Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner Faktor 9 Grunnbok Bokmål
Hei til deg som skal bruke Faktor! Dette er Faktor 9 Grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene som følger deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet: Faktor 9 Hvert kapittel i grunnboka består av fire deler: Lærestoff og oppgaver Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering Noen oppgaver er merket med disse symbolene: Kalkulator Finn ut? Frioppgave Digitale verktøy Utfordrende oppgave Bakerst i boka finner du en liten manual for bruk av kalkulator, regneark og GeoGebra. I oppgaveboka finner du øvingsoppgaver i tre vanskelighetsgrader til hvert kapittel. Alle kapitler har også et oppgavesett med repetisjonsoppgaver. Kategori 1 Kategori 2 Kategori 3 Litt av hvert Øvingsoppgaver for digitale verktøy Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennende å lære! Vi har lagd en bok som vil hjelpe deg med å nå målene for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet! Hilsen forfatterne Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen 3
Innhold Innhold 1 Tall og tallforståelse... 7 Potenser... 8 Kvadrattall... 16 Regning med fortegnstall... 20 Forhold... 23 Figurtall og tallrekker... 27 Prøv deg selv... 30 Noe å lure på... 32 Oppsummering... 34 2 Algebra... 37 Bokstavuttrykk... 38 Likninger... 47 Ulikheter... 57 Prøv deg selv... 59 Noe å lure på... 61 Oppsummering... 63 3 Geometri... 67 Mangekanter... 68 Omkrets og areal av mangekanter... 72 Omkrets og areal av en sirkel... 84 Pytagoras-setningen... 88 Konstruksjon og beregninger... 96 Geometri i natur og kunst... 102 Det gylne snitt og det gylne rektangel... 107 Prøv deg selv... 113 Noe å lure på... 117 Oppsummering... 119 4 Statistikk og sannsynlighetsregning... 123 Relativ frekvens... 124 Sektordiagram... 130 Andre diagrammer... 135 Kritisk bruk av diagrammer... 140 Sentralmål og variasjonsbredde.. 143 Antall mulige utfall... 148 Å finne sannsynligheten... 151 Å finne sannsynligheten ved flere hendelser... 155 Like stor sannsynlighet hver gang?... 162 Prøv deg selv... 164 Noe å lure på... 167 Oppsummering... 169 5 Måling og beregninger... 173 Målenøyaktighet... 174 Målestokk... 177 Volum og overflate... 185 Prøv deg selv... 196 Noe å lure på... 198 Oppsummering... 199 6 Funksjoner... 201 Koordinatsystemet... 202 Formler og funksjoner... 207 Grafen til en funksjon... 211 Mer om funksjoner... 215 Prøv deg selv... 218 Noe å lure på... 220 Oppsummering... 222 4
7 Økonomi... 225 Prosent og promille... 226 Merverdiavgift... 231 Rabatt... 234 Tilbud... 236 Renteregning... 239 Kredittkort... 246 Prøv deg selv... 249 Noe å lure på... 251 Oppsummering... 253 Innhold Manual for digitale verktøy... 254 Kalkulatoren... 255 Regneark... 258 GeoGebra... 262 Fasit... 270 Stikkord... 291 5
Alpha Kentauri er 40 000 000 000 000 km unna jorda. Det er 384 000 km til månen. Er det 400 000 000 000 eller 40 000 000 000 stjerner i vår galakse, Melkeveien? Et romskip flyr med ca. 40 000 km/h. Hvor lang tid ville det tatt å reise dit?
0,0 1 Tall og tallforståelse Noen ganger har vi bruk for å skrive svært store tall, for eksempel i forbindelse med avstander i verdensrommet. For å få bedre oversikt kan vi skrive tallene som produkter av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens: 384 000 = 3,84 10 5 Mål I dette kapitlet skal du få lære om. tall på standardform. faktorer, potenser, kvadratrot og forhold mellom størrelser i beregninger. fortegnstall. tallmønstre Mange nuller å holde orden på! 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2
