Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn gjerne gurene a) Et rett rektangulert prisme med sideater av lengde, 3, og 5 LF: Volumet er V 3 5 30 Overaten består av seks ater Arealet er ( 3 + 5 + 3 5) 6 b) En rett sylinder med radius 3 og høyde 7 (Topp og bunnplaten tas med når dere nner overatearealet) Volumet er grunnate ganget med høyden Det er π3 7 63π Overatearealet er π 3 7 + (π3 ) 3(7 + 3)π 60π c) Ein kjegle med radius 3 og høyde 7 (Bunnplaten tas med) Volumet er en tredel av volumet til tilsvarende sylinder Fra b) e rderfor volumet 63π/3 1π Bunnaten har areal π3 Kjeglen har det samme arealet som et sirkelsegment med radius 3 + 7 og buelengde lik π 3 Sirkelsegmentet har areal halvparten av 3 + 7 ganget med buelengden Dette er 58π 3/ 3 58π Totalt areal er derfor (9 + 3 58)π d) En kule med radius 5 Volumet er π5 3 /3 500π/3 Overatearealet er π5 100π e) En halv kule (hvor snittaten tas med) som har diameter 3 Radien er halvparten av diameteren Volumet er halvparten av volumet til den tilsvarende kulen Volumet er π(3/) 3 /3 9π/ Overatearealet er π(3/) / + π(3/) 7π/ 1

Finn vinklene og lengden til sidene, samt arealet til trekanten ABC gitt som følger Svaret kan gis som desimaltall med minst siers nøyaktighet Tallene som er oppgitt er eksakte a) A 90, C 30 og AB 8 LF: Dette er en rettvinkla trekant Siden summen av vinklene i en trekant er 180 så er B 60 Hypotenusen BC har lengde BC 8/ sin(30 ) 8/(1/) 1600 Kateten AC har lengde AC 8/ tan(30 ) 8/(1/ 3) 8 3 13856 Arealet til trekanten er AC AB/ (siden sin( A) 1) Arealet er (8 3) 8/ 3 3 555 b) A 90, C 33 og AB 8 Denne oppgaven er svært lik deloppgave a) Vinkel C er øka fra 30 til 33 grader Vi forventer derfor at AC og BC er litt kortere her Vinkel B er lik B 57 Hypotenusen BC har lengde BC 8/ sin(33 ) 1689 Kateten AC har lengde AC 8/ tan(33 ) 1319 Arealet til trekanten er AC AB/ 1319 8/ 976 c) C 0 og AC BC 10 LF: Dette er ein likebeina trekant med to sider av lengde 10 og vinkel 0 mellom de to like sidene Vinkel A og B må da være like store Siden summen av vinklene i en trekant er 180 er A B 80 Lengden på siden AB er lik AC cos(80 ) 0 cos(80 ) 373 Arealet til trekanten er lik AB AC sin(80 )/ 1710 d) A 55, B og AC 3 LF: Siden summen av vinklene i en trekant er 180 så er C (180 55) 81 Her er det naturlig å anvende sinussettningen siden vi kjenner både vinkel B og lengden til side b AC Sinussettningen sier at følgende forhold er like sin B b sin A a Forholdet er lik sin( )/3 003005 sin C c Lengden til siden AB er sin(81 )/003005 370 og lengden til siden BC er sin(55 )/003005 71 Arealet til trekanten er lik AB AC sin(55 )/ 3081 e) A 0, AC 8 og BC 7 LF: Det er to forskjellige trekanter med disse egenskapene Vi bruker sinussettningen og får : sin C c sin B b sin A a sin(0 ) 7 0091868

