt gitt ved A(y) =A 0 [ + y(h y) H ], 0 y H. a) Bestem volumet av beholderen uttrykt ved A 0 og H. Beholderen er full av vann og skal tømmes gjennom en åpning i bunnen. Tømmingen foregår slik at volumendringen pr. tidsenhet ved ethvert tidspunkt er proporsjonal med kvadratroten av vanndybden i beholderen. Finn differensialligningen som vanndybden h = h(t) tilfredsstiller. b) La nå A 0 =ogh =. Differensialligningen i punkt (a) blir nå [ h + h h ] dh h dt + k =0 der k er en positiv konstant. La t = 0 være det tidspunktet da tømmingen starter, og la t = T være det tidspunktet da vanndybden er h =/4. Ved hvilket tidspunkt (uttrykt ved T ) blir beholderen tom? Oppgave 35 (995 5: 7500 oppgave 3, 750 oppgave 4) La a og h være positive tall. En skål fremkommer ved at kurven med ligning { 0 for 0 x<a y = (h/π)arcsin(x a) for a x a + roteres om y-aksen. a) Hva er høyden av skåla? Tegn figur, og regn ut volumet av skåla uttrykt ved a og h. b) Skåla skal lages slik at produktet av høyden og radius i bunnflata er lik. Volumet av skåla er da gitt ved V = πa + π a +4. Finn den verdien av a som gir minst mulig volum. Angi dette volumet og begrunn at det virkelig er minimumsvolumet. Oppgave 36 (995 5: 750 oppgave 7) Ved en kjernefysisk prøvesprengning under havbunnen i Stillehavet stiger temperaturen på havbunnen. Sjøvannet over antas å holde en konstant temperatur på 0 C. La T være temperaturen på havbunnen. Målinger viser at etter prøvesprengningen, som vi antar inntreffer ved tiden t = 0, er temperaturendringen på bunnen proporsjonal med temperaturdifferansen mellom havbunn og sjøvannet over. Skriv opp en differensialligning som temperaturen T nå oppfyller, og løs denne når temperaturen ved tiden t =0er5 C. Hvor lang tid tar det før temperaturen på bunnen er Cnår målinger viser at T = C etter t = 3 timer?
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A 9 Oppgave 37 (996 08 9: 7500 oppgave 6, 750 oppgave 6) La f(x) være en ikke-negativ funksjon som er deriverbar med kontinuerlig derivert for x. Ved rotasjon om y-aksen av kurven y = f(x) frax =tilx = u framkommer en rotasjonsflate med areal H(u). Bestem funksjonen f(x) når det er gitt at H(u) = 4π 5 ( u 5/ ) og f() = 0. Oppgave 38 (996 07: 750 oppgave ) Vi er interessert i å beskrive hvor fort et rykte sprer seg i en befolkning. Vi tenker oss en befolkning med et fast antall individer som vi antar er P.Lay = y(t) være en deriverbar funksjon som tilnærmet gir det antall individer som kjenner ryktet ved tiden t (målt i uker), dy/dt er spredningsraten. Vi antar at spredningsraten til enhver tid er proporsjonal med produktet av antall individer som kjenner til ryktet og antall individer som ikke gjør det. Still opp en differensialligning for y. Anta at en femtedel av befolkningen kjenner ryktet ved tiden t = 0 og at en tredjedel av befolkningen kjenner ryktet etter t = uke. Finn y som funksjon av t. Hvor lang tid tar det før 80 % av befolkningen har hørt ryktet? Oppgave 39 (996 07: 7500 oppgave 3, 750 oppgave 3) a) En beholder med høyde h lages ved åroterekurveny = x,0 x h,om aksen x = og sette en plan bunn i. Vis at volumet V av beholderen er V = π ( 6h +8h 3/ +3h ). 6 b) Bruk Newtons metode til å finne høyden h av beholderen med korrekte desimaler når beholderen skal ha volum V = 0. Oppgave 40 (996 07: 7500 oppgave ) En bilfører tester hvor lang strekning han bruker for å stoppe bilen. Når farten er 30 km/h bruker han 5 m, og når farten er 60 km/h bruker han 50 m. Anta at førerens reaksjonstid t 0 er konstant, at hastigheten i reaksjonstiden er konstant og at retardasjonen a etter at bremsene er trykket inn er konstant. Hvor lang strekning vil han da bruke pååstoppenår farten er 90 km/h? Oppgave 4 (997 08 8: 7500 oppgave, 750 oppgave ) Et flatestykke F i xy-planet er begrenset av koordinataksene og grafen til funksjonen f(x) = sin x, 0 x π. a) Beregn arealet av F. Finn også volumet av rotasjonslegemet som dannes når F dreies 360 om den rette linjen x = π. b) Linjen x = a deler F i to deler med like store areal. Still opp en ligning for a, og bruk Newtons metode til å finne en tilnærmingsverdi for a med to riktige desimaler.