Tall og tallforståelse Potenser To i femte er en potens. 2 5 Hva betyr to i femte? 2 5 er en potens med 2 som grunntall og 5 som eksponent. 2 5 uttales to i femte. 2 5 =2 2 2 2 2=32 Regel Et produkt der alle faktorene er like, kan vi skrive som en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Oppgaver 1.1 Skriv som potens. a) 2 2 2 2 b) 3 3 3 3 c) 10 10 10 d) 7 7 7 7 7 e) 5 5 5 5 5 5 f)9 9 9 9 1.2 Regn ut potensen. a) 2 3 b) 3 5 c) 5 3 d) 10 5 e) 5 5 f)2 10 8
1.3 Skriv av tabellen og fyll inn det som mangler. Grunntall Eksponent Potens 3 2 6 6 4 5 3 5 1 8 Tall og tallforståelse 4 2,3 4 1.4 Regn ut. a) 3 4 4 4 b) 5 2 3 c) 2 4 3 3 d) 5 2 +4 2 e) 10 3 -- 10 1 f)3 5 -- 5 3 Multiplikasjon og divisjon av potenser Når vi skal multiplisere to potenser som har samme grunntall, lar vi grunntallet stå og summerer eksponentene. Husk! 2 = 2 1, 2 3 2 4 = 2 2 2 2 2 2 2=2 3 + 4 =2 7 3=3 1 osv. Når vi skal dividere en potens med en potens som har samme grunntall, lar vi grunntallet stå og subtraherer eksponentene. 5 6 5 2 =56 : 5 2 =5 6 -- 2 =5 4 Regel Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og summerer eksponentene. Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og subtraherer eksponentene. 9
Tall og tallforståelse Hvis vi dividerer to like potenser med hverandre, blir svaret lik 1 fordi telleren og nevneren er like store. Hvis vi bruker regelen for divisjon av potenser, får vi 5 3 5 3 =53 -- 3 =5 0 Det betyr altså at 5 0 =1. Regel For alle tall a er a 0 =1. Når vi skal multiplisere eller dividere to potenser som ikke har samme grunntall, må vi regne ut potensene hver for seg. Eksempel 1:1 Regn ut. Skriv svaret som én potens hvis det mulig. a) 2 2 2 5 c) 3 2 4 3 b) 4 6 : 4 2 d) 4 4 : 2 3 Løsning a) 2 2 2 5 =2 2 + 5 = 2 7 b) 4 6 : 4 2 =4 6 -- 2 = 4 4 c) 3 2 4 3 =9 64 ¼ 576 d) 4 4 : 2 3 = 256 : 8=32 Oppgaver 1.5 Skriv svaret som én potens. a) 3 2 3 5 b) 5 2 5 2 c) 2 2 2 3 d) 5 2 5 4 e) 10 2 10 3 f)7 2 7 3 1.6 Skriv svaret som én potens. a) 13 2 13 3 b) 5 2 5 c) 12 2 12 3 d) 10 2 10 4 e) 10 0 10 5 f)7 0 7 3 1.7 Skriv svaret som én potens. a) 3 2 3 b) 15 2 15 2 c) 2 2 2 6 d) 10 2 10 4 10 2 e) 10 3 10 5 10 f)7 7 3 7 0 7 2? Hvordan kan vi skrive tallet 189 som en sum av to potenser? 10
1.8 Skriv svaret som én potens. a) 27 2 4 b) 65 6 2 c) 106 10 2 d) 312 3 8 e) 55 5 2 f) 35 3 4 1.9 Skriv svaret som én potens. a) 5 5 : 5 2 b) 10 5 : 10 3 c) 3 5 : 3 4 d) 7 4 : 7 3 e) 15 5 : 15 3 f)10 9 : 10 3 Tall og tallforståelse 1.10 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis ikke, regn ut. a) 9 5 : 9 2 c) 2 6 -- 2 4 e) 12 4 : 12 3 b) 3 4 +3 3 d) 10 4 +10 3 f)3 4 +2 4 1.11 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis ikke, regn ut. a) 3 2 3 5 c) 12 2 2 3 e) 8 2 8 b) 5 2 5 3 d) 5 2 10 2 f)5 4 3 1.12 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis ikke, regn ut. a) 13 6 : 13 4 b) 8 4 -- 4 4 c) 5 4 2 -- 16 d) 3 5 2 +5 3 2 Potenser med 10 som grunntall Nedenfor ser du noen eksempler på potenser med 10 som grunntall. 10 0 =1 10 1 =10 10 2 = 100 10 3 = 1000 10 4 = 10 000 10 5 = 100 000 10 6 = 1 000 000 Vi bruker tallene 1, 10, 100 osv. når vi skriver naturlige tall på utvidet form: 3456 = 3 1000 + 4 100 + 5 10 + 6 1 Ettersom 10, 100, 1000 osv. kan skrives som potenser med 10 som grunntall, får vi: 3456 = 3 10 3 +4 10 2 +5 10 1 +6 10 0 11
Tall og tallforståelse Eksempel 1:2 Skriv 1 205 604 på utvidet form ved å bruke potenser av 10. Løsning 1 205 604 = 1 1 000 000 + 2 100 000 + 0 10 000 + 5 1000 + 6 100 + 0 10 + 4 1 1 205 604 = 1 106 + 2 105 + 5 103 + 6 102 + 4 100 Oppgaver 1.13 Skriv tallene som potenser med 10 som grunntall. a) 100 c) 100 000 e) Ti millioner b) 1000 d) 1 000 000 f ) En milliard 1.14 Skriv tallene på utvidet form ved å bruke potenser av 10. a) 6543 c) 12 675 e) 2 450 565 b) 3409 d) 125 308 f ) 2 907 530 1.15 Skriv tallene på vanlig måte. a) 5 103 + 4 102 + 1 101 + b) 3 104 + 4 103 + 5 102 + c) 7 105 + 4 104 + 5 103 + d) 2 105 + 4 103 + 5 102 + e) 1 106 + 4 105 + 5 103 + f ) 3 105 + 4 102 + 9 101 + 6 100 6 101 + 5 100 6 102 + 3 101 + 4 100 6 100 6 102 + 1 101 + 2 100 1 100 1.16 Skriv 7 milliarder på vanlig måte og deretter ved å bruke tierpotens. Det er over 7 milliarder mennesker på jorda. 12
