kap8.ppt 03.0.203 TFY445/FY00 ekanisk fysikk Størrelser og enheter (Kap ) Kinematikk i en, to og tre dimensjoner (Kap. 2+3) Posisjon, hastighet, akselerasjon. Sirkelbevegelse. Dynamikk (krefter): Newtons lover (Kap. 4) Anvendelse av Newtons lover (Kap. 5) bl.a. kraftdiagram, friksjon, snorkrefter, luftmotstand. Arbeid, energi, energibevaring (Kap. 6+7) Lineær bevegelsesmengde, kollisjoner (Kap. 8) Rotasjon, spinn, bevaring av spinn (Kap. 9+0) Statisk likevekt (Kap. ) Gravitasjonsloven (Kap. 3) Svingninger (Kap. 4) Kap. 8 Bevegelsesmengde. Kollisjoner. assesenter. Vi skal se på: Newtons 2. lov på ny: Definisjon bevegelsesmengde Kraftstøt, impuls. Impulsloven Kollisjoner: Elastisk, uelastisk, fullstendig uelastisk assesenter (tyngdepunkt) Rakettlikningen (variabel masse). Eksperimentelle arbeidsmetoder (laboratorium). Kap. 8 Bevegelsesmengde. Kollisjoner. assesenter Bevegelsesmengde: p = m v Opprinnelig form Newton 2: F = dp / dt Kraftstøt = J = F dt = p (impulsloven) Ingen ytre krefter => p tot = konstant Kraftstøt motsatt like stort på hvert Kollisjoner: Elastisk, uelastisk, fullstendig uelastisk Ikke-sentralt støt (Ex. 8.2 i Y&F) assesenter (Y&F 8.5) Newtons lov for massesenter: F ext = ma cm Ikke konstant masse: Rakettlikningen (Y&F 8.6) Kollisjoner skjer så raskt at vi kan se bort fra ytre krefter under kollisjonen Hvor store er kreftene? m = 56 g v = 50 m/s v = - 50 m/s anta på t = 0,005 s => middelkraft fra N2: F av = p/ t = 20 N F max 2000 N Ytre kraft = tyngde = mg = 0,56 N er forsvinnende liten F AB F max for stor mg F BA
kap8.ppt 03.0.203 To (tre) klasser kollisjoner (eksempel: kast mot golv) E U Fullstendig uelastisk med m 2 >> m og v 2 = 0 (vegg) m v v v 2 = v 2 = 0 Elastisk v v v 2 = v 2 = 0 «Normalt» v 2 v = v 2 = v Fullstendig uelastisk her: = 0 Alle kollisjoner: m v + m 2 v 2 = m v +m 2 v 2 (00) v = 0 p bevart?? Ja: m 2 v 2 = 0 m v = 0 m v = m 2 v 2 = 0 (bakken/jorda uendelig masse) Elastisk Uelastisk v v = 0 m 2 = Alle kollisjoner: m v + m 2 v 2 = m v +m 2 v 2 (00) Elastisk støt: m v + m 2 v 2 = m v +m 2 v 2 (00) m v 2 + m 2 v 22 = m v 2 +m 2 v 2 2 (0E) Gir v 2 v = - (v 2 v ) (04) Relativhastigheter reverseres! www.plu.ntnu.no/skolelab/fysikk-animasjoner/ uligheter: + v >0 v 2 < 0 v >0 v 2 >0 v <0 v 2 <0 Krav for støt: v >v 2 v >v 2 v < v 2 v >v 2 v 2 -v < 0 Sentralt elastisk støt v, v 2 = fart før støt v, v 2 = fart etter støt Generell løsning: ( m - m ) v + 2m v 2 2 2 ' = (04) m+ v v ( m - m ) v + 2mv 2 2 2 ' = (05) m+ 2