0 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A Oppgave 4 (997 08 8: 750 oppgave 7) En bil med hull i bensintanken kjører med jevn fart fra Trondheim mot Røros. Antall liter bensin som pr. mil lekker ut av tanken er til enhver tid proporsjonal med bensinvolumet (målt i liter) i tanken. Proporsjonalitetskonstanten er k (mil). Motorens bensinforbruk regnes konstant og lik α liter/mil. a) La V (x) være bensinvolumet i tanken når bilen har kjørt x mil. Still opp en differensialligning som V (x) tilfredsstiller, og finn generell løsning av ligningen. b) Når k =0, ogα =0,7kan en generell løsning av differensialligningen i a) skrives V (x) =Ce x/0 7. Hvor langt kan en kjøre hvis det er 0 liter på tanken i starten? Fra Trondheim til Røros er det 5,5 mil. Hva er det minste antall liter på tanken ved start hvis bilen skal komme frem til Røros uten etterfylling? Oppgave 43 (993 08: 750 oppgave 6) Gitt en kurve i polarkoordinater r = e aθ, θ [0, π], der a er en positiv konstant. Finn lengden av kurven. Oppgave 44 (994 08 5: 750 oppgave ) Bestem grenseverdien lim x 0 x 0 ln( + t ) dt x 3. Oppgave 45 (994 08 5: 7500 oppgave, 750 oppgave ) a) Regn ut det ubestemte integralet dx x(x x +). b) Finn et enklest mulig eksakt uttrykk for verdien av det uegentlige integralet dx x(x x +). Oppgave 46 (995 5: 7500 oppgave 5, 750 oppgave 6) Gitt integralet I 0 = e x / dx. a) Bruk trapesmetoden til å beregne I 0 tilnærmet med en feil som i absoluttverdi er mindre enn 0,05.
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A b) Vis reduksjonsformelen x n e x / dx = x n e x / (n ) x n e x / dx. Finn integralene uttrykt ved I 0. x 4 e x / dx og x ex / dx Oppgave 47 (996 08 9: 7500 oppgave, 750 oppgave ) a) Regn ut (metoden skal fremgå av besvarelsen) det ubestemte integralet (x + )( + x ) dx. b) Finn den eksakte verdien av det uegentlige integralet (x + )( + x ) dx. Oppgave 48 (996 07: 7500 oppgave ) Regn ut (metoden skal fremgå av besvarelsen) det ubestemte integralet x(x +) dx. Løs initialverdiproblemet dy dx = y, y() =. x(x +) Oppgave 49 (997 08 8: 7500 oppgave, 750 oppgave ) Bruk substitusjonen u = e x til å bestemme den eksakte verdien av det uegentlige integralet dx. +e x + e x 0 Oppgave 50 (993 08: 750 oppgave 5) Forskere har over flere år foretatt tellinger av en hvalart og har utfra tellingene lagt fram forslag til fangstkvoter. Dersom forslaget blir fulgt, vil hvalbestanden ved tidspunktet t etter fangststart endre seg med en rate som er proporsjonal med produktet av hvalbestanden P (t) oge αt hvor α er en positiv konstant. Skriv opp differensialligningen som hvalbestanden P (t) oppfyller etter at fangsten har startet, og løs denne med initialbetingelsen P (0) = P 0. Vis at når t nærmer bestanden seg en konstant.