Tall på standardform For å få bedre oversikt over et stort tall, kan vi skrive tallet som et produkt av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens. 150 000 000 km kan vi skrive slik: 1,5 10 8 km Tierpotens Desimaltall mellom 1 og 10 Tall og tallforståelse Når vi skriver om store tall på denne måten, flytter vi desimaltegnet og setter det mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Ovenfor har vi flyttet desimaltegnet åtte plasser. Derfor blir tierpotensen 10 8. Skrivemåten 1,5 10 8 kaller vi standardform. Sola, vår egen stjerne Avstanden fra jorda til sola er ca. 150 000 000 km! 13
Tall og tallforståelse Regel Vi skriver store tall på standardform ved å plassere desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Eksponenten i tierpotensen svarer til antallet plasser vi har flyttet desimaltegnet. Eksempel 1:3 Skriv tallet 340 000 000 på standardform. Løsning 340 000 000 = 3,4 10 8 Oppgaver 1.17 Skriv tallene på standardform. a) 25 000 c) 24 000 000 b) 14 000 d) 910 000 e) 4 500 000 f ) 4 500 000 000 1.18 Skriv avstandene fra sola til planetene på standardform. a) Sola Venus 108 000 000 km b) Sola Jorda 150 000 000 km c) Sola Jupiter 778 000 000 km 14
1.19 Skriv tallene på vanlig måte. a) 4,5 10 3 c) 9,1 10 5 e) 1,05 10 7 b) 2,7 10 4 d) 4,5 10 6 f ) 4,08 10 9 1.20 Massen til månen har blitt beregnet til ca. 73 500 000 000 000 000 000 tonn. Skriv tallet ved å bruke tierpotens. Tall og tallforståelse Landingsmodulen The Eagle (Apollo 11) var det første romfartøyet som landet på månen, 20. juli 1969. 1.21 Finn ut hvor mye jorda veier. Skriv tallet både på vanlig måte og ved å bruke tierpotens. Massen til månen er ca. 0,0123 av massen til jorda! 15
Tall og tallforståelse Kvadrattall Alle tallene er kvadrattall! 4 9 16 25 Hva mener vi med kvadrattall? Vi kan legge ut brikker i kvadratform på denne måten: &&&&& &&&&& &&& &&&&& && &&& &&&&& & && &&& &&&&& Se på regnestykkene nedenfor. 1 1=1 2 =1 2 2=2 2 =4 3 3=3 2 =9 4 4=4 2 =16 5 5=5 2 =25 Tallene 1, 4, 9, 16, 25 osv. kaller vi kvadrattall fordi vi kan illustrere disse tallene i et kvadratisk mønster som ovenfor. Regel Hvis x er et helt tall, er x x = x 2 et kvadrattall. 16
Oppgaver 1.22 Hvilke av disse tallene er kvadrattall? 4 9 7 8 16 25 1.23 Lag en tegning som illustrerer kvadrattallene. a) 4 b) 9 c) 16 d) 25 Tall og tallforståelse 1.24 Hvilke kvadrattall illustrerer disse figurene? a) b) c) 1.25 Regn ut kvadrattallet x 2 når x er a) 5 c) 10 b) 8 d) 15 e) 20 f ) 100 1.26 81 brikker blir lagt ut som et kvadrat. Hvor mange brikker er det langs sidene av kvadratet? 1.27 Stolene i en kinosal er plassert som et kvadrat. Det er 625 plasser i salen. Hvor mange stoler er det i hver rad?? Plasser tallene fra 1 til 6 i trekanten slik at summen langs hver av sidene blir den samme. 17
Tall og tallforståelse Kvadratrot Når vi multipliserer to like tall med hverandre, får vi et kvadrattall. 3 3=9 Det vil si at 9 er et kvadrattall. Motsatt sier vi at 3 er kvadratroten av 9. p ffiffiffi Tegnet for kvadratrot er. Vi kan skrive kvadratroten av 9 slik: p ffiffiffi 9 =3 På samme måte er p ffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5=25: Regel Vi finner kvadratroten av et bestemt tall ved å finne det positive tallet som multiplisert med seg selv, gir det bestemte tallet. Eksempel 1:4 Finn kvadratroten av 36. Løsning p ffiffiffiffiffi Ettersom 6 6 = 36, er 36 = 6. Oppgaver Vi må bruke kalkulator for å regne ut kvadratroten av tall som ikke er kvadrattall. 1.28 Finn kvadratroten av a) 9 b) 25 c) 16 d) 36 e) 81 f ) 100 18