Det følger at sin B AC 0091868 07361 Dette gir to mulige løsninger for B, B 1 arcsin(07361) 77 og B 180 B 1 137 Tilsvarende verdier for vinkel C er C 1 973 og C 775 Lengden til siden AB, eller c, er lik sin( C)sin( A)/a I de to tillfellene får vi AB 1 1088 og AB 137 Arealet til trekanten er lik AC AB sin( C)/ I tilfelle 1 er arealet til trekanten 8 7 sin(975 ) 797 og i tilfelle er arealet til trekanten 8 7 sin(776 )/ 355 f) A 10, AB 1 og AC 7 Her er det naturlig å bruke cosinussettningen siden vi kjenner vinkelen mellom de to kjente sidene Cosinussettningen gir at a b + c ab cos(10 ) 7 + 1 7 1( 1/) 9 + 1 + 8 77 Siden a > 0 så er BC a 77 166 Fra sinussettningen er sin( C) AB sin( A)/BC 1( 3/)/16633 061 Siden A 10 så er summen av vinkel B og vinkel C lik 70 Derfor er C 386 og B 136 Arealet til trekanten er lik 7 1 sin(10 )/ 3637 3 Bestem lengden på alle sidene og nn alle vinklene til alle trekantene spesisert som følger: a) Trekantene er rettvinkla og to av sidene har lengde og 5 Tilfellet 1: Katetene har lengde og 5 Da har hypotenus lengde + 5 1 603 Vinkelen som har kateten med lengde 5 som hosliggende katet er da lik arctan(/5) 38660 Den andre vinkelen, som har kateten med lengde som hosliggende, er da lik 90 38660 5130 Tilfellet : Hypotenus er lengre enn katetene En mulighet er at 5 er lengden på hypotenus og er lengden på den ene kateten Lengden på den andre kateten er da 5 9 3 (eksakt) Vinkelen som har kateten med lengde som hosliggende er da lik arccos(/5) 36870 Den andre vinkelen, som har kateten med lengde 3 som hosliggende, er da lik 90 36870 53130 b) Trekantene er likebeina og en av vinklene er 30 grader og en av sidene har lengde 10 Tilfellet 1: Vinkelen mellom de to sidene som er like lange er 30 grader Da er de to andre vinklene (180 30 )/ 75 Hvis de to sidene som er like lange har lengde 10 har den tredje siden lengden 10 sin(15 ) 5176 Tilfellet : Vinklenen som i tilfellet 1, men anta at det er siden som ikke er like lang som en annen side som har lengde 10 Da er lengden på de to sidene som er like lange lik (10/)/ sin(15 ) 19316 3

Tilfellet 3: La oss nå anta at vinkelen på 30 grader ikke er vinkelen mellom sidene som er like lange Da er begge disse vinklene 30 grader, og vinkelen mellom de like lange sidene er 10 Hvis de to like lange sidene har lengde 10, da er lengden på den tredje siden 10 sin(60 ) 10 3 1730 Tilfellet : La vinklene være som i tilfellet 3 En annen mulighet er at de to like sidene har lengde 10/ 3 577 og at den tredje siden har lengde 10 c) Den ene vinkelen er 30 grader og to av sidene har lengde 8 og 5 La side a ha lengde 8 og side b ha lengde 5 Vi undersøker hvilke trekanter vi kan ha når vi setter hver av de tre vinklene i trekanten lik vinkelen 30 Tilfellet 1: Vinkel C er 30 grader Ved cosinussetningen er da c a + b ab cos(30 ) 89 0 3 19717 Derfor er lengden på den tredje siden c 0 Ved sinussetningen er sin( A) 8 sin(30 )/c 09008 Derfor er A er lik 66 eller (180 66) 1157 Sinussetningen gir også at sin( B) 5 sin(30 )/c 05630 Dette gir at B er lik 36 eller 157 Vi ser at de eneste kombinasjoner av vinklene som har sum 180 er A 1157, B 36, C 30 Tilfellet : Vinkel B er 30 grader Ved sinussetningen så er sin( A) a sin( B)/b /5 Derfor er A lik 5313 eller 1687 Når A 5313 er da C 9687 Ved sinussetningen er da lengden på den siste siden er da lik c sin( C)b/ sin( B) 993(998) Tilfellet 3: Vinkel B er 30 grader, men vi ser på den andre muligheten for vinkel A fra Tilfellet Da er A 1687 Og derfor er C 313 Ved sinussetningen er da c sin( C)b/ sin( B) 398 Tilfellet : Vinkel A er lik 30 grader Ved sinussetningen er sin( B) b sin( A)/a 5/16 0315 Dette gir at B er lik 181 eller 16179 grader Vinkelen B 16179 er ikke mulig siden summen av vinklene A + B + C 180 circ Hvis B 181, da er C 13179 Lengden på den siste siden er c a sin( C)/ sin( A) 1193 d) Trekanten har sider av lengde, 3 og Vi gir navn til hjørnene i trekanten slik at side a har lengde, side b har lengde 3 og side c har lengde Fra cosinussetningen har vi at c a +b ab cos( C) Dette gir at cos( C) 1/ Derfor er C arccos( 1/) 108 Ved sinussetningen så er sin( B) b sin( C)/c 07618 Siden summen av vinklene skal være 180 så er bare B 657 en mulig løsning Vinkel A må da være A 896 Gjør om følgende vinkler oppgitt i grader til radianer Gi svaret eksakt a) 70 b) 150 c) 5 d) 18 e) 135 LF: a) 70 3π b) 150 5π 6 c) 5 5π 36 d) 18 π 10 e) 135 3π