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A Oppgave 5 (993 08: 7500 oppgave 5) Beregn buelengden til kurven y = 3 x3/, 0 x. Finn også overflatearealet som fremkommer når kurven roteres om y-aksen. Oppgave 5 (994 08 5: 750 oppgave 7) La K være kurven med ligning r = a n sin θ, 0 θ π/ i polarkoordinater. Her er a en positiv konstant og n er et positivt heltall. Når K dreies om y-aksen beskriver den en lukket flate som avgrenser et volum V n. Beregn V n og bestem grenseverdien lim V n. n Oppgave 53 (994 6: 750 oppgave ) En lukket kurve er gitt i polarkoordinater ved r =+sinθ, π/6 θ 7π/6. Tegn en skisse av kurven. Regn ut arealet av det flatestykket som kurven omslutter. Oppgave 54 (996 07: 750 oppgave ) En kurve K i xy-planet har parameterfremstilling x = t 3, y =4 t, 0 t. Beregn arealet av området som begrenses av K og koordinataksene. Finn også buelengden til kurven K, svaret skal gis på eksakt form. Oppgave 55 (993 08 8: 7500 oppgave ) a) Bestem konvergensintervallet for rekken (n ) x n. ( ) b) Finn summen av rekken( ) for alle x i konvergensintervallet. n= Oppgave 56 (993 08: 7500 oppgave 7, 750 oppgave 7) Ingvill har et sylindrisk parafinfat med radius R og L høyde H. Anta at fatet ligger på sidenpå et horisontalt underlag. I denne posisjonen har fatet et hull på R toppen. Hun ønsker å finne hvor mye parafin som er H igjen på fatet ved åmåle avstanden L ned til parafinoverflaten. La V (L) betegne parafinvolumet. a) Finn en formel for V (L) for 0 L R. b) Finn Taylorpolynomet P (L) av første orden (grad) for V (L) i punktet L = R.
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A 3 Oppgave 57 (993 08: 7500 oppgave 6) a) Undersøk om disse rekkene konvergerer eller divergerer: (i) arctan n +n, (ii) sin n= b) Vis at potensrekken n= n (n)! xn er konvergent for alle x. Laf(x) betegne summen av rekken. Beregn f( ) med en feil som i absoluttverdi er mindre enn 0.005. Oppgave 58 (993 0: 7500 oppgave ) Gitt potensrekken x n n ln n n= a) Finn konvergensradien R, og avgjør om rekken konvergerer for x = ±R. b) La S(x) være summen av rekken for x <R,ogla N x n S N (x) = (N ). n ln n n= Finn en N slik at ( S ) ( S N < 0 ) 3. Svaret skal begrunnes. Oppgave 59 (994 08 5: 7500 oppgave 6) a) Vis ved induksjon at for alle heltall n. b) Avgjør om rekken n 3 5 (n ) 4 6 (n) n= < ( n n + n 3 5 (n ) ( ) 4 6 (n) n= er absolutt konvergent, betinget konvergent eller divergent. Begrunn svaret. Oppgave 60 (994 08 5: 7500 oppgave 7) La {a n } n= være en følge slik at a n > 0 for alle n og rekkene a n n= konvergerer. Begrunn svarene. og n= ln( + a n ) n= ). a n konvergerer. Avgjør om
4 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A Oppgave 6 (994 08 9: 7500 oppgave ) Gitt potensrekken n (n )! xn. n= a) Vis at rekken konvergerer for alle x. b) Finn et endelig uttrykk for summen av rekken. Oppgave 6 (994 4: 7500 oppgave ) Finn Taylorrekken om x = 0 til funksjonen f(x) = x 0 e t dt. Hvor mange ledd må vi ta med i Taylorrekken for å beregne f() med feil mindre enn 0, 0005? Oppgave 63 (994 6: 7500 oppgave 6) Figuren viser de første fem av en uendelig følge av kvadrat- er. Det ytterste kvadratet har sidekant a, oghvertavde øvrige kvadratene fremkommer ved å forbinde midtpunktene på sidene i kvadratet nærmest utenfor. Finn summen av omkretsene av alle kvadratene. Oppgave 64 (994 6: 7500 oppgave 7) Finn konvergensintervallet (husk å undersøke endepunktene) for potensrekken n= Oppgave 65 (994 6: 7500 oppgave 8) Bruk potensrekken n + n x n. e x = x + x! x3 xn + +( )n + (gyldig for alle x) 3! n! til å finne en tilnærmet verdi L for integralet slik at 0 e x x 0 e x dx x dx L < 0.00. Begrunn at den ønskede nøyaktighet er oppnådd. Oppgave 66 (995 08 : 7500 oppgave ) Gitt potensrekken ( ) n ln n xn n=