1.29 Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 25 pffiffiffiffiffi b) 36 1.30 Regn ut. p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 25 + 81 p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi b) 36 + 100 pffiffiffiffiffiffiffi c) 144 pffiffiffiffiffiffiffi d) 400 p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi c) 25 + 16 p ffiffiffi pffiffiffiffiffi d) 9 + 36 pffiffiffiffiffi e) 85 pffiffiffiffiffiffiffi f) 128 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi e) 81 -- 36 pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi f) 100 -- 121 Tall og tallforståelse? Finn tallet!. Tallet har to faktorer som også er primtall.. Kvadratroten av tallet er mindre enn 10.. Tallet har tverrsummen 13. 1.31 a) Sidene i et kvadrat er 6,5 cm. Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 23,04 cm 2. Hvor lang er siden? 1.32 En håndballbane har form som et rektangel som er dobbelt så langt som det er bredt. Arealet av håndballbanen er 800 m 2. Regn ut lengden og bredden av håndballbanen. Håndballcup i Ski 19
Tall og tallforståelse Regning med fortegnstall 5 3=2 5 2=3 5 1=4 5 0=5 5 ( 1)=? 5 ( 2)=? 1 3= 3 1 2= 2 1 1= 1 1 0=0 1 ( 1)=? 1 ( 2)=? Hm... Hva blir svaret på oppgavene? Vi kan legge til og trekke fra negative tall. Jo mindre tall vi legger til, desto mindre tall får vi til svar. Jo mindre tall vi trekker fra, desto større tall får vi til svar. 5+3=8 5--3=2 5+2=7 5--2=3 5+1=6 5--1=4 5+0=5 5--0=5 5+ð--1Þ =4 5--ð--1Þ =6 5+ð--2Þ =3 5--ð--2Þ =7 5+ð--3Þ =2 5--ð--3Þ =8 Regel Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. Hvis vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall: --6 ð--3þ =18 --6: ð--3þ =2 --3 ð--3þ =9 --3: ð--3þ =1 20
Regel Når vi multipliserer eller dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. Når vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall. Tall og tallforståelse Minus minus = pluss! Minus pluss = minus! Eksempel 1:5 Regn ut. a) 10 + ð--12þ b) 10 -- ð--12þ c) 5 ð--4þ Løsning a) 10 + ð--12þ =10--12=--2 b) 10 -- ð--12þ = 10 + 12 = 22 c) 5 ð--4þ = --20 d) --5 ð--4þ e) --20 : 4 f ) --20 : ð--4þ d) --5 ð--4þ = 20 e) --20 : 4=--5 f ) --20 : ð--4þ = 5 Oppgaver 1.33 Regn ut. a) 5 -- ð--4þ b) 9 -- ð--9þ c) 10 -- ð--5þ d) 50 -- ð--100þ 1.34 Regn ut. a) 5 + ð--2þ b) 20 + ð--12þ c) 13 + ð--12þ d) 25 + ð--20þ e) --5 + ð--2þ f)--5 --ð--2þ g) --10 + ð--8þ h) --10 -- ð--8þ 21
Tall og tallforståelse 1.35 Regn ut. a) 12 + ð--3þ b) 12 -- ð--3þ c) 12 -- ð+3þ d) 12 + ð+3þ 1.36 Hvilket av svarene er riktig? A 5 --ð--5þ -- ð+1þ =1 B 5 --ð--5þ -- ð+1þ =9 e) 12 + ð--15þ f ) --20 -- ð--20þ C 5 --ð--5þ -- ð+1þ =11 D 5 --ð--5þ -- ð+1þ =--1 g) --9 + ð--17þ h) --14 -- ð--6þ 1.37 Regn ut. a) 5 ð--6þ b) --4 6 c) --3ð--7Þ d) 5 ð--10þ 1.38 Regn ut. a) 25 : ð--5þ b) --25 : 5 c) --30 : ð--6þ d) --42 : 7 1.39 Regn ut. a) 2,5 ð--6þ b) 4 ð--2,5þ c) --3 1,5 d) --10 ð--3,7þ 1.40 Regn ut. a) 4 + ð--3þ -- ð--4þ b) 5 -- ð--3þ + ð--4þ 1.41 Regn ut. a) 15 -- ð+17þ b) --2 -- ð+2þ c) 10 + ð--4þ -- ð--15þ d) 50 + ð+50þ -- ð--100þ c) 50 -- ð--50þ + ð--25þ d) --100 -- ð+100þ -- ð--100þ + ð--100þ 1.42 Skriv av og sett de riktige tallene inn i rutene. a) 5 ð--7þ = & c) & ð--8þ = --80 b) --3 & =21 d) --10 ð--10þ = &? Til en teltplass på en øy kom det 10 gjester den første dagen teltplassen var åpen for sesongen. 2 gjester dro tilbake den samme kvelden. Den andre dagen kom det 12 gjester, men 3 dro tilbake samme kveld. Dette mønsteret fortsatte. Hvor mange gjester var det på teltplassen ved slutten av den syvende dagen? 22