kap8.ppt 03.0.203 Så langt om kollisjoner: Kraftstøt = J = F dt = p (impulsloven) Antar ingen ytre krefter i selve kollisjonen => Bevegelsesmengde er bevart: m v + m 2 v 2 = m v +m 2 v 2 (00) Tilleggslikninger: Elastisk støt: Kinetisk energi bevart: m v 2 + m 2 v 22 = m v 2 +m 2 v 2 2 (0E) Uelastisk støt (ingen spes. likninger) Fullstendig uelastisk støt: Felles sluttfart: v 2 = v (0U) Y&F: Ex. 8.8, L&L Eks. 5.3: Fullstendig uelastisk støt Ballistisk pendel : Kjente: m B, m W og oppsving y To ukjente: v og fellesfarten v = v = v 2 To likninger: Bevaring p under støtet () energibevaring under oppsving (2) m B v + m W 0 = (m B +m W )v () ½ (m B +m W )v 2 =(m B +m W ) gy (2) OBS uelastisk: ½ m B v 2 + ½ m W 0 2 ½ (m B +m W )v 2 v = v = v 2 Delvis uelastisk støt Ikke-sentralt støt Kollisjon skjer ikke langs éi linje v v 2 v Hvis kule B ikke i ro før støt: Legg inn koord.system som følger kule B før støtet. Tre ukjente: Før støt: v. Etter støt: v og v 2 To likninger: Impulsbevarelse under støtet og energibevarelse i oppsving. Tilleggsopplysning: F.eks. oppgitt kulas fart etter støtet: v = ½ v (evt. kunne tap i energi være oppgitt) (Y&F Ex. 8.2) Lien og Løvhøiden: s. 9 Simulering: http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=4.0 3
kap8.ppt 03.0.203 Ikke-sentralt støt, to like kuler v v sinα Ikke-sentralt støt, to like kuler v α v cosα b 2R b 2R b 2R b = støtparameteren v b sinβ = b/2r 2R β v 2 β v 2 cosβ v 2 -v 2 sinβ v v 2 α β v 2 v v α 90 v b 0 sentralt v 2 v β 0 α 0 b 2R v v så vidt touch v v β 90 v 2 α β Alltid v v 2 v Ikke-sentralt, fullst. uelastisk støt: Y&F: Ex. 8.9 L&L: Eks. 5.5 assesenter Punktpartikkel: all masse i ett punkt Flerpartikkelsystem: Legeme = punktpartikler (nødvendig mhp. rotasjon, bøying, deformasjon) assesenter r cm : mr + mr 2 2 Topartikkelsyst. r cm = = ( mr+ r2 ) m+ N å mr i i N i= N-partikkelsyst. rcm = = mr N å i i (8.29) i= å mi i= r dm ò Kontinuerlig r d (ikke i Y&F cm = = r m ò LL: Kap. 6.) ò dm Figure 8.9 Tyngdepunkt = massesenter dersom tyngdeaksel. g er lik over hele t 4
kap8.ppt 03.0.203 Eks.. Halvsirkel (-dimensjonal) Eks. assesenter, kontinuerlig massefordeling dm = λ ds [λ] = kg / m Eks. 2. Halv sirkelplate: (2-dimensjonal) dm = σ da [σ] = kg / m 2 r r cm y cm = r 2/π = 0,64 r x cm = 0 y cm = r 4/(3π) = 0,42 r x cm = 0 Eks. assesenter, kontinuerlig massefordeling Eks. 3. Rett kjegle (3-dimensjonal) LL, Eks. 6.) dm = ρ dv [ρ] = kg / m 3 dz z z r = R(- z/h) R dv = πr 2 dz x z cm = H/4 Topartikkelsystem assesenter mr + mr 2 2 r cm = = ( mr + r2 ) m+ N i å mi r N i = N-partikkelsystem r cm = = m N å i r i (8.29) i = å m i r dm ò Kontinuerlig rcm = = r dm (8.29B) ò ò dm -dim: Integrasjon langs linje: dm = λ ds. Eks: i = Kap. 8. assesenter Tyngdepunkt = massesenter dersom tyngdeaksel. g er lik over hele t Newtons lov for massesenter: F ext = ma cm 2-dim: Integrasjon over plan: dm = σ da. Eks: 3-dim: Integrasjon over volum: dm = ρ dv. Eks: r rcm z R 5