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A 5 a) Finn konvergensradien R, og avgjør om rekken konvergerer for x = ±R. b) La S(x) være summen av rekken for x <R,oglaforN S N (x) = N n= ( ) n ln n xn. Finn en N slik at S( ) S N( ) < 0 3. Svaret skal begrunnes. Oppgave 67 (995 08 6: 7500 oppgave 5, 750 oppgave 5) a) Vis at ligningen arctan x = x har minst én positiv løsning. Grunngi deretter at ligningen har nøyaktig én positiv løsning, c. b) Skriv ned Taylorpolynomet omkring 0 av grad 3 for f(x) = arctan x. Bruk dette til å finne en tilnærmet verdi av den positive løsningen c i(a). c) Velg en x 0 og beregn tilnærmingsverdier x, x og x 3 til c i(a)vednewtons metode. Oppgave 68 (995 08 6: 7500 oppgave 6) a) Bestem konvergensradien R for potensrekka (n +)x n ( ) n=0 og undersøk om rekka er konvergent når x = ±R. b) Finn summen av rekka x n+ for x <. Bestem deretter summen av rekka ( ) for x <R. n=0 Oppgave 69 (995 08 6: 7500 oppgave 7) Gi et eksempel på konvergente rekker a n og b n slik at a n b n divergerer. Er n= n= n= det mulig å finne et slikt eksempel dersom vi i tillegg forlanger at a n er absolutt konvergent? (Begrunn svaret.) Oppgave 70 (995 5: 7500 oppgave ) En medisin utskilles fra kroppen med en hastighet som er gitt ved dx dt = ln x der x er mengden av medisin i kroppen ved tiden t som måles i timer. a) Anta at en dose x 0 av medisinen injiseres i kroppen ved tidspunktet t =0. Finn mengden av medisin i kroppen ved et vilkårlig tidspunkt t. Hvor mange timer tar det før mengden av medisin i kroppen er halvert? n=
6 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A b) En pasient får en ny dose x 0 hver sjette time. Vis at den totale mengden medisin i kroppen rett etter den n-te injeksjonen er ( x 0 + + ) ( ) + + (. ) n Mengden av medisin i kroppen bør ikke overskride en faregrense L. Hva er det største x 0 kan være når vi ønsker at faregrensen ikke overskrides uansett hvor lenge behandlingen fortsetter? Oppgave 7 (995 5: 7500 oppgave 6) Undersøk om integralet ( arctan dx x) er konvergent eller divergent. Avgjør om rekken er konvergent eller divergent. n= ( arctan n) Oppgave 7 (995 5: 7500 oppgave 7) Finn konvergensintervallet for potensrekken n=0 Oppgave 73 (995 8: 7500 oppgave ) a) Finn konvergensradien R for rekka n= x n n +. ( ) n n(n +) xn+. Avgjør om rekka konvergerer for x = ±R. b) La f(x) være summen av rekka i a) for x <R. Finn et endelig uttrykk for f(x). c) La R N være resten når vi tar med N ledd i rekka i a) for x =. Vis at ln N +3 N + R N ln N + N.
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A 7 Oppgave 74 (996 08 : 7500 oppgave ) Avgjør for hver av rekkene om den er absolutt konvergent, betinget konvergent eller divergent: Svarene skal begrunnes. n= n= ( ) n n ( ) n ln(e n + e n ) sin n n + n= (i) (ii) (iii) Oppgave 75 (996 08 : 7500 oppgave ) Benytt arctan x = x 0 dt +t til å finne potensrekken med sentrum i origo til arctan x. Hva er konvergensradien til rekken? Svaret skal begrunnes. Oppgave 76 (996 08 9: 7500 oppgave ) Gitt potensrekken ( ) n x n. n + n=0 a) Finn konvergensradien R, og avgjør om rekken konvergerer for x = ±R. b) La S betegne summen av rekken for x = /. Bruk alternerende rekkers restleddsestimat til å finne et positivt heltall N slik at S N n=0 Oppgave 77 (996 08 9: 7500 oppgave 7) La tallfølgen {a n } være definert ved ( ) n n + ( ) n < 0,0005. a =, a n+ = 6+a n for n. Vis ved induksjon at a n < 3 for alle n. Gjør rede for at tallfølgen {a n } er konvergent, og bestem lim n a n. Oppgave 78 (996 07: 7500 oppgave 6, 750 oppgave 6) Funksjonen f er definert ved f(x) = x, x <. ( )