Forhold Vi blander i forholdet én til fem! Tall og tallforståelse Hva vil det si å blande i forholdet én til fem? Når vi blander saft og vann i forholdet én til fem, blander vi én del saft med fem deler vann. Det kan for eksempel være 1 dl saft og 5 dl vann. Ettersom 10 dl er fem ganger så mye som 2 dl, kan vi også blande 2 dl saft og 10 dl vann. Forholdet mellom mengden av saft og mengden av vann blir også da én til fem. Forholdet én til fem kan vi skrive slik: 1 : 5 eller 1 5 Brøkstreken er her det samme som et divisjonstegn. Når vi skal finne forholdet mellom to størrelser, forkorter vi brøken så mye som mulig. Regel Vi finner forholdet mellom to tall ved å dividere tallene med hverandre. 23
Tall og tallforståelse Eksempel 1:6 Hanna bor 12 km fra skolen, mens Simen bor 3 km fra skolen. Hva er forholdet mellom 12 km og 3 km? Løsning 12 km 3km = 12 3 = 4 1 Husk! I noen av oppgavene må du gjøre om til samme benevning. Forholdet er 4 : 1 Oppgaver 1.43 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 2 km og 10 km b) 3 bøtter og 12 bøtter c) 500 kr og 250 kr d) 15 kg og 45 kg 1.44 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 500 kr og 125 kr b) 4 cm og 1 m c) 3 g og 12 kg 1.45 Simen blander 2 dl iste med 16 dl vann. Sara blander 3 dl iste med 27 dl vann. Hvem lager den sterkeste blandingen? 1.46 Martin tjener 360 kr på 4 timer. Hanna arbeider i 5 timer. Hvor mye må Hanna få i lønn hvis hun skal tjene like mye per time som Martin? e) 2 cm og 20 cm f ) 4 cm og 80 000 cm d) 12 km og 3 cm e) 50 øre og 50 kr f ) 500 km og 5 cm 1.47 Elevene i 9A solgte vafler for 375 kr. Det er 25 elever i gruppa. I 9B er det 28 elever. Hvor mye må elevene i 9B selge vafler for hvis de skal selge like mye i forhold til elevtallet? 24
Regning med forhold Vi regner med forhold i mange sammenhenger, for eksempel når vi blander saft og vann når vi blander sement og sand når vi får lønn i forhold til den tiden vi arbeider Martin og Lotte hjalp naboen med å male huset. Martin arbeidet i 10 timer og Lotte i 8 timer. For dette fikk Martin 750 kr og Lotte 600 kr. Vi regner ut timelønnen: Martin: 750 kr : 10 = 75 kr Lotte: 600 kr : 8 = 75 kr Tall og tallforståelse Det betyr at forholdet mellom 750 og 10 er det samme som forholdet mellom 600 og 8. Martin og Lotte har derfor fått like mye betalt i forhold til de timene de har arbeidet, selv om de har fått forskjellige kronebeløp. Eksempel 1:7 Herman arbeider i 3 timer, og Sara arbeider i 4 timer. De får 770 kr til sammen for dette arbeidet. Hvor mye får hver av dem? Løsning Herman arbeider: Sara arbeider: Til sammen: Lønnen for én time blir: 770 kr : 7 = 110 kr 3 timer 4 timer 7 timer Herman får: 3 110 kr = 330 kr Sara får: 4 110 kr = 440 kr Vi kontrollerer svaret: 330 kr + 440 kr = 770 kr 25
Tall og tallforståelse Oppgaver 1.48 Martin og Lotte skal dele 450 kr i forholdet 4 : 5. Hvor mye får hver av dem? 1.49 Sara og Herman skal dele et overskudd fra et loddsalg. Sara solgte 50 lodd, og Herman solgte 75 lodd. Overskuddet var 150 kr. a) Regn ut forholdet mellom antallet lodd Sara og Herman solgte. b) Hvor stor del av overskuddet fikk hver av dem? 1.50 Simen skal fylle 2 dl olje og 48 dl bensin på mopeden. Hanna skal fylle olje og bensin i samme forhold. a) Regn ut forholdet mellom mengden av olje og mengden av bensin. b) Hvor mange desiliter bensin må Hanna fylle hvis hun bruker 1 dl olje? 1.51 Sara skal blande iste og vann i forholdet 1 : 9. Hun vil bruke 2 dl iste i blandingen. Hvor mange desiliter ferdigblandet iste får hun? 1.52 I en oppskrift på hasselnøttbrød står det blant annet at vi skal bruke 7 dl grovt rugmel og 6 dl hvetemel Herman skal lage en brøddeig med 9 dl hvetemel. Hvor mye rugmel må Herman bruke hvis forholdet mellom mengden av hvetemel og mengden av rugmel fortsatt skal være det samme? 26
