Kræsjkurs i statistikk

Kræsjkurs i statistikk Tommy Odland 22. november 2016 Sammendrag En liten samling oppgaver basert løst på fagene ELE103 (HiB) og STAT110 (UiB). Tema: Kombinatorikk Forkunnskaper: multiplikasjonsprinsippet, permutasjoner og kombinasjoner. Oppgave 1. En person skal kjøpe brød, smør og syltetøy. En butikk har 8 typer brød, 4 typer smør og 20 typer syltetøy. Hvor mange mulige kombinasjoner av brød, smør og syltetøy kan han kjøpe? Oppgave 2. Vis at S n kan permuteres på n! = n (n 1)... 2 1 måter ved å bruke induksjon. Oppgave 3. Et klasserom har n seter, og det er k elever som skal sette seg. På hvor mange måter kan elevene sette seg dersom n = 20 og k = 3? Oppgave 4. Et klasserom har n seter, og det er k elever som skal sette seg. På hvor mange måter kan elevene sette seg? Oppgave 5. Håvard ønsker å ta sjansen på å invitere 2 jenter til juleballet. Det er 14 jenter i klassen. På hvor mange måter kan han velge ut de 2 jentene? Oppgave 6. Regn ut ( n 0), ( n 1) og ( n 2). Oppgave 7. En definisjon av npr er npr = n! (n r)!, en annen definisjon er npr = n (n 1)... (n r + 1). Vis at dette er det samme. Oppgave 8. Bruk induksjon til å bevise at 1 + 2 +... + n = ( n+1 2 ). 1

2 Tema: Sannsynlighet Forkunnskaper: definisjon av sannsynlighet, bayes, total sannsynlighet Oppgave 9. La X 1 og X 2 være antall øyne på 2 terninger etter å ha kastet begge. La Y = X 1 + X 2 være summen av øynene. Finn P (Y = 4), P (Y 10) og P (max (X 1, X 2 ) 5). Oppgave 10. Vi kaster en mynt 5 uavhengige ganger. La K være kron og M være mynt. Regn ut sannsynligheten for 1. KKMKM 2. MMKMK 3. Tre K i løpet av de fem kastene Oppgave 11. Om lag 1 av 20 unge personer har klamydia. Vi trekker tilfeldige unge mennesker og utfører tester. La K være hendelsen at personen har klamydia, og videre lar vi T være hendelsen at testen er positiv. Du får vite at sannsynligheten for en falsk positiv P (T K) = 0, 02 og at sannsynligheten for P (T K) = 0.99. Hva er sannsynligheten for en positiv test P (T )? Hva er sannsynligheten for klamydia gitt en positiv test, P (K T )? Oppgave 12. Bønnefrø fra leverandør A har 85% spiringsrate og fra leverandør B har tilsvarende frø 75% spiringsrate. Et selskap kjøper 40% av bønnefrøene sine fra leverandør A og 60% fra leverandør B og blander disse sammen før de selger dem videre til kunder. 1. Finn sannsynligheten P (G) for at et tilfeldig valgt frø fra de blandede frøene vil spire. 2. Gitt at frøet spirer, finn sannsynligheten for at frøet er levert av leverandør A. 2

3 Tema: Diskret sannsynlighetsfunksjoner Forkunnskaper: diskret sannsynlighetsfunksjoner, forventningsverdi Oppgave 13. Hva er forventningsverdien til et terningkast? Oppgave 14. En jukseterning har følgende sannsynlighetsfunksjon 1/16 dersom x = 1/16 dersom x = 2/16 dersom x = p(x) = 3/16 dersom x = 4/16 dersom x = 5/16 dersom x = Hva er det mest sannsynlig å trille? Hva er forventningsverdien? Oppgave 15. Skisser en diskret funksjon p(x) med definisjonsmengde D f = {0, 1,..., 10} som har forventningsverdi lik 5 og mest sannsynlig verdi lik 10. Med andre ord vil vi ha E(X) = 5 og argmax x p (x) = 10. Oppgave 16. Finn konstanten c slik at funksjonene blir sannsynlighetsfunksjoner 1. p(x) = cx x = 1, 2, 3, 4, 5 2. p(x) = c ( ) 1 4 x = 1, 2, 3,... 3. p(x) = x c x = 1, 2, 3,..., n Oppgave 17. Denne oppgaven er kanskje litt utfordrende, men prøv å bruk definisjonen av E(X) og kunnskapen din om summetegnet til å vise følgende egenskaper 1. Homogenitet: E(αX) = α E(x), der α er et tall. 2. Additivitet: E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) 3. Vis også at E(α) = α, der α er en konstant. 3