8 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A a) Vis ved induksjon at f (n) (x) = (n)!, n =,,3,.... n n!( x) (n+)/ b) Taylors formel kan skrives som f(x) =P n (x) +R n (x), der P n (x) ertaylorpolynomet om x = a og R n (x) er restleddet. Skriv opp P 3 (x) ogr 3 (x) for funksjonen ( ) med a = 0, og vis at f(x) P 3 (x) < 5 0 5 for x < 0,. Hvor stor n måtte vi bruke dersom vi ønsket Oppgave 79 (996 07: 7500 oppgave 5) Undersøk om følgende rekke konverger: f(x) P n (x) < 5 0 7 for x < 0,? n= ( (n +) n. [Vink: lim + n = e.] n n+ n n) Finn summen av følgende to rekker: n + n! n=0 og n=0 (n +3)!. [Vink: n! = e.] n=0 Oppgave 80 (996 07: 7500 oppgave 7) Finn konvergensradien R til potensrekken n (x )n ( ) n + n=0 og avgjør om rekken konvergerer i endepunktene av konvergensintervallet. Finn summen av rekken for x <R. Oppgave 8 (996 09: 7500 oppgave 3) Avgjør for hver av rekkene om den er absolutt konvergent, betinget konvergent eller divergent. n=0 n= ( ) n (n!) n (n)! ( ) n n(ln n) (i) (ii)
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A 9 Oppgave 8 (997 08 8: 7500 oppgave 5) Vis ved induksjon at! + 3! + 3 4! + + n (n +)! = (n +)! for alle hele tall n. Hva er summen av den uendelige rekken n= n (n +)!? Oppgave 83 (997 08 8: 7500 oppgave 6) Skriv opp Maclaurinrekkene (Taylorrekkene om x = 0) for funksjonene f(x) =x sin x og g(x) = cos x, og bestem grenseverdien (x sin x) lim x 0 ( cos x). 3 Oppgave 84 (997 08 8: 7500 oppgave 7) a) Avgjør for hver av rekkene om den er absolutt konvergent, betinget konvergent eller divergent: (i) ( ) n+ n + n, (ii) ( ) n+ (n!) (n +)!. n= n= b) Finn en uendelig geometrisk rekke a 0 + a 0 r + a 0 r + + a 0 r n + som har sum, og som er slik at hvert ledd er fire ganger summen av alle de etterfølgende leddene. Oppgave 85 (997 08: 7500 oppgave ) a) Bestem konvergensradiusen R til potensrekken n=0 x n+ n +. Undersøk spesielt konvergens i endepunktene. b) Finn et endelig uttrykk for summen av potensrekken i a) når x <R. c) Sett S N = N n=0 n + Vis at S N > ln(n +3)
0 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A Oppgave 86 (998 08 07: 7500 oppgave ) Vis ved hjelp av integralkriteriet eller på annen måte at rekken n= +n konvergerer. La S væresummenavrekkenogs n summen av de n første leddene. Finn en øvre skranke for S S n.hvorstorn må vi bruke for at vi ut fra denne skranken skal kunne slutte at S S n < 00? Oppgave 87 (997 0: SIF5003 oppgave ) I Postens informasjon for A-post innenlands finner vi at maksimumsmålene for sendinger i form av en rull er Lengde + dobbelt tverrmål = 04 cm, lengde høyst 90 cm. Med rull forstås en sylinder med sirkulært tverrsnitt, og tverrmålet er diameteren. Vi ønsker å sende en rull med størst mulig volum. Hva blir lengden og hva blir tverrmålet? Oppgave 88 (997 0: SIF5003 oppgave 3) a) Bruk trapesmetoden med n = 4 delintervaller til å finne en tilnærmet verdi for integralet π/3 0 e sin θ dθ. b) La f(θ) =e sin θ være integranden i a). Vis at f (θ) <.5 når 0 θ π/3, og bruk dette til å vurdere feilen ved tilnærmingen i a). Hvor mange delintervaller ville du bruke i a) for å være sikker på at feilen ble mindre enn 0 4? Oppgave 89 (997 0: SIF5003 oppgave 4) La funksjonen F være definert for x ved F (x) = x t3 dt, og la K være kurven y = F (x) for x. Finn buelengden av K. Bestem også arealet av rotasjonsflata som fremkommer når K dreies om den rette linje x =. Oppgave 90 (997 0: SIF5003 oppgave 5) Frysepunktet T for saltvann er en funksjon av ionekonsentrasjonen x, og teoretiske betraktninger gir at T tilfredsstiller differensialligningen dt dx = at +bx ( ) hvor a og b er positive konstanter. Bruk verdiene a =.49 0 5 K M (K = kelvin, M = molar = enhet for konsentrasjon) og b =0.08 M når det spørres etter tallsvar i denne oppgaven.