Figurtall og tallrekker 1 3 6 Tall og tallforståelse Hvilke tall får vi videre etter dette mønsteret? Hvis vi fortsetter å legge ut brikker etter det samme mønsteret, får vi følgende figurer og tall: & & & & & & & & & & & && &&& &&&& & && &&& &&&& &&&&& 1 3 6 10 15 osv. Antall brikker er: 1 brikke 3 brikker ð1 +2Þ 6 brikker ð1 +2+3Þ 10 brikker ð1 + 2 + 3 + 4Þ 15 brikker ð1 + 2 + 3 + 4 + 5Þ osv. Husk! 1, 4, 9, 16 osv. kaller vi kvadrattall. Tallene 1, 3, 6, 10, 15 osv. kaller vi trekanttall fordi vi kan illustrere disse tallene i et geometrisk trekantet mønster. Tallene 1, 3, 6, 10 og 15 er de fem første trekanttallene. 27
Tall og tallforståelse Vi kan lage andre tallrekker ved å bruke et bestemt system eller mønster. Systemet vi bruker, kan være addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon mellom leddene i rekken. Her er noen eksempler på hvordan vi kan bygge opp tallrekker: Ved addisjon: 1 3 5 7 9 +2 +2 +2 +2 Ved subtraksjon: 12 7 2 3 8 5 5 5 5 Ved multiplikasjon: 1 3 9 27 81 3 3 3 3 Ved divisjon: 64 32 16 8 4 2 2 2 2 Ved summering av ledd: 1 1 2 3 5 1+1 1+2 2+3 Vær oppmerksom på at tallrekker også kan være lagd etter flere enn ett mønster. Prøv å finne ut hvordan tallrekkene er bygd opp når du løser oppgavene på neste side. Oppgaver 1.53 Hvilke av tallene er kvadrattall? A9 C50 B36 D81 1.54 Hvilke av tallene er trekanttall? A10 C20 B15 D25 E 20 F 144 E 21 F 100 G1 H 169 G28 H50 28
1.55 Hvilke av tallene er ikke kvadrattall? A16 B8 C14 D18 E 20 F 24 1.56 Se på regnestykkene nedenfor. Fortsett fire linjer til etter det samme systemet. Skriv en regel ut fra den sammenhengen du ser. G36 H38 Tall og tallforståelse 1=1=1 2 1+3=4=2 2 1+3+5=9=3 2 1.57 De seks første trekanttallene er 1, 3, 6, 10, 15 og 21. Legg sammen a) det første og det andre trekanttallet b) det andre og det tredje trekanttallet. c) det tredje og det fjerde trekanttallet d) Hva slags tall får du i oppgave a, b og c? 1.58 Skriv de tre neste tallene i tallrekkene. a) 1 4 9 & & & b)1 2 4 7 11 & & & c) 2 4 8 16 & & & d)2 6 18 54 & & & 1.59 Skriv av og sett inn tallene som mangler i tallrekkene. a) 2 4 8 & & & 128 b)1 4 8 13 & & 34 c) 1 9 25 & & & 169? Hva kan differansen mellom to negative tall bli? 1.60 Se på regnestykkene nedenfor: 1 1=1 2 =1 11 11 = 11 2 = 121 111 111 = 111 2 = 12321 Ser du et system som gjør at du raskt kan finne ut hvilket tall 11 111 2 er? 29
Tall og tallforståelse Prøv deg selv 1 Skriv som én potens. a) 3 3 b)5 5 5 5 c) 2 2 2 2 2 d)7 7 7 2 Regn ut potensen. a) 10 3 b) 3 3 c) 5 4 d) 2 8 3 Skriv svaret som én potens. a) 10 3 10 2 b) 4 3 4 4 c) 5 3 5 2 d) 10 2 10 4 Skriv svaret som én potens. a) 5 5 : 5 2 b) 10 6 : 10 2 c) 7 4 : 7 2 d) 2 5 : 2 4 5 Skriv tallene på utvidet form ved å bruke potenser av 10. a) 3563 b) 12 875 c) 20 456 d) 120 503 6 Skriv tallene på standardform. a) 24 000 b) 540 000 c) 760 000 000 d) 50 100 000 000 7 Regn ut arealet av et kvadrat når sidene i kvadratet er a) 4 cm b) 9 cm c) 7 cm d) 3,6 cm 8 Regn ut x 2. a) x =2 b)x =7 c)x =1 d)x = 0,5 9 Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 64 pffiffiffiffiffi b) 81 c) pffiffiffiffiffiffiffi 121 p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi d) 16 + 49 10 a) Sidene i et kvadrat er 4,5 cm Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 12,96 m 2. Hvor lange er sidene? 11 Regn ut. a) 4 -- ð--2þ +3 b) 15 + ð--5þ -- 10 c) --20 -- ð--30þ -- 2 d) 23 -- ð12 -- 5Þ e) ð12 -- 4Þ -- ð15 -- 2Þ f)ð7 --4+23Þ -- 3 + ð6 --3Þ 30
