Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 8 Oppgaver fra boken: 10.1 : 13, 14, 18 10.2 : 15, 18, 32 10.3 : 1, 6, 14, 18, 24, 33, 42 Det er oppgaven under de oppgavene fra boken i boldface som skal leveres inn: 1 Vis ved hjelp av definisjonene av kontinuitet grenseverdi at funksjonen f : R 2 R gitt ved { 3 2 y, (, y) (0, 0) f(, y) = 2 +y 2 0, (, y) = (0, 0) er kontinuerlig i origo. (Hint: 2 2 + y 2 for alle y.) Vi må vise at lim f(, y) = f(0, 0). (,y) (0,0) Nå er f(0, 0) = 0, så vi må vise at når (, y) er nær (men ikke i) origo, så er f(, y) nær 0. Mer presist: la ϵ > 0. Vi må finne et positivt tall δ slik at når avstanden mellom (, y) (0, 0) er mindre enn δ (men ikke lik null), så er avstanden mellom f(, y) 0 mindre enn ϵ. Nå er, for alle (, y) (0, 0), f(, y) 0 = 32 y 2 + y 2 3 2 + y 2 2 + y 2 y = 3 y 3 2 + y 2. Med litt erfaring ser man at δ = ϵ/3 er tallet vi er ute etter. For hvis så er lim (,y) (0,0) f(, y) = 0 per definisjon. 0 < 2 + y 2 < δ, f(, y) 0 3 2 + y 2 < 3δ = ϵ 8. mars 2014 Side 1 av 7
10.1:13 Finn det største mulige domenet den tilhørene verdimengden til funksjonen f(, y) = 2 + y 2. Finn så ligningene for nivåkurvene f(, y) = c de mulige verdiene av c. Funksjonen er definert for alle y, så domenet er D = R 2. Verdimengden er åpenbart V = [0, ). Nivåkurvene til f er sirkler med sentrum i origo radius c. Altså, 2 + y 2 = c der c V. Figur 1 viser grafen av f over kvadratet 1 1, 1 y 1 seks nivåkurver tilsvarene c = i/5, i = 1,... 6. Figur 1: Grafen av f seks nivåkurver 10.1:14 Finn det største mulige domenet den tilhørene verdimengden til funksjonen f(, y) = 9 2 y 2. Finn så ligningene for nivåkurvene f(, y) = c de mulige verdiene av c. Funksjonen er definert for, bare for, y slik at 9 2 y 2 0, så domenet er disken med sentrum i origo radius 3: D = { (, y) 2 + y 2 9 }. f er størst når 2 + y 2 er minst mulig, dvs. 2 + y 2 = 0. Og f er minst når 2 + y 2 er størst mulig, dvs. 2 + y 2 = 9. Altså er verdimengden V = [0, 3]. Figur 2: Grafen av f Grafen av f (figur 2) er den øvre halvkulen med sentrum i origo radius 3. Nivåkurvene til f er sirkler med sentrum i origo radius 9 c 2 der c V. I figur 3 ser vi fem nivåkurver for f tilsvarene c = i/2, i = 1,... 5. 8. mars 2014 Side 2 av 7
3 2 1 0 1 2 3 2 0 2 Figur 3: Nivåkurver til f 10.1:18 Finn det største mulige domenet den tilhørene verdimengden til funksjonen f(, y) = + y y. Finn så ligningene for nivåkurvene f(, y) = c de mulige verdiene av c. Funksjonen er definert for, bare for, y slik at nevneren ikke er null. Dvs Verdimengden er D = {(, y) y }. V = R. Bevis: La r R. Vi må finne et punkt (, y) D slik at f(, y) = r. La = r+1 y = r 1. Da er (, y) D fordi y f(r +1, r 1) = r + 1 + r 1 r + 1 (r 1) = r. Ligningene for nivåkurvene er gitt ved + y y = c. Vi forsøker å finne en ligning på eksplisitt form: + y y Figur 4: Grafen av f = c + y = c cy y(1 + c) = (c 1), så nivåkurven for c = 1 er gitt ved = 0 for c 1 er nivåkurvene gitt ved y = c 1 c + 1. Dvs. rette linjer gjennom origo. Figur 4 viser grafen av f på kvadratet 10, y 10 figur 5 viser sju nivåkurver til f på D for c = 3,..., 3. 