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A a) Finn ligningen for tangenten til grafen til T (som funksjon av x) gjennom punktet (0,T 0 ) ved hjelp av differensialligningen ( ). Sett T 0 = 73.5 K, og bruk tangentligningen til å finne en tilnærmet verdi for T (x) ibarentshavet hvor x =. M. b) Løs differensialligningen ( ) under initialbetingelsen T (0) = T 0 (for vilkårlig a, b og T 0 ). Sett igjen T 0 = 73.5 K og sammenlign den verdien du nå finner for T (.) med den tilnærmete verdien du fant i a). Oppgave 9 (997 0: SIF5003 oppgave 6) Finn ligningen for tangenten til kurven x 3 y + xy 5 = (3) i punktet (, ). Ligningen (3) definerer implisitt en funksjon y = f(x) i nærheten av x =medf() =. Finn Taylorpolynomet av grad for f(x) omx =. Oppgave 9 (997 0: SIF5003 oppgave 7) Bestem grenseverdien lim n(π arctan n), n og avgjør om den uendelige rekken (π arctan n) er konvergent eller divergent. n= Oppgave 93 (997 0: SIF5003 oppgave 8) Bestem konvergensintervallet for potensrekken nx n, n= og finn et endelig uttrykk for summen i konvergensintervallet. Oppgave 94 (998 08 03: SIF5003 oppgave ) Bestem grenseverdiene lim x 0 e x3 x sin x og ( lim x ln + 3 ). x x Oppgave 95 (998 08 03: SIF5003 oppgave ) Avgjør om rekkene konvergerer eller divergerer: n= n(ln n) og n= (n!) (n)!.
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A Oppgave 96 (998 08 03: SIF5003 oppgave 3) a) La a og b være gitte konstanter, a>b>0. Undersøk om funksjonen f(x) = arctan a x arctan b x, 0 <x< har noen største og/eller noen minste verdi, og finn eventuelt disse/denne. b) Gitt punktene A(0, 4), B(0, ) og C(x, 0) der x>0. Bestem x slik at vinkelen u = ACB blir størst mulig. Hva blir den maksimale verdien for u? Oppgave 97 (998 08 03: SIF5003 oppgave 4) La K være grafen til ligningen x y 3 +(y +)e x = x +. a) Finn dy/dx i punktet (0, )? Finn ligningen for tangenten til K i punktet (0, ) og bestem tangentens skjæringspunkt med x-aksen. b) Gjør rede for at K har nøyaktig ett skjæringspunkt med x-aksen. Bruk Newtons metode til å finne x-koordinaten til dette skjæringspunktet med riktige desimaler. Oppgave 98 (998 08 03: SIF5003 oppgave 5) En vanntank fremkommer ved at kurven y = x,0 x, dreies om y-aksen. Både x og y måles i meter (m). a) Anta at tanken er fylt med vann til en høyde av h (m). Vis at da er volumet (m 3 ) av vannet i tanken gitt ved: V = V (h) = πh. b) Vi tenker oss nå at tanken er tom, og fylling av tanken med vann begynner. Vannet renner inn i tanken med konstant volum (m 3 ) pr. tidsenhet (time). Hvor fort stiger vannhøyden i det øyeblikket vannhøyden i tanken er (m)? c) Fyllingen av tanken stopper når vannhøyden er blitt (m). Tanken skal nå tømmes for vann gjennom et lite hull i bunnen av tanken. Vi antar at vannet som renner ut av tanken pr. tidsenhet hele tiden er proporsjonal med kvadratroten av vannhøyden. Vis at vannhøyden h = h(t) tilfredsstiller differensialligningen h dh dt = k, der k er en positiv konstant. d) Når tømmingen har pågått i 3 timer er vannhøyden i tanken (m). Løs differensialligningen i c), og finn et uttrykk for h(t). Hvor lang tid tar det før tanken er tom?