5 Gjør om følgende vinkler oppgitt i radianer til grader Gi svaret som desimaltall og avrundt til 5 gyldige sier LF: a) π/3 b) 1 c) 1 57 d) 7 e) 5π a) π/3 60000 b) 1 180 π 5796 c) 1 57 1005 d) 7 18007 e) 5π 500 6 Et tårn står på en at bakke Vi har et instrument som kan måler vinkler (mellom laserstråler) nøyaktig og et kort målband Vi måler først vinklen mellom linjen fra bakken der vi står og toppen av tårnet og bakkenivået Den er 50 grader Deretter går vi 10 meter i retning vekk fra tårnet Vi måler vinkelen igjen og nner at den nå er 13 grader Hvor høyt er tårnet? LF: La h være høyden til tårnet La b være den horisontale avstanden fra første målepunt til foten av tårnet (rett under tårnes topp) Da er y h/ tan(5 ) h Videre er y + 10m h/ tan(13 ) Dette gir at h(1/ tan(13 ) 1) 10m Derfor er høyden lik h 10m/(1/ tan(13 ) 1) 7m 7 Finn alle vinkler v, med enhet radianer, i intervallen [0, π] slik at hver av likningene er oppfylt Svarene skal gis eksakt a) sin(v) 1 LF: Løsningene er v 7π 6 11π eller v 6 b) cos(v) 1 LF: Løsningene er v 0 eller v π c) cos(v) 3 LF: Løsningene er v 5π 6 eller v 7π 6 d) sin(v) 3 cos(v) 0 LF: Det er ingen løsning når cos v 0 (siden da er sin v ±1) Likningen er derfor ekvivalent til likningen tan(v) 3 Løsningene er v π 3 og v π 3 5

e) sin(v) cos(v) 0 LF: Likningen er ekvivalent til sin(v) 0 eller cos(v) 0 Løsningsmengden er {0, π, π, 3π, π } 8 Finn alle vinkler v, med enhet grader, i intervallen [0, 360 ] slik at hver av likningene er oppfylt Svarene skal gis med fem gyldige sier LF: Vi avrunder løsningene til 5 gyldige sier a) sin(v) 1 3 LF: Løsningene er v 1971 eller v 16053 b) cos(v) 08 LF: Løsningene er v 36870 eller v 3313 c) sin(v) LF: Likningen har ingen relle løsninger d) tan(v) 1000 LF: Løsningene er v 8993 eller v 699 e) sin(v) π 180 LF: Løsningene er 10001 (arcsin( π 180 ) 10000507765 ) eller 17900 9 Finn alle vinkler v, med enhet grader, i intervallen [0, 360 ] slik at hver av likningene er oppfylt Svarene skal gis eksakt a) sin (v) 1 LF: Likningen er ekvivalent til sin(v) 1/ eller sin(v) 1/ I intervallen er løsningene gitt ved v 5, 135, 5 og 315 grader b) sin(v) + 5 9 sin(v) LF: Dette er en lineær likning i sin(v) Vi løser likningen of får sin(v) /3 Denne likningen har ingen løsning siden sin(v) 1 for alle v c) cos (v) cos(v) 0 Vi faktoriserer uttrykket og får cos(v)(cos(v) 1) 0 Et produkt er lik null hvis og bare hvis minst en av faktorene er null Derfor er løsningen alle v slik at cos(v) 0 eller cos(v) 1 Løsningen er derfor v 0, 90, 70 og 360 grader 6

