Sensurveiledning til skriftlig eksamen i Matematikk 1, 1-7 24. mai 2011 Oppgavesettet besto av 3 oppgaver. Alle oppgavene skulle besvares og svarene begrunnes. Oppgavene telte i utgangspunktet som vist ved hver enkelt oppgave, men den endelige karakteren bygger på en helhetsvurdering av besvarelsen. Oppgave 1 a) Tre multiplikasjonsregnestykker som har samme svar som 12 20 er for eksempel 6 40 som man får ved dobling/halvering av 12 20 (dobling/halvering baserer seg på den assosiative egenskapen av multiplikasjon, (6 2) 20=6 (2 20)) 120 2 som man får fra 12 20 ved gange med 10/dele med 10, altså igjen den assosiative egenskapen ved at 12 (10 2)=(12 10) 2 60 4 som man får fra 12 20 ved å gange med 5/dele med 5 ; den assosiative egenskapen igjen, 12 (5 4)=(12 5) 4 Alternativt, 20 12 er også et multiplikasjonsstykke med samme svar som 12 20; her bruker man den kommutative egenskapen til multiplikasjon. Når man skal argumentere for at et av regnestykkene har samme svar som 12 20, så bør argumentasjonen og resonnering ta utgangspunkt i en regnehistorie der de ulike leddene og stegene kommer tydelig frem og det er klart at de to stykkene har samme svar. Et eksempel på en slik argumentasjon er å tenke seg 12 poser med 20 klinkekuler i hver pose (antall klinkekuler er altså 12 20). Hvis man tar to og to av posene i en eske, vil det være 6 esker til slutt, med 40 klinkekuler i hver, altså er antallet klinkekuler 6 40. Siden ingen klinkekuler er blitt borte/lagt til i prosessen, betyr det at 12 20 og 6 40 har samme svar. En illustrasjon/tegning som viser dette vil kunne være nyttig å ha i tillegg, både for at elevene skal lettere kunne følge med i stegene, men også for at de skal få mulighet til å utvikle en modell for tanken i arbeidet med multiplikasjon. b) I. Oppgaven fra Multi kan være et godt utgangspunkt for et åpent opplegg. En viktig sammenheng som det gis mulighet til å undersøke i oppgaven, er den assosiative egenskapen i multiplikasjon. Fora at opplegget skal være åpent (og dermed ha høye kognitive krav), må det legges vekt på utforskning, resonnering, argumentering og forståelse i arbeidet med elever. Det innebærer at man ikke bare prøver/feiler for å komme til regnestykker som har samme svar og at man da går videre, men at det legges vekt på hvorfor det blir det samme, hva er det som gjør at det skjer, hvordan kan man bruke den egenskapen, osv. Man kan starte med at elevene for eksempel prøver å finne flere regnestykker som har samme svar som 12 10 (ved å velge denne formuleringen fremfor svar 120 retter man kanskje oppmerksomheten mer mot resonnering enn prøving/feiling for å få 120; man kunne eventuelt fremhevet overfor elevene at det ikke er nødvendig å regne ut her). Når elevene har kommet med noen forslag, kan man prøve å spørre om hvordan de vet og om de kan vise til andre hvorfor det blir det samme, uten av de regner ut. Målet er en argumentasjon i form av regnehistorie/illustrasjon av typen den som er gitt i a). Lærer kan gi noen tips i den retning her hvis ingen av elevene gjør det. Etter en diskusjon om dette, kan man velge et av regnestykkene som elevene har kommet frem til (for eksempel 6 20), og be alle elevene om å prøve å forklare hvorfor det blir det samme som 12 10. Ved å velge et slikt eksempel, går man mer konkret til halvering/dobling og
undersøkelsen av den. Elevene kan jobbe i par, og alle skal lage en plakat med hvordan de vet, og så skal de prøve å overbevise sine medelever om at det stemmer. Til slutt kan det tenkes en diskusjon om halvering/dobling. Læreren kan komme med noen eksempler der det kan være nyttig å tenke halvering/dobling som strategi (for eksempel 5 18, 25 4 o.l) II. Hvis man bruker oppgaven fra Multi på en måte der elevene bare bruker prøving/feiling for å finne regnestykker med samme svar, og det diskuteres verken likheter/forskjeller mellom de ulike stykkene med samme svar eller hvorfor det blir samme svar, så kan man si at opplegget blir med lave kognitive krav. Elevene bruker bare noe de har lært tidligere (regning som kreves i prøving, eventuelt vurdering av tallene for å tippe nærmere o.l), men opplegget åpner ikke for at de skal undersøke en sammenheng, resonnere, argumentere, forstå den gitte sammenhengen c) Emma skriver: 11 11=120. Du som lærer ser det, og spør hvordan hun har tenkt. Hun sier: Jo, jeg vet at 12 10 er 120, så da trekker jeg bare 1 fra 12 og legger den til 10. Og da blir 11 11 det samme som 12 10. Sånn som vi kan gjør når vi plusser. Emma tenker nok har på at, i addisjon, så kan man gjøre det flytte 1 : 12+10=11+11, 21+33=20+34, og lignende. Men, i multiplikasjon, går det ikke. 11 11 blir ikke det samme som 12 10. For å vise det uten å regne det ut, bør man ha en