8. mars 2014 Side 3 av 7
10 5 y 0 5 10 10 5 0 5 10 Figur 5: Nivåkurver til f 10.2:15 La f : R 2 \ {(0, 0)} R være gitt ved Vis at f(, y) = 2 2y 2 2 + y 2. lim f(, y) (,y) (0,0) ikke eksisterer ved å beregne grensen i origo langs den positive -aksen langs den positive y-aksen. På -aksen er y = 0 men på y-aksen er = 0 Dvs. lim (,y) (0,0) f(, y) eksisterer ikke. 2 lim f(, 0) = lim 0 + 0 + 2 = lim 1 0 + = 1, 2y 2 lim f(0, y) = lim y 0 + y 0 + y 2 = lim y 0 + 2 = 2 1 = lim f(, 0). 0 + 8. mars 2014 Side 4 av 7
10.2:18 La f være gitt ved f(, y) = 3y 2 + y 3. Beregn grensen av f(, y) i origo langs de rette linjene y = m for m 0. Hva kan du konkludere i forhold til eksistens av lim f(, y)? (,y) (0,0) La m 0. På linjen y = m er funksjonsverdien gitt ved når 0, så f(, y) = f(, m) = 3m2 2 + m 3 3 = 3m 1 + m 3 3m lim f(, m) = lim 0 0 1 + m 3 = 3m Altså avhenger grenseverdien, langs rette linjer inn mot origo, av retningen på linjene grenseverdien lim (,y) (0,0) f(, y) kan dermed ikke eksistere. 10.2:32 Tegn en lukket disk, D, i, y-planet med radius 3 sentrum i (2,0) gi en matematisk beskrivelse av denne mengden. Et punkt (, y) ligger i denne disken hvis bare hvis avstanden mellom (, y) (2,0) er mindre eller lik 3. Dvs. hvis bare hvis ( 2) 2 + y 2 3. Mengden D kan altså beskrives som { D = (, y) R 2 } ( 2) 2 + y 2 3. Figur 6 viser området D R 2. 10.3:1 Finn funksjonene f(, y) = 2 y + y 2. y når y 3 2 D 1 0 2 1 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 Figur 6: Området D 8. mars 2014 Side 5 av 7
(, y) = 2y + y2. y (, y) = 2 + 2y. 10.3:6 Finn funksjonene y når f(, y) = tan( 2y). (, y) = 1 cos 2 ( 2y). y (, y) = 2 cos 2 ( 2y). 10.3:14 Finn funksjonene y når f(, y) = ln(3 2 y). (, y) = 6 y 3 2 y. (, y) = y 3 2 y. 10.3:18 Finn y (1, 1) når f(, y) = 1/3 y y 1/3. så y (, y) = 1/3 1 3 y 2/3, y (1, 1) = 11/3 1 3 1 1 2/3 = 2 3. 10.3:24 Finn u (2, 1) når f(u, v) = e u2 /2 ln(u + v). 8. mars 2014 Side 6 av 7
u (u, v) = /2 ueu2 ln(u + v) + e u2 /2 1 ( u + v = e u2 /2 u ln(u + v) + 1 ) u + v så ( (2, 1) = e2 2 ln 3 + 1 ). u 3 10.3:33 Finn funksjonene, y z når f(, y, z) = 3 y 2 z + yz. (, y) = 32 y 2 z + 1 yz, y (, y) = 23 yz y 2 z, z (, y) = 3 y 2 yz 2. 10.3:42 Finn funksjonen 2 f y når f(, y) = sin( y). så (, y) = cos( y), 2 f y (, y) = cos( y) y = sin( y) ( 1) = sin( y). 8. mars 2014 Side 7 av 7