kap8.ppt 03.0.203 Figure 8.3 Fullstendig elastisk støt Rød = massesenter r cm Ingen ytre krefter => d/dt r cm = F ext = 0 => assesenteret r cm fortsetter upåvirket under støtet. Relativbevegelsen (gult) endres under støtet. Oppgave: Ei kule skytes inn i en trekloss som farer opp i lufta (fullst. uelastisk støt). Kula treffer ved A, B eller C. Hvilket treff løfter treklossen til størst høyde h? Kap. 8. assesenter Svar: Like høyt for alle. Bevegelsesmengde bevart: Alltid samme fart for klossen: h g Tyngdepunkt = massesenter dersom tyngdeaksel. g er lik over hele t Newtons lov for massesenter: F ext = ma cm mv = (+m)v cm I tillegg kommer rotasjon ved B og C (mest ved C) Demonstrert og forklart på YouTube: www.youtube.com/watch?v=blyoylcdgpc&list=uuhnyfqirrgu-2ssqlbxa A B C Tyngdens pot. en: E p = g z cm Kule med høy fart v m 6
kap8.ppt 03.0.203 Variabel masse Rakettlikningen YF: 8.6 LL: 5.4 Andre eksempler: Sand på vogn/transportband: L&L Opg. 5.26. Variabel masse. Andre eksempler Tauet føres ned med konstant fart v rel. L Finn F n s.f.a taulengde L Øving 5. Kasse på transportband (se også Y&F opg 8.) Kap. 8. Oppsummert Bevegelsesmengde. Kollisjoner. assesenter. Bevegelsesmengde: p = m v Opprinnelig form Newton 2: F = dp / dt Kraftstøt = J = F dt = p (impulsloven) Antar ingen ytre krefter (i bevegelsesretning) under støt: Bevegelsesmengde p tot er bevart Tilleggslikninger: Elastisk støt: Kinetisk energi bevart Fullstendig uelastisk støt: Felles sluttfart. (Energi avtar) Uelastisk støt: Ingen generell tilleggslikning. (Energi avtar) For ikke-sentrale støt (2-dim) bestemmer støtparameteren vinkler assesenter r cm = r dm/. Newtons lov for massesenter: F Y = ma cm Tyngdens pot. en. for massesenter: E p = g z cm Ikke konst. masse: rakettlikningen: F Y + u ex dm/dt = m dv/dt Kap 8. Oppsummert: assesenter Punktpartikkel: all masse i ett punkt Flerpartikkelsystem: Legeme = punktpartikler (nødvendig mhp. rotasjon, bøying, deformasjon) assesenter r cm : mr + mr 2 2 rcm = = ( mr+ r2 ) Topartikkelsyst. m+ N mr i i N N-partikkelsyst. å i= (8.29) rcm = = mr N å i i i= å mi Kontinuerlig r dm (8.29B) ò rcm = = r dm ò ò dm Tyngdepunkt = massesenter dersom g er lik over hele t -dim: Integrasjon langs linje: dm = λ ds. 2-dim: Integrasjon over plan: dm = σ da. 3-dim: Integrasjon over volum: dm = ρ dv. i= 7
kap8.ppt 03.0.203 Kraft ved fart 90 km/h - øker dramatisk med kortere stoppelengde Bilkollisjoner Kraften øker med v 2 Bilkollisjoner Kritiske akselerasjoner ved kollisjoner Hjernen mest følsom. Avhengig av akselerasjonen (antall g) og tida den virker: 50 x g i få ms: Dødelig 50 x g: 20-30 ms kan tåles. Severity index = I = (a/g) 5/2 dt I = 000 s gir 50/50 sjanse overleve 90 km/t -> 0 : på,0 m (80 ms): I = 460 s på 0,25 m (20 ms): I = 3700 s Essensielt å stoppe over lengst mulig tid og distanse. f.eks. deformerbart frontparti.. en også viktig for myk stopp: sikkerhetsbelte kollisjonsputer (ingen skarpe kanter => lite trykk) 8