regnehistorie/illustrasjon (like grupper eller areal) som viser tydelig at det ikke blir det samme. En regnehistorie som man kan ta utgangspunkt i her er, for eksempel, hvis man tenker seg 11 poser med 11 klinkekuler i hver pose (da blir det 11 11 klinkekuler totalt). Hvis man nå ønsker å ordne klinkekulene i 12 poser med 10 klinkekuler i hver (noe som svarer til 12 10 klinkekuler), så kan man starte med å ta en klinkekule fra hver av det 11 posene vi starter med. Da er det 10 klinkekuler i hver av de 11 posene og vi har 11 klinkekuler til i hånda. Vi lager en ny pose med 10 klinkekuler, og får da 12 poser med 10 klinkekuler i hver, men vi har fremdeles 1 klinkekule i hånda som ikke får plass. (Her kan det være viktig med illustrasjon!) Det betyr at 11 11 er ikke det samme som 12 10. Oppgave 2 a) Her skal det kun presenteres en regnefortelling/kontekst, og det essensielle er at det er en målingsdivisjonssituasjon. I tillegg bør det som skal deles være av en kontinuerlig karakter, slik at det er naturlig å tenke seg det delt i delmengder med størrelser som ikke er hele tall. Eksempelvis at man skal helle saft/vann/sand i beholdere som rommer en gitt mengde. Begge disse kriteriene skal oppfylles for full uttelling. Kontekster som tar utgangspunkt i delingsdivisjon gis ingen uttelling. b) Det kan være ulike veier å gå for å resonnere seg frem til svaret på 18:0,6, og det viktige her er at alle trinnene begrunnes. En viktig forståelse å utvikle og basere seg på i argumentet, vil være at jo mindre delmengder du deler grunnmengden i, jo flere delmengder får du. Det er kanskje vanskeligere for mange å følge denne tanken når de skal dele på 0,6 enn hvis det hadde vært snakk om 0,5 eller ¼ eller en annen brøk med potens av 2 som nevner, der de kunne basert seg på et rent halvering/dobling-resonnement. Det er kanskje naturlig å ta utgangspunkt i regnefortellingen/konteksten man har presentert i a). Hvis man har 18 liter saft, og skal tømme denne på flasker som hver rommer 0,6 liter, så kan man resonnere som så:
18:6 = 3, så jeg får tre kanner med saft som hver rommer 6 liter. Hver av disse kannene på 6 liter gir 10 flasker på 0,6 liter, altså får jeg totalt 10 3 = 30 flasker. 18 liter saft. Hvis jeg tømmer en liter i glass som rommer 0,2 liter, vil jeg få 5 glass fra hver liter, altså totalt 18 5 = 90 glass. Og det går tre slike glass med 0,2 liter på en 0,6 liters flaske, altså har jeg 90 : 3 = 30 flasker. En kan tenke seg mange ulike varianter av slike resonnement. Noen er kanskje fristet til å si at 18 : 0,6 er det samme som 180 : 6, og så regne ut dette. For at dette skal gis uttelling må det følges av et godt argument for at de to regnestykkene har samme svar. 18:0 Et resonnement som likner på dette: Hva skjer når vi deler i stadig mindre delmengder? Vi får flere og flere delmengder. 18:6, 18:3, 18:2, 18:1, 18:0,5, 18:0,2, 18:0,1. Hvis vi skal dele 18 liter saft, og har 0,1 liter i hvert beger, får vi 180 beger. Hva hvis vi har mindre enn det i hvert beger? Enn hvis vi bare har en dråpe i hvert beger? Vi får et enormt antall beger, men det gir fortsatt mening (i hvert fall som et tankeeksperiment) å se for seg at dette kan gjøres. Enn hvis vi har mindre enn en dråpe? Det blir flere og flere beger, antallet går mot uendelig. Hvor mange beger kan vi fylle hvis det ikke skal være noe i hvert beger? Da klarer vi vel å fylle uendelig mange beger. Svaret på 18:0 blir altså uendelig (og det samme blir svaret på alle regnestykker der vi deler med 0). I og med at det er absurd å tenke seg til det, sier man ofte at svaret er udefinert, at deling med 0 ikke er definert. c) I forhold til Karis utsagn om at svaret blir større enn det vi startet med, har hun tydeligvis en forståelse av divisjon (på bakgrunn av tidligere erfaringer) om at svaret alltid blir mindre. Dette kan skyldes at hun i hovedsak har gjort seg erfaringer med delingsdivisjon (som alltid er divisjon med hele tall), der så alltid er tilfelle. De to andre utsagnene er også av en slik karakter at det å la elevene få erfaringer med målingsdivisjon, gjennom utprøving, argumentering og resonnering vil være naturlig. Et opplegg som på en eller annen måte involverer elevene i resonnement av den type som har kommet frem under b). Oppgåve 3 a) 1. ¾ er skyggelagt 2. 3/8 3. 1 1/2 eller 3/2 4. 3/16 Ei drøfting må ha med ein diskusjon om kva eininga har å seia for brøk. At del skyggelagt (eller del farga, del gutar osb.) berre kan svaras på med omsyn på ei eining. At elevar må først læra seg å avgjera kva eininga er i eit kvart brøkproblem, før dei kan tenkja om problemet. Om 2 og 4 bør vi sjå ein kommentar om einingar som består av fleire enn eit objekt, om 3 at det gjev opphav til uekte brøk.