4 Tema: Sannsynlighetsfunksjoner og varians Forkunnskaper: diskret og kontinuerlige sannsynlighetsfunksjoner, forventningsverdi, varians Oppgave 18. 1 av 20 unge personer har klamydia. Hva er sannsynligheten for at du går i klasse med mer enn 2 personer med klamydia dersom det er 40 personer i klassen din? Oppgave 19. I en klasse på 60 ingeniører har 30 personer karakteren B i matematikk. Vi trekker n = 3 personer fra klassen, og lar X være antall av de 3 med karakteren B. Regn ut P (X = x) (1) nøyaktig ved å bruke hypergeometrisk sannsynlighetsmodell og (2) approksimer svaret med binomisk sannsynlighetsmodell. Oppgave 20. Vi lar p(x) = kx 2 være ha definisjonsmengde D f = [0, a]. Finn konstanten k som gjør p(x) til en sannsynlighetsfunksjon. Finn E(X) og Var(X). Oppgave 21. Bruk likningen Var(X) = E til å vise følgende egenskaper 1. Var(α) = 0 2. Var(X + β) = Var(X) 3. Var(αX) = α 2 Var(X) ( (X E(X)) 2) = E((X µ) 2 ) Oppgave 22. Vis at variasjonen Var(X) = x i X p(x i)(x i µ ) er minimert dersom µ er forventningsverdien. (Hint: Deriver Var(X) med hensyn på µ og sett lik 0.) Oppgave 23. Binomialteoremet sier at (a + b) n = n x=0 ( ) n a n x b x x Gjør et lurt valg av a og b og vis at dersom X Binom(n, p) så er x i p(x i ) = 1. 4

5 Tema: Normalfordelingen, hypotesetesting Forkunnskaper: normalfordeling, standardnormalfordeling, hypotesetesting, tabeller Oppgave 24. La vekten på fisk fisket i en vik utenfor Bergen være normalfordelt X N (µ, σ 2 ), med µ = 2 og σ 2 = 0, 64. 1. Hva er P (X > 2)? Hva er P (X > 3, 2)? 2. Hva er P (1, 2 < X < 3, 2)? 3. Tord skal fiske. Han vil gjøre et veddemål. Dersom den første fisken han får veier mer enn 3,2 kilo, må du gi han 100 kroner. Hvis fisken veier mindre enn 3,2 kilo, må han gi deg 100 kroner. Bør du ta veddemålet? 4. Tord vil nå gjøre et annet veddemål: Dersom den første fisken han får veier mer enn 2,8 kilo, må du gi han 100 kroner. Hvis fisken veier mindre enn 2,8 kilo, må han gi deg K kroner. For hvilke verdier av K bør du ta veddemålet? 5. En monsterfisk er en så stor fisk at man kan bare forvente å få den på 1/100 kast. Hvor mye veier en monsterfisk? Oppgave 25. Tord fra forrige oppgave kommer hjem med 10 fisk. La Y være den totale vekten til de 10 fiskene. 1. Hva er P (Y > 20)? 2. Hva er P (Y < 18 Y > 22)? Oppgave 26. Gaute fisker i en annen vik på andre siden av Bergen. Vi antar at vekten til fisken her er normalfordelt X N (µ, σ 2 ), med σ 2 = 0, 64. Nullhypotesen er at µ = 2. Gaute fisker 9 fisk. 1. Hva er beste estimat for µ? 2. Gaute veier fiskene og får x = 2, 4. Kan vi si, med signifikansnivå α = 0.05, at µ > 2? 3. Hva må x være for å kunne si, med signifikansnivå α = 0.025, at µ > 2? Oppgave 27. La Y = X 1 + X 2 +... + X n, der E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2 for alle i = 1, 2,..., n. 1. Finn E(Y ) og Var(Y ) 5