UNIVERSITETET I AGDER INSTITUTT FOR MATEMATISKE FAG EKSAMEN MA-100 Kalkulus 1. Fredag. desember 011, kl. 09-14 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu og uten minne for tekst. Inntil fire egenproduserte ark. OppgaVesettet er på 3 sider. OPPGAVE 1 Litt av hvert: a) Bestem de tre integralene (i) 3 + 3x + x dx ii)f dx f In(x + 1) dx N/x + 4x + 7 (x - 1)(x + 1) La 100 f (x) = x E R. Vis at f'(x) > 0 overalt (hint: = e \. ) Hva er verdimengden til f? Hva er definisjonsmengden og verdimengden til den inverse funksjonen f-1? Finn et uttrykk for f-1. Vis at rekka 00 n= Vi vet at xn = n=--0-1)n 3n- 1 1 - x er konvergent. når lxi < 1. Bruk dette til å vise at 00 n= - når (1 x)3 Ix I< 1. Forklar hvordan du tenker. Finn nå summen av rekka oc ( - 1)n n= 3n-
Begrunn at likningen x ln x = 1 har en og bare en løsning a i (1, oo). Beregn en tilnærmet verdi av a (fra forrige punkt) med Newtons metode. Bruk startverdi ao =.0 og to iterasjoner. Finn intervallet hvor potensrekka OPPGAVE Hyberbolske funksjoner: n=1 xn konvergerer. Funksjonene sinus hyperbolicus og cosinus hyperbolicus defineres slik: ex _ e-x ex e-x sinh x = og cosh x = Vis at f sinh x dx = cosh x + C og fcosh x dx = sinh x + C. cosh x 1 Vis også at (sinh x) = Figur 1 viser grafen til f (x) = sinh x i nærheten av origo. Beregn volumet f(x)=sinh(x) - - Figur 1: f (x) = sinh x av omdreiningslegemet definert ved å dreie denne grafen om x-aksen mellom x = ln og x = ln
OPPGAVE 3 Grenser og derivasjon i teori og praksis: Bruk definisjonen av den deriverte for å finne h' (t) av funksjonen h(t) = 4 + 4d Hint: Vis først at h(t + d) h(t) = (4 + t + (4 + t) esin(x) (i) Bestem grenseverdien lim (ii) La f (x) = når x når x = 0 Hva må a være for at f skal være kontinuerlig i 0? Begrunn svaret. Vis at ft(x) = X COS(X)esin(x) esin(x) + X når x 0. d) Avkjølingen av en væske følger den fysiske loven = 0.07(T 5), der t måles i sekunder. Forklar med ord hva denne fysiske loven uttrykker, bruk gjerne et eksempel. Finn et uttrykk for funksjonen T(t) når T(0) = To. e) Christians fart etter x meter, i meter pr. sekund, når han løper et 100- meters løp er gitt ved, 7, v(x) = 60V160x x, 0 < x < 100. Hva er Christians maksimumsfart og hvor langt har han løpt når maksimumsfarten oppnås? Lykke til! Rolf Nossum Trude Sundtjønn
inj Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN Emnekode: Ma-100 Emnenamn: Kalkulus 1 Dato: Fredag. desember 011 Eksamensticl: 09.00-14.00 Tal på sider, med framside: 3 Tillatne hjelpemiddel: Kalkulator utan grafisk vindauge og utan minne for tekst. Inntil fire eigenproduserte ark. OPPGÅVE 1. Godt og blanda. Finn dei tre integrala x+ (i) v/x + 4x + 7dx. 3 (ii) 3x + x dx. (iii) ln(x+1)dx. (x - 1)(x + 1) Lat 100 f(x) =x 1+-x' Vis at (x) > 0 overalt (vink: X = e-x ln \ ) Kva er verdimengda til f? Kva er definisjonsmengda og verdimengda til den inverse funksjonen f Finn eit uttrykk for f. Vis at rekka Vi veit at xn = n=0 n= (n - 1)n er konvergent. CxD n= 3n- Forklar korleis du tenker. (e) Finn nå summen av rekka 1 når < 1. Bruk dette til å vise at 1 - x n(n - 1)xn- = (1 -x)3 når 00 n= (n - 1)n 3n- lx1< 1. Grunngi at likninga xlnx = 1 har ei og bare ei løysing a i (1, oo). Finn ein tilnærma verdi av a (frå oppgåve (f)) med Newtons metode. Bruk startverdi ao =.0 og to iterasjonar. Finn intervallet der potensrekka Xnkonvergerer. n=1 \
OPP GÅVE. Hyberbolske funksjonar. Vi har definert funksjonane sinus hyperbolicus og cosinus hyperbolicus ved at e-x ex e-x sinh x = og cosh x = Vis at fsinh x dx = cosh x C og fcosh x dx = sinh x + C. cosh x - 1 Vis og at (sinh x) =- Figuren nedanfor viser grafen til f (x) = sinh x. Rekn ut volumet av omdreiingslekamen definert ved å dreie denne grafen om x-aksen frå x = - ln til x = ln f(x)=sinh(x) FIGUR 1. Grafen til f (x) = sinh x i nærleiken av origo.
3 OPPGÅVE 3. Grenser og derivasjon i teori og praksis. (a) Bruk definisjonen av den deriverte for å finne h' (t) av funksjonen h(t) = 4d Vink: Vis først at h(t + d) h(t) = (4 t + d) (4 + t)* (b) (i) Bestem grenseverdien (ii) La lim x-->o esin(x) 1 esin(x)_1 f (x) = når x 0 når x = 0 { Kva må a vere for at f skal vere kontinuerleg i 0? Grunngi svaret. (c) Vis at f,(x) x cos(x)esin(x) e sin(x) + 1 X når x 0. (d) Avkjølinga av ei væske følger den fysiske lova = 0.07(T 5), der t blir målt i sekund. Forklar med ord kva denne fysiske lova uttrykker, bruk gjerne eit eksempel. Finn eit uttrykk for funksjonen T (t) når T(0) = To. (e) Christians fart etter x meter, i meter per sekund, når han spring eit 100-meter løp er gitt ved v (x) = 7V/160x x, 0 < x < 100. 60 Kva er Christians maksimumsfart, og kor langt har han sprunge når maksimumsfarten blir oppnådd? Lykke til! Rolf Nossum Trude Sundtjønn