Regn ut. a) --2 3 b) 5 ð--10þ c) --4 ð--8þ d) --32 : ð--8þ e) 45 : ð--9þ f ) --45 : 9 13 Lotte blander 2 dl iste med 10 dl vann. a) Hvor mange desiliter ferdigblandet iste får Lotte? b) Regn ut forholdet mellom volumet av iste og volumet av vann. 14 Murer Sand blander sement og sand i forholdet 1 : 5. Han har 6 skuffer sement i blandemaskinen. Tall og tallforståelse 12 a) Hvor mange skuffer sand har mureren i blandemaskinen? b) En annen gang har mureren 20 skuffer sand i blandemaskinen. Hvor mange skuffer sement og sand har han da til sammen i blandemaskinen? Pantheon i Roma (bygd i år 118 125) har en selvbærende kuppel av betong. 15 16 Hvilke tall mangler a) 1 4 b) 1 1 c) 1 3 i tallrekkene? & 9 2 3 & 6 & & & 36 & 21 13 Hvilke av tallene er kvadrattall, og hvilke av tallene er trekanttall? 16 4 21 25 10 36 6 31
Tall og tallforståelse Noe å lure på 1 En flaske inneholder 6 dl saft. Simen skal blande saft og vann ved å bruke 1 del saft og 9 deler vann. På flasken står det at det kan bli 6 liter ferdigblandet saft. Forklar hvorfor det er riktig. 2 Se på utregningene nedenfor. 1 = 13 3 + 5 = 23 7 + 9 + 11 = 33 Hvordan fortsetter dette mønsteret? 3 Avstanden fra jorda til månen er ca. 380 000 km, og avstanden fra jorda til sola er ca. 150 000 000 km. Månens diameter er ca. 3480 km, og solas diameter er ca. 1 400 000 km. Regn ut forholdet mellom a) avstanden fra jorda til sola og avstanden fra jorda til månen b) diameteren til månen og diameteren til sola c) Hva har svarene i a) og b) å si for en solformørkelse? 32
pffiffiffi 4 Sidene i et kvadrat er 5 cm. Regn ut arealet av kvadratet. q p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi 5 Regn ut 256. 6 Vi vet at 2,5 10 6 = 2 500 000. Men hva er 2,5 10 -- 6? Tall og tallforståelse 7 a) Hvordan fortsetter dette mønsteret? 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 b) Hva kjennetegner tallene du finner? 8 Tegn av og plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonner og bokser (2 3Þ inneholder disse tallene. Samme tall kan ikke opptre to ganger i en rad, kolonne eller i en boks. 4 3 5 1 2 1 5 4 1 2 6 3 Sudoku 33
Tall og tallforståelse Oppsummering Potenser Når vi multipliserer tall som er like store, kan vi skrive dem som en potens. 5 5 5 5 5 5=5 6 x x x = x 3 Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentene i de potensene vi multipliserer. 2 3 2 4 =2 3 + 4 =2 7 x 3 x 2 = x 3 + 2 = x 5 Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i telleren minus eksponenten i nevneren. 5 6 5 2 =56 -- 2 =5 4 x 6 : x 2 = x 6 -- 2 = x 4 Tall på standardform Tall kan skrives på vanlig form eller på standardform. Vanlig form: 450 000 000 Standardform: 4,5 10 8 Kvadrattall Hvis x er et helt tall, kaller vi x 2 et kvadrattall. 5 5=5 2 =25 25 er et kvadrattall. Kvadratrot Kvadratroten av et tall x er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir tallet x. p ffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5=25 34
Regning med fortegnstall Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. 10 + ð--7þ = 10 -- 7 = 3 Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. Tall og tallforståelse 10 -- ð--7þ = 10+7=17 Når vi multipliserer et positivt tall og et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 ð--5þ = --125 Når vi dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 : ð--5þ¼--5 Når vi multipliserer to negative tall, blir svaret et positivt tall. --25 ð--5þ = 125 Når vi dividerer et negativt tall med et negativt tall, blir svaret et positivt tall. --25 : ð--5þ =5 Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved å dividere tallene med hverandre. Forholdet mellom 5 og 25 er 5:25=1:5 Trekanttall Vi får trekanttall ved å summere naturlige tall fortløpende fra 1 og oppover. 1 + 2 = 3 3 er et trekanttall 1 + 2 + 3 = 6 6 er et trekanttall 35