d) sin (v) + cos(v) 1 0 LF: Siden sin (v) 1 cos (v) for alle v så er liknigen ekvivalent til cos (v) + cos(v) 0 Dette er igjen ekvivalent til likningen i deloppgave c), og derfor er løsningsmengden som i c) e) sin(v) tan(v) 0 LF: Her må vinkelen v være slik cos(v) 0 siden tan(v) er bare denert da Vi faktoriserer uttrykket og får sin(v)( 1/ cos(v)) 0 Produktet er null hvis og bare hvis sin(v) 0 eller cos(v) 1/ Løsningen er derfor v 0, 60, 180, 300 og 360 grader 10 Forholdet mellom volumet til en kule med radius 1 og volumet til den minste kuben som inneholder den er lik π/6 05359877 Regn ut forholdet mellom volumet til en kule med radius 1 og volumet til den største kuben som er inneholdt i kulen Svaret skal gis eksakt LF: Senteret til kulen og kuben sammenfaller Kuben er størst når alle 8 hjørnene berører kulen La senteret være i origo og roter kuben slik at sidene er parallelle til en av koordinatplanene Hvis linjene (mellom hjørnene) har lengde s så er koordinaten til hjørnene gitt ved (x, y, z) for alle x, y og z slik at absoluttverdien deres er lik s/ (halvparten av sidelengden) Avstanden fra senter, origo, til hvert av hjørnene er derfor lik 3 (s/) 3s/ Denne avstanden er lik radius Forholdet mellom radius og lengden på sidene er derfor gitt ved R 3s/ Volumet til kuben er lik s 3 (R/ 3) 3 8R 3 /(3 3) Forholdet mellom volumet til en kule og volumet til den største kuben som er inneholdt i kulen er derfor lik πr 3 /3 πr3 /3 s 3 8R 3 /(3 3) π 3 7 Forholdet mellom volumet til kuben og kulen er 036755, litt over en tredel 11 Finn følgene verdier eksakt Det er nyttig å bruke addisjonsformlene for sin og cos Avhengig av hvordan dette blir gjort kan svarene se litt forskjellig ut selv om de er like For eksempel kan sin(15 ) regnes ut ved å bruke addisjonsformelen for sinus og sin(15 ) sin(5 + ( 30 )), eller ved å bruke formel for halvering av vinkel og at sin(30 ) 1/ a) sin(15 ) LF: Ved å bruke addisjonsformelen for sinus og de kjente eksakte verdiene for 5 og 30 grader får vi sin(5 + ( 30 )) 3 1 6 7

Ved halvering av vinkel får vi sin(15 ) b) cos(15 ) LF: Alternativt c) cos(75 ) + 3 cos(15 ) 3 + 1 3 Dette er lik løsningen ovenfor 6 LF: Vi vet at cos(75 ) er lik cos(90 15 ) sin(15 ) Svaret er derfor de samme som i deloppgave a) d) sin(5 ) LF: Ved halvering av vinkel, sin(v) (1 cos(v))/ så er dette lik sin(5 ) 1 cos(5 ) 1 e) sin(675 ) LF: Vinkelen 675 er halvparten av 135 grader, eller summen av 5 og 5 grader La oss anvende halvering av vinkelen sin(675 ) 1 cos(135 ) + 1 + 1 Alle trekanter kan innskrives i en sirkel Det vil si at det nnes en sirkel med radius R slik at trekanten ligger inni sirkelen og hjørnene til trekanten ligger på selve sirkelen (avstanden fra hvert av hjørnene til senteret er R) Radien R er bestemt av trekanten I denne oppgaven skal dere vise at en trekant med sider a, b og c kan innskrives i en sirkel med radius lik R abc (a b + a c + b c ) (a + b + c ) a) Vis at en trekant med areal A hvor sidene har lengde a, b og c kan innskrives i en sirkel med radius lik R abc A LF: Arealet er lik ab sin( C)/ Vi har også at c/ R sin( C) Dette ser vi ved å benytte den likebeina trekanten med hjørner A og B samt senteret i sirkelen Løser vi ut for sin( C) gir dette A abc/(r) Dette gir resultatet R abc/(a) 8

b) Vis at arealet til en trekant med sider av lengde a, b og c er lik (a b A + a c + b c ) (a + b + c ) (Hint: Cosinussettning og arealsettning, samt Pytagoras sats cos v + sin v 1) Ved cosinussetningen så er cos( C) (c a b )/(ab) Siden vinklene i en trekant er mellom 0 og 180 grader er altid sinus av en slik vinkel ikke-negativ Derfor er sin( C) 1 cos ( C) Arealet er lik A ab sin( C)/ ab a b (c a b ) a b Siden a og b er positive er dette lik a b (c + a + b ) + (a c + b c a b ) Resultatet følger Hvis vi faktoriserer uttrykket i roten får vi (a+b+c)( a+b+c)(a b+c)(a+b c) Formelen for arealet til en trekant med sider av lengde a, b og c er mest kjent som s(s a)(s b)(s c) hvor s (a + b + c)/ Dette kalles Herons formel 13 Finn vektoren AB når punktene er gitt som følger a) A (1, ) og B (6, 7) LF: Vi har at AB OB OA Vektoren OB har koordinater gitt ved punktkoordinatene til B etc AB [6, 7] [1, ] [5, 3] b) A (0, 0, 0) og B (6, 7, 13) LF: Punktet A er origo Derfor er AB OB [6, 7, 13] c) A (, 0, 1) og B (0, 0, 0) LF: Punktet B er origo Derfor er AB AO OA [, 0, 1] [, 0, 1] d) A (13, 687, 9678) og B (6789, 777, 1365) LF: AB OB OA [6789, 777, 1365] [13, 687, 9678] [59, 09, 3976] 9