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A 3 Oppgave 99 (998 08 03: SIF5003 oppgave 6) a) Gjør rede for at hvis u < såer u 0 u0 dx = u +x9 0 + u9 9 u8 u9n+ + +( )n 8 9n + +. b) Bruk resultatet i a) til å vise at verdien av integralet ligger mellom 0,4999 og 0,5000. / 0 +x 9 dx Fasit Oppgave x (, 3) (, 0) 4 4 Oppgave a) /3 b) ( ) n+ /(n) for B =n, n =,, 3,...; 0 ellers Oppgave 3 (i) /, (ii) 5/ (k =3) Oppgave 4 y = πx +3π Oppgave 5 Oppgave 6 0,03 cm/s 4L/(4 + 3 3) til kvadratet Oppgave 7 x 0,8655 Oppgave 8 x =( )π, y =4 Oppgave 9 a) <α<e/(e ) b) F.eks. x 0 = 300, x = 604,, x = 638,6 (r = 638,98) Oppgave 0 /(50π) (cm/min), 8/5 (cm /min) Oppgave Bilens fart er 9,9 km/h Oppgave a) (ev 0 e v 0 ) /v0 =0 b) 0,95 Oppgave 3 a) 0,06π cm /s
4 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A b) β<α<4β; t = ln(4β/α) (α β) ; t = ln α β Oppgave 5 a) 4 m/s når x =80m;dv/dt =( 7 40 ) (80 x) b) 40 7 (π/+arcsin 4 ) 0,4 s Oppgave 6 BZ = a( ) Oppgave 7 Oppgave π/ ( ) ln 3 ( + x)ln(+x), ln ln 73 Oppgave a) π 6 b) π(8 + 3 6 5 5+ 7 6 7) Oppgave 3 6 timer og 0 minutter; 0 3 Oppgave 4 L 8,74 ln 0 km 0 km Oppgave 5 y =(4 e 3arctan(x+) )/( + e 3arctan(x+) ) Oppgave 6 a) v = b Oppgave 7 a) /3 b) y = 3 /x Oppgave 8 /π (dm/min) Oppgave 9 y = +Ce +x 3, y = +e +x 3 Oppgave 30 a) ρ = ρ 0 e (h/00) ln(ρ /ρ 0 ) = ρ 0 (ρ /ρ 0 ) h/00 b) M =4πρ 0 00 0 (r 0 + h) (ρ /ρ 0 ) h/00 dh Oppgave 3 a) b) ( 3 x +) /3 ( ) 4 3 4 Oppgave 3 ln( +) Oppgave 33 a) (0, 3/4) b) r = 3/8, h =3/8, V =9π/64 [ h Oppgave 34 a) V = 7A 6 0H, A 0 h + H h h H ] dh dt + k =0
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A 5 b) 544 87 T Oppgave 35 a) h, πa h + πh +4ah b) /, π +4 Oppgave 36 dt/dt = k(t 0), T (t) =5e kt + 0, 3 ln 5/ ln( 5 ) Oppgave 37 (x )3/ 3 Oppgave 38 dy/dt = ky(p y); y = t P/(4 + t ); 4 uker Oppgave 39 b),09 Oppgave 40 05 m Oppgave 4 a) π ; π(8 + π 4π) b) 0,69 Oppgave 4 a) V (x) = kv (x) α; V (x) =Ce kx α/k b) 0 ln 7 7 7e,55 7 6,0L Oppgave 43 +/a (e πa ) Oppgave 44 /3 Oppgave 45 a) x /(x x +) ) + arctan(x ) + C 4 b) π/4 Oppgave 46 a) 3,55 ± 0,05 b) 3I 0 +e + e, I 0 e + e Oppgave 47 a) ln x + ln(x + ) + arctan x + C b) π/4 ln Oppgave 48 ln x x + + C; x x + Oppgave 49 π/(3 3) Oppgave 50 dp/dt = ke αt P ; P (t) =P 0 e (k/α)( e αt ) Oppgave 5 3 ( ); 8 5 π( +)
6 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A Oppgave 5 3 n n +3 πa ; 3 πa Oppgave 53 π + 3 3 Oppgave 54 64/5; 8 7 (0 0 ) Oppgave 55 a) (, ) b) x /( x) for <x< Oppgave 56 a) V (L) =H [ (R L) RL L +R arcsin ( (R L)/R ) + πr] b) P (L) = πr H RH(L R) Oppgave 57 a) (i) konvergent; (ii) divergent b) f( ) 0,44 Oppgave 58 a) R =, konvergent for x =, divergent for x = b) N = 6 (f.eks.) Oppgave 6 b) (x + x)e x Oppgave 6 n=0 ( ) n (n +)n! xn+ (konvergent for alle x); seks ledd Oppgave 63 4( + )a Oppgave 64 [, ) Oppgave 65 0,795 Oppgave 66 a) R =, konvergent for x =, divergent for x = b) N =8 Oppgave 67 b) P 3 (x) =x 3 x3, c 0,793 c) F.eks. x 0 = 0,793, x = 0, 8360, x = 0,8336, x 3 = 0,8336 Oppgave 68 a) R = ; divergent for x = ± b) x x for x < ; for x < ( x ) Oppgave 69 F.eks. n= a n = n= b n = n= ( )n n ; nei