Fasit Fasit Tall og tallforståelse 1.1 a) 2 4 1.2 1.3 b) 3 4 c) 10 3 a) 8 b) 243 c) 125 d) 7 5 e) 5 6 f)9 4 d) 100 000 e) 3125 f ) 1024 Grunntall Eksponent Potens 3 2 3 2 6 4 6 4 3 5 3 5 1 8 1 8 2,3 4 2,3 4 1.10 a) 9 3 b) 108 c) 48 1.11 a) 3 7 b) 5 5 c) 1152 1.12 a) 13 2 b) 3840 1.13 a) 10 2 b) 10 3 c) 10 5 d) 11 000 e) 12 f)97 d) 2500 e) 8 3 f ) 320 c) 64 d) 120 d) 10 6 e) 10 7 f)10 9 1.14 a) 6 10 3 +5 10 2 +4 10 1 +3 10 0 b) 3 10 3 +4 10 2 +9 10 0 c) 1 10 4 +2 10 3 +6 10 2 + 7 10 1 +5 10 0 d) 1 10 5 +2 10 4 +5 10 3 + 3 10 2 +8 10 0 e) 2 10 6 +4 10 5 +5 10 4 + 5 10 2 +6 10 1 +5 10 0 f)2 10 6 +9 10 5 +7 10 3 + 5 10 2 +3 10 1 1.4 a) 192 b) 40 c) 432 d) 41 e) 990 f ) 118 1.15 a) 5416 b) 34 565 c) 745 634 d) 204 506 e) 1 405 612 f ) 300 491 1.5 a) 3 7 b) 5 4 c) 2 5 1.6 a) 13 5 b) 5 3 c) 12 5 1.7 a) 3 3 b) 15 4 c) 2 8 1.8 a) 2 3 b) 6 3 c) 10 4 1.9 a) 5 3 b) 10 2 c) 3 d) 5 6 e) 10 5 f)7 5 d) 10 6 e) 10 5 f)7 3 d) 10 8 e) 10 9 f)7 6 d) 3 4 e) 5 3 f)3 d) 7 e) 15 2 f)10 6 1.16 7 000 000 000 = 7,0 10 9 1.17 a) 2,5 10 4 b) 1,4 10 4 c) 2,4 10 7 1.18 a) 1,08 10 8 km b) 1,5 10 8 km 1.19 a) 4500 b) 27 000 c) 910 000 1.20 7,35 10 19 1.21 ca 6,0 10 21 1.22 4, 9, 16 og 25 d) 9,1 10 5 e) 4,5 10 6 f ) 4,5 10 9 c) 7,78 10 8 km d) 4 500 000 e) 10 500 000 f ) 4 080 000 000 70
271 1.23 a) b) 1.34 a) 3 b) 8 c) 1 d) 5 e) 7 f) 3 g) 18 h) 2 Fasit c) 1.35 a) 9 b) 15 c) 9 d) 15 e) 3 f)0 g) 26 h) 8 1.36 B 1.37 a) 30 b) 24 c) 21 d) 50 d) 1.38 a) 5 b) 5 c) 5 d) 6 1.39 a) 15 b) 10 c) 4,5 d) 37 1.24 a) 4 b) 25 c) 16 1.40 a) 5 b) 4 c) 21 d) 200 1.25 a) 25 b) 64 c) 100 1.26 9 1.27 25 stoler d) 225 e) 400 f ) 10 000 1.41 a) 2 b) 4 c) 75 d) 200 1.42 a) 5 ð--7þ = --35 b) ð--3þ ð--7þ =21 c) 10 ð--8þ = --80 d) ð--10þð--10þ = 100 1.28 a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e) 9 f)10 1.43 a) 1 : 5 b) 1 : 4 c) 2 : 1 d) 1 : 3 e) 1 : 10 f ) 1 : 20 000 1.29 a) 5 b) 6 c) 12 d) 20 e) 9,22 f ) 11,31 1.44 a) 4 : 1 b) 1 : 25 c) 1 : 4000 d) 400 000 : 1 e) 1 : 100 f ) 10 000 000 : 1 1.30 a) 14 b) 16 c) 9 d) 9 e) 3 f) 1 1.45 Simen (1 : 8) 1.46 450 kr 1.31 a) 42,25 cm 2 b) 4,8 cm 1.32 lengde = 40 m, bredde = 20 m 1.33 a) 9 b) 18 c) 15 d) 150 1.47 420 kr 1.48 Martin 200 kr Lotte 250 kr 1.49 a) 1 : 1,5 = 2 : 3 b) Sara fikk 60 kr, Herman fikk 90 kr 1.50 a) 1 : 24 b) 24 dl
Fasit 1.51 20 dl = 2 liter 1.52 10,5 dl 1.53 A, B, D, F, G og H 1.54 A, B, E og G 1.55 B, C, D, E, F og H 1.56 4 2,5 2,6 2,7 2 Summen av oddetall fra og med 1 blir et kvadrattall. Kvadrattallet har grunntall som svarer til antall oddetall som summeres. 1.57 a) 4 b) 9 c) 16 d) kvadrattall 1.58 a) 1, 4, 9, 16, 25, 36 b) 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29 c) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 d) 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458 1.59 a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 b) 1, 4, 8, 13, 19, 26, 34 c) 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169 1.60 123 454 321 2.8 6x +3y +5z 2.9 a) 2a +2b b) 4a +4b c) 8a +4b 2.10 14,90x + 15,90y + 13,90z 2.11 100n + 120n = 220n 2.12 a) 15 b) 58 c) 4 d) 53 2.13 a) a + b + c b) 1) 6 2) 12 3) 24 2.14 a) x +13 b)17år 2.15 a) 14 cm b) 12,56 cm 2.16 a) 3 b) 2 2.17 a) 4x b) 3b 2.18 a) 4b b) 11x c) 4a c) 12 cm c) 5 d) 21 c) 4a d) 3xy d) 9y e) 3a -- 2b +4c f)--x + y +4z Algebra 2.19 a) 4x +6y b) 6a +3b c) 7ab d) 7a -- 2b e) 8xy -- 4ab f)3ab -- 6xy 2.1 Talluttrykk inneholder bare tall. Bokstavuttrykk inneholder bokstaver, eller bokstaver og tall. 2.2 a) og d) er talluttrykk. b) og c) er bokstavuttrykk. 2.3 D 2.20 a) y 2 b) a 4 c) x 6 d) ðabþ 3 2.21 a) y 7 b) a 10 c) b 9 d) x 10 2.22 a) a 2 b) x 4 c) 1 d) ð2aþ 4 2.4 a) x 3=3x b) 2x +3y c) 2x 3 2.23 a) 15b 2 b) 15x 5 c) 56ðabÞ 3 d) 24x 6 2.5 99x 2.6 A 2.7 Antall kilometer Herman sykler i x dager til og fra skolen. 2.24 a) y 4 +2y 2 b) 4x 2.25 a) 12ðabÞ 2 b) 1 c) a 2 +4a d) 4x 3 +2x 2 +3x c) 20yz 5 d) 18x 9 y 4 72