e) A (1/, 5/6, 7/13) og B (3/6, 5/, 8/7) LF: AB OB OA [3/6, 5/, 8/7] [1/, 5/6, 7/13] [3/6 1/, 5/ 5/6, 8/7 7/13] [1/, 5/8, 55/91] 1 a) Finn koordinaten til punktet A når punktet B har koordinat ( 5, 3) og BA + [3, 589] [89, 500] LF: Vi nner OA OB + BA Dette er lik [ 5, 3] + [89, 500] [3, 589] [ 19, 111] Der for er koordinaten til A gitt ved ( 19, 111) b) Finn koordinaten til punktet B når punktet A har koordinat (7, 8, 3) og BA + [,, 5, ] [3, 5, ] LF: Vektoren fra origo til punkt B er lik OB OA BA [7, 8, 3] + [,, 5, ] [3, 5, ] [6, 9, ] Derfor har punkt B koordinater (6, 9, ) c) La B ha koordinat (3, ) og C ha koordinat (7, 7) La punktet A ligge på linjestykke mellom B og C slik at AB er dobbelt så lang som AC Finn koordinaten til A LF: Vi har at BA er lik (/3) BC Derfor er OA OB + (/3) BC som er lik [3, ] + (/3)([7, 7] [3, ]) [3, ] + (/3)[, 3] [3 + 8/3, + ] [17/3, 6] d) Beskriv linjen som går gjennom punktet (3, 5) og som er parallell til linjen gjennom punktene (, 5) og (1, 3) (For eksempel som en likning i x og y som har graf lik linjen) Stigningstallet til den oppgitte linjen er (5 ( 3))/( (1)) 8/5 Linjen er derfor på formen y 8x/5 + b for en konstant b Siden linjen skal gå gjennom punktet (3, 5) så må 5 8 3/5 + b Derfor er b 1/5 Linjen kan derfor beskrives ved y 8(x + 1)/5 Alternativt: En parametrisering av linjen er x 3 + 5t og y 5 8t, for en paramter t e) Finn koordinaten til punktet som ligger midt mellom punktene (1,, 3) og (, 3, 6) LF: Punktet C midt mellom to punkt A og B er gitt ved OC OA+(1/) AB (1/)( OA + OB) Derfor er koordinatene til midtpunktet gjennomsnittet av koordinatene til hvert av punktene I dette tillfellet er det (5/, 1/, 3/) 10

15 Gitt følgende re punkt: A (,, 6), B (1,, 1), C (1/, 3, ) og D ( 1, 5, 1/3) a) Finn vektoren AC og nn summen av vektorene AB og BC LF: Vektoren AC OC OA er derfor lik [ 3/, 1, 8] Summen av vektorene AB og BC er lik AC Alternativt kan vi regne ut hver av summandene og så legge sammen b) Finn følgende sum AC AD LF: Dette er lik vektoren AC + DA DC På koordinatform er dette lik [3/,, 5/3] c) Finn følgende sum LF: Summen av vektorene er [6, 6, 7] d) Finn følgende sum LF: Summen er 0-vektoren e) Finn følgende sum 3 AB + 6 BC AB + BC + CD AD AC 3 BD + CB + DC + DA LF: Vektoren er lik summen OA + 7 OB 6OD AB + 6DB Dette er lik [11, 6, 11] 16 Finn absoluttverdien til følgende vektorer a) a [ 5, 1] LF: Absoluttverdien er lik ( 5) + (1) 13 b) b [1, 1, 1] LF: Absoluttverdien er lik 3 173 c) c [ 5, ] LF: Absoluttverdien er lik 9 3 d) d [1/3, 1/5, /15] LF: Absoluttverdien er lik 5 + 9 + /15 /5 e) e [1355, 35609, 300] (Angi svaret med 5 gyldige sier) LF: Absoluttverdien er lik 5161 11