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A 7 Oppgave 70 a) x 0 e t(ln )/, timer b) x 0 ( / )L Oppgave 7 Begge divergente Oppgave 7 [, ) Oppgave 73 a) R =, konvergens for x = ± b) f(x) = x + x +( x )ln(+x) Oppgave 74 Oppgave 75 (i) og (ii) betinget konvergent, (iii) absolutt konvergent n=0 ( ) n xn+ n + ; R = Oppgave 76 a) R =, konvergent for x =, divergent for x = b) N =8 Oppgave 77 lim n a n =3 Oppgave 78 b) P 3 (x) =+ x + 3 8 x + 5 6 x3 R 3 (x) = 35 8 x 4 ( z) 9/ (z mellom 0 og x); n =5 Oppgave 79 Rekken konvergerer; 3e; e 5 Oppgave 80 R = ; konvergens for x = arctan(x ) for x <, x ; for x = x Oppgave 8 (i) og (ii) absolutt konvergent Oppgave 8 Oppgave 83 f(x) = x3 3! x5 5! + x7 7! x9 9! + = ( ) n+ x n+ (n +)! g(x) = x! x4 4! + x6 6! x8 /9 n= 8! + = n= n+ xn ( ) (n)! Oppgave 84 a) (i) er betinget konvergent; (ii) er absolutt konvergent b) a 0 = 8; r = 5 5
8 Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A Oppgave 85 a) R =, rekken er konvergent for x, b) +x ln x Oppgave 86 S S n <π/ arctan n; n 00 Oppgave 87 L = D = 04 3 cm Oppgave 88 a),7438 b) maksimal feil 0,0090; n 38 8 Oppgave 89 5 ; 8 π( 6 + ) 5 35 Oppgave 90 a) y = T 0 at0 x; T (,) 70,9 K b) T (x) = bt 0 at 0 ln( + bx)+b ; T (,) = 70,96 K Oppgave 9 x +3y =5; 3 Oppgave 9 ; divergent Oppgave 93 (, ); Oppgave 94 6; 3 x ( x) 9 (x ) (x ) 54 Oppgave 95 begge rekkene konvergerer Oppgave 96 a) største verdi: arctan a/b arctan b/a ingen minste verdi b) ; arctan arctan 36,87 Oppgave 97 a) 3; y =3x +; 3 b) 0,44 Oppgave 98 b) d) π m/h ( ( )t ) /3 ; 3 6 h= 6 7 (4 + ) h 4,64 h
Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk /A 9 Oversikt over enkelteksamener For hver eksamen er listet oppgavenumrene i dette heftet som eksamen besto av. Hvis en eksamensoppgave ikke er med her (fordi den faller utenom pensum i SIF5003), er oppgavenummeret erstattet med en strek. For eksempel har oppgave 6 fra vintereksamen 996 i 750 nummeret 78 i denne samlingen. 993 08 8 7500: 55 993 08 3 750:,, 4,, 3, 4 993 08 7500:, 8, 6, 5, 5, 57, 56 750:, 8, 6,, 50, 43, 56 993 0 7500: 58 994 08 5 7500: 7, 45, 5, 6, 7, 59, 60 750: 44, 45, 5, 6, 7, 6, 5 994 08 9 7500: 6 994 4 7500: 6 994 6 7500: 3, 8, 9, 8, 9, 63, 64, 65 750: 53, 8, 9, 8, 9, 9, 30 995 08 7500: 66 995 08 6 7500: 3, 0, 0, 33, 67, 68, 69 750: 3,, 0, 33, 67, 34 995 5 7500: 3, 70, 35,, 46, 7, 7 750: 3,,, 35,, 46, 36, 995 8 7500: 73 996 08 7500: 74, 75 996 08 9 7500: 76, 47,,, 7, 37, 77 750:, 47,,, 7, 37, 996 07 7500: 48, 40, 39, 3, 79, 78, 80 750: 54, 38, 39, 3,, 78, 997 08 8 7500: 4, 49, 4, 5, 8, 83, 84 750: 4, 49, 4, 5,,, 4 997 08 7500: 85 997 0 SIF5003:, 87, 88, 89, 90, 9, 9, 93 998 08 03 SIF5003: 94, 95, 96, 97, 98, 99 998 08 07 7500: 86