b) To ulike vis kan for eksempel være: 1. Lag eit rektangel med 8 kolonnar og 3 rader. Skyggelegg 1 rad (1/3) og marker 3 rader (3/8). Ein ser då at 1/3 er lik 8/24 og 3/8 er lik 9/24. Altså er 3/8 størst. Store idear og viktige strategiar: Her ser vi på brøk som forhold mellom del (skyggelagt eller markert) og heile. Om ein skal samanlikna brøkar så må ein bruka same eining (heile). Vidare, når man skal samanlikne to brøkar kan ein viktig startegi vere at man brukar likeverdige brøkar slik at brøkane får ein felles telar eller nemnar. Ovanfor ble det brukt eit rektangel oppdelt i 24 delar for å uttrykke begge brøkane som 24-delar (felles namnar). Likeverdige brøkar, det at same brøk/forhold kan uttrykkas på ulike måtar, er også ein stor ide. Når to brøker har same (felles) nemnar, så er det brøken med størst teljar som er størst. 2. Ein kan tenkja på brøk som fordeling, forhold mellom for eksempel tal på pizza og tal på barn; 3/8 er 3 pizza på 8 barn, 1/3 er 1 pizza på 3 barn. Ein kan då tenkja at ein vil jamne ut talet på pizzaer. Forholdet 1:3 er det same som 3:9 (ein pizza til tre barn og tre pizza til ni barn i begge situasjonar blir det like mykje pizza per barn). Samanliknar vi dette med 3 pizza til 8 barn (3/8), så er det klart at dei 8 barna får meir pizza sidan dei er færre. Difor er 3/8 større enn 3/9. Store idear og strategiar: ulike tolkingar av brøk (her fordeling), brøk som forhold, og proporsjonal tenking. Ovanfor ble det brukt resonnering opp og ned for å komme fram til at 1/3 og 3/9 er likeverdige brøkar, dvs. uttrykkar same forhold. Ein kjem da til to brøkar med felles teljar, som er ein viktig strategi for å samanlikne brøkar, 3/8 og 3/9 i dette eksemplet. (Til samanlikning: i 1. ble det brukt felles nemnar). Ein annan stor ide er at når to brøkar har sama (felles) teljar, så er det brøken med minst nemnar som er den største. Andre mulige vis: 3. Bruke fordelingskontekst, som i 2, og resonnering opp og ned, for å komme frem til felles nemnar (og ikkje teljar som i 2), altså like mange barn. 4. Ein kan og sjå på kor brøkane ligg i forhold til ½. 5. Ein kan skriva brøkane som ein sum av stambrøkar, 3/8 = ¼ + 1/8, 1/3 = ¼ + 1/12 c) Håkon: Det ligg i oppgåva at dette er lik deling (brøk som fordeling). Håkon resonnerer proporsjonalt, 3 : 1 samanlikna med 8 : 3, det er ikkje same forholdet, skulle det vore det måtte det vore 9 jenter, som 9 :3. I teikninga si brukar Håkon at einingane er delte i like store delar.
Løysninga til Håkon er nokså nær til løysninga 2 i deloppgåve b). Diskusjonen om idear og strategiar vil gjelde her. d) Maja teiknar pizzaer for å resonnera. Merk at ho har teikna jentene sine pizzaer større enn gutane sin (mykje større), det gjer det vanskelig å samanlikne visuelt. Maja deler ikkje kvar del av eininga til jentene i like store delar. Det er ikkje nødvendig for å finna ut kva jentene får (ho har funne ut at jentene får1/4 pluss 1/8, som hun viser på teikninga si) men gjer samanlikninga vanskeleg, spesielt viss man skal støtte seg til det visuelle og ikkje begynne å resonnere om forhold mellom delar på anna vis, noe Maja ikkje viser at hun gjør i si løysning. Ho ser og ut til å gløyma det med delar av eit heile og til slutt berre bruka additiv tenking, jentene får 2 stykk og gutane får 1 stykke, og 2 er meir enn 1! Generelt brukar ho berre ein visuell strategi, ser ikkje på brøk som forhold (dermed vert det ein additiv tenking).